ในทางทัศนศาสตร์ดัชนีหักเห ( หรือ เรียกว่า ดัชนีการหักเห ) ซึ่งมักใช้สัญลักษณ์nคืออัตราส่วนของความเร็วแสงในสุญญากาศ ( c ) ต่อความเร็วแสงในตัวกลางทางแสง ที่กำหนด ( v ) โดยn = c / vดัชนีหักเหเป็นตัวกำหนดว่าเส้นทางของแสงจะเบี่ยงเบนหรือหักเห มากน้อยเพียงใด เมื่อเข้าสู่ตัวกลาง ดังที่อธิบายไว้ใน_กฎการหักเห ของสเน ล ล์ n₁ sin θ₁ = _n₂ sin θ₂โดยที่θ₁และ_θ₂คือมุมตกกระทบและมุมหักเหตามลำดับของรังสีที่ผ่านรอยต่อระหว่างตัวกลางสองตัวที่มีดัชนีหักเห_{n₁ และn₂}ดัชนีหักเหยังเป็นตัวกำหนดปริมาณแสงที่สะท้อนเมื่อถึงรอยต่อ รวมถึงมุมวิกฤตสำหรับ การ _{สะท้อน}กลับภายในทั้งหมด ความเข้ม _ของแสง ( สมการเฟรสเนล ) และมุมของบริวสเตอร์ด้วย^{[ 1 ]}

ดัชนีหักเห (Δ ) สามารถมองได้ว่าเป็นปัจจัยที่ทำให้ความเร็วและความยาวคลื่นของรังสีลดลงเมื่อเทียบกับค่าในสุญญากาศ กล่าวคือ ความเร็วของแสงในตัวกลางคือv = c/ n และ ในทำนองเดียวกัน ความยาวคลื่นในตัวกลางนั้นคือλ = λ₀ _/ nโดยที่λ₀คือความยาวคลื่นของแสงนั้นในสุญญากาศ นั่นหมายความว่าสุญญากาศมีดัชนีหักเหเท่ากับ 1 และสมมติว่าความถี่ ( f = v / λ ) ของคลื่นไม่ได้รับ _ผลกระทบจากดัชนีหักเห ${\displaystyle n}$

ดัชนีหักเหอาจแปรผันตามความยาวคลื่น ซึ่งทำให้แสงสีขาวแยกออกเป็นสีต่างๆ เมื่อหักเห ปรากฏการณ์นี้เรียกว่าการกระจายแสงสามารถสังเกตปรากฏการณ์นี้ได้ในปริซึมและรุ้งกินน้ำรวมถึงความคลาดเคลื่อนของสีในเลนส์ การแพร่กระจายของแสงใน วัสดุ ดูดซับสามารถอธิบายได้โดยใช้ดัชนีหักเหที่มีค่าเชิงซ้อน^{[ 2 ]}ส่วนจินตภาพจะจัดการกับการลดทอนในขณะที่ ส่วน จริงจะอธิบายถึงการหักเห สำหรับวัสดุส่วนใหญ่ ดัชนีหักเหจะเปลี่ยนแปลงตามความยาวคลื่นหลายเปอร์เซ็นต์ตลอดช่วงสเปกตรัมที่มองเห็นได้ ดังนั้น ดัชนีหักเหสำหรับวัสดุที่รายงานโดยใช้ค่าn ค่าเดียว จะต้องระบุความยาวคลื่นที่ใช้ในการวัด

แนวคิดของดัชนีหักเหใช้ได้กับสเปกตรัมแม่เหล็กไฟฟ้า ทั้งหมด ตั้งแต่รังสีเอกซ์ไปจนถึงคลื่นวิทยุนอกจากนี้ยังสามารถนำไปใช้กับ ปรากฏการณ์ คลื่นเช่นเสียงในกรณีนี้ จะใช้ ความเร็วของเสียงแทนความเร็วของแสง และต้องเลือกสื่ออ้างอิงอื่นที่ไม่ใช่สุญญากาศ^{[ 3 ]}การหักเหยังเกิดขึ้นในมหาสมุทรเมื่อแสงผ่านเข้าไปในชั้นฮาโลไคลน์ซึ่งความเค็มส่งผลกระทบต่อความหนาแน่นของมวลน้ำ

สำหรับเลนส์ (เช่นเลนส์แว่นตา ) เลนส์ที่ทำจากแก้วที่มีดัชนีหักเหสูงจะบางกว่า และเบากว่าเลนส์ทั่วไปที่มีดัชนีหักเหต่ำกว่า ซึ่งโดยปกติแล้วจะราคาถูกกว่า

วัสดุพลาสติกมักมีดัชนีหักเหต่ำกว่าแก้ว แต่มีความหนาแน่นน้อยกว่าแก้วอย่างมาก เป็นเวลานานแล้วที่แว่นตาที่เบาที่สุดผลิตจากพลาสติก

ดัชนีหักเหสัมพัทธ์ของตัวกลางทางแสง 2 เมื่อเทียบกับตัวกลางอ้างอิง 1 ( _n21 )กำหนดโดยอัตราส่วนของความเร็วแสงในตัวกลาง 1 ต่อความเร็วแสงในตัวกลาง 2 ซึ่งสามารถแสดงได้ดังนี้: ถ้าตัวกลางอ้างอิง 1 คือสุญญากาศดัชนีหักเหของตัวกลาง 2 จะพิจารณาเทียบกับสุญญากาศ โดยแสดงเป็นn2และเรียกว่าดัชนีหักเหสัมบูรณ์ของตัวกลาง ₂$${\displaystyle n_{21}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}.}$$

ดัชนีหักเหสัมบูรณ์nของตัวกลางทางแสงถูกกำหนดให้เป็นอัตราส่วนของความเร็วแสงในสุญญากาศc =299 792 458  ม./วินาทีและความเร็วเฟสvของแสงในตัวกลาง เนื่องจาก cคงที่ nจึงแปรผกผันกับ v : ความเร็วเฟสคือความเร็วที่ยอดคลื่นหรือเฟสของคลื่นเคลื่อนที่ซึ่งอาจแตกต่างจากความเร็วกลุ่มซึ่งเป็นความเร็วที่พัลส์ของแสงหรือซองคลื่นเคลื่อนที่ ^{[ 1 ]}ในอดีตอากาศ ที่ ความดันและอุณหภูมิมาตรฐานมักใช้เป็นตัวกลางอ้างอิง $${\displaystyle n={\frac {\mathrm {c} }{v}}.}$$$${\displaystyle n\propto {\frac {1}{v}}.}$$

โทมัส ยังน่าจะเป็นบุคคลแรกที่ใช้และคิดค้นชื่อ "ดัชนีหักเห" ในปี ค.ศ. 1807 ^{[ 4 ]}ในขณะเดียวกัน เขาก็เปลี่ยนค่ากำลังการหักเหนี้ให้เป็นตัวเลขเดียว แทนที่จะเป็นอัตราส่วนของตัวเลขสองตัวแบบดั้งเดิม การใช้อัตราส่วนมีข้อเสียคือการเขียนสัญลักษณ์ที่ไม่สอดคล้องกันนิวตันซึ่งเรียกมันว่า "สัดส่วนของไซน์ของการตกกระทบและการหักเห" เขียนมันเป็นอัตราส่วนของตัวเลขสองตัว เช่น "529 ต่อ 396" (หรือ "เกือบ 4 ต่อ 3"; สำหรับน้ำ) ^{[ 5 ]}ฮอว์กส์บีซึ่งเรียกมันว่า "อัตราส่วนของการหักเห" เขียนมันเป็นอัตราส่วนที่มีตัวเศษคงที่ เช่น "10000 ต่อ 7451.9" (สำหรับปัสสาวะ) ^{[ 6 ]}ฮัตตันเขียนมันเป็นอัตราส่วนที่มีตัวส่วนคงที่ เช่น 1.3358 ต่อ 1 (น้ำ) ^{[ 7 ]}

ในปี พ.ศ. 2350 Young ไม่ได้ใช้สัญลักษณ์สำหรับดัชนีหักเหแสง ในเวลาต่อมา คนอื่นๆ เริ่มใช้สัญลักษณ์ที่แตกต่างกัน ได้แก่n , mและµ ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10} ] ในที่สุด สัญลักษณ์n ^{ก็ได้}รับความนิยมมากขึ้น

ดัชนีหักเหยังแปรผันตามความยาวคลื่นของแสงตามสมการของโคชีรูปแบบทั่วไปที่สุดของสมการนี้คือ โดยที่nคือดัชนีหักเหλคือความยาวคลื่น และA , B , Cเป็นต้น คือสัมประสิทธิ์ที่สามารถหาได้สำหรับวัสดุโดยการปรับสมการให้เข้ากับดัชนีหักเหที่วัดได้ที่ความยาวคลื่นที่ทราบ โดยปกติแล้วสัมประสิทธิ์จะระบุเป็นค่าλในรูปของความยาวคลื่นในสุญญากาศในหน่วยไมโครเมตร $${\displaystyle n(\lambda )=A+{\frac {B}{\lambda ^{2}}}+{\frac {C}{\lambda ^{4}}}+\cdots ,}$$

