Zometoolเป็นของเล่นชุดก่อสร้างที่สร้างขึ้นจากความร่วมมือของSteve Baer (ผู้สร้างสถาปัตยกรรม Zome)ศิลปินClark Richert , Paul Hildebrandt (ซีอีโอคนปัจจุบันของ Zometool) และผู้ร่วมคิดค้น Marc Pelletier ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}ผลิตโดย Zometool, Inc. ตามที่บริษัทระบุ Zometool ถูกออกแบบมาสำหรับเด็กเป็นหลัก Zometool ยังถูกนำไปใช้ในสาขาอื่นๆ รวมถึงคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ ตัวอย่างเช่นการปูพื้นแบบไม่เป็นคาบเช่นการปูพื้นแบบ Penroseสามารถจำลองได้โดยใช้ Zometool เครื่องมือการเรียนรู้นี้ได้รับการออกแบบโดยนักประดิษฐ์และนักออกแบบ Steve Baer ภรรยาของเขา Holly และคนอื่นๆ

ของเล่นชุดก่อสร้างพลาสติก Zometool ผลิตโดยบริษัทเอกชนชื่อเดียวกัน ซึ่งตั้งอยู่นอกเมืองลองมอนต์ รัฐโคโลราโดและพัฒนามาจากบริษัท ZomeWorks ของ Baer ชิ้นส่วนประกอบด้วยโหนดเชื่อมต่อขนาดเล็กและแท่งค้ำยันหลากสี รูปร่างโดยรวมของโหนดเชื่อมต่อเป็นรูปทรงสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ขนาดเล็กที่ไม่สม่ำเสมอ โดยแต่ละหน้าถูกแทนที่ด้วยรูเล็กๆ ปลายของแท่งค้ำยันได้รับการออกแบบให้พอดีกับรูของโหนดเชื่อมต่อ ทำให้สามารถประกอบโครงสร้างได้หลากหลาย แนวคิดเรื่องการกำหนดรหัสรูปร่างของแท่งค้ำยันทั้งสามประเภทได้รับการพัฒนาโดย Marc Pelletier และ Paul Hildebrandt ในการสร้าง "ลูกบอล" หรือโหนด Pelletier และ Hildebrandt ได้คิดค้นระบบหมุดไฮดรอลิก 62 ตัวที่มารวมกันเพื่อสร้างแม่พิมพ์ โหนดเชื่อมต่อชิ้นแรกออกมาจากแม่พิมพ์ของพวกเขาเมื่อวันที่ 1 เมษายน 1992 ^{[ 3 ]}

นับตั้งแต่ปี 1992 เป็นต้นมา Zometool ได้ขยายสายผลิตภัณฑ์ของตน แต่การออกแบบพื้นฐานของตัวเชื่อมต่อยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้นชิ้นส่วนทั้งหมดในปัจจุบันจึงสามารถใช้งานร่วมกันได้ ตั้งแต่ปี 1992 ถึงปี 2000 Zometool ผลิตชุดอุปกรณ์ที่มีตัวเชื่อมต่อและแท่งสีน้ำเงิน สีเหลือง และสีแดง ในปี 2000 Zometool ได้แนะนำแท่งสีเขียว ซึ่งได้รับแรงบันดาลใจจากสถาปนิกชาวฝรั่งเศสFabien Vienneซึ่งสามารถใช้สร้างรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าและทรงแปดเหลี่ยมได้ ในปี 2003 Zometool ได้เปลี่ยนรูปแบบของแท่งเล็กน้อย แท่ง "แบบมีเสียงคลิก" มีพื้นผิวที่แตกต่างกัน และยังมีส่วนปลายที่ยาวขึ้น ทำให้การเชื่อมต่อระหว่างตัวเชื่อมต่อและแท่งมีความแข็งแรงมากขึ้น

