การหักเห สองทิศทาง หรือที่เรียกว่าการหักเหคู่เป็นคุณสมบัติทางแสงของวัสดุที่มีดัชนีหักเหซึ่งขึ้นอยู่กับ ทิศทางการ โพลาไรเซชันและการแพร่กระจายของแสง^{[ 1 ]} วัสดุที่มีคุณสมบัติทางแสงแบบแอ น ไอ โซโทรปิกเหล่านี้เรียกว่าวัสดุที่มีการหักเหสองทิศทางหรือการหักเหสอง ทิศทาง การหักเห สองทิศทางมักจะถูกวัดเป็นความแตกต่างสูงสุดระหว่างดัชนีหักเหที่แสดงโดยวัสดุ ผลึกที่ มี โครงสร้างผลึกที่ไม่ใช่ลูกบาศก์มักจะมีการหักเหสองทิศทาง เช่นเดียวกับพลาสติกภายใต้ความเค้นทางกล

การหักเหสองทิศทางเป็นสาเหตุของปรากฏการณ์การหักเหสองครั้งโดยที่รังสีของแสง เมื่อตกกระทบวัสดุที่มีการหักเหสองทิศทาง จะถูกแยกออกเป็นสองรังสีโดยการโพลาไรเซชัน ซึ่งมีเส้นทางที่แตกต่างกันเล็กน้อย ปรากฏการณ์นี้ได้รับการอธิบายครั้งแรกโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวเดนมาร์กRasmus Bartholinในปี 1669 ซึ่งสังเกตเห็น^{[ 2 ]}ใน ผลึก ไอซ์แลนด์สปาร์ ( แคลไซต์ ) ซึ่งมีการหักเหสองทิศทางที่แข็งแกร่งที่สุด ในศตวรรษที่ 19 Augustin-Jean Fresnelได้อธิบายปรากฏการณ์นี้ในแง่ของโพลาไรเซชัน โดยเข้าใจว่าแสงเป็นคลื่นที่มีส่วนประกอบของสนามในโพลาไรเซชันตามขวาง (ตั้งฉากกับทิศทางของเวกเตอร์คลื่น) ^{[ 3 ] [ 4 ]}

คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของการแพร่กระจายคลื่นในตัวกลางที่มีคุณสมบัติการหักเหสองทิศทางแสดงไว้ด้านล่างต่อไปนี้เป็นคำอธิบายเชิงคุณภาพของปรากฏการณ์ดังกล่าว

การหักเหสองทิศทางที่ง่ายที่สุดเรียกว่าแบบแกนเดียวหมายความว่ามีทิศทางเดียวที่ควบคุมความไม่สมมาตรทางแสง โดยที่ทุกทิศทางที่ตั้งฉากกับทิศทางนั้น (หรือทำมุมที่กำหนดกับทิศทางนั้น) จะมีคุณสมบัติทางแสงเทียบเท่ากัน ดังนั้นการหมุนวัสดุรอบแกนนี้จึงไม่เปลี่ยนแปลงพฤติกรรมทางแสง ทิศทางพิเศษนี้เรียกว่าแกนแสงของวัสดุ แสงที่แพร่กระจายขนานกับแกนแสง (ซึ่งการโพลาไรเซชันจะตั้งฉากกับแกนแสงเสมอ) จะถูกควบคุมโดยดัชนีหักเหn₀ (สำหรับ "ธรรมดา") โดยไม่คำนึงถึงการโพลาไรเซชันเฉพาะของมัน สำหรับรังสีที่มีทิศทางการแพร่กระจายอื่น ๆ _{จะ มีการโพลาไรเซชันเชิงเส้นหนึ่ง ค่า}ที่ตั้งฉากกับแกนแสง และรังสีที่มีการโพลาไรเซชันนั้นเรียกว่ารังสีธรรมดา และถูกควบคุมโดยค่าดัชนีหักเห n₀เดียวกันสำหรับรังสีที่แพร่กระจายไปในทิศทางเดียวกัน แต่มีโพลาไรเซชันตั้งฉากกับรังสีปกติ ทิศทางของโพลาไรเซชันจะอยู่ในทิศทางของ (ขนานกับ) แกนแสงบางส่วน และรังสีพิเศษ นี้ จะถูกควบคุมโดยดัชนีหักเหที่แตกต่างกันซึ่งขึ้นอยู่กับทิศทางเนื่องจากดัชนีหักเหขึ้นอยู่กับโพลาไรเซชัน เมื่อแสงที่ไม่มีโพลาไรซ์เข้าสู่วัสดุไบรีฟริงเจนต์แบบแกนเดียว แสงจะถูกแยกออกเป็นสองลำแสงที่เดินทางในทิศทางที่แตกต่างกัน ลำแสงหนึ่งมีโพลาไรเซชันของรังสีปกติ และอีกลำแสงหนึ่งมีโพลาไรเซชันของรังสีพิเศษ รังสีปกติจะมีดัชนีหักเหเท่ากับn _o เสมอ ในขณะที่ดัชนีหักเหของรังสีพิเศษจะอยู่ระหว่างn _oและn _eขึ้นอยู่กับทิศทางของรังสีตามที่อธิบายโดยวงรีดัชนีขนาดของความแตกต่างจะถูกวัดโดยไบรีฟริงเจนซ์^{[ 5 ]}

${\displaystyle \Delta n=n_{\mathrm {e} }-n_{\mathrm {o} }\,.}$

การแพร่กระจาย (รวมถึงสัมประสิทธิ์การสะท้อน ) ของรังสีธรรมดาอธิบายได้ง่ายๆ ด้วยn _oราวกับว่าไม่มีการหักเหสองทิศทางเข้ามาเกี่ยวข้อง ส่วนรังสีพิเศษนั้น ดังชื่อที่บ่งบอก แพร่กระจายไม่เหมือนคลื่นใดๆ ในวัสดุทางแสงที่เป็นไอโซโทรปิก การหักเห (และการสะท้อน) ของมันที่พื้นผิวสามารถเข้าใจได้โดยใช้ดัชนีหักเหประสิทธิผล (ค่าระหว่างn _oและn _e ) การไหลของพลังงาน (กำหนดโดยเวกเตอร์พอยน์ติง ) ไม่ได้อยู่ในทิศทางของเวกเตอร์คลื่น อย่างแม่นยำ สิ่งนี้ทำให้เกิดการเลื่อนเพิ่มเติมในลำแสงนั้น แม้ว่าจะยิงที่มุมตกกระทบปกติก็ตาม ดังที่สังเกตได้ทั่วไปโดยใช้ผลึกแคลไซต์ดังภาพด้านบน การหมุนผลึกแคลไซต์จะทำให้ภาพหนึ่งในสองภาพ คือภาพของรังสีพิเศษ หมุนเล็กน้อยรอบๆ ภาพของรังสีธรรมดา ซึ่งยังคงอยู่กับที่

เมื่อแสงเคลื่อนที่ไปตามแนวหรือตั้งฉากกับแกนแสง การเลื่อนด้านข้าง (หรือภาพหักเหสองชั้น) จะไม่เกิดขึ้น ในกรณีแรก โพลาไรเซชันทั้งสองจะตั้งฉากกับแกนแสงและมีดัชนีหักเหประสิทธิผลเดียวกัน ดังนั้นจึงไม่มีรังสีพิเศษ ในกรณีที่สอง รังสีพิเศษจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเฟสที่ต่างกัน (สอดคล้องกับn _e ) แต่ยังคงมีการไหลของพลังงานในทิศทางของเวกเตอร์คลื่นผลึกที่มีแกนแสงขนานกับพื้นผิวแสง อาจใช้สร้างแผ่นคลื่นซึ่งไม่มีการบิดเบือนของภาพ แต่เป็นการปรับเปลี่ยนสถานะโพลาไรเซชันของคลื่นตกกระทบโดยเจตนา ตัวอย่างเช่นแผ่นคลื่นควอเตอร์มักใช้เพื่อสร้างโพลาไรเซชันแบบวงกลมจากแหล่งกำเนิดแสงโพลาไรซ์เชิงเส้น

