แบบจำลองนี้(หรือที่รู้จักกันในชื่อแบบจำลองนาฬิกา ) เป็นแบบจำลองการหมุนเชิงกลสถิติ แบบง่าย เป็นแบบจำลองที่ขยายความจากแบบจำลองไอซิงแม้ว่าจะสามารถกำหนดได้บนกราฟ ใดๆ ก็ตาม แต่สามารถหาปริพันธ์ได้ เฉพาะบน แลตทิซหนึ่งมิติและสองมิติในบางกรณีพิเศษเท่านั้น ${\displaystyle Z_{N}}$

แบบจำลอง นี้กำหนดโดยการกำหนด ค่า สปินที่แต่ละโหนดบนกราฟ โดยที่ค่าสปินมีค่าเป็นโดยที่ดังนั้นค่าสปินจึงอยู่ในรูปของรากเชิงซ้อนของเอกภาพโดยคร่าวๆ เราสามารถคิดว่าค่าสปินที่กำหนดให้กับแต่ละโหนดของแบบจำลองนั้นชี้ไปในทิศทางใดทิศทางหนึ่งที่อยู่ห่างกันอย่าง เท่าๆ กัน น้ำหนักของโบลต์ซมันน์สำหรับขอบทั่วไปมีดังนี้: ${\displaystyle Z_{N}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle s_{r}=\exp {\frac {2\pi iq}{N}}}$${\displaystyle q\in \{0,1,\ldots ,N-1\}}$${\displaystyle Z_{N}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle rr'}$

${\displaystyle w\left(r,r'\right)=\sum _{k=0}^{N-1}x_{k}^{\left(rr'\right)}\left(s_{r}s_{r'}^{*}\right)^{k}}$

โดยที่หมายถึงการสังยุคเชิงซ้อนและเกี่ยวข้องกับความแรงของการปฏิสัมพันธ์ตามขอบโปรดทราบว่าและมักถูกตั้งค่าเป็น 1 น้ำหนักของโบลต์ซมันน์ (ค่าจริง) ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงและซึ่งคล้ายคลึงกับการหมุนและการสะท้อนแบบสากลตามลำดับ ${\displaystyle *}$${\displaystyle x_{k}^{\left(rr'\right)}}$${\displaystyle rr'}$${\displaystyle x_{k}^{\left(rr'\right)}=x_{Nk}^{\left(rr'\right)}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle s_{r}\rightarrow \omega ^{k}s_{r}}$${\displaystyle s_{r}\rightarrow s_{r}^{*}}$

มีกลุ่มคำตอบสำหรับแบบจำลองที่กำหนดบนโครงตาข่าย สี่เหลี่ยมจัตุรัสแบบไม่สมมาตรโดยทั่วไป หากแบบจำลองเป็นแบบทวิภาคใน ความหมายของ Kramers–Wannierและอยู่ในสภาวะวิกฤตและโครงตาข่ายมีลักษณะที่มี 'น้ำหนัก' ที่เป็นไปได้สองค่าสำหรับทิศทางขอบที่เป็นไปได้สองแบบ เราสามารถแนะนำการกำหนดพารามิเตอร์ต่อไปนี้ใน: ${\displaystyle Z_{N}}$${\displaystyle x_{k}^{1}}$${\displaystyle x_{k}^{2}}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle x_{n}^{1}=x_{n}\left(\alpha \right)}$

${\displaystyle x_{n}^{2}=x_{n}\left(\pi -\alpha \right)}$–

หากความสัมพันธ์แบบทวิภาคและความสัมพันธ์แบบดาว-สามเหลี่ยมซึ่งรับประกันความสามารถในการหาปริพันธ์ เป็นจริง ก็จะสามารถหาคำตอบได้:

${\displaystyle x_{n}\left(\alpha \right)=\prod _{k=0}^{n-1}{\frac {\sin \left(\pi k/N+\alpha /2N\right)}{\sin \left[\pi \left(k+1\right)/N-\alpha /2N\right]}}}$