สีของแท่ง Zometool นั้นสัมพันธ์กับหน้าตัดของมัน และรูปทรงของรูในตัวเชื่อมต่อที่มันพอดี แท่งสีน้ำเงินแต่ละอันมีหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า แท่งสีเหลืองแต่ละอันมีหน้าตัดเป็นรูปสามเหลี่ยม และแท่งสีแดงแต่ละอันมี หน้าตัดเป็นรูป ห้าเหลี่ยมส่วนแท่งสีเขียวมีหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีอัตราส่วนด้าน √2 แต่เนื่องจากตัวเชื่อมต่อไม่มีรูในตำแหน่งที่ต้องการ แท่งสีเขียวจึงพอดีกับรูห้าเหลี่ยมทั้ง 12 รู โดยแต่ละรูมีทิศทางการวางตัวได้ 5 แบบ รวมทั้งหมด 60 แบบ การใช้งานจึงไม่ง่ายเหมือนแท่งสีอื่นๆ

ตรงจุดกึ่งกลางของแท่งสีเหลืองและสีแดงแต่ละแท่งจะมีลักษณะบิด ทำให้รูปทรงหน้าตัดกลับด้าน ลักษณะการออกแบบนี้บังคับให้จุดเชื่อมต่อที่ปลายแท่งมีทิศทางเดียวกัน ในทำนองเดียวกัน หน้าตัดของแท่งสีน้ำเงินเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ไม่เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งช่วยให้มั่นใจได้ว่าจุดเชื่อมต่อทั้งสองที่ปลายแท่งมีทิศทางเดียวกันเช่นกัน ส่วนแท่งสีเขียวแทนที่จะบิด จะมีลักษณะโค้งงอสองจุดเพื่อให้สามารถเสียบเข้าไปในรูรูปห้าเหลี่ยมของจุดเชื่อมต่อซึ่งเยื้องจากแกนของแท่งเล็กน้อย

คำว่า zome มาจากคำว่า zone ระบบ zome อนุญาตให้มีโซนได้ไม่เกิน 61 โซน รูปทรงหน้าตัดสอดคล้องกับสี และสีเหล่านี้ก็สอดคล้องกับสีของโซน ดังนั้น ระบบ zome จึงมีโซนสีน้ำเงิน 15 โซน โซนสีเหลือง 10 โซน โซนสีแดง 6 โซน และโซนสีเขียว 30 โซน มีรูปทรงสองแบบที่เกี่ยวข้องกับสีน้ำเงิน แท่งสีน้ำเงินที่มีหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าถูกออกแบบมาให้วางอยู่ในโซนเดียวกับแท่งสีน้ำเงิน แต่มีความยาวครึ่งหนึ่งของแท่งสีน้ำเงิน ดังนั้นแท่งเหล่านี้จึงมักเรียกว่า "ครึ่งสีน้ำเงิน" (และเดิมทีทำเป็นสีฟ้าอ่อน) แท่งสีน้ำเงินอมเขียวที่มีหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะวางอยู่ในโซนเดียวกับแท่งสีเขียว แต่ถูกออกแบบมาเพื่อให้สัดส่วนของแท่งสีน้ำเงินอมเขียวรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนต่อแท่งสีน้ำเงินเป็น 1:1 (ตรงข้ามกับแท่งสีเขียวที่มีสัดส่วน √2:1) เนื่องจากอัตราส่วนความยาวนี้ แท่งสีฟ้าอมเขียวที่มีหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจึงไม่จัดอยู่ในระบบโซมทางคณิตศาสตร์

ความยาวของแท่งยึดเป็นไปตามรูปแบบทางคณิตศาสตร์: สำหรับสีใดๆ จะมีช่วงความยาวที่เพิ่มขึ้นด้วยปัจจัยคงที่ประมาณ 1.618 ซึ่งเป็นจำนวนที่ได้จากสิ่งที่เรียกว่า " อัตราส่วนทองคำ " ซึ่งแทนด้วยอักษรกรีกฟี ( หรือ) ^{[ 4 ]}อัตราส่วนทองคำคืออัตราส่วนที่ผลรวมของปริมาณสองปริมาณเท่ากับอัตราส่วนของปริมาณเดียวกัน โดยพิจารณาจากค่าที่มากที่สุดของตัวเลขทั้งสอง ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \phi }$