โดยปกติแล้ว การใช้สมการในรูปแบบสองพจน์ก็เพียงพอแล้ว โดยที่สัมประสิทธิ์AและBจะถูกกำหนดขึ้นโดยเฉพาะสำหรับสมการรูปแบบนี้ $${\displaystyle n(\lambda )=A+{\frac {B}{\lambda ^{2}}},}$$

สำหรับแสงที่มองเห็นได้ สื่อ โปร่งใสส่วนใหญ่มีดัชนีหักเหอยู่ระหว่าง 1 ถึง 2 ตัวอย่างบางส่วนแสดงอยู่ในตารางด้านข้าง ค่าเหล่านี้วัดที่เส้นคู่สีเหลือง Dของโซเดียมซึ่งมีความยาวคลื่น 589 นาโนเมตรตามที่ทำกันโดยทั่วไป^{[ 15 ]}ก๊าซที่ความดันบรรยากาศมีดัชนีหักเหใกล้เคียงกับ 1 เนื่องจากมีความหนาแน่นต่ำ เกือบทุกของแข็งและของเหลวมีดัชนีหักเหสูงกว่า 1.3 โดยมีแอโรเจลเป็นข้อยกเว้นที่ชัดเจน แอโรเจลเป็นของแข็งที่มีความหนาแน่นต่ำมากซึ่งสามารถผลิตได้โดยมีดัชนีหักเหอยู่ในช่วงตั้งแต่ 1.002 ถึง 1.265 ^{[ 16 ]}มอยซาไนต์อยู่ที่ปลายอีกด้านหนึ่งของช่วงโดยมีดัชนีหักเหสูงถึง 2.65 พลาสติกส่วนใหญ่มีดัชนีหักเหอยู่ในช่วงตั้งแต่ 1.3 ถึง 1.7 แต่พอลิเมอร์ที่มีดัชนีหักเหสูง บางชนิด อาจมีค่าสูงถึง 1.76 ^{[ 17 ]}

สำหรับ แสง อินฟราเรดดัชนีหักเหอาจสูงกว่ามากเจอร์มาเนียมโปร่งใสในช่วงความยาวคลื่นตั้งแต่2 ถึง 14 μmและมีดัชนีหักเหประมาณ 4 ^{[ 18 ]}ฉนวนเชิงทอพอโลยีสามารถมีดัชนีหักเหสูงถึง 6 ในช่วงความถี่อินฟราเรดใกล้ถึงกลาง ยิ่งไปกว่านั้น ฉนวนเชิงทอพอโลยีจะโปร่งใสเมื่อมีความหนาระดับนาโนเมตร คุณสมบัติเหล่านี้มีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับการใช้งานในด้านทัศนศาสตร์อินฟราเรด^{[ 19 ]}

ตามทฤษฎีสัมพัทธภาพไม่มีข้อมูลใดสามารถเดินทางได้เร็วกว่าความเร็วแสงในสุญญากาศ แต่ไม่ได้หมายความว่าดัชนีหักเหจะต้องไม่น้อยกว่า 1 ดัชนีหักเหวัดความเร็วเฟสของแสง ซึ่งไม่มีข้อมูล^{[ 20 ] [ a ]} ​​ความเร็วเฟส คือความเร็วที่ยอดคลื่นเคลื่อนที่ และอาจเร็วกว่าความเร็วแสงในสุญญากาศ และทำให้ดัชนีหักเหต่ำกว่า 1ได้ ซึ่งอาจเกิดขึ้นใกล้กับความถี่เรโซแนนซ์สำหรับตัวกลางดูดซับ ในพลาสมาและสำหรับรังสีเอ็กซ์ในช่วงรังสีเอ็กซ์ ดัชนีหักเหจะต่ำกว่า แต่ใกล้เคียงกับ 1 มาก (ยกเว้นบางกรณีที่ใกล้กับความถี่เรโซแนนซ์บางค่า) ^{[ 21 ]} ตัวอย่างเช่น น้ำมีดัชนีหักเหเท่ากับ0.999 999 74 = 1 −2.6 × 10 ⁻⁷สำหรับรังสีเอกซ์ที่พลังงานโฟตอนเท่ากับ30  keV (ความยาวคลื่น 0.04 นาโนเมตร ) ^{[ 21 ]}

ตัวอย่างของพลาสมาที่มีดัชนีหักเหน้อยกว่าหนึ่งคือชั้นไอโอโนสเฟียร์ ของโลก เนื่องจากดัชนีหักเหของชั้นไอโอโนสเฟียร์ (ซึ่งเป็นพลาสมา ) น้อยกว่าหนึ่ง คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่แพร่กระจายผ่านพลาสมาจึงถูกเบี่ยงเบน "ออกจากแนวตั้งฉาก" (ดูทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิต ) ทำให้คลื่นวิทยุหักเหกลับมายังโลก จึงทำให้สามารถสื่อสารทางวิทยุระยะไกลได้ ดูเพิ่มเติมที่การแพร่กระจายของคลื่นวิทยุและคลื่นท้องฟ้า^{[ 22 ]}

งานวิจัยล่าสุดยังแสดงให้เห็นถึงการมีอยู่ของวัสดุที่มีดัชนีหักเหเป็นลบ ซึ่งสามารถเกิดขึ้นได้หากค่าสภาพยอมทางไฟฟ้าและสภาพซึมผ่านทางแม่เหล็กมีค่าเป็นลบพร้อมกัน^{[ 23 ]}สิ่งนี้สามารถทำได้ด้วยวัสดุเมตา ที่สร้างขึ้นเป็นระยะ การหักเหเป็นลบที่เกิดขึ้น(เช่น การกลับกฎของสเนลล์ ) ทำให้เกิดความเป็นไป ได้ในการพัฒนา ซูเปอร์เลนส์และปรากฏการณ์ใหม่ๆ อื่นๆ โดยใช้วัสดุเมตา^{[ 24 ] [ 25 ]}

ในระดับอะตอม ความเร็วเฟสของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าจะช้าลงในวัสดุเนื่องจากสนามไฟฟ้าสร้างความปั่นป่วนในประจุของแต่ละอะตอม (โดยหลักคืออิเล็กตรอน ) ซึ่งเป็นสัดส่วนกับความไวต่อสนามไฟฟ้าของตัวกลาง (ในทำนองเดียวกันสนามแม่เหล็กสร้างความปั่นป่วนซึ่งเป็นสัดส่วนกับความไวต่อสนามแม่เหล็ก ) เมื่อสนามแม่เหล็กไฟฟ้าสั่นในคลื่น ประจุในวัสดุจะถูก "เขย่า" ไปมาด้วยความถี่เดียวกัน^{[ 1 ] : 67} ประจุเหล่านี้จึงแผ่คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าของตัวเองออกมาซึ่งมีความถี่เดียวกัน แต่โดยปกติจะมีเฟสล่าช้าเนื่องจากประจุอาจเคลื่อนที่ออกนอกเฟสกับแรงที่ขับเคลื่อนพวกมัน (ดูออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกที่ขับเคลื่อน ด้วยไซน์ ) คลื่นแสงที่เดินทางในตัวกลางคือการซ้อนทับ (ผลรวม) ในระดับมหภาค ของส่วนประกอบทั้งหมดในวัสดุ: คลื่นดั้งเดิมบวกกับคลื่นที่แผ่รังสีโดยประจุที่เคลื่อนที่ทั้งหมด คลื่นนี้โดยทั่วไปจะเป็นคลื่นที่มีความถี่เท่าเดิมแต่มีความยาวคลื่นสั้นกว่าคลื่นเดิม ส่งผลให้ความเร็วเฟสของคลื่นลดลง รังสีส่วนใหญ่จากประจุของวัสดุที่สั่นจะปรับเปลี่ยนคลื่นที่เข้ามา ทำให้ความเร็วของคลื่นเปลี่ยนแปลงไป อย่างไรก็ตาม พลังงานสุทธิบางส่วนจะถูกแผ่กระจายไปในทิศทางอื่นหรือแม้แต่ที่ความถี่อื่น (ดูการกระเจิง )

ขึ้นอยู่กับเฟสสัมพัทธ์ของคลื่นขับเคลื่อนดั้งเดิมและคลื่นที่แผ่รังสีจากการเคลื่อนที่ของประจุ มีความเป็นไปได้หลายประการ:

• หากอิเล็กตรอนปล่อยคลื่นแสงที่มีเฟสต่างจากคลื่นแสงที่เขย่าอิเล็กตรอน 90° จะทำให้คลื่นแสงทั้งหมดเดินทางช้าลง นี่คือการหักเหปกติของวัสดุโปร่งใส เช่น แก้วหรือน้ำ และสอดคล้องกับดัชนีหักเหที่เป็นค่าจริงและมากกว่า 1 ^{[ 26 ]}
• หากอิเล็กตรอนปล่อยคลื่นแสงที่มีเฟสต่างจากคลื่นแสงที่เขย่าพวกมัน 270° จะทำให้คลื่นเดินทางเร็วขึ้น ปรากฏการณ์นี้เรียกว่า "การหักเหผิดปกติ" และสังเกตได้ใกล้กับเส้นดูดกลืน (โดยทั่วไปในสเปกตรัมอินฟราเรด) กับรังสีเอกซ์ในวัสดุทั่วไป และกับคลื่นวิทยุในชั้นไอโอโนสเฟียร์ ของโลก ซึ่งสอดคล้องกับค่าสภาพยอม ทางไฟฟ้า ที่น้อยกว่า 1 ซึ่งทำให้ดัชนีหักเหมีค่าน้อยกว่า 1 และความเร็วเฟสของแสงมากกว่าความเร็วแสงในสุญญากาศc (โปรดทราบว่าความเร็วสัญญาณยังคงน้อยกว่าcดังที่กล่าวไว้ข้างต้น) หากการตอบสนองมีความแรงเพียงพอและมีเฟสต่างกัน ผลลัพธ์ที่ได้คือค่าสภาพยอมทางไฟฟ้าที่เป็น ลบ และดัชนีหักเหจินตนาการ ดังที่สังเกตได้ในโลหะหรือพลาสมา^{[ 26 ]}
• หากอิเล็กตรอนปล่อยคลื่นแสงที่มีเฟสต่างจากคลื่นแสงที่เขย่าพวกมัน 180 องศา มันจะเกิดการแทรกสอดแบบหักล้างกับแสงดั้งเดิม ทำให้ความเข้มของแสงโดยรวมลดลง นี่คือการดูดกลืนแสงในวัสดุทึบแสงและสอดคล้องกับดัชนีหักเหเสมือน
• หากอิเล็กตรอนปล่อยคลื่นแสงที่มีเฟสตรงกับคลื่นแสงที่สั่นสะเทือนพวกมัน มันจะทำให้คลื่นแสงนั้นขยายใหญ่ขึ้น ปรากฏการณ์นี้เกิดขึ้นได้ยาก แต่เกิดขึ้นในเลเซอร์เนื่องจากการปล่อยแสงแบบกระตุ้นซึ่งสอดคล้องกับดัชนีหักเหจินตนาการที่มีเครื่องหมายตรงข้ามกับการดูดกลืนแสง

สำหรับวัสดุส่วนใหญ่ที่ความถี่แสงที่มองเห็นได้ เฟสจะอยู่ระหว่าง 90° ถึง 180° ซึ่งสอดคล้องกับการรวมกันของทั้งการหักเหและการดูดกลืนแสง

ดัชนีหักเหของวัสดุจะแปรผันตามความยาวคลื่น (และความถี่ ) ของแสง^{[ 27 ]}ปรากฏการณ์นี้เรียกว่าการกระจายแสง และทำให้ปริซึมและรุ้ง แบ่งแสงสีขาว ออก เป็น สีสเปกตรัมต่างๆ^{[ 28 ]}เนื่องจากดัชนีหักเหแปรผันตามความยาวคลื่น มุมการหักเหก็จะแปรผันตามไปด้วยเมื่อแสงผ่านจากวัสดุหนึ่งไปยังอีกวัสดุหนึ่ง การกระจายแสงยังทำให้ความยาวโฟกัสของเลนส์ ขึ้นอยู่กับความยาวคลื่นด้วย นี่เป็น ความคลาดเคลื่อนของสีชนิดหนึ่งซึ่งมักจะต้องแก้ไขในระบบการถ่ายภาพ ในบริเวณของสเปกตรัมที่วัสดุไม่ดูดซับแสง ดัชนีหักเหมักจะลดลงเมื่อความยาวคลื่นเพิ่มขึ้น และเพิ่มขึ้นตามความถี่ ปรากฏการณ์นี้เรียกว่า "การกระจายแสงแบบปกติ" ตรงกันข้ามกับ "การกระจายแสงแบบผิดปกติ" ซึ่งดัชนีหักเหจะเพิ่มขึ้นตามความยาวคลื่น^{[ 27 ]}สำหรับแสงที่มองเห็นได้ การกระจายแสงแบบปกติหมายความว่าดัชนีหักเหจะสูงกว่าสำหรับแสงสีน้ำเงินมากกว่าแสงสีแดง

สำหรับเลนส์ในช่วงคลื่นแสงที่มองเห็นได้ ปริมาณการกระจายแสงของวัสดุเลนส์มักจะวัดโดยใช้เลข Abbe : ^{[ 28 ]} สำหรับการอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างความยาวคลื่นกับดัชนีหักเหได้อย่างแม่นยำยิ่งขึ้นสามารถใช้สมการ Sellmeier ได้ ^{[ 29 ]}เป็นสูตรเชิงประจักษ์ที่ใช้ได้ดีในการอธิบายการกระจายแสง สัมประสิทธิ์Sellmeierมักจะถูกอ้างถึงแทนดัชนีหักเหในตาราง $${\displaystyle V={\frac {n_{\mathrm {yellow} }-1}{n_{\mathrm {blue} }-n_{\mathrm {red} }}}.}$$

เนื่องจากการกระจายตัว จึงมักเป็นเรื่องสำคัญที่จะต้องระบุความยาวคลื่นของแสงในสุญญากาศที่ต้องการวัดดัชนีหักเห โดยทั่วไป การวัดจะทำที่เส้นสเปกตรัมการปล่อยแสง ที่กำหนดไว้อย่างชัดเจนหลาย เส้น

โดยทั่วไป ผู้ผลิตกระจกออปติกจะกำหนดดัชนีหักเหหลักที่เส้นสเปกตรัมสีเหลืองของฮีเลียม (587.56 นาโนเมตร ) และอีกทางเลือกหนึ่งคือที่เส้นสเปกตรัมสีเขียวของปรอท (546.07 นาโนเมตร ) เรียกว่า เส้น dและeตามลำดับหมายเลข Abbeถูกกำหนดสำหรับทั้งสองเส้นและแสดงด้วย_{Vd และ Ve ข้อมูล}สเปกตรัมที่ผู้ผลิตแก้วให้มามักจะแม่นยำกว่าสำหรับความยาวคลื่นทั้งสองนี้^{[ 30 ] [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]}

เส้นสเปกตรัม dและeทั้งสองเส้นเป็นเส้นเดี่ยว จึงเหมาะสมสำหรับการวัดที่แม่นยำมาก เช่น วิธีการวัดมุมสเปกตรัม^{[ 34 ] [ 35 ]}

ในการใช้งานจริง การวัดดัชนีหักเหจะดำเนินการโดยใช้เครื่องวัดดัชนีหักเหหลายชนิด เช่นเครื่องวัดดัชนีหักเห Abbeความแม่นยำในการวัดของอุปกรณ์เชิงพาณิชย์ทั่วไปดังกล่าวอยู่ในระดับ 0.0002 ^{[ 36 ] [ 37 ]}เครื่องวัดดัชนีหักเหมักจะวัดดัชนีหักเหn _Dซึ่งกำหนดไว้สำหรับโซเดียมคู่D (589.29 นาโนเมตร ) ซึ่งที่จริงแล้วเป็นจุดกึ่งกลางระหว่างเส้นสเปกตรัมสีเหลืองสองเส้นที่อยู่ติดกันของโซเดียม เส้นสเปกตรัมสีเหลืองของฮีเลียม ( d ) และโซเดียม ( D ) คือระยะห่าง 1.73 นาโนเมตรนั้นถือว่าน้อยมากสำหรับเครื่องวัดดัชนีหักเหแสงทั่วไป แต่หากความแม่นยำเป็นสิ่งสำคัญ อาจทำให้เกิดความสับสนและนำไปสู่ข้อผิดพลาดได้

คำจำกัดความดัชนีหักเหหลักทั่วไปทั้งสามแบบสามารถพบได้ขึ้นอยู่กับการใช้งานและภูมิภาค^{[ 38 ]}ดังนั้นควรใช้ดัชนีย่อยที่เหมาะสมเพื่อหลีกเลี่ยงความกำกวม

เมื่อแสงผ่านตัวกลาง ส่วนหนึ่งของแสงจะถูกดูดซับ เสมอ สามารถนำมาพิจารณาได้อย่างสะดวกโดยการกำหนดดัชนีหักเหเชิงซ้อน ส่วนจริงและส่วนจินตนาการของดัชนีหักเหนี้ไม่เป็นอิสระต่อกัน และเชื่อมโยงกันผ่านความสัมพันธ์ของ Kramers–Kronig กล่าวคือ ดัชนีหักเหเชิงซ้อนเป็นฟังก์ชันการตอบสนองเชิงเส้นซึ่งรับประกันความเป็นเหตุเป็นผล^{[ 39 ]}ในที่นี้ ส่วนจริงnคือดัชนีหักเหและบ่งบอกถึงความเร็วเฟสในขณะที่ส่วนจินตนาการκเรียกว่าสัมประสิทธิ์การดูดกลืน^{[ 40 ] : 36} บ่งบอกถึงปริมาณการลดทอนเมื่อคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าแพร่กระจายผ่านวัสดุ^{[ 1 ] : 128} มันเกี่ยวข้องกับสัมประสิทธิ์การดูดกลืน , , ผ่าน: ^{[ 40 ] : 41} ค่าเหล่านี้ขึ้นอยู่กับความถี่ของแสงที่ใช้ในการวัด $${\displaystyle {\underline {n}}=n+i\kappa .}$$${\displaystyle \alpha _{\text{abs}}}$$${\displaystyle \alpha _{\text{abs}}(\omega )={\frac {2\omega \kappa (\omega )}{c}}}$$

