Adequalityเป็นเทคนิคที่พัฒนาโดยPierre de FermatในตำราMethodus ad disquirendam maximam et minimam ^{[ 1 ]} ( ตำรา ภาษาละตินที่เผยแพร่ในฝรั่งเศสราวปี ค.ศ. 1636) เพื่อคำนวณค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชันเส้นสัมผัสของเส้นโค้งพื้นที่จุดศูนย์กลางมวลการกระทำน้อยที่สุดและปัญหาอื่นๆในแคลคูลัส

ตามที่André Weil กล่าวไว้ Fermat "ได้แนะนำคำศัพท์ทางเทคนิคadaequalitas , adaequareฯลฯ ซึ่งเขาบอกว่ายืมมาจากDiophantusดังที่ Diophantus V.11 แสดงให้เห็น มันหมายถึงความเท่าเทียมกันโดยประมาณและนี่คือวิธีที่ Fermat อธิบายคำนี้ในงานเขียนชิ้นหลังๆ ของเขา" (Weil 1973) ^{[ 2 ]} Diophantus ได้บัญญัติคำว่า παρισότης ( parisotēs ) เพื่ออ้างถึงความเท่าเทียมกันโดยประมาณ^{[ 3 ]} Claude Gaspard Bachet de Méziriacแปลคำภาษากรีกของ Diophantus เป็นภาษาละตินว่าadaequalitas การ แปลภาษาฝรั่งเศสของ Paul Tanneryเกี่ยวกับบทความภาษาละตินของ Fermat เกี่ยวกับค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดใช้คำว่าadéquationและadégaler

แฟร์มาต์ใช้หลักความเท่าเทียมกันเป็นครั้งแรกเพื่อหาค่าสูงสุดของฟังก์ชัน จากนั้นจึงดัดแปลงหลักการดังกล่าวเพื่อหาเส้นสัมผัสของเส้นโค้ง

เพื่อหาค่าสูงสุดของพจน์${\displaystyle p(x)}$แฟร์มาต์ประมาณค่าให้เท่ากัน (กล่าวคือ เพียงพอ)${\displaystyle p(x)}$และ${\displaystyle p(x+e)}$และหลังจากทำการคำนวณทางพีชคณิต (เช่น การประมาณค่าด้วยอนุกรมเทย์เลอร์) เขาก็สามารถตัดตัวประกอบออกไปได้${\displaystyle e,}$จากนั้นให้ตัดทิ้งคำศัพท์ที่เหลือทั้งหมดที่เกี่ยวข้อง${\displaystyle e.}$

เพื่ออธิบายวิธีการโดยใช้ตัวอย่างของแฟร์มาต์เอง ลองพิจารณาปัญหาการหาค่าสูงสุดของ${\displaystyle p(x)=bx-x^{2}}$(ตามคำกล่าวของแฟร์มาต์ คือการแบ่งเส้นตรงที่มีความยาว)${\displaystyle b}$ณ จุดหนึ่ง${\displaystyle x}$โดยที่ผลคูณของสองส่วนที่ได้มาจะเป็นค่าสูงสุด^{[ 1 ]} ) เฟอร์มาต์ได้ปรับให้เหมาะสมแล้ว${\displaystyle bx-x^{2}}$กับ${\displaystyle b(x+e)-(x+e)^{2}=bx-x^{2}+be-2ex-e^{2}}$นั่นคือ (โดยใช้สัญลักษณ์${\displaystyle \backsim }$(เพื่อแสดงถึงความไม่เท่าเทียมกัน ซึ่งริเริ่มโดยพอล แทนเนอรี่ ):

${\displaystyle bx-x^{2}\backsim bx-x^{2}+be-2ex-e^{2}.}$

การยกเลิกเงื่อนไขและการหารด้วย${\displaystyle e}$แฟร์มาต์เดินทางมาถึง

${\displaystyle b\backsim 2x+e.}$

การลบเงื่อนไขที่มีอยู่${\displaystyle e}$แฟร์มาต์ได้ข้อสรุปที่ต้องการว่า ค่าสูงสุดเกิดขึ้นเมื่อ${\displaystyle x=b/2}$.

