ในทัศนศาสตร์ของผลึก วงรีดัชนี( หรือที่รู้จักกันในชื่ออินดิเคทริกซ์เชิง แสง  ^{[ 1 ]}หรือบางครั้งเรียกว่า วงรี ไดอิ เล็กทริก^{[ 2 ]} ) เป็นโครงสร้างทางเรขาคณิตที่แสดงดัชนีการหักเห และโพลาไรเซชันของแสงที่เกี่ยวข้องอย่างกระชับ โดยเป็นฟังก์ชันของการวางแนวของหน้าคลื่นในผลึกที่มีการหักเหสองเท่า (โดยที่ผลึกนั้นไม่มีการหมุนเชิงแสง ) เมื่อวงรีนี้ถูกตัดผ่านจุดศูนย์กลางด้วยระนาบที่ขนานกับหน้าคลื่น ส่วนตัดที่ได้ (เรียกว่าส่วนกลางหรือส่วนเส้นผ่านศูนย์กลาง)จะเป็นวงรีที่มีแกนกึ่งหลักและแกนกึ่งรองมีความยาวเท่ากับดัชนีการหักเหสองค่าสำหรับการวางแนวของหน้าคลื่นนั้น และมีทิศทางของโพลาไรเซชันที่เกี่ยวข้องตามที่แสดงโดย^เวกเตอร์การกระจัดทางไฟฟ้าD [ ^{3 ]}แกนกึ่งหลักของวงรีดัชนีเรียกว่าดัชนีการหักเหหลัก^{[ 4 ]}  

จากขั้นตอนการแบ่งส่วน จะเห็นได้ว่าโดยทั่วไปแล้วแกนกึ่งหลักแต่ละแกนของทรงรีจะไม่ใช่ดัชนีหักเหสำหรับการแพร่กระจายในทิศทางของแกนกึ่งนั้น แต่จะเป็นดัชนีหักเหสำหรับการแพร่กระจายในทิศทางตั้งฉากกับแกนกึ่งนั้น โดยที่ เวกเตอร์ Dขนานกับแกนกึ่งนั้น (และขนานกับหน้าคลื่น) ดังนั้นทิศทางการแพร่กระจาย (ตั้งฉากกับหน้าคลื่น) ที่ดัชนีหักเหหลักแต่ละค่าใช้ได้ จะอยู่ในระนาบที่ตั้งฉากกับแกนกึ่งหลักที่เกี่ยวข้อง

ทรงรีดัชนีไม่ควรสับสนกับพื้นผิวดัชนี ซึ่งเวกเตอร์รัศมี (จากจุดกำเนิด) ในทิศทางใด ๆ ก็คือดัชนีหักเหสำหรับการแพร่กระจายในทิศทางนั้น สำหรับตัวกลางที่มีการหักเหสองทิศทาง พื้นผิวดัชนีคือพื้นผิวสองแผ่นที่มีเวกเตอร์รัศมีสองตัวในทิศทางใด ๆ มีความยาวเท่ากับกึ่งแกนเอกและกึ่งแกนรองของภาคตัดขวางเส้นผ่านศูนย์กลางของทรงรีดัชนีโดยระนาบที่ตั้งฉากกับทิศทางนั้น

ถ้าเราปล่อยให้${\displaystyle n_{\text{a}},n_{\text{b}},n_{\text{c}}}$กำหนดให้แกนกึ่งหลักของทรงรีดัชนีเป็นแกนกึ่งหลัก และเลือกใช้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนที่แกนกึ่งหลักเหล่านี้อยู่ใน...${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$, และ${\displaystyle z}$ในทิศทางต่างๆ สมการของทรงรีดัชนีคือ

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{n_{\text{a}}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{n_{\text{b}}^{2}}}+{\frac {z^{2}}{n_{\text{c}}^{2}}}=1\,.}$