การที่κสอดคล้องกับการดูดกลืนสามารถเห็นได้จากการใส่ดัชนีหักเหนี้ลงในนิพจน์สำหรับสนามไฟฟ้าของ คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าแบบ ระนาบที่เคลื่อนที่ใน ทิศทาง xซึ่งสามารถทำได้โดยการเชื่อมโยงเลขคลื่น เชิงซ้อน kกับดัชนีหักเหเชิงซ้อนnผ่านk = 2π n / λ ₀โดยที่λ ₀คือความยาวคลื่นในสุญญากาศ ซึ่งสามารถใส่ลงในนิพจน์คลื่นระนาบสำหรับคลื่นที่เคลื่อนที่ใน ทิศทาง xได้ดังนี้: ที่นี่เราจะเห็นว่าκให้การลดลงแบบเอกซ์โพเนนเชียล ตามที่คาดไว้จากกฎของ Beer–Lambertเนื่องจากความเข้มเป็นสัดส่วนกับกำลังสองของสนามไฟฟ้า ความเข้มจะขึ้นอยู่กับความลึกเข้าไปในวัสดุและดังนั้นสัมประสิทธิ์การดูดกลืนคือα = 4π κ / λ ₀ , ^{[ 1 ] : 128} และความลึกของการทะลุทะลวง (ระยะทางหลังจากที่ความเข้มลดลงด้วยปัจจัย1/ e ) คือδ _p = 1/ α = λ ₀ /4π κ . $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (x,t)&=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i({\underline {k}}x-\omega t)}\right]\\&=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i(2\pi (n+i\kappa )x/\lambda _{0}-\omega t)}\right]\\&{\text{ผ่านการเขียน }}(n+i\kappa ){\text{ ในรูปเลขชี้กำลัง:}}\\&=e^{-2\pi \kappa x/\lambda _{0}}\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kx-\omega t)}\right].\end{aligned}}}$$$${\displaystyle I(x)=I_{0}e^{-4\pi \kappa x/\lambda _{0}}.}$$

ทั้งnและκขึ้นอยู่กับความถี่ ในกรณีส่วนใหญ่κ > 0 (แสงถูกดูดซับ) หรือκ = 0 (แสงเดินทางได้ตลอดไปโดยไม่สูญเสีย) ในสถานการณ์พิเศษ โดยเฉพาะในตัวกลางขยายสัญญาณของเลเซอร์อาจเป็นไปได้ว่าκ < 0ซึ่งสอดคล้องกับการขยายสัญญาณของแสง

ข้อตกลงทางเลือกอีกแบบหนึ่งใช้n = n + iκแทนn = n − iκแต่κ > 0ยังคงสอดคล้องกับการสูญเสีย ดังนั้น ข้อตกลงทั้งสองนี้จึงไม่สอดคล้องกันและไม่ควรสับสนกัน ความแตกต่างเกี่ยวข้องกับการกำหนดการพึ่งพาเวลาแบบไซน์เป็นRe[exp(− iωt )]เทียบกับRe[exp(+ iωt )]ดูคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของความทึบแสง

การสูญเสียไดอิเล็กทริกและค่าการนำไฟฟ้ากระแสตรงที่ไม่เป็นศูนย์ในวัสดุทำให้เกิดการดูดกลืนแสง วัสดุไดอิเล็กทริกที่ดี เช่น แก้ว มีค่าการนำไฟฟ้ากระแสตรงต่ำมาก และที่ความถี่ต่ำ การสูญเสียไดอิเล็กทริกก็มีค่าเล็กน้อยมาก ทำให้แทบไม่มีการดูดกลืนแสง อย่างไรก็ตาม ที่ความถี่สูง (เช่น แสงที่มองเห็นได้) การสูญเสียไดอิเล็กทริกอาจเพิ่มการดูดกลืนแสงอย่างมีนัยสำคัญ ทำให้ความโปร่งใส ของวัสดุ ต่อความถี่เหล่านั้น ลดลง

ส่วนจริงnและส่วนจินตนาการκของดัชนีหักเหเชิงซ้อนมีความสัมพันธ์กันผ่านความสัมพันธ์ของ Kramers–Kronigในปี 1986 AR Forouhi และ I. Bloomer ได้สรุปสมการที่อธิบายκเป็นฟังก์ชันของพลังงานโฟตอนEซึ่งสามารถนำไปใช้กับวัสดุอสัณฐานได้ จากนั้น Forouhi และ Bloomer ได้นำความสัมพันธ์ของ Kramers–Kronig มาใช้เพื่อหาอนุพันธ์ของสมการที่สอดคล้องกันสำหรับnเป็นฟังก์ชันของEและในปี 1988 Forouhi และ Bloomer ได้นำหลักการเดียวกันนี้ไปใช้กับวัสดุผลึก

โดยทั่วไปแล้ว ดัชนีหักเหและสัมประสิทธิ์การดูดกลืนแสงnและκจะวัดจากปริมาณที่ขึ้นอยู่กับค่าเหล่านั้น เช่นค่าการสะท้อนแสงRหรือค่าการส่งผ่านแสงTหรือพารามิเตอร์ทางอิลิปโซเมตรีψและδการหาค่าnและκจากปริมาณที่วัดได้เหล่านี้ จะต้องพัฒนาสมการทางทฤษฎีสำหรับRหรือTหรือψและδในรูปของแบบจำลองทางกายภาพที่ถูกต้องสำหรับnและκ โดยการปรับแบบจำลองทางทฤษฎีให้เข้ากับค่า RหรือTหรือψและδที่วัดได้โดยใช้การวิเคราะห์การถดถอยจะสามารถอนุมานค่า nและκ ได้

สำหรับรังสีเอกซ์และ รังสี อัลตราไวโอเลตแบบสุดขั้ว ดัชนีหักเหเชิงซ้อนจะเบี่ยงเบนจากหนึ่งเพียงเล็กน้อย และโดยปกติจะมีส่วนจริงที่เล็กกว่า 1 ดังนั้นจึงมักเขียนเป็นn = 1 − δ + iβ (หรือn = 1 − δ − iβด้วยข้อตกลงทางเลือกที่กล่าวถึงข้างต้น) ^{[ 2 ]}เหนือความถี่เรโซแนนซ์ของอะตอมมาก เดลต้าสามารถกำหนดได้โดย ที่r ₀คือรัศมีอิเล็กตรอนแบบคลาสสิก λ คือความยาวคลื่นของรังสีเอกซ์ และn _eคือความหนาแน่นของอิเล็กตรอน อาจสันนิษฐานได้ว่าความหนาแน่นของอิเล็กตรอนเป็นเพียงจำนวนอิเล็กตรอนต่ออะตอมZคูณด้วยความหนาแน่นของอะตอม แต่การคำนวณดัชนีหักเหที่แม่นยำยิ่งขึ้นจำเป็นต้องแทนที่Zด้วยฟอร์มแฟคเตอร์อะตอม เชิงซ้อน ดังนั้นจึงได้ว่า δ และ β โดย ทั่วไป อยู่ในลำดับของ$${\displaystyle \delta ={\frac {r_{0}\lambda ^{2}n_{\mathrm {e} }}{2\pi }}}$$${\displaystyle f=Z+f'+if''}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta &={\frac {r_{0}\lambda ^{2}}{2\pi }}(Z+f')n_{\text{atom}}\\\beta &={\frac {r_{0}\lambda ^{2}}{2\pi }}f''n_{\text{atom}}\end{aligned}}}$$10 ⁻⁵และ10 ⁻⁶ .