นอกจากนี้ แฟร์มาต์ยังใช้หลักการของเขาในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ของกฎการหักเหของแสงของสเนลล์โดยตรงจากหลักการที่ว่าแสงจะเดินทางด้วยเส้นทางที่เร็วที่สุด^{[ 4 ]}

วิธีการของแฟร์มาต์ถูกวิพากษ์วิจารณ์อย่างมากจากคนร่วมสมัย โดยเฉพาะเด ส์ การ์ตส์วิกเตอร์ แคทซ์เสนอว่าสาเหตุเป็นเพราะเดส์การ์ตส์ได้ค้นพบคณิตศาสตร์ใหม่เดียวกันนี้โดยอิสระ ซึ่งรู้จักกันในชื่อวิธีการปกติและเดส์การ์ตส์ก็ภูมิใจกับการค้นพบของเขามาก แคทซ์ยังตั้งข้อสังเกตอีกว่า ในขณะที่วิธีการของแฟร์มาต์ใกล้เคียงกับการพัฒนาในอนาคตของแคลคูลัส วิธีการของเดส์การ์ตส์กลับมีผลกระทบต่อการพัฒนาโดยตรงมากกว่า^{[ 5 ]}

ทั้งนิวตันและไลบ์นิซต่างอ้างถึงงานของแฟร์มาต์ว่าเป็นต้นกำเนิดของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์อย่างไรก็ตาม นักวิชาการสมัยใหม่ยังคงมีความเห็นไม่ตรงกันเกี่ยวกับความหมายที่แท้จริงของความเท่าเทียมกันของแฟร์มาต์ความเท่าเทียมกัน ของแฟร์มาต์ ได้รับการวิเคราะห์ในงานวิจัยทางวิชาการหลายชิ้น ในปี ค.ศ. 1896 พอล แทนเนอรีได้ตีพิมพ์คำแปลภาษาฝรั่งเศสของตำราภาษาละตินของแฟร์มาต์เกี่ยวกับค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด (Fermat, Œuvres, Vol. III, pp.  121–156) แทนเนอรีแปลคำศัพท์ของแฟร์มาต์ว่า “adégaler” และใช้คำว่า “adéquation” แทนเนอรียังได้แนะนำสัญลักษณ์อีกด้วย${\displaystyle \backsim }$สำหรับความไม่เท่าเทียมกันในสูตรทางคณิตศาสตร์

ไฮน์ริช วีไลต์เนอร์ (1929) ^{[ 6 ]}เขียนว่า:

แฟร์มาต์แทนที่Aด้วยA + Eจากนั้นเขากำหนดให้นิพจน์ใหม่มีค่าใกล้เคียง ( angenähert gleich ) กับนิพจน์เดิม ตัดพจน์ที่เท่ากันทั้งสองข้างออก และหารด้วยกำลังสูงสุดที่เป็นไปได้ของEจากนั้นเขาตัดพจน์ทั้งหมดที่มีE ออก และกำหนดให้พจน์ที่เหลืออยู่มีค่าเท่ากัน จากนั้นจึงได้ค่า Aที่ต้องการ ไม่มีการกล่าวถึง ว่าEควรมีค่าน้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ที่ใด และอย่างดีที่สุดก็แสดงออกมาด้วยคำว่า "adaequalitas"

(ไวเลทเนอร์ใช้สัญลักษณ์${\displaystyle \scriptstyle \sim }$.)

Max Miller (1934) ^{[ 7 ]}เขียนว่า:

ดังนั้น เราควรนำทั้งสองคำซึ่งแสดงถึงค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดมาประมาณให้เท่ากัน ( näherungsweise gleich ) ดังที่ดิโอแฟนตัสกล่าวไว้

(มิลเลอร์ใช้สัญลักษณ์)${\displaystyle \scriptstyle \approx }$.)

Jean Itard (1948) ^{[ 8 ]}เขียนว่า:

เป็นที่ทราบกันดีว่าวลี "adégaler" นั้น แฟร์มาต์นำมาจากดิโอแฟนตัส แปลโดยไซลันเดอร์และบาเชต์ ซึ่งหมายถึงความเท่าเทียมกันโดยประมาณ ( égalité approximative )

(อิตาร์ดใช้สัญลักษณ์${\displaystyle \scriptstyle \backsim }$.)

โจเซฟ เอเรนฟรีด ฮอฟมันน์ (1963) ^{[ 9 ]}เขียนว่า:

แฟร์มาต์เลือกปริมาณhซึ่งถือว่าเล็กพอสมควร และกำหนดให้f ( x +  h )เท่ากับf(x) โดยประมาณ( ungefähr gleich ) ศัพท์เฉพาะของเขาคือadaequare 

(ฮอฟมันน์ใช้สัญลักษณ์)${\displaystyle \scriptstyle \approx }$.)