กรณีของผลึกที่เรียกว่าผลึกสองแกนนั้นมีความซับซ้อนมากกว่ามาก^{[ 6 ]}ผลึกเหล่านี้มีลักษณะเฉพาะด้วย ดัชนี หักเหสามค่าที่สอดคล้องกับแกนหลักสามแกนของผลึก สำหรับทิศทางรังสีส่วนใหญ่ โพลา ไรเซชัน ทั้งสองจะถูกจัดประเภทเป็นรังสีพิเศษ แต่มีดัชนีหักเหประสิทธิผลที่แตกต่างกัน เนื่องจากเป็นคลื่นพิเศษ ทิศทางการไหลของพลังงานจึงไม่เหมือนกับทิศทางของเวกเตอร์คลื่นในทั้งสองกรณี

สามารถกำหนดค่าดัชนีหักเหทั้งสองได้โดยใช้ทรงรีของดัชนีสำหรับทิศทางการโพลาไรเซชันที่กำหนด โปรดทราบว่าสำหรับผลึกแบบสองแกน ทรงรีของดัชนีจะไม่ใช่ทรงรีหมุนรอบแกน (" ทรงรี ") แต่จะถูกอธิบายด้วยค่าดัชนีหักเหหลักที่ไม่เท่ากันสามค่า_คือnα _, nβ และ nγ ดังนั้น จึงไม่มีแกน _ใดที่การหมุนรอบแกนนั้นจะทำให้คุณสมบัติทางแสงไม่เปลี่ยนแปลง (เช่นเดียวกับผลึกแบบแกนเดียวซึ่งทรงรีของดัชนีเป็นทรงรี)

แม้ว่าจะไม่มีแกนสมมาตร แต่ก็มีแกนแสงหรือไบนอร์มอลสองแกนซึ่งกำหนดเป็นทิศทางที่แสงสามารถแพร่กระจายได้โดยไม่มีการหักเหสองทิศทาง กล่าวคือ ทิศทางที่ความยาวคลื่นไม่ขึ้นอยู่กับโพลาไรเซชัน^{[ 6 ]}ด้วยเหตุนี้ วัสดุที่มีการหักเหสองทิศทางที่มีดัชนีหักเหที่แตกต่างกันสามค่าจึงเรียกว่าไบแอ็กเซียลนอกจากนี้ ยังมีแกนที่แตกต่างกันสองแกนที่เรียกว่าแกนรังสีแสงหรือไบเรเดียลซึ่งความเร็วกลุ่มของแสงไม่ขึ้นอยู่กับโพลาไรเซชัน

เมื่อลำแสงใดๆ ตกกระทบพื้นผิวของวัสดุที่มีคุณสมบัติการหักเหสองทิศทางในมุมที่ไม่ตั้งฉาก องค์ประกอบของโพลาไรเซชันที่ตั้งฉากกับแกนแสง (รังสีปกติ) และโพลาไรเซชันเชิงเส้นอีกแบบหนึ่ง (รังสีพิเศษ) จะถูกหักเหไปในเส้นทางที่แตกต่างกันเล็กน้อย แสงธรรมชาติ หรือที่เรียกว่าแสงที่ไม่โพลาไรซ์ประกอบด้วยพลังงานในปริมาณเท่ากันในโพลาไรเซชันสองแบบที่ตั้งฉากกัน แม้แต่แสงโพลาไรซ์เชิงเส้นก็ยังมีพลังงานอยู่ในทั้งสองโพลาไรเซชัน เว้นแต่จะวางตัวตามแนวแกนใดแกนหนึ่งของแกนการหักเหสองทิศทาง ตามกฎการหักเหของสเนลล์ มุมการหักเหทั้งสองจะถูกกำหนดโดยดัชนีหักเห ประสิทธิผล ของโพลาไรเซชันทั้งสองนี้ สิ่งนี้เห็นได้ชัดเจน เช่น ในปริซึมวอลลาสตัน ซึ่งแยกแสงที่เข้ามาออกเป็นสองโพลาไรเซชันเชิงเส้นโดยใช้ปริซึมที่ประกอบด้วยวัสดุที่มีคุณสมบัติการหักเห สอง ทิศทาง เช่นแคลไซต์

ภาพด้านบนของหน้านี้แสดงมุมการหักเหที่แตกต่างกันสำหรับส่วนประกอบโพลาไรเซชันทั้งสอง โดยแกนแสงอยู่ตามพื้นผิว (และตั้งฉากกับระนาบการตกกระทบ ) ดังนั้นมุมการหักเหจึงแตกต่างกันสำหรับ โพลาไรเซชัน p (ในกรณีนี้คือ "รังสีธรรมดา" ซึ่งมีเวกเตอร์ไฟฟ้าตั้งฉากกับแกนแสง) และ โพลาไรเซชัน s (ในกรณีนี้คือ "รังสีพิเศษ" ซึ่งโพลาไรเซชันสนามไฟฟ้ามีส่วนประกอบในทิศทางของแกนแสง) การหักเหสองชั้นในรูปแบบที่แตกต่างกันเกิดขึ้นแม้กระทั่งกับการตกกระทบแบบตั้งฉาก ในกรณีที่แกนแสงไม่ได้อยู่ตามพื้นผิวการหักเห (หรือไม่ได้ตั้งฉากกับพื้นผิวอย่างแม่นยำ) ในกรณีนี้ โพลาไรเซชันไดอิเล็กทริกของวัสดุไบรีฟริงเจนท์ไม่ได้อยู่ในทิศทางของสนามไฟฟ้า ของคลื่น สำหรับรังสีพิเศษ อย่างแม่นยำ ทิศทางการไหลของพลังงาน (กำหนดโดยเวกเตอร์ Poynting ) สำหรับคลื่นที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันนี้ จะทำมุมจำกัดกับทิศทางของเวกเตอร์คลื่นส่งผลให้เกิดการแยกตัวเพิ่มเติมระหว่างลำแสงเหล่านี้ ดังนั้นแม้ในกรณีของการตกกระทบแบบตั้งฉาก ซึ่งเราจะคำนวณมุมการหักเหเป็นศูนย์ (ตามกฎของ Snell โดยไม่คำนึงถึงดัชนีหักเหประสิทธิผล) พลังงานของรังสีพิเศษจะแพร่กระจายไปในมุมหนึ่ง หากออกจากผลึกผ่านด้านที่ขนานกับด้านที่เข้ามา ทิศทางของรังสีทั้งสองจะกลับคืนมา แต่จะเหลือการเลื่อนระหว่างลำแสงทั้งสองไว้ โดยทั่วไปจะสังเกตเห็นได้โดยใช้ชิ้นส่วนของแคลไซต์ที่ตัดตามรอยแตกตามธรรมชาติ วางไว้เหนือกระดาษที่มีตัวหนังสือ ดังในภาพถ่ายด้านบน ดังนั้นแผ่นคลื่น จึง มีแกนแสงอยู่ตามพื้นผิวของแผ่นโดยเฉพาะ เพื่อให้เมื่อเกิดการตกกระทบแบบตั้งฉาก (โดยประมาณ) จะไม่มีการเลื่อนในภาพจากแสงที่มีโพลาไรเซชันใดๆ เพียงแต่เป็นการเลื่อนเฟส สัมพัทธ์ ระหว่างคลื่นแสงทั้งสอง เท่านั้น

งานวิจัยส่วนใหญ่ที่เกี่ยวข้องกับโพลาไรเซชันเกิดขึ้นก่อนที่เราจะเข้าใจว่าแสงเป็นคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ตามขวาง และสิ่งนี้ส่งผลต่อคำศัพท์บางคำที่ใช้กันอยู่ วัสดุไอโซโทรปิกมีความสมมาตรในทุกทิศทาง และดัชนีหักเหจะเท่ากันไม่ว่าทิศทางโพลาไรเซชันจะเป็นอย่างไร ส่วนวัสดุแอนไอโซโทรปิกเรียกว่า "ไบรีฟริงเจนท์" เพราะโดยทั่วไปแล้วมันจะหักเหรังสีที่เข้ามาเพียงลำเดียวในสองทิศทาง ซึ่งปัจจุบันเราเข้าใจแล้วว่าสอดคล้องกับโพลาไรเซชันที่แตกต่างกันสองแบบ นี่เป็นจริงสำหรับวัสดุแบบแกนเดียวหรือแบบสองแกนก็ได้