1

ถ้าทรงรีดัชนีเป็นแบบสามแกน (หมายความว่าแกนกึ่งหลักทั้งหมดไม่เท่ากัน) จะมีระนาบตัดสองระนาบที่ส่วนเส้นผ่านศูนย์กลางลดลงเหลือเป็นวงกลม สำหรับหน้าคลื่นที่ขนานกับระนาบเหล่านี้ โพลาไรเซชันทั้งหมดจะได้รับอนุญาตและมีดัชนีหักเหเท่ากัน ดังนั้นความเร็วคลื่นจึงเท่ากัน ทิศทางที่ตั้งฉากกับระนาบทั้งสองนี้—นั่นคือ ทิศทางของความเร็วคลื่นเดียวสำหรับโพลาไรเซชันทั้งหมด—เรียกว่าแกนไบนอร์มอล ^{[ 5 ]}หรือแกนออปติก [ ^{6 ] และ}ตัวกลางจึงเรียกว่าเป็นแบบสองแกน [ ^{หมายเหตุ 1 ]}ดังนั้น ในทางตรงกันข้าม ถ้าทรงรีดัชนีของตัวกลางเป็นแบบสามแกน ตัวกลางนั้นเองเรียกว่า เป็นแบบ สองแกน

ถ้าแกนกึ่งหลักสองแกนของทรงรีดัชนีเท่ากัน (ในกรณีนี้ความยาวร่วมของแกนทั้งสองเรียกว่า ดัชนี ปกติและความยาวที่สามเรียกว่า ดัชนี พิเศษ ) ทรงรีจะลดลงเหลือทรงรี (ทรงรีหมุนรอบแกน) และแกนแสงทั้งสองจะรวมกัน ทำให้ตัวกลางนั้นเรียกว่า ตัวกลางแบบ แกนเดียว^{[หมายเหตุ 2 ]} เมื่อทรงรีดัชนีลดลงเหลือทรงรี พื้นผิวดัชนีสองแผ่นที่สร้างขึ้นจากนั้นจะลดลงเหลือทรงกลมและทรงรีที่สัมผัสกันที่ปลายตรงข้ามของแกนร่วม ซึ่งขนานกับแกนของทรงรีดัชนี^{[ 7 ]}แต่แกนหลักของทรงรีดัชนีทรงรีและแผ่นทรงรีของพื้นผิวดัชนีจะสลับกัน ตัวอย่างเช่น ในกรณีที่รู้จักกันดีของแคลไซต์ทรงรีดัชนีเป็นทรงรีแบนดังนั้นระนาบหนึ่งของพื้นผิวดัชนีจึงเป็นทรงกลมที่สัมผัสกับทรงรีแบนนั้นที่เส้นศูนย์สูตร ในขณะที่ระนาบอีกระนาบหนึ่งของพื้นผิวดัชนีเป็นทรงรียาวที่สัมผัสกับทรงกลมที่ขั้ว โดยมีรัศมีเส้นศูนย์สูตร (ดัชนีพิเศษ) เท่ากับรัศมีขั้วของทรงรีดัชนีทรงรีแบน^{[หมายเหตุ 3 ]}

ถ้าแกนกึ่งหลักทั้งสามของวงรีดัชนีเท่ากัน วงรีดัชนีจะลดลงเหลือทรงกลม: ส่วนเส้นผ่านศูนย์กลางทั้งหมดของวงรีดัชนีเป็นวงกลม ดังนั้นจึงอนุญาตให้โพลาไรเซชันทั้งหมดเกิดขึ้นได้ในทุกทิศทางการแพร่กระจาย โดยมีดัชนีหักเหเท่ากันในทุกทิศทาง และพื้นผิวดัชนีจะรวมเข้ากับวงรีดัชนี (ทรงกลม) กล่าวโดยสรุปคือ สื่อนั้นเป็นไอโซ โทรปิก ทางแสงผลึกทรงลูกบาศก์แสดงคุณสมบัตินี้^{[ 8 ]}เช่นเดียวกับสื่อโปร่งใสที่ไม่มีรูปร่าง เช่น แก้วและน้ำ^{[ 9 ]}