ดังนั้น,

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi }$

การประยุกต์ใช้สัดส่วนทองคำสำหรับระบบโซมคือ สำหรับแต่ละสี

มีความยาวอยู่ค่าหนึ่งซึ่งความยาวของคานยาวจะเท่ากับความยาวของคานขนาดกลางที่เชื่อมต่อกับคานสั้น

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความยาวของคานยาวจะเท่ากับผลรวมของความยาวคานกลางและความยาวคานสั้น

โซม (zome) ถูกนิยามในแง่ของปริภูมิเวกเตอร์ ซึ่งมีคุณสมบัติผลคูณภายในมาตรฐาน หรือที่รู้จักกันในชื่อปริภูมิยุคลิดสามมิติ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

ให้แทนอัตราส่วนทองคำและให้แทนกลุ่มสมมาตรของการจัดเรียงเวกเตอร์, , และกลุ่มซึ่งเป็นตัวอย่างหนึ่งของกลุ่มค็อกซีเตอร์เรียกว่ากลุ่มไอโคซาเฮดรัล เนื่องจากเป็นกลุ่มสมมาตรของไอโคซาเฮดรัล ปกติ ที่มีเวกเตอร์เหล่านี้เป็นจุดยอด กลุ่มย่อยของที่ประกอบด้วยสมาชิกที่มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ 1 (นั่นคือการหมุน) จะสม isomorphic กับ ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle H_{3}}$${\displaystyle (0,\pm \varphi ,\pm 1)}$${\displaystyle (\pm \varphi ,\pm 1,0)}$${\displaystyle (\pm 1,0,\pm \varphi )}$${\displaystyle H_{3}}$${\displaystyle H_{3}}$${\displaystyle A_{5}}$

กำหนดให้ "เวกเตอร์สีน้ำเงินมาตรฐาน" คือวงโคจร - ของเวกเตอร์กำหนดให้ "เวกเตอร์สีเหลืองมาตรฐาน" คือวงโคจร - ของเวกเตอร์กำหนดให้ "เวกเตอร์สีแดงมาตรฐาน" คือ วงโคจร - ของเวกเตอร์"แกน" ของระบบโซมคือเวกเตอร์ใดๆ ที่สามารถได้มาจากการปรับขนาดเวกเตอร์มาตรฐานที่อธิบายไว้ข้างต้นด้วยกำลังใดๆโดยที่เป็นจำนวนเต็ม "โหนด" ของระบบโซมคือสมาชิกใดๆ ในกลุ่มย่อยของ ที่สร้างขึ้นโดยแกน สุดท้าย "ระบบโซม" คือเซตของคู่ทั้งหมดโดยที่คือเซตของโหนด และคือเซตของคู่โดยที่และอยู่ในและผลต่างคือแกน ${\displaystyle A_{5}}$${\displaystyle (2,0,0)}$${\displaystyle A_{5}}$${\displaystyle (1,1,1)}$${\displaystyle A_{5}}$${\displaystyle (0,\varphi ,1)}$${\displaystyle \varphi ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle (N,S)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (v,w)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$${\displaystyle N}$${\displaystyle vw}$

ดังนั้น จึงมีเวกเตอร์มาตรฐาน 30, 20 และ 12 ตัว ที่มีสีน้ำเงิน เหลือง และแดง ตามลำดับ และกลุ่มย่อยเสถียรภาพของแกนสีน้ำเงิน เหลือง หรือแดง ก็จะสมมาตรกับกลุ่มวัฏจักรลำดับที่ 2, 3 หรือ 5 ตามลำดับ ด้วยเหตุนี้ จึงอาจอธิบายแกนสีน้ำเงิน เหลือง และแดง ว่าเป็น "รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า" "รูปสามเหลี่ยม" และ "รูปห้าเหลี่ยม" ตามลำดับได้เช่นกัน