ในวัสดุแกนเดียว รังสีหนึ่งจะประพฤติตามกฎการหักเหปกติ (ซึ่งสอดคล้องกับดัชนีหักเหปกติ) ดังนั้นรังสีที่ตกกระทบในแนวตั้งฉากจะยังคงตั้งฉากกับพื้นผิวการหักเห ดังที่ได้อธิบายไว้ข้างต้น โพลาไรเซชันอีกแบบหนึ่งอาจเบี่ยงเบนจากการตกกระทบในแนวตั้งฉาก ซึ่งไม่สามารถอธิบายได้โดยใช้กฎการหักเห ดังนั้นจึงเรียกสิ่งนี้ว่ารังสีพิเศษคำว่า "ปกติ" และ "พิเศษ" ยังคงใช้กับส่วนประกอบของโพลาไรเซชันที่ตั้งฉากและไม่ตั้งฉากกับแกนแสงตามลำดับ แม้ในกรณีที่ไม่มีการหักเหสองชั้นเกิดขึ้นก็ตาม

วัสดุจะถูกเรียกว่าเป็นแบบแกนเดียว (uniaxial)เมื่อมันมีทิศทางสมมาตรเพียงทิศทางเดียวในพฤติกรรมทางแสง ซึ่งเราเรียกว่าแกนแสง (optic axis) แกนแสงนี้ยังเป็นแกนสมมาตรของทรงรีดัชนีหักเห (ในกรณีนี้คือทรงรีกลม) ด้วย ทรงรีดัชนีหักเหยังคงสามารถอธิบายได้ตามดัชนีหักเห_{nα ,} nβและnγตาม_แกนพิกัดสามแกน ในกรณีนี้มีสองแกนที่เท่ากัน ดังนั้นถ้าnα ₌ nβที่สอดคล้องกับ แกน xและyแล้ว ดัชนีหักเหพิเศษคือnγ _ที่สอดคล้องกับ แกน z ซึ่ง ในกรณีนี้ _{เรียก}ว่าแกนแสง เช่นกัน

วัสดุที่มีดัชนีหักเหทั้งสามค่าแตกต่างกันเรียกว่า วัสดุไบแอ็กเซียล(biaxial)และที่มาของคำนี้มีความซับซ้อนและมักเข้าใจผิดกัน ในผลึกยูนิแอ็กเซียล (uniaxial) ส่วนประกอบของโพลาไรเซชันที่แตกต่างกันของลำแสงจะเดินทางด้วยความเร็วเฟสที่ต่างกันยกเว้นรังสีในทิศทางที่เราเรียกว่าแกนแสง ดังนั้น แกนแสงจึงมีคุณสมบัติพิเศษที่ว่ารังสีในทิศทางนั้นจะไม่แสดงการหักเหสองทิศทาง (birefringence) โดยโพลาไรเซชันทั้งหมดในลำแสงดังกล่าวจะมีดัชนีหักเหเท่ากัน แต่จะแตกต่างกันมากเมื่อดัชนีหักเหหลักทั้งสามค่าแตกต่างกัน ในกรณีนี้ รังสีที่เข้ามาในทิศทางหลักใดๆ ก็ตามจะยังคงพบกับดัชนีหักเหที่แตกต่างกันสองค่า แต่ปรากฏว่ามีสองทิศทางพิเศษ (ทำมุมกับแกนทั้งสาม) ที่ดัชนีหักเหสำหรับโพลาไรเซชันที่แตกต่างกันจะเท่ากันอีกครั้ง ด้วยเหตุนี้ ผลึกเหล่านี้จึงถูกกำหนดให้เป็นไบแอ็กเซียลโดย "แกน" ทั้งสองในที่นี้หมายถึงทิศทางของรังสีที่การแพร่กระจายไม่เกิดการหักเหสองทิศทาง

ในวัสดุไบรีฟริงเจนท์ คลื่นประกอบด้วยส่วนประกอบโพลาไรเซชันสองส่วน ซึ่งโดยทั่วไปจะถูกควบคุมโดยดัชนีหักเหประสิทธิผลที่แตกต่างกันรังสีช้าคือส่วนประกอบที่วัสดุมีดัชนีหักเหประสิทธิผลสูงกว่า (ความเร็วเฟสช้ากว่า) ในขณะที่รังสีเร็วคือส่วนประกอบที่มีดัชนีหักเหประสิทธิผลต่ำกว่า เมื่อลำแสงตกกระทบวัสดุดังกล่าวจากอากาศ (หรือวัสดุใดๆ ที่มีดัชนีหักเหต่ำกว่า) รังสีช้าจึงหักเหเข้าหาแนวตั้งฉากมากกว่ารังสีเร็ว ในรูปตัวอย่างด้านบนของหน้านี้ จะเห็นได้ว่ารังสีหักเหที่มี โพลาไรเซชัน s (ที่มีการสั่นทางไฟฟ้าตามทิศทางของแกนแสง จึงเรียกว่ารังสีพิเศษ^{[ 7 ]} ) คือรังสีช้าในสถานการณ์ที่กำหนด

การใช้แผ่นวัสดุบางๆ ที่ทำมุมตกกระทบปกติ จะทำให้เกิดแผ่นคลื่นขึ้นในกรณีนี้ แทบจะไม่มีการแยกตัวเชิงพื้นที่ระหว่างโพลาไรเซชันเลย เฟสของคลื่นในโพลาไรเซชันขนาน (รังสีช้า) จะล่าช้ากว่าโพลาไรเซชันตั้งฉาก ดังนั้นทิศทางเหล่านี้จึงเรียกว่าแกนช้าและแกนเร็วของแผ่นคลื่น

การหักเหสองทิศทางแบบแกนเดียวจัดเป็นบวกเมื่อดัชนีหักเหพิเศษn _eมากกว่าดัชนีหักเหปกติn _oการหักเหสองทิศทางแบบลบหมายความว่าΔ n = n _e − n _oน้อยกว่าศูนย์^{[ 8 ]}กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ การโพลาไรเซชันของคลื่นเร็ว (หรือคลื่นช้า) จะตั้งฉากกับแกนแสงเมื่อการหักเหสองทิศทางของผลึกเป็นบวก (หรือลบ ตามลำดับ) ในกรณีของผลึกแบบสองแกน แกนหลักทั้งสามมีดัชนีหักเหที่แตกต่างกัน ดังนั้นการกำหนดนี้จึงใช้ไม่ได้ แต่สำหรับทิศทางรังสีที่กำหนดใดๆ ก็สามารถกำหนดโพลาไรเซชันของรังสีเร็วและรังสีช้าได้เช่นกัน

แม้ว่าแหล่งกำเนิดการหักเหสองทิศทางที่รู้จักกันดีที่สุดคือการที่แสงเข้าสู่ผลึกที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน แต่ก็สามารถเกิดขึ้นได้ใน วัสดุ ที่เป็นเนื้อเดียวกันทางแสง ได้ ในหลายวิธี:

• ปรากฏการณ์ การหักเหของแสงเนื่องจากความเค้น เกิดขึ้นเมื่อของแข็งที่เป็นเนื้อเดียวกันโดยปกติถูกความเค้นและการเปลี่ยนแปลงรูปร่าง (เช่น การยืดหรือการดัดงอ) ทำให้สูญเสียความเป็นเนื้อเดียวกันทางกายภาพ และส่งผลให้สูญเสียความเป็นเนื้อเดียวกันในเทนเซอร์สภาพยอมทางไฟฟ้าของวัสดุด้วย
• ปรากฏการณ์การหักเหสองทิศทาง (birefringence) เกิดขึ้นเมื่อองค์ประกอบโครงสร้าง เช่น แท่งที่มีดัชนีหักเหหนึ่งค่า ถูกแขวนลอยอยู่ในตัวกลางที่มีดัชนีหักเหแตกต่างกัน เมื่อระยะห่างระหว่างจุดในโครงสร้างมีขนาดเล็กกว่าความยาวคลื่นมาก โครงสร้างดังกล่าวจะถูกเรียกว่า เมตามาเทเรียล (metamaterial )
• โดยอาศัยปรากฏการณ์พ็อกเคลส์หรือ เคอร์ ซึ่งสนามไฟฟ้าที่ใช้เหนี่ยวนำให้เกิดการหักเหสองทิศทางเนื่องจากทัศนศาสตร์แบบไม่เชิงเส้น
• โดยการจัดเรียงตัวด้วยตนเองหรือโดยบังคับให้เป็นฟิล์มบางๆ ของ โมเลกุลแอม ฟิฟิลิกเช่นลิปิดสารลดแรงตึงผิวบางชนิดหรือผลึกเหลว
• โดยทั่วไปแล้ว การหักเหของแสงแบบวงกลมจะไม่เกิดขึ้นในวัสดุที่เป็นเนื้อเดียวกัน แต่จะเกิดขึ้นในวัสดุที่เป็นไครัล มากกว่า ซึ่งอาจรวมถึงของเหลวที่มี โมเลกุลไครัลที่มีไอโซเมอร์ เชิงแสงมากเกินไปกล่าวคือ โมเลกุลที่มีสเตอริโอไอโซเมอร์
• จากปรากฏการณ์ฟาราเดย์ซึ่งสนามแม่เหล็กตามแนวยาวทำให้วัสดุบางชนิดเกิดการหักเหแบบวงกลม (มีดัชนีหักเหแตกต่างกันเล็กน้อยสำหรับโพลา ไรเซชันแบบวงกลมซ้ายและขวา) คล้ายกับการเกิดกิจกรรมทางแสงในขณะที่สนามแม่เหล็กถูกใช้งาน