ความยาวเส้นทางแสง (OPL) คือผลคูณของความยาวทางเรขาคณิตdของเส้นทางที่แสงเดินทางผ่านระบบ และดัชนีหักเหของตัวกลางที่แสงเดินทางผ่าน^{[ 41 ]} นี่เป็นแนวคิดที่สำคัญในทางทัศนศาสตร์ เนื่องจากเป็นตัวกำหนดเฟสของแสงและควบคุมการรบกวนและการเลี้ยวเบนของแสงขณะที่มันเดินทาง ตามหลักการของแฟร์มาต์รังสีแสงสามารถระบุลักษณะได้ว่าเป็นเส้นโค้งที่ทำให้ความยาวเส้นทางแสงเหมาะสมที่สุด^{[ 1 ] : 68–69} ${\text{OPL}}=nd.$

เมื่อแสงเคลื่อนที่จากตัวกลางหนึ่งไปยังอีกตัวกลางหนึ่ง ทิศทางของแสงจะเปลี่ยนไปด้วย กล่าวคือเกิดการหักเหหากแสงเคลื่อนที่จากตัวกลางที่มีดัชนีหักเหn ₁ไปยังตัวกลางที่มีดัชนีหักเหn ₂โดยมีมุมตกกระทบกับระนาบปกติของพื้นผิวเป็นθ ₁มุมหักเหθ ₂สามารถคำนวณได้จากกฎของสเนลล์ : ^{[ 42 ]}$${\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}.}$$

เมื่อแสงตกกระทบวัสดุที่มีดัชนีหักเหสูงกว่า มุมหักเหจะเล็กกว่ามุมตกกระทบ และแสงจะหักเหเข้าหาแนวตั้งฉากของพื้นผิว ยิ่งดัชนีหักเหสูงเท่าไร แสงก็จะยิ่งเดินทางเข้าใกล้ทิศทางของแนวตั้งฉากมากขึ้นเท่านั้น ในทางกลับกัน เมื่อแสงผ่านเข้าไปในตัวกลางที่มีดัชนีหักเหต่ำกว่า แสงจะหักเหออกจากแนวตั้งฉากเข้าหาพื้นผิวแทน

หากไม่มีมุมθ ₂ที่สอดคล้องกับกฎของสเนลล์ กล่าวคือ แสงจะไม่สามารถส่งผ่านได้และจะเกิดการสะท้อนกลับภายในทั้งหมดแทน^{[ 43 ] : 49–50} สิ่งนี้เกิดขึ้นเฉพาะเมื่อเปลี่ยนไปใช้วัสดุที่มีความหนาแน่นทางแสงน้อยกว่า กล่าวคือ วัสดุที่มีดัชนีหักเหต่ำกว่า เพื่อให้เกิดการสะท้อนกลับภายในทั้งหมด มุมตกกระทบθ ₁ต้องมีขนาดใหญ่กว่ามุมวิกฤต^{[ 44 ]}$${\displaystyle {\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{1}>1,}$$$${\displaystyle \theta _{\mathrm {c} }=\arcsin \!\left({\frac {n_{2}}{n_{1}}}\right)\!.}$$

นอกจากแสงที่ส่งผ่านแล้ว ยังมี ส่วน ที่สะท้อน อีก ด้วย มุมสะท้อนเท่ากับมุมตกกระทบ และปริมาณแสงที่สะท้อนจะถูกกำหนดโดยค่าการสะท้อนของพื้นผิว ค่าการสะท้อนสามารถคำนวณได้จากดัชนีหักเหและมุมตกกระทบโดยใช้สมการของเฟรสเนลซึ่งสำหรับการตกกระทบปกติจะลดลงเหลือ^{[ 43 ] : 44}

$${\displaystyle R_{0}=\left|{\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}\right|^{2}\!.}$$

สำหรับกระจกธรรมดาในอากาศn ₁ = 1และn ₂ = 1.5ดังนั้นพลังงานตกกระทบประมาณ 4% จึงถูกสะท้อนกลับ^{[ 45 ]}ที่มุมตกกระทบอื่นๆ การสะท้อนจะขึ้นอยู่กับโพลาไรเซชันของแสงที่เข้ามาด้วย ที่มุมหนึ่งที่เรียกว่ามุมของ Brewster แสงโพลาไรซ์ p ( แสงที่มีสนามไฟฟ้าอยู่ในระนาบของการตกกระทบ ) จะถูกส่งผ่านทั้งหมด มุมของ Brewster สามารถคำนวณได้จากดัชนีหักเหสองค่าของส่วนต่อประสานดังนี้^{[ 1 ] : 245} $${\displaystyle \theta _{\mathsf {B}}=\arctan \left({\frac {n_{2}}{n_{1}}}\right)~.}$$

ความยาวโฟกัสของเลนส์ถูกกำหนดโดยดัชนีหักเหnและรัศมีความโค้งR ₁และR ₂ของพื้นผิว กำลังของเลนส์บางในอากาศกำหนดโดยสูตรของ Lensmaker เวอร์ชันที่ง่ายขึ้น : ^{[ 46 ]} โดยที่fคือความยาวโฟกัสของเลนส์ $${\displaystyle {\frac {1}{f}}=(n-1)\left[{\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right]\ ,}$$

ความละเอียดของกล้องจุลทรรศน์ แบบออปติคอลที่ดีนั้น ส่วนใหญ่กำหนดโดยค่ารูรับแสงเชิงตัวเลข ( A _Num ) ของเลนส์วัตถุค่ารูรับแสงเชิงตัวเลขนั้นกำหนดโดยดัชนีหักเหnของตัวกลางที่เติมเต็มช่องว่างระหว่างตัวอย่างกับเลนส์ และมุมครึ่งหนึ่งของการรวบรวมแสงθตามที่ Carlsson (2007) กล่าวไว้ว่า: ^{[ 47 ] : 6} $${\displaystyle A_{\mathrm {Num} }=n\sin \theta ~.}$$

ด้วยเหตุนี้การแช่ในน้ำมันจึงมักใช้เพื่อให้ได้ความละเอียดสูงในกล้องจุลทรรศน์ ในเทคนิคนี้ เลนส์วัตถุจะถูกจุ่มลงในหยดน้ำมันแช่ที่มีดัชนีหักเหสูงบนตัวอย่างที่กำลังศึกษา^{[ 47 ] : 14}

ดัชนีหักเหของรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าเท่ากับ โดยที่εr คือ _ค่าสภาพยอมสัมพัทธ์ของวัสดุและμrคือ_ค่าสภาพซึมผ่านสัมพัทธ์ [ ^{48 ] : 229} ดัชนีหักเหใช้สำหรับทัศนศาสตร์ในสมการเฟรสเนลและกฎของสเนลล์ในขณะที่ค่าสภาพยอมสัมพัทธ์และค่าสภาพซึมผ่านสัมพัทธ์ใช้ในสมการของแม็กซ์เวลล์และอิเล็กทรอนิกส์ วัสดุที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติส่วนใหญ่ไม่มีคุณสมบัติทางแม่เหล็กที่ความถี่แสง นั่นคือμr ใกล้เคียงกับ 1 มาก ดังนั้น n จึงมีค่าประมาณ √εr [49] ในกรณีนี้ ค่าสภาพยอมสัมพัทธ์เชิงซ้อน εr ซึ่งมีส่วนจริงและส่วนจินตนาการ εr และ ɛ̃r และดัชนีหักเหเชิงซ้อน_nซึ่งมี^{ส่วนจริงและ}ส่วนจินตนาการn_และ κ (ส่วน_{หลังเรียก}ว่า_"สัมประสิทธิ์การดูดกลืน ") เป็นไปตามความสัมพันธ์ $${\displaystyle n={\sqrt {\varepsilon _{\mathrm {r} }\mu _{\mathrm {r} }}},}$$$${\displaystyle {\underline {\varepsilon }}_{\mathrm {r} }=\varepsilon _{\mathrm {r} }+i{\tilde {\varepsilon }}_{\mathrm {r} }={\underline {n}}^{2}=(n+i\kappa )^{2},}$$

และส่วนประกอบของพวกมันมีความสัมพันธ์กันโดย: ^{[ 50 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\mathrm {r} }&=n^{2}-\kappa ^{2}\,,\\{\tilde {\varepsilon }}_{\mathrm {r} }&=2n\kappa \,,\end{aligned}}}$$

และ:

$${\displaystyle {\begin{aligned}n&={\sqrt {\frac {|{\underline {\varepsilon }}_{\mathrm {r} }|+\varepsilon _{\mathrm {r} }}{2}}},\\\kappa &={\sqrt {\frac {|{\underline {\varepsilon }}_{\mathrm {r} }|-\varepsilon _{\mathrm {r} }}{2}}}.\end{aligned}}}$$

ค่าสัมบูรณ์ เชิงซ้อนอยู่ที่ไหน${\displaystyle |{\underline {\varepsilon }}_{\mathrm {r} }|={\sqrt {\varepsilon _{\mathrm {r} }^{2}+{\tilde {\varepsilon }}_{\mathrm {r} }^{2}}}}$

อิมพีแดนซ์คลื่นของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าแบบระนาบในตัวกลางที่ไม่นำไฟฟ้า กำหนดโดย $${\displaystyle {\begin{aligned}Z&={\sqrt {\frac {\mu }{\varepsilon }}}={\sqrt {\frac {\mu _{\mathrm {0} }\mu _{\mathrm {r} }}{\varepsilon _{\mathrm {0} }\varepsilon _{\mathrm {r} }}}}={\sqrt {\frac {\mu _{\mathrm {0} }}{\varepsilon _{\mathrm {0} }}}}{\sqrt {\frac {\mu _{\mathrm {r} }}{\varepsilon _{\mathrm {r} }}}}\\&=Z_{0}{\sqrt {\frac {\mu _{\mathrm {r} }}{\varepsilon _{\mathrm {r} }}}}\\&=Z_{0}{\frac {\mu _{\mathrm {r} }}{n}}\end{aligned}}}$$