ระบบโซมสามารถขยายได้โดยการเพิ่มเวกเตอร์สีเขียวเข้าไป "เวกเตอร์สีเขียวมาตรฐาน" ประกอบด้วยวงโคจรของเวกเตอร์และ "แกนสีเขียว" ซึ่งเป็นเวกเตอร์ใดๆ ก็ได้ที่ได้จากการปรับขนาดเวกเตอร์สีเขียวมาตรฐานด้วยกำลังจำนวนเต็มใดๆดังที่กล่าวมาข้างต้น สามารถตรวจสอบได้ว่ามีเวกเตอร์สีเขียวมาตรฐานทั้งหมด 60 ตัว จากนั้นเราสามารถปรับปรุงระบบโซมโดยการรวมแกนสีเขียวเหล่านี้เข้าไป การทำเช่นนี้จะไม่ส่งผลกระทบต่อชุดของโหนด ${\displaystyle A_{5}}$${\displaystyle (2,2,0)}$${\displaystyle \varphi ^{n}}$${\displaystyle |A_{5}|}$

ระบบโซมแบบนามธรรมที่นิยามไว้ข้างต้นมีความสำคัญเนื่องจากข้อเท็จจริงต่อไปนี้: โมเดลโซมที่เชื่อมต่อกันทุกแบบจะมีภาพที่ถูกต้องในระบบโซม ส่วนข้อเท็จจริงในทางกลับกันนั้นเป็นจริงเพียงบางส่วน แต่เป็นเพราะกฎทางฟิสิกส์เท่านั้น ตัวอย่างเช่น รัศมีของโหนดเครื่องมือโซมมีค่าเป็นบวก (ตรงข้ามกับที่โหนดเป็นจุดเดียวทางคณิตศาสตร์) ดังนั้นจึงไม่สามารถสร้างโมเดลเครื่องมือโซมที่โหนดสองโหนดอยู่ห่างกันด้วยระยะทางที่กำหนดไว้เล็กน้อยได้ ในทำนองเดียวกัน จะมีการผลิตชิ้นส่วนค้ำยันที่มีความยาวจำกัดเท่านั้น และชิ้นส่วนค้ำยันสีเขียวไม่สามารถวางติดกับชิ้นส่วนค้ำยันสีแดงหรือชิ้นส่วนค้ำยันสีเขียวอีกชิ้นที่ใช้รูเดียวกันได้ (แม้ว่าจะแตกต่างกันทางคณิตศาสตร์ก็ตาม)

ระบบโซมมีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับการสร้างแบบจำลองโครงร่าง 1 มิติของวัตถุที่มีสมมาตรสูงในปริภูมิยูคลิด 3 และ 4 มิติ ที่โดดเด่นที่สุดในกลุ่มนี้ได้แก่ทรงหลายเหลี่ยมเพลโตทั้งห้าและทรงหลายเหลี่ยม 4 มิติที่เกี่ยวข้องกับเซลล์ 120และเซลล์ 600อย่างไรก็ตาม วัตถุทางคณิตศาสตร์อื่นๆ อีกมากมายก็สามารถสร้างแบบจำลองได้โดยใช้ระบบโซม รวมถึง:

• สามในสี่ของทรงหลายเหลี่ยมเคปเลอร์-ปวงโซต์
• สารประกอบทรงหลายเหลี่ยมปกติ
• รูปทรงหลายเหลี่ยม 4 มิติปกติและรูปทรงหลายเหลี่ยมประกอบบางชนิด
• การเรียงตัวเป็นดาวหลายดวงของทรงสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
• กลุ่มดาวหลายกลุ่มของทรงยี่สิบ หน้าปกติ
• โซโนเฮดราโดยเฉพาะอย่างยิ่งรอมบิก เอนเนียคอนทาเฮดรอนและรอมบิก ไตรอาคอนทาเฮดรอน
• ไฮเปอร์คิวบ์ที่มีมิติ 61 หรือน้อยกว่า
• รูปทรงหลายเหลี่ยมส่วนใหญ่ มีความสม่ำเสมอ (ข้อยกเว้นที่สำคัญคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่เกิดจากการใช้ การดำเนินการ แบบสนับ )
• โพลีโทป 4 มิติที่สม่ำเสมอจำนวนมาก
• รูปทรงหลายเหลี่ยมกึ่งปกติที่โดดเด่นของ Thorold Gosset ในมิติ 6, 7 และ 8
• ของแข็งจอห์นสันบางส่วน
• การกำหนดค่าเดซาร์กส์
• สองในของแข็งคาตาลัน
• ระบบรากแบบคลาสสิกและโดดเด่น
• ความเป็นสาม (จากทฤษฎีการโกหก )