วัสดุที่มีคุณสมบัติการหักเหสองทิศทางที่มีลักษณะเฉพาะดีที่สุดคือผลึกเนื่องจากโครงสร้างผลึก ที่เฉพาะเจาะจง ดัชนีการหักเหของแสงจึงถูกกำหนดไว้อย่างดี ขึ้นอยู่กับสมมาตรของโครงสร้างผลึก (ซึ่งกำหนดโดยกลุ่มจุดผลึกศาสตร์ 32 กลุ่มที่เป็นไปได้ ) ผลึกในกลุ่มนั้นอาจถูกบังคับให้เป็นไอโซโทรปิก (ไม่มีการหักเหสองทิศทาง) มีสมมาตรแบบแกนเดียว หรือไม่มีทั้งสองอย่าง ซึ่งในกรณีนี้จะเป็นผลึกแบบสองแกน โครงสร้างผลึกที่อนุญาตให้มีการหักเหสองทิศทางแบบแกนเดียวและแบบสองแกนนั้นระบุไว้ในตารางสองตารางด้านล่าง ซึ่งแสดงรายการดัชนีการหักเหหลักสองหรือสามค่า (ที่ความยาวคลื่น 590 นาโนเมตร) ของผลึกบางชนิดที่เป็นที่รู้จักกันดี^{[ 9 ]}

นอกจากการหักเหของแสงที่เกิดขึ้นขณะอยู่ภายใต้ความเค้นแล้วพลาสติก หลายชนิด ยังเกิดการหักเหของแสงถาวรในระหว่างการผลิตเนื่องจากความเค้นที่ "ถูกตรึงไว้" อันเนื่องมาจากแรงทางกลที่มีอยู่เมื่อพลาสติกถูกขึ้นรูปหรืออัดรีด^{[ 10 ]}ตัวอย่างเช่นเซลโลเฟน ธรรมดา มีการหักเหของแสงโพลาไรเซอร์ถูกใช้เป็นประจำเพื่อตรวจจับความเค้น ไม่ว่าจะเป็นความเค้นที่เกิดขึ้นหรือถูกตรึงไว้ ในพลาสติก เช่นโพลีสไตรีนและโพลีคาร์บอเนต

เส้นใย ฝ้ายมีคุณสมบัติการหักเหของแสงสองทิศทาง เนื่องจากมีปริมาณเซลลูโลสสูงในผนังเซลล์ทุติยภูมิของเส้นใย ซึ่งเรียงตัวในทิศทางเดียวกับเส้นใยฝ้าย

กล้องจุลทรรศน์แสงโพลาไรซ์มักใช้ในเนื้อเยื่อชีวภาพ เนื่องจากวัสดุชีวภาพหลายชนิดมีการหักเหแสงแบบเชิงเส้นหรือแบบวงกลม คอลลาเจนซึ่งพบในกระดูกอ่อน เอ็น กระดูก กระจกตา และบริเวณอื่นๆ ในร่างกาย มีการหักเหแสงและมักศึกษาด้วยกล้องจุลทรรศน์แสงโพลาไรซ์^{[ 11 ]}โปรตีนบางชนิดก็มีการหักเหแสงเช่นกัน โดยแสดงการหักเหแสงตามรูปร่าง^{[ 12 ]}

ความไม่สมบูรณ์ในการผลิตใยแก้วนำแสงที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ นำไปสู่การหักเหสองทิศทาง ซึ่งเป็นสาเหตุหนึ่งของการขยายตัวของพัลส์ในการสื่อสารด้วยใยแก้วนำแสง ความไม่สมบูรณ์ดังกล่าวอาจเป็นทางเรขาคณิต (เช่น ขาดสมมาตรแบบวงกลม) หรือเกิดจากแรงกดด้านข้างที่ไม่เท่ากันที่กระทำต่อใยแก้วนำแสง การหักเหสองทิศทางนั้นเกิดขึ้น โดยเจตนา (เช่น โดยการทำให้หน้าตัดเป็นรูปวงรี) เพื่อผลิต ใยแก้ว นำแสงที่รักษาการโพลาไรเซชันการหักเหสองทิศทางสามารถเหนี่ยวนำ (หรือแก้ไข) ได้ในใยแก้วนำแสงโดยการดัดงอ ซึ่งทำให้เกิดความไม่สมมาตรในรูปทรงและแรงกด ขึ้นอยู่กับแกนที่ดัดงอและรัศมีของความโค้ง

นอกเหนือจากความไม่สมมาตรในสภาพการเหนี่ยวนำทางไฟฟ้าแล้ว ความไม่สมมาตรในสภาพการซึมผ่านทางแม่เหล็กก็อาจเป็นแหล่งที่มาของการหักเหสองทิศทางได้เช่นกัน ที่ความถี่แสง วัสดุธรรมชาติไม่มีสภาพการเหนี่ยวนำทางแม่เหล็กที่วัดได้ ( μ = μ₀ ) ดังนั้นจึงไม่ใช่แหล่งที่มาของการหักเหสองทิศทางที่ _{แท้จริง}

การหักเหสองทิศทางและปรากฏการณ์ทางแสงอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกับโพลาไรเซชัน (เช่นการหมุนเชิงแสงและไดโครอิซึมเชิงเส้นหรือเชิงวงกลม ) สามารถสังเกตได้โดยการวัดการเปลี่ยนแปลงของโพลาไรเซชันของแสงที่ผ่านวัสดุ การวัดเหล่านี้เรียกว่าโพลาไรเมตรี กล้องจุลทรรศน์แสงโพลาไรซ์ ซึ่งประกอบด้วยตัวกรองโพลาไรซ์สองตัวที่ทำมุม 90° กันที่ด้านใดด้านหนึ่งของตัวอย่าง ใช้ในการมองเห็นการหักเหสองทิศทาง เนื่องจากแสงที่ไม่ได้รับผลกระทบจากการหักเหสองทิศทางจะยังคงอยู่ในโพลาไรเซชันที่ถูกตัวกรองโพลาไรซ์ตัวที่สอง ("ตัววิเคราะห์") ปฏิเสธโดยสิ้นเชิง การเพิ่มแผ่นควอเตอร์เวฟช่วยให้สามารถตรวจสอบโดยใช้แสงโพลาไรซ์แบบวงกลมได้ การกำหนดการเปลี่ยนแปลงสถานะโพลาไรเซชันโดยใช้อุปกรณ์ดังกล่าวเป็นพื้นฐานของเอลลิปโซเมตรีซึ่งสามารถวัดคุณสมบัติทางแสงของพื้นผิวสะท้อนแสงได้ผ่านการสะท้อน

การวัดค่าการหักเหสองทิศทางได้ดำเนินการโดยใช้ระบบปรับเฟสเพื่อตรวจสอบพฤติกรรมการไหลชั่วคราวของของเหลว^{[ 14 ] [ 15 ]}สามารถวัดค่าการหักเหสองทิศทางของชั้นไขมัน สองชั้นได้โดยใช้ การแทรกสอดแบบโพลาไรซ์คู่ซึ่งให้การวัดระดับความเป็นระเบียบภายในชั้นของเหลวเหล่านี้ และวิธีที่ความเป็นระเบียบนี้ถูกรบกวนเมื่อชั้นดังกล่าวมีปฏิสัมพันธ์กับโมเลกุลชีวภาพอื่นๆ

สำหรับการวัดค่าการหักเหของแสงแบบ 3 มิติสามารถใช้ เทคนิคที่อิงตามโทโมกราฟีโฮโลแกรม[1] ได้