โดยที่Z ₀คืออิมพีแดนซ์ของคลื่นสุญญากาศμและεคือค่าสภาพซึมผ่านสัมบูรณ์และค่าสภาพยอมทางไฟฟ้าสัมบูรณ์ของตัวกลางε _r คือ ค่าสภาพยอมทางไฟฟ้าสัมพัทธ์ของวัสดุและμ _rคือ ค่าสภาพซึม ผ่าน สัมพัทธ์ของ วัสดุ

ในตัวกลางที่ไม่ใช่แม่เหล็ก (นั่นคือ ในวัสดุที่มีμ _r = 1 ) และ${\displaystyle Z={Z_{0} \over n}}$${\displaystyle n={Z_{0} \over Z}\,.}$

ดังนั้น ดัชนีหักเหในตัวกลางที่ไม่ใช่แม่เหล็ก คือ อัตราส่วนของค่าความต้านทานคลื่นในสุญญากาศต่อค่าความต้านทานคลื่นของตัวกลาง

ค่าการสะท้อนR ₀ระหว่างตัวกลางสองตัวสามารถแสดงได้ทั้งโดยค่าความต้านทานของคลื่นและดัชนีหักเห ดังนี้ $${\displaystyle {\begin{aligned}R_{0}&=\left|{\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}\right|^{2}\\&=\left|{\frac {Z_{2}-Z_{1}}{Z_{2}+Z_{1}}}\right|^{2}\,.\end{aligned}}}$$

โดยทั่วไปแล้ว เชื่อกันว่าดัชนีหักเหของแก้วจะเพิ่มขึ้นตามความหนาแน่นอย่างไรก็ตาม ความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างดัชนีหักเหและความหนาแน่นนั้นไม่มีอยู่จริงสำหรับแก้วซิลิเกตและโบโรซิลิเกตทุกชนิด แก้วที่มีส่วนประกอบของออกไซด์โลหะเบา เช่น Li₂O และ MgO จะมีดัชนีหักเหสูงและความหนาแน่นต่ำ_ในขณะที่แก้วที่ มีส่วนประกอบของ PbOและBaOจะมีแนวโน้มตรงกันข้ามดังแสดงในแผนภาพด้านขวา

น้ำมันหลายชนิด (เช่นน้ำมันมะกอก ) และเอทานอลเป็นตัวอย่างของของเหลวที่มีดัชนีหักเหสูงกว่า แต่มีความหนาแน่นน้อยกว่าน้ำ ซึ่งขัดแย้งกับความสัมพันธ์ทั่วไประหว่างความหนาแน่นและดัชนีหักเห

สำหรับอากาศn - 1เป็นสัดส่วนกับความหนาแน่นของแก๊สตราบใดที่องค์ประกอบทางเคมีไม่เปลี่ยนแปลง^{[ 52 ]}ซึ่งหมายความว่ามันยังเป็นสัดส่วนกับความดันและเป็นสัดส่วนผกผันกับอุณหภูมิสำหรับแก๊สในอุดมคติสำหรับของเหลวก็สามารถสังเกตได้เช่นเดียวกับแก๊ส ตัวอย่างเช่น ดัชนีหักเหในแอลเคนเพิ่มขึ้นเกือบเป็นเส้นตรงอย่างสมบูรณ์กับความหนาแน่น ในทางกลับกัน สำหรับกรดคาร์บอกซิลิก ความหนาแน่นจะลดลงเมื่อจำนวนอะตอม C เพิ่มขึ้นภายในอนุกรมโฮโมโลจัส คำอธิบายง่ายๆ ของการค้นพบนี้คือไม่ใช่ความหนาแน่น แต่เป็นความเข้มข้นโมลาร์ของโครโมฟอร์ที่สำคัญ ในอนุกรมโฮโมโลจัส นี่คือการกระตุ้นของพันธะ CH ออกัสต์ เบียร์น่าจะรู้โดยสัญชาตญาณเมื่อเขาให้คำแนะนำแก่ฮันส์ เอช. แลนดอลต์ในปี 1862 ให้ตรวจสอบดัชนีหักเหของสารประกอบในอนุกรมโฮโมโลจัส^{[ 53 ]}แม้ว่าแลนดอลต์จะไม่พบความสัมพันธ์นี้ เนื่องจากในขณะนั้นทฤษฎีการกระจายตัวยังอยู่ในช่วงเริ่มต้น แต่เขามีแนวคิดเรื่องดัชนีหักเหโมลาร์ซึ่งสามารถกำหนดให้กับอะตอมเดี่ยวได้^{[ 54 ]}จากแนวคิดนี้ ดัชนีหักเหของวัสดุอินทรีย์สามารถคำนวณได้

ดัชนีหักเหแสงของสารกึ่งตัวนำมีแนวโน้มที่จะเพิ่มขึ้นเมื่อพลังงานช่องว่างแถบลดลง มีความพยายามหลายครั้ง^{[ 55 ]}ในการสร้างแบบจำลองความสัมพันธ์นี้ โดยเริ่มจาก TS Moses ในปี 1949 ^{[ 56 ]}แบบจำลองเชิงประจักษ์สามารถจับคู่ข้อมูลการทดลองกับวัสดุได้หลากหลายชนิด แต่กลับล้มเหลวในกรณีสำคัญ เช่น InSb, PbS และ Ge ^{[ 57 ]}

ความสัมพันธ์เชิงลบระหว่างดัชนีหักเหและพลังงานช่องว่างแถบพลังงาน รวมถึงความสัมพันธ์เชิงลบระหว่างช่องว่างแถบพลังงานและอุณหภูมิ หมายความว่าสารกึ่งตัวนำหลายชนิดแสดงความสัมพันธ์เชิงบวกระหว่างดัชนีหักเหและอุณหภูมิ^{[ 58 ]}ซึ่งตรงกันข้ามกับวัสดุส่วนใหญ่ที่ดัชนีหักเหลดลงตามอุณหภูมิอันเป็นผลมาจากความหนาแน่นของวัสดุที่ลดลง

บางครั้ง “ดัชนีหักเหความเร็วกลุ่ม” ซึ่งมักเรียกว่าดัชนีกลุ่มจะถูกกำหนด โดยที่v _gคือความเร็วกลุ่มค่านี้ไม่ควรสับสนกับnซึ่งกำหนดโดยสัมพันธ์กับความเร็วเฟส เสมอ เมื่อการกระจายตัวมีขนาดเล็ก ความเร็วกลุ่มสามารถเชื่อมโยงกับความเร็วเฟสได้โดยความสัมพันธ์^{[ 43 ] : 22} โดยที่λคือความยาวคลื่นในตัวกลาง ในกรณีนี้ ดัชนีกลุ่มจึงสามารถเขียนได้ในรูปของการพึ่งพาความยาวคลื่นของดัชนีหักเหดังนี้ $${\displaystyle n_{\mathrm {g} }={\frac {\mathrm {c} }{v_{\mathrm {g} }}},}$$$${\displaystyle v_{\mathrm {g} }=v-\lambda {\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} \lambda }},}$$$${\displaystyle n_{\mathrm {g} }={\frac {n}{1+{\frac {\lambda }{n}}{\frac {\mathrm {d} n}{\mathrm {d} \lambda }}}}.}$$

เมื่อทราบดัชนีหักเหของตัวกลางเป็นฟังก์ชันของความยาวคลื่นในสุญญากาศ (แทนที่จะเป็นความยาวคลื่นในตัวกลาง) นิพจน์ที่สอดคล้องกันสำหรับความเร็วกลุ่มและดัชนีจะเป็น (สำหรับค่าการกระจายทั้งหมด) ^{[ 59 ]} โดยที่λ ₀คือความยาวคลื่นในสุญญากาศ $${\displaystyle {\begin{aligned}v_{\mathrm {g} }&=\mathrm {c} \!\left(n-\lambda _{0}{\frac {\mathrm {d} n}{\mathrm {d} \lambda _{0}}}\right)^{-1}\!,\\n_{\mathrm {g} }&=n-\lambda _{0}{\frac {\mathrm {d} n}{\mathrm {d} \lambda _{0}}},\end{aligned}}}$$

จากผลการทดลองของฟิโซ พบ ว่า เมื่อแสงส่องผ่านตัวกลางที่เคลื่อนที่ ความเร็วของแสงเมื่อเทียบกับผู้สังเกตที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วvในทิศทางเดียวกับแสงจะเป็นดังนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}V&={\frac {\mathrm {c} }{n}}+{\frac {v\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}{1+{\frac {v}{cn}}}}\\&\approx {\frac {\mathrm {c} }{n}}+v\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)\,.\end{aligned}}}$$

โมเมนตัมของโฟตอนในตัวกลางที่มีดัชนีหักเหnเป็นประเด็นที่ซับซ้อนและเป็นที่ถกเถียงกันโดยค่าสองค่าที่แตกต่างกันจะมีการตีความทางกายภาพที่แตกต่างกัน^{[ 60 ]}