พื้นผิวที่คล้ายกับทรงรีดัชนีสามารถกำหนดได้สำหรับความเร็วคลื่น (ตั้งฉากกับหน้าคลื่น) แทนที่จะเป็นดัชนีหักเห ให้nแทนความยาวของเวกเตอร์รัศมีจากจุดกำเนิดไปยังจุดทั่วไปบนทรงรีดัชนี จากนั้นหารสมการ ( 1 ) ด้วยn²จะ^ได้

${\displaystyle {\frac {\cos ^{2}\xi }{n_{\text{a}}^{2}}}+{\frac {\cos ^{2}\eta }{n_{\text{b}}^{2}}}+{\frac {\cos ^{2}\zeta }{n_{\text{c}}^{2}}}={\frac {1}{n^{2}}}\,,}$

2

ที่ไหน${\displaystyle \cos \xi }$,${\displaystyle \cos \eta }$, และ${\displaystyle \cos \zeta }$คือค่าโคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์รัศมี แต่nยังเป็นดัชนีหักเหสำหรับหน้าคลื่นที่ขนานกับส่วนตัดเส้นผ่านศูนย์กลางซึ่งเวกเตอร์รัศมีเป็นแกนกึ่งหลักหรือแกนกึ่งรอง หากหน้าคลื่นนั้นมีความเร็ว${\displaystyle v}$เรามี${\displaystyle n=c_{0}/v}$, ที่ไหน${\displaystyle c_{0}}$คือความเร็วแสงในสุญญากาศ^{[หมายเหตุ 4 ]}สำหรับแกนกึ่งหลักของทรงรีดัชนี ซึ่งnมีค่าดังนี้${\displaystyle n_{\text{a}},n_{\text{b,}}n_{\text{c}},}$อนุญาต${\displaystyle v}$กำหนดค่าเป็นa, b, cตามลำดับ เพื่อให้${\displaystyle n_{\text{a}}=c_{0}/a,}$ ${\displaystyle n_{\text{b}}=c_{0}/b,}$และ${\displaystyle n_{\text{c}}=c_{0}/c}$ทำการแทนที่เหล่านี้ใน ( 2 ) และตัดตัวประกอบร่วมออก${\displaystyle c_{0}^{2}}$เราจึงได้รับ

${\displaystyle v^{2}=a^{2}\cos ^{2}\xi +b^{2}\cos ^{2}\eta +c^{2}\cos ^{2}\zeta \,.}$

3

สมการนี้ได้รับการพัฒนาโดยAugustin-Jean Fresnelในเดือนมกราคม พ.ศ. 2365 ^{[ 10 ]}ถ้า${\displaystyle v}$โดยที่ คือความยาวของเวกเตอร์รัศมี สมการนี้อธิบายพื้นผิวที่มีคุณสมบัติว่า กึ่งแกนเอกและกึ่งแกนรองของส่วนตัดเส้นผ่านศูนย์กลางใดๆ มีความยาวเท่ากับความเร็วปกติของคลื่นหน้าขนานกับส่วนตัดนั้น และทิศทางของสิ่งที่เฟรสเนลเรียกว่า "การสั่น" (ซึ่งปัจจุบันเรารู้จักกันในชื่อการแกว่งของD )