การหักเหสองทิศทาง ( Birefringence) ถูกนำมาใช้ในอุปกรณ์ทางแสงหลายชนิดจอแสดงผลคริสตัลเหลว ( LCD) ซึ่ง เป็นจอแสดงผลแบบแบนที่พบได้บ่อยที่สุดทำให้พิกเซลสว่างขึ้นหรือมืดลงโดยการหมุนทิศทางการโพลาไรซ์ (การหักเหสองทิศทางแบบวงกลม) ของแสงโพลาไรซ์เชิงเส้นที่มองผ่านแผ่นโพลาไรเซอร์ที่พื้นผิวของหน้าจอ ในทำนองเดียวกันตัวปรับแสง (Light Modulator)ปรับความเข้มของแสงผ่านการหักเหสองทิศทางที่เหนี่ยวนำด้วยไฟฟ้าของแสงโพลาไรซ์ที่ผ่านโพลาไรเซอร์ ตัวกรอง Lyotเป็นตัวกรองสเปกตรัมแบบแถบความถี่แคบพิเศษที่ใช้ประโยชน์จากการพึ่งพาความยาวคลื่นของการหักเหสองทิศทาง แผ่นคลื่น (Waveplate)เป็นแผ่นบางๆ ที่มีคุณสมบัติการหักเหสองทิศทาง ซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในอุปกรณ์ทางแสงบางชนิดเพื่อปรับเปลี่ยนสถานะการโพลาไรซ์ของแสงที่ผ่านเข้าไป

ในการผลิตโพลาไรเซอร์ที่มีการส่งผ่านแสงสูง จะใช้ผลึกไบรีฟริงเจนท์ในอุปกรณ์ต่างๆ เช่นปริซึม Glan–Thompson ปริซึม Glan –Taylorและรูปแบบอื่นๆ^{[ 16 ]}แผ่นพอลิเมอร์ไบรีฟริงเจนท์แบบหลายชั้นก็สามารถใช้เพื่อจุดประสงค์นี้ได้เช่นกัน^{[ 17 ]}

การหักเหสองทิศทางยังมีบทบาทสำคัญในการสร้างฮาร์มอนิกที่สองและกระบวนการทางแสงแบบไม่เชิงเส้น อื่นๆ ผลึกที่ใช้เพื่อวัตถุประสงค์เหล่านี้เกือบทั้งหมดมีคุณสมบัติการหักเหสองทิศทาง โดยการปรับมุมตกกระทบ ดัชนีหักเหประสิทธิผลของรังสีพิเศษสามารถปรับได้เพื่อให้เกิดการจับคู่เฟสซึ่งจำเป็นต่อการทำงานอย่างมีประสิทธิภาพของอุปกรณ์เหล่านี้

ปรากฏการณ์การหักเหสองทิศทาง (Birefringence) ถูกนำมาใช้ในการวินิจฉัยทางการแพทย์ อุปกรณ์เสริมที่มีประสิทธิภาพอย่างหนึ่งที่ใช้ร่วมกับกล้องจุลทรรศน์แบบใช้แสงคือ ตัวกรอง โพลาไรซ์ แบบไขว้กันสอง ตัว แสงจากแหล่งกำเนิดจะถูกโพลาไรซ์ใน ทิศทาง xหลังจากผ่านตัวกรองโพลาไรซ์ตัวแรก แต่เหนือตัวอย่างจะมีตัวกรองโพลาไรซ์ (ที่เรียกว่าตัววิเคราะห์ ) ที่วางตัวใน ทิศทาง yดังนั้น แสงจากแหล่งกำเนิดจะไม่ถูกรับโดยตัววิเคราะห์ และบริเวณนั้นจะปรากฏมืด บริเวณของตัวอย่างที่มีการหักเหสองทิศทางโดยทั่วไปจะดึงแสงโพ ลาไรซ์ในทิศทาง x บางส่วนเข้าสู่การโพลาไรซ์ในทิศทาง yบริเวณเหล่านั้นจึงจะปรากฏสว่างตัดกับพื้นหลังที่มืด การปรับเปลี่ยนหลักการพื้นฐานนี้สามารถแยกแยะความแตกต่างระหว่างการหักเหสองทิศทางเชิงบวกและเชิงลบได้

ผลึกเกาต์และเกาต์เทียมที่มองเห็นได้ภายใต้กล้องจุลทรรศน์ที่มีตัวชดเชยสีแดง ซึ่งทำให้แสงสีแดงช้าลงในทิศทางเดียว (ระบุว่า "แกนแสงโพลาไรซ์") ^{[ 18 ]}ผลึกยูเรต ( ภาพซ้าย ) ใน โรคเกาต์จะปรากฏเป็นสีเหลืองเมื่อแกนยาวขนานกับแกนการส่งผ่านช้าของตัวชดเชยสีแดง และจะปรากฏเป็นสีน้ำเงินเมื่อตั้งฉาก สีตรงกันข้ามจะเห็นได้ในโรคการสะสมผลึกแคลเซียมไพโรฟอสเฟตไดไฮเดรต (เกาต์เทียม ภาพ ขวา ): สีน้ำเงินเมื่อขนานและสีเหลืองเมื่อตั้งฉาก

ตัวอย่างเช่น การดูดของเหลวจาก ข้อต่อที่ เป็นโรคเกาต์ ด้วยเข็ม จะเผยให้เห็นผลึกโมโนโซเดียมยูเรตที่ มีการหักเหแสงเชิงลบ ในทางตรงกันข้าม ผลึกแคลเซียมไพโรฟอสเฟต แสดงการหักเหแสงเชิงบวกที่อ่อน ^{[ 19 ]}ผลึกยูเรตปรากฏเป็นสีเหลือง และผลึกแคลเซียมไพโรฟอสเฟตปรากฏเป็นสีน้ำเงินเมื่อแกนยาวของพวกมันเรียงตัวขนานกับตัวกรองชดเชยสีแดง^{[ 20 ]}หรือเมื่อเพิ่มผลึกที่มีการหักเหแสงที่ทราบแล้วลงในตัวอย่างเพื่อเปรียบเทียบ

ค่าการหักเหของแสงในเนื้อเยื่อภายในต้นขาของมนุษย์ที่มีชีวิตถูกวัดโดยใช้การตรวจด้วยคลื่นแสงแบบโพลาไรซ์ที่ความยาวคลื่น 1310 นาโนเมตร และเส้นใยโหมดเดี่ยวในเข็ม ค่าการหักเหของแสงในกล้ามเนื้อโครงร่างคือ Δn = 1.79 × 10 ⁻³ ± 0.18 ×10 ⁻³ , เนื้อเยื่อไขมัน Δn = 0.07 × 10 ⁻³ ± 0.50 × 10 ⁻³ , พังผืดชั้นตื้น Δn = 5.08 × 10 ⁻³ ± 0.73 × 10 ⁻³และเนื้อเยื่อระหว่างเซลล์ Δn = 0.65 × 10 ⁻³ ±0.39 × 10 ^{−3 [ 21 ]} การวัดเหล่า นี้อาจมีความสำคัญต่อการพัฒนาวิธีการวินิจฉัยโรคกล้ามเนื้อเสื่อมดูเชนที่รุกราน น้อยกว่า

สามารถสังเกตการหักเหของแสงแบบคู่ได้ใน คราบ อะไมลอยด์ เช่นที่พบในสมองของ ผู้ป่วย อัลไซเมอร์เมื่อย้อมด้วยสีย้อม เช่น คองโกเรด โปรตีนที่เปลี่ยนแปลงไป เช่น สายโซ่เบา ของอิมมูโนโกลบูลิน จะสะสมตัวผิดปกติระหว่างเซลล์ ก่อตัวเป็นเส้นใย เส้นใยเหล่านี้พับซ้อนกันหลายชั้นและมีโครงสร้าง คล้ายแผ่น พับ เบต้า สีย้อมคองโกเรดจะแทรกตัวอยู่ระหว่างรอยพับ และเมื่อสังเกตภายใต้แสงโพลาไรซ์ จะทำให้เกิดการหักเหของแสงแบบคู่