ดัชนีหักเหของสารสามารถเชื่อมโยงกับค่าสภาพการเหนี่ยวนำทางไฟฟ้า ของสารนั้นได้ ด้วยสมการลอเรนซ์-ลอเรนซ์หรือกับค่าการหักเหของแสงต่อโมลของส่วนประกอบต่างๆ ได้ด้วยความสัมพันธ์ของแกลดสโตน-เดล

ในการใช้งานในบรรยากาศค่าการหักเหของแสงถูกกำหนดเป็นN = n – 1ซึ่งมักจะถูกปรับขนาดใหม่เป็น^{[ 61 ]} N = 10⁶ ( n – 1) ^{[ 62 ] [ 63 ]}หรือ N = 10⁸ ( n – 1); ^{[ 64 ]}ปัจจัยการคูณถูกใช้เนื่องจากดัชนีหักเหของอากาศnเบี่ยงเบนจากหนึ่งไม่เกินไม่กี่ส่วนต่อหมื่น

ในทางกลับกันค่าการหักเหของโมลาร์ เป็นการวัดค่า โพลาไรซ์ ทั้งหมด ของโมลของสาร และสามารถคำนวณได้จากดัชนีหักเห โดย ที่ ρคือความหนาแน่นและ Mคือมวลโมลาร์ [ ^{43 ] : 93} $${\displaystyle A={\frac {M}{\rho }}\cdot {\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}\ ,}$$

ที่ผ่านมา เราได้สมมติว่าการหักเหของแสงนั้นเกิดจากสมการเชิงเส้นที่เกี่ยวข้องกับดัชนีหักเหแบบสเกลาร์ซึ่งคงที่ในทุกตำแหน่ง อย่างไรก็ตาม สมมติฐานเหล่านี้อาจผิดพลาดได้ในหลายรูปแบบ ซึ่งจะอธิบายในหัวข้อถัดไป

ในวัสดุบางชนิด ดัชนีหักเหขึ้นอยู่กับโพลาไรเซชันและทิศทางการแพร่กระจายของแสง^{[ 65 ]}สิ่งนี้เรียกว่าการหักเหสองทิศทางหรือความ ไม่สมมาตร ทางแสง

ในรูปแบบที่ง่ายที่สุด การหักเหสองทิศทางแบบแกนเดียว จะมีทิศทางพิเศษเพียงทิศทางเดียวในวัสดุ แกนนี้เรียกว่าแกนแสงของวัสดุ^{[ 1 ] : 230} แสงที่มีโพลาไรเซชันเชิงเส้นตั้งฉากกับแกนนี้จะมีดัชนีหักเหปกติn _oในขณะที่แสงที่มีโพลาไรเซชันขนานจะมีดัชนีหักเหพิเศษn _e ^{[ 1 ] : 236} การหักเหสองทิศทางของวัสดุคือความแตกต่างระหว่างดัชนีหักเหเหล่านี้Δ n = n _e − n o _[ ^{1 ] : 237} แสง ที่แพร่กระจายในทิศทางของแกนแสงจะไม่ได้รับผลกระทบจากการหักเหสองทิศทาง เนื่องจากดัชนีหักเหจะเป็นn _{o โดย}ไม่ขึ้นอยู่กับโพลาไรเซชัน สำหรับทิศทางการแพร่กระจายอื่นๆ แสงจะแยกออกเป็นลำแสงโพลาไรซ์เชิงเส้นสองลำ สำหรับแสงที่เดินทางตั้งฉากกับแกนแสง ลำแสงจะมีทิศทางเดียวกัน^{[ 1 ] : 233} สามารถใช้เพื่อเปลี่ยนทิศทางการโพลาไรซ์ของแสงโพลาไรซ์เชิงเส้น หรือแปลงระหว่างโพลาไรซ์เชิงเส้น วงกลม และวงรีด้วยแผ่นคลื่น [ ^{1 ] : 237}

ผลึกหลายชนิดมีคุณสมบัติการหักเหของแสงสองทิศทางตามธรรมชาติ แต่ สาร ไอโซโทรปิกเช่นพลาสติกและแก้วก็สามารถทำให้มีคุณสมบัติการหักเหของแสงสองทิศทางได้เช่นกัน โดยการสร้างทิศทางการหักเหของแสงที่ต้องการ เช่น ผ่านแรงภายนอกหรือสนามไฟฟ้า ปรากฏการณ์นี้เรียกว่าโฟโตอิลาสติซิตี้และสามารถใช้เพื่อตรวจสอบความเครียดในโครงสร้างได้ วัสดุที่มีคุณสมบัติการหักเหของแสงสองทิศทางจะถูกวางไว้ระหว่างตัวกรองโพ ลาไรซ์แบบไขว้ การเปลี่ยนแปลงของการหักเหของแสงจะเปลี่ยนทิศทางการโพลาไรซ์ และทำให้สัดส่วนของแสงที่ส่งผ่านตัวกรองโพลาไรซ์ตัวที่สองเปลี่ยนแปลงไปด้วย

ในกรณีทั่วไปของวัสดุไตรรีฟริงเจนท์ที่อธิบายโดยสาขาทัศนศาสตร์ ของ ผลึก ค่าคงที่ไดอิเล็กตริก เป็น เทนเซอร์อันดับ 2 (เมทริกซ์ 3x3) ในกรณีนี้ การแพร่กระจายของแสงไม่สามารถอธิบายได้ง่ายๆ ด้วยดัชนีหักเห ยกเว้นการโพลาไรเซชันตามแกนหลัก

สนามไฟฟ้าแรงสูงของแสงที่มีความเข้มสูง (เช่น แสงที่ปล่อยออกมาจากเลเซอร์ ) อาจทำให้ดัชนีหักเหของตัวกลางเปลี่ยนแปลงไปเมื่อแสงผ่านเข้าไป ทำให้เกิดทัศนศาสตร์แบบไม่เชิงเส้น [ ^{1 ] : 502} หากดัชนีหักเหแปรผันแบบกำลังสองกับสนาม (แปรผันเชิงเส้นกับความเข้ม) จะเรียกว่าปรากฏการณ์เคอร์ทางแสงและทำให้เกิดปรากฏการณ์ต่างๆ เช่นการโฟกัสด้วยตนเองและการปรับเฟสด้วยตนเอง [ ^{1 ] : 264} หากดัชนีหักเหแปรผันเชิงเส้นกับสนาม (สัมประสิทธิ์เชิงเส้นที่ไม่เป็นศูนย์เป็นไปได้เฉพาะในวัสดุที่ไม่มีสมมาตรผกผัน ) จะเรียกว่าปรากฏการณ์พ็อกเกลส์ [ ^{1 ] : 265}

หากดัชนีหักเหของตัวกลางไม่คงที่ แต่แปรผันอย่างค่อยเป็นค่อยไปตามตำแหน่ง วัสดุนั้นจะเรียกว่าตัวกลางดัชนีหักเหแบบไล่ระดับ (GRIN) และอธิบายได้ด้วยทัศนศาสตร์ดัชนีหักเหแบบไล่ระดับ [ ^{1 ] : 273} แสงที่เดินทางผ่านตัวกลางดังกล่าวสามารถหักเหหรือโฟกัสได้ และสามารถนำผลกระทบนี้ไปใช้ในการผลิตเลนส์เส้นใยนำแสงบางชนิดและอุปกรณ์อื่นๆ การนำ องค์ประกอบ GRIN มา ใช้ในการออกแบบระบบออปติกสามารถทำให้ระบบง่ายขึ้นอย่างมาก ลดจำนวนองค์ประกอบลงได้มากถึงหนึ่งในสาม ในขณะที่ยังคงรักษาประสิทธิภาพโดยรวมไว้ได้^{[ 1 ] : 276} เลนส์แก้วตาของมนุษย์เป็นตัวอย่างของ เลนส์ GRINที่มีดัชนีหักเหแปรผันจากประมาณ 1.406 ในแกนกลางไปจนถึงประมาณ 1.386 ที่เปลือกนอกที่มีความหนาแน่นน้อยกว่า^{[ 1 ] : 203} ภาพลวงตาบางอย่างที่พบได้ทั่วไปเกิดจากดัชนีหักเหของอากาศ ที่แปรผันตาม ตำแหน่ง

ดัชนีหักเหของของเหลวหรือของแข็งสามารถกำหนดได้ด้วยเครื่องวัดดัชนี หักเห โดย ทั่วไปแล้วเครื่องวัดดัชนีหักเหจะวัดมุมหักเหหรือมุมวิกฤตสำหรับการสะท้อนกลับทั้งหมดเครื่องวัดดัชนีหักเหในห้องปฏิบัติการเครื่อง แรก ที่วางจำหน่ายในเชิงพาณิชย์ได้รับการพัฒนาโดยErnst Abbeในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 ^{[ 66 ]} หลักการเดียวกันนี้ยังคงใช้ในปัจจุบัน ในเครื่องมือนี้ ชั้นบางๆ ของของเหลวที่จะวัดจะถูกวางไว้ระหว่างปริซึมสองอัน แสงจะส่องผ่านของเหลวที่มุมตกกระทบตั้งแต่ 90° ขึ้นไป กล่าวคือ รังสีแสงขนานกับพื้นผิว ปริซึมอันที่สองควรมีดัชนีหักเหสูงกว่าของเหลว เพื่อให้แสงเข้าสู่ปริซึมเฉพาะที่มุมที่เล็กกว่ามุมวิกฤตสำหรับการสะท้อนกลับทั้งหมด จากนั้นสามารถวัดมุมนี้ได้โดยการมองผ่านกล้องโทรทรรศน์หรือด้วยโฟโตดีเทคเตอร์ ดิจิทัล ที่วางไว้ในระนาบโฟกัสของเลนส์ จากนั้น ดัชนีหักเหnของของเหลวสามารถคำนวณได้จากมุมการส่งผ่านสูงสุดθเป็นn = n _G sin θโดยที่n _Gคือดัชนีหักเหของปริซึม^{[ 67 ]}

อุปกรณ์ประเภทนี้มักใช้ใน ห้องปฏิบัติการ เคมีเพื่อระบุสารและควบคุมคุณภาพรุ่นพกพาใช้ในภาคเกษตรกรรมเช่น โดยผู้ผลิตไวน์เพื่อตรวจสอบปริมาณน้ำตาลใน น้ำ องุ่นและเครื่องวัดการหักเหของแสงแบบติดตั้งในสายการ ผลิต ใช้ใน อุตสาหกรรม เคมีและเภสัชกรรมเพื่อควบคุมกระบวนการผลิต

ในวิชาอัญมณีวิทยามีการใช้เครื่องวัดการหักเหของแสงชนิดอื่นเพื่อวัดดัชนีการหักเหและการหักเหสองทิศทางของอัญมณีโดยวางอัญมณีไว้บนปริซึมที่มีดัชนีการหักเหสูงและส่องสว่างจากด้านล่าง ใช้ของเหลวสัมผัสที่มีดัชนีการหักเหสูงเพื่อให้เกิดการสัมผัสทางแสงระหว่างอัญมณีและปริซึม ที่มุมตกกระทบเล็ก ๆ แสงส่วนใหญ่จะถูกส่งผ่านเข้าไปในอัญมณี แต่ที่มุมสูงจะเกิดการสะท้อนกลับภายในทั้งหมดในปริซึม โดยปกติจะวัดมุมวิกฤตโดยการมองผ่านกล้องโทรทรรศน์^{[ 68 ]}

โครงสร้างทางชีวภาพที่ไม่ผ่านการย้อมสีส่วนใหญ่จะดูโปร่งใสภายใต้กล้องจุลทรรศน์แบบส่องสว่างเนื่องจากโครงสร้างเซลล์ส่วนใหญ่ไม่ลดทอนแสงในปริมาณที่สังเกตได้ อย่างไรก็ตาม ความแตกต่างของวัสดุที่ประกอบเป็นโครงสร้างเหล่านี้ยังสอดคล้องกับความแตกต่างของดัชนีหักเหด้วย เทคนิคต่อไปนี้จะแปลงความแตกต่างดังกล่าวให้เป็นความแตกต่างของแอมพลิจูดที่วัดได้:

ในการวัดการเปลี่ยนแปลงเชิงพื้นที่ของดัชนีหักเหในตัวอย่างจะใช้วิธีการถ่ายภาพแบบคอนทราสต์เฟส วิธีการเหล่านี้จะวัดการเปลี่ยนแปลงของ เฟสของคลื่นแสงที่ออกจากตัวอย่าง เฟสจะเป็นสัดส่วนกับความยาวของเส้นทางแสงที่ลำแสงเดินทางผ่าน และดังนั้นจึงให้ค่าการวัดปริมาณรวมของดัชนีหักเหตามเส้นทางของลำแสง เฟสไม่สามารถวัดได้โดยตรงที่ความถี่แสงหรือความถี่ที่สูงกว่า ดังนั้นจึงจำเป็นต้องแปลงเป็นความเข้มโดยการแทรกสอดกับลำแสงอ้างอิง ในสเปกตรัมแสงที่มองเห็นได้ จะทำโดยใช้กล้องจุลทรรศน์แบบคอนทราสต์เฟส ของ Zernike กล้องจุลทรรศน์แบบคอนทราส ต์การแทรกสอดเชิงอนุพันธ์ (DIC) หรือการ วัดการแทรกสอด

กล้องจุลทรรศน์คอนทราสต์เฟส Zernike นำเสนอการเปลี่ยนเฟสให้กับส่วนประกอบ ความถี่เชิงพื้นที่ต่ำของภาพ ด้วย วงแหวนเปลี่ยนเฟสในระนาบฟูริเยร์ของตัวอย่าง เพื่อให้ส่วนความถี่เชิงพื้นที่สูงของภาพสามารถแทรกแซงกับลำแสงอ้างอิงความถี่ต่ำได้ ในDICการส่องสว่างจะถูกแยกออกเป็นสองลำแสงที่มีโพลาไรเซชันต่างกัน มีการเปลี่ยนเฟสต่างกัน และมีการเลื่อนตามแนวขวางในปริมาณที่แตกต่างกันเล็กน้อย หลังจากผ่านตัวอย่างแล้ว ทั้งสองส่วนจะเกิดการแทรกสอดกัน ทำให้ได้ภาพของอนุพันธ์ของความยาวเส้นทางแสงในทิศทางของความแตกต่างในการเลื่อนตามแนวขวาง^{[ 47 ]}ในการวัดการแทรกสอด การส่องสว่างจะถูกแยกออกเป็นสองลำแสงโดยกระจกสะท้อนแสงบางส่วนลำแสงหนึ่งจะผ่านตัวอย่างก่อนที่จะรวมกันเพื่อแทรกสอดและให้ภาพโดยตรงของการเปลี่ยนเฟส หากการเปลี่ยนแปลงความยาวเส้นทางแสงมากกว่าความยาวคลื่น ภาพจะมีริ้ว

มี เทคนิค การถ่ายภาพเอกซเรย์คอนทราสต์เฟส หลายวิธี ในการกำหนดการกระจายเชิงพื้นที่ 2 มิติหรือ 3 มิติของดัชนีหักเหของตัวอย่างในย่านเอกซเรย์^{[ 69 ]}

ดัชนีหักเหเป็นคุณสมบัติที่สำคัญของส่วนประกอบของเครื่องมือทางแสง ใดๆ มันกำหนดกำลังการโฟกัสของเลนส์ กำลังการกระจายแสงของปริซึม การสะท้อนแสงของสารเคลือบเลนส์^{[ 70 ]}และลักษณะการนำแสงของใยแก้วนำแสง^{[ 71 ]}เนื่องจากดัชนีหักเหเป็นคุณสมบัติทางกายภาพพื้นฐานของสาร จึงมักใช้ในการระบุสารเฉพาะ ยืนยันความบริสุทธิ์ หรือวัดความเข้มข้น ดัชนีหักเหใช้ในการวัดของแข็ง ของเหลว และก๊าซ ตัวอย่างเช่น สามารถใช้เพื่อวัดความเข้มข้นของตัวถูกละลายใน สารละลาย ในน้ำ^{[ 72 ]}นอกจากนี้ยังสามารถใช้เป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์ในการแยกแยะความแตกต่างระหว่างอัญมณีประเภทต่างๆ เนื่องจากความแวววาวที่ เป็นเอกลักษณ์ของ หินแต่ละก้อนเครื่องวัดดัชนีหักเหเป็นเครื่องมือที่ใช้ในการวัดดัชนีหักเห สำหรับสารละลายน้ำตาล ดัชนีหักเหสามารถใช้เพื่อกำหนดปริมาณน้ำตาล (ดูBrix )

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับการหักเหของแสง

• เครื่องคำนวณของ NIST สำหรับหาค่าดัชนีหักเหของอากาศ
• วัสดุไดอิเล็กทริก
• วิทยาศาสตร์โลก
• ฐานข้อมูลออนไลน์ของ Filmeticsฐานข้อมูลฟรีเกี่ยวกับดัชนีหักเหและสัมประสิทธิ์การดูดกลืนแสง
• RefractiveIndex.INFOฐานข้อมูลดัชนีหักเหแสง พร้อมฟังก์ชันการสร้างกราฟและการกำหนดค่าพารามิเตอร์ของข้อมูลแบบออนไลน์
• LUXPOP เก็บถาวรเมื่อ 2013-09-07 ที่Wayback Machineดัชนีหักเหของฟิล์มบางและวัสดุขนาดใหญ่ และการคำนวณทางโฟโตนิกส์
• หนังสือบรรยายวิชาฟิสิกส์ของเฟย์นแมน เล่มที่ 2 บทที่ 32: ดัชนีหักเหของวัสดุหนาแน่น