Peer Strømholm (1968) ^{[ 10 ]}เขียนว่า:

พื้นฐานของแนวทางของแฟร์มาต์คือการเปรียบเทียบนิพจน์สองนิพจน์ซึ่งแม้จะมีรูปแบบเดียวกัน แต่ก็ไม่เท่ากันอย่างแท้จริงเขาเรียกกระบวนการส่วนนี้ว่า " comparare par adaequalitatem " หรือ " comparer per adaequalitatem " ซึ่งหมายความว่าความเท่ากันอย่างเคร่งครัดระหว่างสองข้างของ "สมการ" จะถูกทำลายลงโดยการเปลี่ยนแปลงตัวแปรเพียงเล็กน้อย

${\displaystyle \scriptstyle f(A){\sim }f(A+E)}$.

ผมเชื่อว่านี่คือความหมายที่แท้จริงของการที่เขาใช้คำว่า πἀρισον ของดิโอแฟนทอส โดยเน้นถึงความเล็กน้อยของความแตกต่าง การแปลคำว่า 'adaequalitas' ตามปกติมักจะเป็น " ความเท่าเทียมกันโดยประมาณ " แต่ผมชอบคำว่า " ความเท่าเทียมกันเทียม " มากกว่า เพื่อสื่อถึงความคิดของแฟร์มาต์ในจุดนี้

เขายังตั้งข้อสังเกตเพิ่มเติมว่า "ใน M1 (วิธีที่ 1) ไม่เคยมีคำถามใดๆ เกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงEที่เท่ากับศูนย์ คำที่แฟร์มาต์ใช้เพื่อแสดงกระบวนการระงับพจน์ที่มีEคือ 'elido', 'deleo' และ 'expungo' และในภาษาฝรั่งเศสคือ 'i'efface' และ 'i'ôte' เราแทบไม่อยากเชื่อเลยว่าคนที่มีสติสัมปชัญญะที่ต้องการแสดงความหมายของตนและกำลังค้นหาคำ จะต้องใช้วิธีการที่ซับซ้อนเช่นนี้ในการถ่ายทอดข้อเท็จจริงง่ายๆ ว่าพจน์หายไปเพราะEเป็นศูนย์ (หน้า 51) Claus Jensen (1969) ^{[ 11 ]}เขียนว่า:

ยิ่งไปกว่านั้น ในการประยุกต์ใช้แนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกัน (adégalité ) ซึ่งเป็นพื้นฐานของวิธีการทั่วไปของแฟร์มาต์ในการสร้างเส้นสัมผัส และหมายถึงการเปรียบเทียบขนาดสองค่าราวกับว่าเท่ากัน แม้ว่าในความเป็นจริงจะไม่เท่ากันก็ตาม ("tamquam essent aequalia, licet revera aequalia non sint") นั้น ฉันจะใช้สัญลักษณ์ที่นิยมใช้กันในปัจจุบันมากกว่า${\displaystyle \scriptstyle \approx }$.

ข้อความภาษาละตินมาจากฉบับปี 1891 ของ Tannery ของ Fermat เล่ม 1 หน้า 140 Michael Sean Mahoney (1971) ^{[ 12 ]}เขียนว่า:

วิธีการหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของแฟร์มาต์ ซึ่งสามารถนำไปใช้กับพหุนามP(x) ใดๆ ได้ อย่าง ชัดเจน นั้น เดิมทีตั้งอยู่บนพื้นฐานพีชคณิตแบบจำกัด เท่านั้น โดยตั้ง สมมติฐานแบบย้อนแย้งว่ารากสองตัวมีค่าเท่ากัน เพื่อที่จะกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างรากเหล่านั้นกับสัมประสิทธิ์ตัวใดตัวหนึ่งของพหุนาม โดยใช้ทฤษฎีสมการของเวียเต้ ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ที่เป็นแบบทั่วไปอย่างสมบูรณ์ จากนั้นความสัมพันธ์นี้จะนำไปสู่คำตอบค่าสุดขั้วเมื่อแฟร์มาต์ลบสมมติฐานแบบย้อนแย้ง ออก และกำหนดให้รากทั้งสองเท่ากัน แฟร์มาต์ได้ยืมคำศัพท์จากดิโอแฟนตัสและเรียกความเท่าเทียมกันแบบย้อนแย้ง นี้ว่า 'adequality'

(มาโฮนีย์ใช้สัญลักษณ์)${\displaystyle \scriptstyle \approx }$.) ในหน้า 164 ตอนท้ายของเชิงอรรถที่ 46 Mahoney ตั้งข้อสังเกตว่าความหมายหนึ่งของ adequality คือความเท่าเทียมกันโดยประมาณหรือความเท่าเทียมกันในกรณีจำกัด Charles Henry Edwards, Jr. (1979) ^{[ 13 ]}เขียนว่า:

ตัวอย่างเช่น เพื่อกำหนดวิธีการแบ่งช่วงความยาวออกเป็นส่วนย่อยๆ${\displaystyle \scriptstyle b}$แบ่งออกเป็นสองส่วน${\displaystyle \scriptstyle x}$และ${\displaystyle \scriptstyle bx}$ผลิตภัณฑ์ใด${\displaystyle \scriptstyle x(bx)=bx-x^{2}}$คือการหาค่าสูงสุด นั่นคือการหาสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีเส้นรอบรูปเท่ากับ${\displaystyle \scriptstyle 2b}$ที่มีพื้นที่สูงสุด เขา [แฟร์มาต์] ดำเนินการดังต่อไปนี้ ขั้นแรกเขาแทนที่${\displaystyle \scriptstyle x+e}$

(เขาใช้A , Eแทนx , e ) สำหรับตัวแปรที่ไม่ทราบค่าxจากนั้นจึงเขียน"สมการเสมือน" ต่อไปนี้ เพื่อเปรียบเทียบผลลัพธ์กับนิพจน์เดิม:

${\displaystyle \scriptstyle b(x+e)-(x+e)^{2}=bx+be-x^{2}-2xe-e^{2}\;\sim \;bx-x^{2}.}$

หลังจากตัดพจน์บางส่วนออกแล้ว เขาหารด้วยeเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ดังนี้${\displaystyle \scriptstyle b-2\,xe\;\sim \;0.}$ในที่สุดเขาก็ตัดพจน์ที่เหลือที่มีตัวอักษรe ออกไป เปลี่ยนความเท่าเทียมกันเทียม ให้กลาย เป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง${\displaystyle \scriptstyle x={\frac {b}{2}}}$ซึ่งให้ค่าของxซึ่งทำให้${\displaystyle \scriptstyle bx-x^{2}}$สูงสุด น่าเสียดายที่แฟร์มาต์ไม่เคยอธิบายพื้นฐานทางตรรกะของวิธีการนี้อย่างชัดเจนหรือครบถ้วนเพียงพอที่จะป้องกันความขัดแย้งระหว่างนักประวัติศาสตร์เกี่ยวกับความหมายหรือเจตนาที่แท้จริงของเขา"

เคิร์สติ แอนเดอร์เซน (1980) ^{[ 14 ]}เขียนว่า:

ค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดทั้งสองค่าจะถูกทำให้"เท่ากัน"ซึ่งหมายความว่าใกล้เคียงกันมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้

(แอนเดอร์เซนใช้สัญลักษณ์)${\displaystyle \scriptstyle \approx }$.) เฮอร์เบิร์ต เบรเกอร์ (1994) ^{[ 15 ]}เขียนว่า:

ผมขอเสนอสมมติฐานของผมว่าแฟร์มาต์ใช้คำว่า "adaequare" ในความหมายว่า"ทำให้เท่ากัน" ... ในบริบททางคณิตศาสตร์ ความแตกต่างเพียงอย่างเดียวระหว่าง "aequare" และ "adaequare" ดูเหมือนจะเป็นว่าคำหลังเน้นย้ำถึงข้อเท็จจริงที่ว่าความเท่าเทียมกันนั้นเกิดขึ้นแล้ว

(หน้า 197f.) จอห์น สติลเวลล์ (สติลเวลล์ 2006 หน้า 91) เขียนไว้ว่า:

แฟร์มาต์นำเสนอแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกัน (adequality) ในช่วงทศวรรษ 1630 แต่เขาคิดล้ำหน้ากว่ายุคสมัยของเขา ผู้สืบทอดของเขาไม่เต็มใจที่จะละทิ้งความสะดวกสบายของสมการธรรมดา โดยเลือกที่จะใช้ความเท่าเทียมกันอย่างหลวมๆ มากกว่าที่จะใช้ความเท่าเทียมกันอย่างแม่นยำ แนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันได้รับการฟื้นฟูอีกครั้งในศตวรรษที่ 20 ในสิ่งที่เรียกว่าการวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐาน (non-standard analysis )

Enrico Giusti (2009) ^{[ 16 ]}อ้างถึงจดหมายของ Fermat ถึง Marin Mersenneซึ่ง Fermat เขียนว่า:

Cette comparaison par adégalité produit deux termes inégaux qui enfin produisent l'égalité (selon ma méthode) qui nous donne la solution de la question" ("การเปรียบเทียบโดยความพอเพียงทำให้เกิดเงื่อนไขที่ไม่เท่ากันสองคำ ซึ่งสุดท้ายก็ทำให้เกิดความเท่าเทียมกัน (ตามวิธีการของฉัน) ซึ่งช่วยให้เราแก้ปัญหาได้")..

จิอุสติระบุในเชิงอรรถว่า ดูเหมือนว่าเบรเกอร์จะไม่ได้สังเกตเห็นจดหมายฉบับนี้

Klaus Barner (2011) ^{[ 17 ]}ยืนยันว่า Fermat ใช้คำภาษาละตินสองคำที่แตกต่างกัน (aequabitur และ adaequabitur) เพื่อแทนที่เครื่องหมายเท่ากับที่ใช้กันทั่วไปในปัจจุบันaequabiturเมื่อสมการเกี่ยวข้องกับเอกลักษณ์ที่ถูกต้องระหว่างค่าคงที่สองค่า สูตรที่ถูกต้องสากล (พิสูจน์แล้ว) หรือสมการแบบมีเงื่อนไข อย่างไรก็ตาม adaequabiturเมื่อสมการอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสองตัวที่ไม่เป็นอิสระต่อกัน (และสมการนั้นไม่ใช่สูตรที่ถูกต้อง) ในหน้า 36 Barner เขียนว่า: "ทำไม Fermat จึงทำซ้ำขั้นตอนที่ไม่สอดคล้องกันของเขาสำหรับตัวอย่างทั้งหมดของวิธีการสัมผัส? ทำไมเขาไม่เคยพูดถึงเส้นตัดซึ่งเขาใช้จริง ๆ? ฉันไม่รู้"

Katz, Schaps, Shnider (2013) ^{[ 18 ]}โต้แย้งว่าการประยุกต์ใช้เทคนิคของ Fermat กับเส้นโค้งเหนือธรรมชาติ เช่น ไซคลอยด์ แสดงให้เห็นว่าเทคนิคความเท่าเทียมกันของ Fermat ก้าวข้ามอัลกอริทึมพีชคณิตล้วนๆ และตรงกันข้ามกับการตีความของ Breger คำศัพท์ทางเทคนิคparisotesที่ Diophantus ใช้และadaequalitasที่ Fermat ใช้ต่างก็หมายถึง "ความเท่าเทียมกันโดยประมาณ" พวกเขาพัฒนารูปแบบที่เป็นทางการของเทคนิคความเท่าเทียมกันของ Fermat ในคณิตศาสตร์สมัยใหม่เป็นฟังก์ชันส่วนมาตรฐานซึ่งปัดเศษจำนวนไฮเปอร์เรียล จำกัด ให้เป็นจำนวนจริง ที่ใกล้ ที่สุด

• หลักการของแฟร์มาต์
• กฎแห่งความเป็นเนื้อเดียวกันเชิงอภิปรัชญา

• Breger, Herbert (1994). "ปริศนาของ adaequare: การพิสูจน์ความถูกต้องของ fermat". Archive for History of Exact Sciences . 46 (3): 193– 219. doi : 10.1007/BF01686277 . S2CID 119440472 . 
• Edwards, CH (1979). พัฒนาการทางประวัติศาสตร์ ของแคลคูลัสdoi : 10.1007/978-1-4612-6230-5 . ISBN 978-0-387-94313-8.
• Giusti, E. (2009) "Les méthodes des maxima et minima de Fermat", แอนน์ แฟกซ์. วิทยาศาสตร์ ตูลูสคณิตศาสตร์ (6) 18, ฟาสซิคูลสเปเชียล, 59–85.
• Grabiner, Judith V. (กันยายน 1983), "แนวคิดที่เปลี่ยนแปลงไปของการเปลี่ยนแปลง: อนุพันธ์จาก Fermat ถึง Weierstrass" , Mathematics Magazine , 56 (4): 195– 206, doi : 10.2307/2689807 , JSTOR 2689807 
• Katz, V. (2008), ประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์: บทนำ , Addison Wesley
• Stillwell, J.(2006) ความปรารถนาในสิ่งที่เป็นไปไม่ได้ ความจริงอันน่าประหลาดใจของคณิตศาสตร์หน้า 91, AK Peters, Ltd. , Wellesley, MA.
• Weil, A. , บทวิจารณ์หนังสือ: เส้นทางอาชีพทางคณิตศาสตร์ของ Pierre de Fermat. Bull. Amer. Math. Soc. 79 (1973), ฉบับที่ 6, 1138–1149.