ในจักษุวิทยาการตรวจคัดกรองการหักเหของแสงในจอประสาทตาแบบสองตาของเส้นใยเฮนเล (แอกซอนของเซลล์รับแสงที่แผ่ออกไปด้านนอกจากฟอเวีย) ช่วยให้สามารถตรวจจับภาวะตาเหล่ ได้อย่างน่าเชื่อถือ และอาจรวมถึงภาวะสายตาขี้เกียจจากความแตกต่างของค่าสายตา^{ด้วย [} 22 ^{] ใน}ผู้ที่มีสุขภาพดี การชะลอตัวสูงสุดที่เกิดจากชั้นเส้นใยเฮนเลอยู่ที่ประมาณ 22 องศาที่ 840 นาโนเมตร^{[ 23 ]}นอกจากนี้การสแกนด้วยเลเซอร์โพลาไรเมตรีใช้การหักเหของแสงใน ชั้นเส้นใย ประสาทตาเพื่อวัดความหนาโดยอ้อม ซึ่งมีประโยชน์ในการประเมินและติดตามโรคต้อหินการวัดด้วยเครื่องตรวจวัดความสอดคล้องทางแสงที่ไวต่อโพลาไรเซชันที่ได้จากผู้ที่มีสุขภาพดีแสดงให้เห็นถึงการเปลี่ยนแปลงของการหักเหของแสงในชั้นเส้นใยประสาทตาตามตำแหน่งรอบหัวประสาทตา^{[ 24 ]}เทคโนโลยีเดียวกันนี้เพิ่งถูกนำมาใช้ในจอประสาทตาของมนุษย์ที่มีชีวิตเพื่อวัดคุณสมบัติโพลาไรเซชันของผนังหลอดเลือดใกล้ประสาทตา^{[ 25 ]}ในขณะที่ผนังหลอดเลือดจอประสาทตาจะหนาขึ้นและมีการหักเหแสงน้อยลงในผู้ป่วยที่เป็นโรคความดันโลหิตสูง^{[ 26 ]}ซึ่งบ่งชี้ถึงการลดลงของสภาพผนังหลอดเลือด แต่ผนังหลอดเลือดของผู้ป่วยเบาหวานจะไม่มีการเปลี่ยนแปลงความหนา แต่กลับพบว่ามีการหักเหแสงเพิ่มขึ้น^{[ 27 ]}ซึ่งสันนิษฐานว่าเกิดจากพังผืดหรือการอักเสบ

ลักษณะการหักเหของแสงในหัวอสุจิช่วยให้สามารถเลือกอสุจิสำหรับการฉีดอสุจิเข้าสู่ไซโตพลาสซึมได้ [ ^{28 ] ใน}ทำนองเดียวกันการถ่ายภาพโซนาใช้การหักเหของแสงบนเซลล์ไข่เพื่อเลือกเซลล์ที่มีโอกาสตั้งครรภ์สำเร็จสูงสุด^{[ 29 ]}การหักเหของแสงของอนุภาคที่ได้จากการตัดชิ้นเนื้อจากก้อนเนื้อในปอดบ่งชี้ถึงโรคซิลิโคซิส

แพทย์ผิวหนังใช้เครื่องตรวจผิวหนัง (dermatoscope) เพื่อตรวจดูรอยโรคบนผิวหนัง เครื่องตรวจผิวหนังใช้แสงโพลาไรซ์ ทำให้ผู้ใช้สามารถมองเห็นโครงสร้างผลึกที่สอดคล้องกับคอลลาเจนในชั้นผิวหนัง โครงสร้างเหล่านี้อาจปรากฏเป็นเส้นสีขาวมันวาวหรือรูปทรงคล้ายดอกกุหลาบ และจะมองเห็นได้เฉพาะภายใต้การตรวจผิวหนัง ด้วยแสงโพลาไรซ์ เท่านั้น

ของแข็ง ไอโซโทรปิกไม่แสดงการหักเหสองทิศทาง เมื่ออยู่ภายใต้ความเค้นทางกล การหักเหสองทิศทางจะเกิดขึ้นเนื่องจากการเปลี่ยนแปลงดัชนีหักเหที่เกิดจากความเค้น^{[ 30 ]}ความเค้นสามารถเกิดขึ้นจากภายนอกหรือ "ถูกตรึงไว้" หลังจากที่ภาชนะพลาสติกที่มีการหักเหสองทิศทางเย็นตัวลงหลังจากการผลิตโดยใช้การฉีดขึ้นรูปเมื่อวางตัวอย่างดังกล่าวไว้ระหว่างโพลาไรเซอร์สองตัวที่ไขว้กัน จะสามารถสังเกตเห็นรูปแบบสีได้ เนื่องจากโพลาไรเซชันของรังสีแสงจะหมุนหลังจากผ่านวัสดุที่มีการหักเหสองทิศทาง และปริมาณการหมุนขึ้นอยู่กับความยาวคลื่น วิธีการทดลองที่เรียกว่าโฟโตอิลาสติซิตี้ที่ใช้ในการวิเคราะห์การกระจายความเค้นในของแข็งนั้นอิงตามหลักการเดียวกัน มีการวิจัยล่าสุดเกี่ยวกับการใช้การหักเหสองทิศทางที่เกิดจากความเค้นในแผ่นกระจกเพื่อสร้างกระแสน้ำวนทางแสงและลำแสงปวงกาเรแบบสมบูรณ์ (ลำแสงทางแสงที่มีสถานะโพลาไรเซชันที่เป็นไปได้ทุกสถานะทั่วหน้าตัด) ^{[ 31 ]}

ปรากฏการณ์การหักเหสองทิศทางเกิดขึ้นใน วัสดุ ยืดหยุ่น ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน ในวัสดุเหล่านี้ ทิศทางการหักเหสองทิศทางจะแยกออกจากกันตามดัชนีหักเหที่มีประสิทธิภาพ ซึ่งมีความไวต่อความเค้นด้วย

การศึกษาปรากฏการณ์การหักเหสองทิศทางในคลื่นเฉือนที่เดินทางผ่านพื้นโลกที่เป็นของแข็ง (แกนโลกที่เป็นของเหลวไม่รองรับคลื่นเฉือน) ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในวิชาแผ่นดินไหววิทยา

การหักเหสองทิศทางถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในวิชาแร่ธาตุวิทยาเพื่อระบุชนิดของหิน แร่ และอัญมณี

ในตัวกลางไอโซโทรปิก (รวมถึงพื้นที่ว่าง) การกระจัดทางไฟฟ้า ( D ) จะเป็นสัดส่วนโดยตรงกับสนามไฟฟ้า ( E ) ตามสมการD = ɛ E โดยที่ ค่าสภาพยอมทางไฟฟ้าεของวัสดุเป็นเพียงค่าสเกลาร์ (และเท่ากับn ² ε ₀โดยที่nคือดัชนีหักเห ) ในวัสดุแอนิโซโทรปิกที่แสดงคุณสมบัติการหักเหสองทิศทาง ความสัมพันธ์ระหว่างDและEจะต้องอธิบายโดยใช้ สมการ เทนเซอร์ :

${\displaystyle \mathbf {D} ={\boldสัญลักษณ์ {\varepsilon }}\mathbf {E} }$

1

โดยที่εในที่นี้คือเทนเซอร์สภาพยอมทางไฟฟ้าขนาด 3 × 3 เราสมมติว่าเป็นเชิงเส้นและไม่มีสภาพซึมผ่านทางแม่เหล็กในตัวกลาง: μ = μ ₀สนามไฟฟ้าของคลื่นระนาบที่มีความถี่เชิงมุมωสามารถเขียนได้ในรูปแบบทั่วไปดังนี้:

${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} _{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}}$

2

โดยที่rคือเวกเตอร์ตำแหน่งtคือเวลา และE ₀คือเวกเตอร์ที่อธิบายสนามไฟฟ้าที่r = 0 , t = 0จากนั้นเราจะหาเวกเตอร์คลื่นk ที่เป็นไปได้ โดยการรวมสมการของแม็กซ์เวลล์สำหรับ∇ × Eและ∇ × HเราสามารถกำจัดH = ⁠ ได้1/μ ₀B เพื่อให้ ได้ :

${\displaystyle -\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} =\mu _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\บางส่วน t^{2}}}\mathbf {D} }$

3ก

เมื่อไม่มีประจุฟรี สมการของแม็กซ์เวลล์สำหรับค่าไดเวอร์เจนซ์ของDจะเป็นศูนย์:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =0}$