โดยที่กรณีเฉพาะของแบบจำลองนี้มักถูกเรียกว่าแบบจำลอง FZ ตามชื่อของ VA Fateev และ AB Zamolodchikov ซึ่งเป็นผู้คำนวณคำตอบนี้เป็นครั้งแรก แบบจำลอง FZ เข้าใกล้แบบจำลอง XYในขีดจำกัดเมื่อนอกจากนี้ยังเป็นกรณีพิเศษของแบบจำลองไครัล Pottsและแบบจำลอง Kashiwara–Miwaด้วย ${\displaystyle x_{0}=1}$${\displaystyle Z_{N}}$${\displaystyle N\rightarrow \infty }$

เช่นเดียวกับแบบจำลองแลตติสส่วนใหญ่ในกลศาสตร์เชิงสถิติไม่มีคำตอบที่แน่นอนสำหรับแบบจำลองนี้ในสามมิติ อย่างไรก็ตาม ในสองมิติ แบบจำลองนี้สามารถหาคำตอบที่แน่นอนได้บนแลตติสสี่เหลี่ยมจัตุรัสสำหรับค่าบางค่าของและ/หรือ 'น้ำหนัก' ตัวอย่างที่รู้จักกันดีที่สุดอาจเป็นแบบจำลอง Isingซึ่งยอมรับการหมุนในสองทิศทางตรงกันข้าม (เช่น) นี่คือแบบจำลองสำหรับและดังนั้นแบบจำลองนี้จึงสามารถคิดได้ว่าเป็นการขยายความของแบบจำลอง Isingแบบจำลองอื่น ๆ ที่สามารถหาคำตอบที่แน่นอนได้ซึ่งสอดคล้องกับกรณีเฉพาะของ แบบจำลองนี้ ได้แก่ แบบจำลอง Pottsสามสถานะโดยที่และโดยที่เป็นค่าวิกฤตบางค่า (FZ) และแบบจำลอง Askin–Teller วิกฤต โดยที่ ${\displaystyle Z_{N}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle s_{r}=\pm 1}$${\displaystyle Z_{N}}$${\displaystyle N=2}$${\displaystyle Z_{N}}$${\displaystyle Z_{N}}$${\displaystyle N=3}$${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{c}}$${\displaystyle x_{c}}$${\displaystyle N=4}$

สามารถสร้างแบบจำลอง นาฬิกาแบบควอนตัมได้ในลักษณะที่คล้ายคลึงกับแบบจำลอง Ising แบบสนามขวาง แฮมิ ลโทเนียนของแบบจำลองนี้มีดังต่อไปนี้: ${\displaystyle Z_{N}}$

${\displaystyle H=-J\left[\sum _{\langle i,j\rangle }(Z_{i}^{\dagger }Z_{j}+Z_{i}Z_{j}^{\dagger })+g\sum _{j}(X_{j}+X_{j}^{\dagger })\right]}$

ในที่นี้ ตัวห้อยหมายถึงตำแหน่งบนโครงตาข่าย และผลรวมจะคำนวณจากคู่ของตำแหน่งเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดและเมทริกซ์นาฬิกาและเป็นการขยายความของเมทริกซ์ Pauliที่สอดคล้องกับเงื่อนไข ${\displaystyle \sum _{\langle i,j\rangle }}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle X_{j}}$${\displaystyle Z_{j}}$

${\displaystyle Z_{j}X_{k}=e^{{\frac {2\pi i}{N}}\delta _{j,k}}X_{k}Z_{j}}$

และ

${\displaystyle X_{j}^{N}=Z_{j}^{N}=1}$

โดยที่มีค่าเป็น 1 ถ้าและเป็นไซต์เดียวกัน และมีค่าเป็นศูนย์ในกรณีอื่นเป็นตัวประกอบนำหน้าที่มีมิติเป็นพลังงาน และเป็นสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่ออีกตัวหนึ่งที่กำหนดความแรงสัมพัทธ์ของสนามภายนอกเมื่อเทียบกับปฏิสัมพันธ์ของเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุด ${\displaystyle \delta _{j,k}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle k}$${\displaystyle J}$${\displaystyle g}$