การใช้งานของโซมไม่ได้จำกัดอยู่แค่ในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์เท่านั้น การใช้งานอื่นๆ ได้แก่ การศึกษาปัญหาทางวิศวกรรม โดยเฉพาะโครงสร้างเหล็กโครงถัก การศึกษา โครงสร้าง โมเลกุลท่อนาโนและไวรัส บางชนิด และการสร้างพื้นผิวฟิล์มสบู่

• ชุดอุปกรณ์ก่อสร้างอเนกประสงค์ฟรี  – ของเล่นก่อสร้างแบบโอเพนซอร์สที่พิมพ์ได้ด้วยเครื่องพิมพ์ 3 มิติ

• สตีฟ แบร์. คู่มือเบื้องต้นเกี่ยวกับโซม.สำนักพิมพ์โซมเวิร์คส์, 1970.
• เดวิด บูธ. หนังสือ The New Zome Primer in Fivefold Symmetry, บรรณาธิการโดย อิสต์วาน ฮาร์กิตไต. สำนักพิมพ์เวิลด์ ไซเอนซ์ พับลิชชิ่ง จำกัด, 1992.
• จอร์จ ฮาร์ท , การฉายภาพโพลีโทปสี่มิติสำหรับการสร้างโรงนารายงานการประชุมวิชาการนานาชาติครั้งที่ 6 ของสมาคมศิลปะ คณิตศาสตร์ และสถาปัตยกรรม มหาวิทยาลัยเท็กซัสเอแอนด์เอ็ม พฤษภาคม 2550
• George Hartและ Henri Picciotto. Zome Geometry: Hands-on Learning with Zome Models. Key Curriculum Press, 2001. ISBN 1-55953-385-4.
• Paul R. Hildebrandt และ Marc G. Pelletier (1985). "ชุดอุปกรณ์สร้างแบบจำลองทางเรขาคณิตและวิธีการผลิต"สิทธิบัตรสหรัฐอเมริกาเลขที่ 4,701,131
• Paul Hildebrandt. ประติมากรรมที่ได้รับแรงบันดาลใจจาก Zome. เอกสารประกอบการประชุม Bridges London: Connections between Mathematics, Art, and Music , Reza Sarhangi และ John Sharp (บรรณาธิการ). (2006) 335–342.
• David A. Richter. ผลลัพธ์สองประการเกี่ยวกับแบบจำลอง Zome ของเซลล์ 600 เซลล์. รายงานการประชุม Renaissance Banff: การเชื่อมโยงทางคณิตศาสตร์ระหว่างคณิตศาสตร์ ศิลปะ และดนตรี , Robert Moody และ Reza Sarhangi (บรรณาธิการ). (2005) 419–426.
• David A. Richter และ Scott Vorthmann. ควอเทอร์เนียนสีเขียว สมมาตรที่คงอยู่ และโซมทรงแปดเหลี่ยมในรายงานการประชุม Bridges London: Connections between Mathematics, Art, and Music , Reza Sarhangi และ John Sharp (บรรณาธิการ) (2006) 429–436
• Steven F. Rogers และ Paul R. Hildebrandt (2002) "การเชื่อมต่อสำหรับชุดอุปกรณ์สร้างแบบจำลองทางเรขาคณิต"สิทธิบัตรสหรัฐอเมริกาเลขที่ 6,840,699 B2

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับเกม Zome (ชุดตัวต่อ )

• หนังสือเรขาคณิต ZomeโดยGeorge W. HartและHenri Picciotto
• Zometool - เว็บไซต์ของผู้ผลิต
• ชมรมโซเมะญี่ปุ่น (ในภาษาญี่ปุ่น)
• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "โซเม" . แมทเวิลด์ .

ซอฟต์แวร์

• วีโซม