3b

เราสามารถใช้เอกลักษณ์เวกเตอร์∇ × (∇ × A ) = ∇(∇ ⋅ A ) − ∇ ² Aกับด้านซ้ายของสมการ 3aและใช้การพึ่งพาเชิงพื้นที่ซึ่งการหาอนุพันธ์แต่ละครั้งในx (เช่น) ส่งผลให้เกิดการคูณด้วยik _xเพื่อหา:

${\displaystyle -\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} =(\mathbf {k} \cdot \mathbf {E} )\mathbf {k} -(\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} )\mathbf {E} }$

3ค

ด้านขวามือของสมการ 3aสามารถแสดงในรูปของE ได้ โดยใช้เทนเซอร์สภาพยอมทางไฟฟ้าεและสังเกตว่าการหาอนุพันธ์เทียบกับเวลาส่งผลให้เกิดการคูณด้วย− iω ดังนั้นสมการ 3aจึงกลายเป็น:

${\displaystyle (-\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} )\mathbf {E} +(\mathbf {k} \cdot \mathbf {E} )\mathbf {k} =-\mu _{0}\omega ^{2}({\boldสัญลักษณ์ {\varepsilon }}\mathbf {E} )}$

4ก

เมื่อใช้กฎการหาอนุพันธ์กับสมการ 3bเราจะได้:

${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {D} =0}$

4b

สมการ 4bแสดงให้เห็นว่า Dตั้งฉากกับทิศทางของเวกเตอร์คลื่น kแม้ว่าโดยทั่วไปแล้วจะไม่เป็นเช่นนั้นสำหรับ Eดังเช่นในกรณีของตัวกลางไอโซโทรปิกสมการ 4bจะไม่จำเป็นสำหรับขั้นตอนต่อไปในการพิสูจน์ต่อไปนี้

การหาค่าk ที่อนุญาตสำหรับ ωที่กำหนดนั้นทำได้ง่ายที่สุดโดยใช้พิกัดคาร์ทีเซียนโดย เลือกแกน x , yและzในทิศทางของแกนสมมาตรของผลึก (หรือเลือกzในทิศทางของแกนแสงของผลึกแบบแกนเดียว) ซึ่งจะทำให้ได้เมทริกซ์แนวทแยงสำหรับเทนเซอร์สภาพยอมทางไฟฟ้าε :

${\displaystyle \mathbf {\varepsilon } =\varepsilon _{0}{\begin{bmatrix}n_{x}^{2}&0&0\\0&n_{y}^{2}&0\\0&0&n_{z}^{2}\end{bmatrix}}}$

4c

โดยที่ค่าในแนวทแยงมุมคือค่ากำลังสองของดัชนีหักเหสำหรับการโพลาไรเซชันตามแกนหลักทั้งสามแกนx , yและzเมื่อεอยู่ในรูปแบบนี้ และแทนค่าความเร็วแสงcโดยใช้c ² = ⁠1/μ ₀ ε ₀ส่วนประกอบ xของสมการเวกเตอร์สมการ 4a จะ กลายเป็น

${\displaystyle \left(-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}\right)E_{x}+k_{x}^{2}E_{x}+k_{x}k_{y}E_{y}+k_{x}k_{z}E_{z}=-{\frac {\omega ^{2}n_{x}^{2}}{c^{2}}}E_{x}}$

5ก

โดยที่E _x , E _y , E _zคือส่วนประกอบของE (ที่ตำแหน่งใดๆ ในอวกาศและเวลา) และk _x , k _y , k _zคือส่วนประกอบของkเมื่อจัดเรียงใหม่ เราสามารถเขียนได้ดังนี้ (และในทำนองเดียวกันสำหรับ ส่วนประกอบ yและzของสมการ 4a )

${\displaystyle \left(-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{x}^{2}}{c^{2}}}\right)E_{x}+k_{x}k_{y}E_{y}+k_{x}k_{z}E_{z}=0}$

5b

${\displaystyle k_{x}k_{y}E_{x}+\left(-k_{x}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{y}^{2}}{c^{2}}}\right)E_{y}+k_{y}k_{z}E_{z}=0}$

5c

${\displaystyle k_{x}k_{z}E_{x}+k_{y}k_{z}E_{y}+\left(-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{z}^{2}}{c^{2}}}\right)E_{z}=0}$

5d

นี่คือชุดสมการเชิงเส้นในE _x , E _y , E _zดังนั้นจึงสามารถมีคำตอบที่ไม่ใช่ศูนย์ (กล่าวคือ คำตอบอื่นที่ไม่ใช่E = 0 ) ตราบใดที่ดีเทอร์มิแนนต์ ต่อไปนี้ เป็นศูนย์:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}\left(-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{x}^{2}}{c^{2}}}\right)&k_{x}k_{y}&k_{x}k_{z}\\k_{x}k_{y}&\left(-k_{x}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{y}^{2}}{c^{2}}}\right)&k_{y}k_{z}\\k_{x}k_{z}&k_{y}k_{z}&\left(-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n_{z}^{2}}{c^{2}}}\right)\end{vmatrix}}=0}$

6

เมื่อประเมินดีเทอร์มิแนนต์ของสมการที่ 6และจัดเรียงพจน์ใหม่ตามกำลังของพจน์คงที่ก็จะหักล้างกันไป หลังจากกำจัดตัวประกอบร่วมออกจากพจน์ที่เหลือ เราจะได้ ${\displaystyle {\frac {\โอเมก้า ^{2}}{c^{2}}}}$${\displaystyle {\frac {\โอเมก้า ^{2}}{c^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {\omega ^{4}}{c^{4}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\left({\frac {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}{n_{z}^{2}}}+{\frac {k_{x}^{2}+k_{z}^{2}}{n_{y}^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}{n_{x}^{2}}}\right)+\left({\frac {k_{x}^{2}}{n_{y}^{2}n_{z}^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}}{n_{x}^{2}n_{z}^{2}}}+{\frac {k_{z}^{2}}{n_{x}^{2}n_{y}^{2}}}\right)\left(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}\right)=0}$

7

ในกรณีของวัสดุแบบแกนเดียว การเลือกแกนแสงให้อยู่ใน ทิศทาง zเพื่อให้n _x = n _y = n _oและn _z = n _eสามารถแยกตัวประกอบของนิพจน์นี้ได้เป็น

${\displaystyle \left({\frac {k_{x}^{2}}{n_{\mathrm {o} }^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}}{n_{\mathrm {o} }^{2}}}+{\frac {k_{z}^{2}}{n_{\mathrm {o} }^{2}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\left({\frac {k_{x}^{2}}{n_{\mathrm {e} }^{2}}}+{\frac {k_{y}^{2}}{n_{\mathrm {e} }^{2}}}+{\frac {k_{z}^{2}}{n_{\mathrm {o} }^{2}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)=0}$

8

การตั้งค่าปัจจัยใดปัจจัยหนึ่งในสมการที่ 8ให้เป็นศูนย์ จะกำหนดพื้นผิวทรงรี^{[หมายเหตุ 1 ]}ในปริภูมิของเวกเตอร์คลื่นkที่อนุญาตสำหรับω ที่กำหนด ปัจจัยแรกเป็นศูนย์จะกำหนดทรงกลม ซึ่งเป็นคำตอบสำหรับรังสีธรรมดาที่เรียกว่า ซึ่งดัชนีหักเหประสิทธิผลมีค่าเท่ากับn _o โดย ไม่ขึ้นอยู่กับทิศทางของkปัจจัยที่สองกำหนด ทรง รีสมมาตรเกี่ยวกับ แกน zคำตอบนี้สอดคล้องกับรังสีพิเศษที่เรียกว่า ซึ่งดัชนีหักเหประสิทธิผลอยู่ระหว่างn _oและn _eขึ้นอยู่กับทิศทางของkดังนั้น สำหรับทิศทางการแพร่กระจายใดๆ (นอกเหนือจากทิศทางของแกนแสง) จะมีเวกเตอร์ คลื่น k ที่แตกต่างกันสอง ค่าที่สอดคล้องกับโพลาไรเซชันของรังสีธรรมดาและรังสีพิเศษ

