การปรับให้เรียบ

ในทางสถิติและการประมวลผลภาพ การปรับข้อมูลให้เรียบ (smoothing data set ) คือการสร้างฟังก์ชัน ประมาณค่า ที่พยายามจับรูปแบบ สำคัญ ในข้อมูล ในขณะที่ละทิ้งสัญญาณรบกวนหรือโครงสร้างขนาดเล็ก/ปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้นอย่างรวดเร็วอื่นๆ ในการปรับให้เรียบ จุดข้อมูลของสัญญาณจะถูกปรับเปลี่ยน โดยจุดที่สูงกว่าจุดที่อยู่ติดกัน (ซึ่งอาจเป็นเพราะสัญญาณรบกวน) จะลดลง และจุดที่ต่ำกว่าจุดที่อยู่ติดกันจะเพิ่มขึ้น ทำให้ได้สัญญาณที่เรียบขึ้น
การลดสัญญาณรบกวนด้วยการปรับให้เรียบอาจช่วยในการวิเคราะห์ข้อมูลได้ในสองด้านที่สำคัญ:
- ช่วยเปิดเผยข้อมูลที่มีความหมายมากขึ้นจากข้อมูลพื้นฐาน เช่น แนวโน้ม[ 1 ]
- จัดทำการวิเคราะห์ที่ทั้งยืดหยุ่นและแข็งแกร่ง[ 2 ]
มีการใช้ อัลกอริธึมที่แตกต่างกันมากมายในการปรับให้เรียบ โดยทั่วไปมักใช้การแบ่งกลุ่ม เคอร์เนลและการถดถอยแบบถ่วงน้ำหนักเฉพาะที่[ 1 ]
เมื่อเปรียบเทียบกับการปรับเส้นโค้งให้เหมาะสม
การปรับให้เรียบ (Smoothing) อาจแตกต่างจากแนวคิดที่เกี่ยวข้องและทับซ้อนกันบางส่วนของการปรับเส้นโค้ง (Curve fitting)ได้ในหลายๆ ด้าน ดังนี้:
- การปรับเส้นโค้งให้เข้ากับข้อมูลมักเกี่ยวข้องกับการใช้รูปแบบฟังก์ชันที่ชัดเจนสำหรับผลลัพธ์ ในขณะที่ผลลัพธ์โดยตรงจากการปรับให้เรียบคือค่าที่ "เรียบ" แล้ว โดยไม่มีการใช้รูปแบบฟังก์ชันในภายหลัง หากมีอยู่
- จุดประสงค์ของการปรับให้เรียบคือการให้ภาพรวมของการเปลี่ยนแปลงค่าที่ค่อนข้างช้า โดยไม่เน้นการจับคู่ค่าข้อมูลอย่างแม่นยำมากนัก ในขณะที่การปรับเส้นโค้งจะเน้นที่การจับคู่ให้ใกล้เคียงที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้
- วิธีการปรับให้เรียบมักจะมีพารามิเตอร์ปรับแต่งที่เกี่ยวข้อง ซึ่งใช้ในการควบคุมระดับการปรับให้เรียบ ส่วนการปรับเส้นโค้งให้เข้ากับข้อมูลจะปรับพารามิเตอร์จำนวนมากของฟังก์ชันเพื่อให้ได้ความเหมาะสมที่ 'ดีที่สุด'
ตัวปรับเรียบเชิงเส้น
ในกรณีที่ค่าที่ปรับให้เรียบแล้วสามารถเขียนได้ในรูปการแปลงเชิงเส้นของค่าที่สังเกตได้ การดำเนินการปรับให้เรียบนั้นเรียกว่า ตัวปรับให้เรียบเชิงเส้น (linear smoother ) และเมทริกซ์ที่แสดงถึงการแปลงนั้นเรียกว่า เมทริกซ์ปรับให้เรียบ (smoother matrix ) หรือเมทริกซ์หมวก (hat matrix )
การดำเนินการแปลงเมทริกซ์ดังกล่าวเรียกว่าการคอนโวลูชันดังนั้นเมทริกซ์นั้นจึงเรียกว่า เมทริกซ์คอนโวลูชัน หรือเคอร์เนลคอนโวลูชัน ในกรณีของชุดข้อมูลจุดอย่างง่าย (ไม่ใช่ภาพหลายมิติ) เคอร์เนลคอนโวลูชันจะเป็น เวกเตอร์หนึ่งมิติ
อัลกอริทึม
หนึ่งในอัลกอริทึมที่พบบ่อยที่สุดคือ " ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ " ซึ่งมักใช้เพื่อพยายามจับแนวโน้มที่สำคัญในการสำรวจทางสถิติ ซ้ำๆ ในการประมวลผลภาพและคอมพิวเตอร์วิชั่นแนวคิดการปรับให้เรียบจะถูกนำมาใช้ใน การแสดง พื้นที่มาตราส่วน อัลกอริทึมการปรับให้เรียบที่ง่ายที่สุดคือ "การปรับให้เรียบแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้า" หรือ "การปรับให้เรียบด้วยค่าเฉลี่ยแบบเลื่อนที่ไม่ถ่วงน้ำหนัก" วิธีนี้จะแทนที่แต่ละจุดในสัญญาณด้วยค่าเฉลี่ยของจุดที่อยู่ติดกัน "m" จุด โดยที่ "m" เป็นจำนวนเต็มบวกที่เรียกว่า "ความกว้างของการปรับให้เรียบ" โดยปกติ m จะเป็นเลขคี่การปรับให้เรียบแบบสามเหลี่ยมคล้ายกับ การปรับ ให้เรียบแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้ายกเว้นว่ามันใช้ฟังก์ชันการปรับให้เรียบแบบถ่วงน้ำหนัก[ 3 ]
ประเภทการปรับให้เรียบและตัวกรองเฉพาะบางประเภท พร้อมด้วยการใช้งาน ข้อดี และข้อเสีย มีดังนี้:
| อัลกอริทึม | ภาพรวมและการใช้งาน | ข้อดี | ข้อเสีย |
|---|---|---|---|
| การปรับเรียบแบบเพิ่ม | ใช้เพื่อปรับข้อมูลเชิงหมวดหมู่ให้ เรียบเนียนขึ้น | ||
| ตัวกรองบัตเตอร์เวิร์ธ | การลดทอนสัญญาณช้ากว่า ตัวกรองแบบ Chebyshev Type I/Type II หรือตัวกรองแบบวงรี |
|
|
| ตัวกรองเชบิเชฟ | มีลักษณะการลดทอน ความถี่ที่ชันกว่า และมีคลื่นรบกวนในย่านความถี่ผ่าน (แบบที่ 1) หรือ คลื่นรบกวน ในย่านความถี่หยุด (แบบที่ 2) มากกว่า ฟิลเตอร์ แบบButterworth |
|
|
| ตัวกรองดิจิทัล | ใช้กับสัญญาณสุ่มตัวอย่างแบบเวลาไม่ต่อเนื่องเพื่อลดหรือเพิ่มความชัดเจนในบางแง่มุมของสัญญาณนั้น | ||
| ตัวกรองวงรี | |||
| การปรับเรียบแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล |
| ||
| ตัวกรองคาลมาน |
| ค่าประมาณของตัวแปรที่ไม่ทราบค่าที่ได้จากวิธีนี้ มักจะมีความแม่นยำมากกว่าค่าประมาณที่ได้จากการวัดเพียงครั้งเดียว เมื่อเงื่อนไขต่างๆ เป็นไปตามที่กำหนด | ข้อสมมติฐานนี้จึงจำเป็นต้องมีความรู้เกี่ยวกับวิธีการทำงานของระบบที่สร้างจุดข้อมูลเมื่อเวลาผ่านไป และวิธีการได้มาซึ่งการวัดค่าต่างๆ |
| ตัวปรับเรียบเคอร์เนล |
| ฟังก์ชันที่ประมาณค่าได้นั้นมีความเรียบ และระดับความเรียบนั้นถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์เพียงตัวเดียว | |
| ตัวกรอง Kolmogorov–Zurbenko |
|
| |
| การปรับเรียบแบบลาปลาเซียน | อัลกอริทึมสำหรับปรับตาข่ายรูปหลายเหลี่ยมให้ เรียบ [ 5 ] [ 6 ] | ||
| การถมดินเฉพาะที่หรือที่รู้จักกันในชื่อ "loess" หรือ "lowess" | เป็นการขยายแนวคิดของ การหา ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่และการถดถอยพหุนาม เป็นการขยายแนวคิดของตัวกรองการปรับเรียบ แบบSavitzky–Golayไปใช้กับกรณีการสุ่มตัวอย่างที่ไม่เป็นไปตามแบบแผน |
|
|
| ตัวกรองความถี่ต่ำ |
| ||
| ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ |
|
| |
| อัลกอริธึม Ramer–Douglas–Peucker | ลดจำนวนจุดในเส้นโค้งที่ประกอบด้วยส่วนของเส้นตรงให้เหลือเพียงเส้นโค้งที่คล้ายกันแต่มีจำนวนจุดน้อยลง | ||
| ซาวิทซกี้-โกเลย์ ฟิลเตอร์ปรับเรียบ | โดยอิงจากการปรับพหุนามให้เข้ากับส่วนต่างๆ ของข้อมูลด้วยวิธีหาค่ากำลังสองน้อยที่สุด ซึ่งเป็นกรณีเฉพาะของการถดถอยเฉพาะที่ (Local regression หรือ "loess") เมื่อตัวอย่างข้อมูลมีความสม่ำเสมอ | ||
| สปลายเรียบ | |||
| วิธีการกริดแบบยืด |
|
ดูเพิ่มเติม
- การคอนโวลูชัน
- การปรับเส้นโค้งให้เหมาะสม
- การแบ่งส่วนย่อย
- การปรับให้เรียบโดยคงขอบไว้
- การกรอง (การประมวลผลสัญญาณ)
- การตัดกราฟในคอมพิวเตอร์วิชั่น
- การแทรกสอด
- การปรับเรียบเชิงตัวเลขและการหาอนุพันธ์
- พื้นที่มาตราส่วน
- การปรับเรียบแผนภาพกระจาย
- สปลายเรียบ
- ความเรียบเนียน
- การประมวลผลสัญญาณทางสถิติ
- พื้นผิวแบบแบ่งย่อยใช้ในกราฟิกคอมพิวเตอร์
- ฟังก์ชันหน้าต่าง
อ่านเพิ่มเติม
- Hastie, TJ และ Tibshirani, RJ (1990), แบบจำลองเสริมทั่วไป , นิวยอร์ก: Chapman and Hall.