ในขณะที่พื้นผิวที่อธิบายโดย ( 1 ) อยู่ในปริภูมิของดัชนี (ซึ่งพิกัดเป็นตัวเลขไร้มิติ) พื้นผิวที่อธิบายโดย ( 3 ) อยู่ในปริภูมิของความเร็ว (ซึ่งพิกัดมีหน่วยเป็นความเร็ว) ในขณะที่พื้นผิวแรกเป็นระดับที่ 2 พื้นผิวหลังเป็นระดับที่ 4 ซึ่งสามารถตรวจสอบได้โดยการกำหนดนิยามใหม่${\displaystyle x,y,z}$เนื่องจากเป็นส่วนประกอบของความเร็วและการตีลูก${\displaystyle \cos \xi =x/v}$เป็นต้น ดังนั้นพื้นผิวหลัง ( 3 ) โดยทั่วไปจึงไม่ใช่ทรงรี แต่เป็นทรงรี อีกแบบหนึ่ง และเนื่องจากทรงรีดัชนีสร้างพื้นผิวดัชนี พื้นผิว ( 3 ) จึงสร้างสิ่งที่เราเรียกว่าพื้น ผิวความเร็วปกติด้วยกระบวนการเดียวกัน^{[หมายเหตุ 5 ]}ดังนั้นพื้นผิว ( 3 ) จึงอาจเรียกได้ว่า "ทรงรีความเร็วปกติ" อย่างสมเหตุสมผล อย่างไรก็ตาม เฟรสเนลเรียกมันว่าพื้นผิวแห่งความยืดหยุ่นเพราะเขาได้มาจากการสมมติว่าคลื่นแสงเป็นคลื่นยืดหยุ่นตามขวาง สื่อมีทิศทางตั้งฉากสามทิศทางซึ่งการกระจัดของโมเลกุลทำให้เกิดแรงคืนตัวในทิศทางตรงกันข้าม และแรงคืนตัวเนื่องจากผลรวมเวกเตอร์ของการกระจัดคือผลรวมเวกเตอร์ของแรงคืนตัวเนื่องจากการกระจัดแยกกัน^{[ 10 ]}

เฟรสเนลตระหนักในไม่ช้าว่าทรงรีที่สร้างขึ้นบนแกนกึ่งหลักเดียวกันกับพื้นผิวของความยืดหยุ่นมีความสัมพันธ์กับความเร็วของรังสีเช่นเดียวกับที่พื้นผิวของความยืดหยุ่นมีความสัมพันธ์กับความเร็วของคลื่นปกติ^{[ 11 ] [ 12 ]}ปัจจุบันทรงรีของเฟรสเนลเรียกว่าทรงรีรังสี ดังนั้นในแง่สมัยใหม่ ทรงรีรังสีสร้างความเร็วของรังสีเช่นเดียวกับ  ^ที่ทรงรีดัชนีสร้างดัชนีการหักเห แกนกึ่งหลักและแกนกึ่งรองของส่วนเส้นผ่านศูนย์กลางของทรงรีรังสีอยู่ในทิศทางที่อนุญาตของเวกเตอร์สนามไฟฟ้าE [ ^{13 ]}

คำว่าพื้นผิวดัชนี ถูกบัญญัติโดยJames MacCullaghในปี 1837 ^{[ 14 ]}ในบทความก่อนหน้านี้ที่อ่านในปี 1833 MacCullagh ได้เรียกพื้นผิวนี้ว่า "พื้นผิวการหักเห" และแสดงให้เห็นว่ามันถูกสร้างขึ้นโดยแกนกึ่งหลักและแกนกึ่งรองของส่วนเส้นผ่านศูนย์กลางของทรงรีซึ่งมีแกนกึ่งหลักเป็นสัดส่วนผกผันกับแกนกึ่งหลักของทรงรีของ Fresnel ^{[ 15 ]}และซึ่ง MacCullagh เรียกในภายหลังว่า "ทรงรีของดัชนี" ^{[ 16 ]}ในปี 1891 Lazarus Fletcherเรียกทรงรีนี้ว่าดัชนีทางแสง ^{[ 17 ]}

การได้มาซึ่งวงรีดัชนีและคุณสมบัติการสร้างจากทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าไม่ใช่เรื่องง่าย^{[ 18 ]} อย่างไรก็ตาม เมื่อกำหนดวงรีดัชนีแล้ว เราสามารถเชื่อมโยงพารามิเตอร์ของมันกับคุณสมบัติทางแม่เหล็กไฟฟ้าของตัวกลางได้อย่างง่ายดาย