สำหรับวัสดุแบบสองแกน เงื่อนไขที่คล้ายกันแต่ซับซ้อนกว่าบนคลื่นทั้งสองสามารถอธิบายได้ดังนี้^{[ 32 ]}ตำแหน่งของ เวกเตอร์ k ที่อนุญาต ( พื้นผิวเวกเตอร์คลื่น ) เป็นพื้นผิวสองแผ่นระดับที่ 4 ดังนั้นในทิศทางที่กำหนดโดยทั่วไปจะมี เวกเตอร์ k ที่อนุญาตสองตัว (และเวกเตอร์ตรงข้าม) ^{[ 33 ]}จากการตรวจสอบจะเห็นได้ว่าสมการที่ 6โดยทั่วไปเป็นไปตามเงื่อนไขสำหรับค่าบวกสองค่าของω หรือสำหรับความถี่แสง ωที่กำหนดและทิศทางตั้งฉากกับหน้าคลื่นเค/| k |เงื่อนไขนี้เป็นไปตามที่กำหนดสำหรับเลขคลื่น สองค่า (หรือค่าคงที่การแพร่กระจาย) | k | (และด้วยเหตุนี้จึงเป็นดัชนีหักเหประสิทธิผล) ที่สอดคล้องกับการแพร่กระจายของโพลาไรเซชันเชิงเส้นสองแบบในทิศทางนั้น

เมื่อค่าคงที่การแพร่กระจายทั้งสองเท่ากัน ดัชนีหักเหประสิทธิผลจะไม่ขึ้นอยู่กับโพลาไรเซชัน และด้วยเหตุนี้จึงไม่มีการหักเหสองทิศทางที่คลื่นที่เดินทางในทิศทางนั้นพบเจอ สำหรับผลึกแบบแกนเดียว นี่คือแกนแสง ทิศทาง ± zตามการสร้างข้างต้น แต่เมื่อดัชนีหักเห (หรือค่าสภาพยอมทางไฟฟ้า) ทั้งสามค่าn _x , n _yและn _zแตกต่างกัน จะสามารถแสดงได้ว่ามีทิศทางดังกล่าวเพียงสองทิศทางเท่านั้น ที่แผ่นทั้งสองของพื้นผิวเวกเตอร์คลื่นสัมผัสกัน^{[ 33 ]}ทิศทางเหล่านี้ไม่ชัดเจนเลยและไม่ได้อยู่ตามแกนหลักทั้งสามแกน ( x , y , zตามแบบแผนข้างต้น) ในทางประวัติศาสตร์ นั่นเป็นเหตุผลที่ใช้คำว่า "สองแกน" สำหรับผลึกดังกล่าว เนื่องจากมีการค้นพบการมีอยู่ของทิศทางพิเศษสองทิศทางดังกล่าว (ถือว่าเป็น "แกน") ก่อนที่โพลาไรเซชันและการหักเหสองทิศทางจะได้รับการเข้าใจในเชิงกายภาพ ทิศทางพิเศษสองทิศทางนี้โดยทั่วไปแล้วไม่น่าสนใจเป็นพิเศษ ผลึกแบบสองแกนนั้นถูกกำหนดโดยดัชนีหักเหสามค่าที่สอดคล้องกับแกนสมมาตรทั้งสามแกน

สถานะโพลาไรเซชันทั่วไปที่ส่งเข้าไปในตัวกลางสามารถแยกออกเป็นสองคลื่นได้เสมอ โดยแต่ละคลื่นจะมีโพลาไรเซชันต่างกัน และจะแพร่กระจายด้วยเลขคลื่น| k | ที่แตกต่าง กัน การใช้เฟสการแพร่กระจายที่แตกต่างกันกับสองคลื่นนี้ในระยะการแพร่กระจายที่กำหนด จะส่งผลให้ สถานะโพลาไรเซชันสุทธิ ณ จุดนั้น แตกต่าง กันโดยทั่วไป นี่คือหลักการของแผ่นคลื่น (waveplate)เป็นต้น ด้วยแผ่นคลื่น จะไม่มีการกระจัดเชิงพื้นที่ระหว่างรังสีทั้งสอง เนื่องจาก เวกเตอร์ k ของพวกมัน ยังคงอยู่ในทิศทางเดียวกัน นั่นเป็นจริงเมื่อโพลาไรเซชันแต่ละอันตั้งฉากกับแกนแสง (รังสีธรรมดา) หรือขนานกับแกนแสง (รังสีพิเศษ)

ในกรณีทั่วไป จะมีความแตกต่างไม่เพียงแต่ในขนาด แต่ยังรวมถึงทิศทางของรังสีทั้งสองด้วย ตัวอย่างเช่น ภาพถ่ายผ่านผลึกแคลไซต์ (ด้านบนของหน้า) แสดงภาพที่เลื่อนไปในโพลาไรเซชันทั้งสอง ซึ่งเกิดจากแกนแสงไม่ขนานหรือตั้งฉากกับพื้นผิวของผลึก และแม้ว่าแกนแสงจะขนานกับพื้นผิว ก็ยังเกิดปรากฏการณ์นี้กับคลื่นที่ตกกระทบในมุมที่ไม่ตั้งฉาก (ดังแสดงในรูปประกอบ) ในกรณีเหล่านี้ เวกเตอร์ k ทั้งสอง สามารถหาได้โดยการแก้สมการที่ 6ภายใต้เงื่อนไขขอบเขตที่กำหนดว่าส่วนประกอบของ เวกเตอร์ k ของคลื่นที่ส่งผ่านทั้งสอง และ เวกเตอร์ kของคลื่นตกกระทบที่ฉายลงบนพื้นผิวของส่วนต่อประสาน จะต้องเหมือนกันทั้งหมด สำหรับผลึกแบบแกนเดียว จะพบว่าไม่มีการเลื่อนในเชิงพื้นที่สำหรับรังสีธรรมดา (จึงเป็นที่มาของชื่อ) ซึ่งจะหักเหราวกับว่าวัสดุนั้นไม่มีการหักเหสองทิศทาง โดยมีดัชนีหักเหเท่ากับแกนทั้งสองที่ไม่ใช่แกนแสง สำหรับผลึกสองแกนนั้น รังสีทั้งสองไม่ถือว่าเป็น "รังสีธรรมดา" และโดยทั่วไปจะไม่หักเหตามดัชนีหักเหที่เท่ากับแกนหลักแกนใดแกนหนึ่ง

• อัญมณีศาสตร์
• การหักเหของแสงในสุญญากาศ

• M. Born และ E. Wolf, 2002, หลักการทางทัศนศาสตร์ , ฉบับที่ 7, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 1999 (พิมพ์ซ้ำพร้อมแก้ไข, 2002)
• A. Fresnel, 1827, "Mémoire sur la double réfraction", Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de Franceเล่ม 1 VII (สำหรับปี 1824 พิมพ์ปี 1827) หน้า 45–176 ; พิมพ์ซ้ำในชื่อ "Second mémoire..." ใน Fresnel, 1866–70, vol. 2 หน้า 479–596 ; แปลโดย AW Hobson ในชื่อ"Memoir on double refraction"ใน R. Taylor (ed.), Scientific Memoirs , vol. V (ลอนดอน: Taylor & Francis, 1852), หน้า 238–333. (หมายเลขหน้าที่อ้างถึงมาจากการแปล)
• A. Fresnel (เอ็ด. H. de Sénarmont, E. Verdet และ L. Fresnel), 1866–70, Oeuvres complètes d'Augustin Fresnel (3 เล่ม), Paris: Imprimerie Impériale; ฉบับที่ 1 (พ.ศ. 2409) ฉบับ ที่. 2 (พ.ศ. 2411) ฉบับ ที่. 3 (พ.ศ. 2413) .

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับปรากฏการณ์การหักเหของแสงสองทิศทาง (Birefringence )

• เครื่องมือวิเคราะห์ความเครียด (อิงตามทฤษฎีการหักเหของแสง)
• [2]
• วิดีโอแสดงปรากฏการณ์การหักเหของแสงเนื่องจากความเครียดในโพลีเมทิลเมทาคริเลต (PMMA หรือ Plexiglas)
• ศิลปิน Austine Wood Comarow ใช้หลักการหักเหของแสงเพื่อสร้างภาพเคลื่อนไหวเชิงรูปธรรม
• เมอร์ริฟิลด์, ไมเคิล. "การหักเหสองทิศทาง" . หกสิบสัญลักษณ์ . สำนักพิมพ์เบรดี้ ฮารานสำหรับมหาวิทยาลัยนอตติงแฮม .
• ปรากฏการณ์การหักเหของแสงในน้ำแข็งบาง (ทอม แวกเนอร์ ช่างภาพ)