ความเร็วแสงในสุญญากาศคือ $${\displaystyle c_{0}=1{\big 💪\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}\,,}$$ ที่ไหน${\displaystyle \mu _{0}}$และ${\displaystyle \epsilon _{0}}$โดยที่ และ คือ ค่าสภาพซึมผ่านทางแม่เหล็กและค่าสภาพยอมทาง ไฟฟ้า ของสุญญากาศ ตามลำดับ สำหรับตัวกลางที่เป็นวัสดุโปร่งใส เรายังคงสามารถสมมติได้อย่างสมเหตุสมผลว่าค่าสภาพซึมผ่านทางแม่เหล็กคือ${\displaystyle \mu _{0}}$(โดยเฉพาะที่ความถี่แสง) ^{[ 19 ]}แต่${\displaystyle \epsilon _{0}}$ต้องถูกแทนที่ด้วย ${\displaystyle \epsilon _{\text{r}}\epsilon _{0}\;\!,}$ที่ไหน${\displaystyle \epsilon _{\text{r}}}$ คือค่าสภาพยอมทางไฟฟ้าสัมพัทธ์ (หรือเรียกว่า ค่าคงที่ ไดอิ เล็กตริก ) ดังนั้นความเร็วของคลื่นจึงกลายเป็น $${\displaystyle v=1{\big /}{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{\text{r}}\epsilon _{0}}}\,.}$$ การแบ่ง${\displaystyle c_{0}}$โดย${\displaystyle v}$เราจึงได้ค่าดัชนีหักเห: $${\displaystyle n={\sqrt {\epsilon _{\text{r}}}}\,.}$$ การพิสูจน์นี้ถือว่า${\displaystyle \epsilon _{\text{r}}}$ในฐานะปริมาณสเกลาร์ ซึ่งใช้ได้ในตัวกลางไอโซโทรปิก ใน ตัวกลาง แอนิโซโทรปิกผลลัพธ์นี้ใช้ได้เฉพาะกับการรวมกันของทิศทางการแพร่กระจายและโพลาไรเซชันที่หลีกเลี่ยงแอนิโซโทรปิกเท่านั้น กล่าวคือ สำหรับกรณีที่เวกเตอร์การกระจัดทางไฟฟ้าDขนานกับเวกเตอร์สนามไฟฟ้าEเช่นเดียวกับในตัวกลางไอโซโทรปิก เมื่อพิจารณาถึงความสมมาตรของวงรีดัชนี กรณีเหล่านี้จะต้องเป็นกรณีที่Dอยู่ในทิศทางของแกนใดแกนหนึ่ง ดังนั้น เมื่อกำหนดค่าสภาพยอมสัมพัทธ์ใน${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$, และ${\displaystyle z}$คำแนะนำโดย${\displaystyle \epsilon _{x}\;\!,\epsilon _{y},\epsilon _{z}}$( ค่าคงที่ไดอิเล็กทริกหลักที่เรียกกัน) และเมื่อนึกถึงว่า${\displaystyle n_{\text{a}},n_{\text{b}},n_{\text{c}}}$กำหนดให้ดัชนีหักเหสำหรับทิศทางD เหล่านี้ เราจะต้องมี $${\displaystyle n_{\text{a}}={\sqrt {\epsilon _{x}}}~;~~n_{\text{b}}={\sqrt {\epsilon _{y}}}~;~~n_{\text{c}}={\sqrt {\epsilon _{z}}}~,}$$ แสดงให้เห็นว่าแกนกึ่งของวงรีดัชนีคือรากที่สองของค่าคงที่ไดอิเล็กตริก หลัก ^{[ 20 ]}เมื่อแทนนิพจน์เหล่านี้ลงใน ( 1 ) เราจะได้สมการของวงรีดัชนีในรูปแบบอื่น^{[ 21 ]}$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\epsilon _{x}}}+{\frac {y^{2}}{\epsilon _{y}}}+{\frac {z^{2}}{\epsilon _{z}}}=1\,,}$$ ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงเรียกอีกอย่างว่า ทรง รีไดอิเล็กทริก

• การหักเหสองทิศทาง
• ดัชนีหักเหเชิงซ้อน
• เลนส์คริสตัล
• ดี-เดีย
• คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของความทึบแสง