เสียงก้อง

การสั่นพ้องเป็นปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้นเมื่อวัตถุหรือระบบได้รับแรงภายนอกหรือการสั่นสะเทือนที่มีความถี่ ตรงกับความถี่การสั่นพ้อง (หรือความถี่เรโซแนนซ์ ) ของระบบ ซึ่งกำหนดเป็นความถี่ที่สร้าง การตอบสนอง แอ มพลิจูดสูงสุด ในระบบ เมื่อเกิดเหตุการณ์นี้ วัตถุหรือระบบจะดูดซับพลังงานจากแรงภายนอกและเริ่มสั่นด้วยแอมพลิจูดที่มากขึ้น การสั่นพ้องสามารถเกิดขึ้นได้ในระบบต่างๆ เช่น ระบบกลไก ระบบไฟฟ้า หรือระบบเสียง และมักเป็นที่ต้องการในบางการใช้งาน เช่น เครื่องดนตรีหรือเครื่องรับวิทยุ อย่างไรก็ตาม การสั่นพ้องอาจเป็นอันตรายได้เช่นกัน ทำให้เกิดการสั่นสะเทือนมากเกินไปหรือแม้กระทั่งความเสียหายของโครงสร้างในบางกรณี^{[ 3 ]}

ระบบทั้งหมด รวมถึงระบบโมเลกุลและอนุภาค มีแนวโน้มที่จะสั่นด้วยความถี่ธรรมชาติขึ้นอยู่กับโครงสร้างของมัน เมื่อมีการหน่วงน้อยมาก ความถี่นี้จะใกล้เคียงกับความถี่เรโซแนนซ์ แต่สูงกว่าเล็กน้อย เมื่อ แรง สั่นหรือการสั่นสะเทือนภายนอกถูกนำมาใช้ที่ความถี่เรโซแนนซ์ของระบบไดนามิก วัตถุ หรืออนุภาค การสั่นสะเทือนภายนอกจะทำให้ระบบสั่นด้วยแอมพลิจูด ที่สูงกว่า (ด้วยแรงที่มากกว่า) เมื่อเทียบกับการใช้แรงเดียวกันที่ความถี่อื่นที่ไม่ใช่เรโซแนนซ์^{[ 4 ]}

ความถี่เรโซแนนซ์ของระบบสามารถระบุได้เมื่อการตอบสนองต่อการสั่นสะเทือนภายนอกสร้างแอมพลิจูดที่เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ภายในระบบ^{[ 4 ]}แรงเป็นคาบเล็กๆ ที่อยู่ใกล้ความถี่เรโซแนนซ์ของระบบสามารถสร้างการสั่นที่ มีแอมพลิจูดขนาดใหญ่ ในระบบได้เนื่องจากการสะสมพลังงานการสั่นสะเทือน

ปรากฏการณ์เรโซแนนซ์เกิดขึ้นกับคลื่นหรือ การสั่นสะเทือนทุกประเภทได้แก่เรโซแนนซ์เชิงกล เรโซ แน นซ์เชิงวงโคจรเรโซแนนซ์เชิงเสียง เรโซแนนซ์เชิงแม่เหล็กไฟฟ้า เรโซแนนซ์ แม่เหล็กนิวเคลียร์ (NMR) เรโซแนนซ์สปินอิเล็กตรอน (ESR) และเรโซแนนซ์ของ ฟังก์ชันคลื่นควอนตัมระบบเรโซแนนซ์สามารถใช้สร้างการสั่นสะเทือนที่มีความถี่เฉพาะ (เช่นเครื่องดนตรี ) หรือเลือกความถี่เฉพาะจากการสั่นสะเทือนที่ซับซ้อนซึ่งประกอบด้วยความถี่หลายความถี่ (เช่น ตัวกรอง)

คำว่าresonance (มาจากภาษาละตินresonantiaซึ่งแปลว่า 'เสียงสะท้อน' มาจากresonareซึ่งแปลว่า 'เสียงก้อง') มีต้นกำเนิดมาจากสาขาอะคูสติกที่กาลิเลโอ กาลิเลอี ได้กล่าวถึง ในหนังสือDialogues Concerning Two New Sciencesโดยเฉพาะอย่างยิ่งปรากฏการณ์เรโซแนนซ์ร่วมที่พบในเครื่องดนตรี เช่น เมื่อสายหนึ่งเริ่มสั่นและส่งเสียงหลังจากสายอื่นถูกตี^{[ 5 ]}

ปรากฏการณ์เรโซแนนซ์เกิดขึ้นเมื่อระบบสามารถเก็บและถ่ายโอนพลังงานระหว่างโหมดการเก็บพลังงาน ที่แตกต่างกันสองโหมดขึ้นไปได้อย่างง่ายดาย (เช่น พลังงานจลน์และพลังงานศักยภาพในกรณีของลูกตุ้มอย่างง่าย) อย่างไรก็ตาม จะมีการสูญเสียบางส่วนในแต่ละรอบ เรียกว่าการหน่วงเมื่อการหน่วงมีค่าน้อย ความถี่เรโซแนนซ์จะใกล้เคียงกับความถี่ธรรมชาติของระบบ ซึ่งเป็นความถี่ของการสั่นสะเทือนที่ไม่มีแรงกระทำ ระบบบางระบบอาจมีความถี่เรโซแนนซ์หลายค่าที่แตกต่างกัน

ตัวอย่างที่คุ้นเคยคือชิงช้า ในสนามเด็กเล่น ซึ่งทำหน้าที่เหมือนลูกตุ้มการผลักคนบนชิงช้าให้ตรงกับช่วงเวลาตามธรรมชาติของชิงช้า (ความถี่เรโซแนนซ์) จะทำให้ชิงช้าแกว่งสูงขึ้นเรื่อยๆ (แอมพลิจูดสูงสุด) ในขณะที่การพยายามผลักชิงช้าด้วยจังหวะที่เร็วขึ้นหรือช้าลงจะทำให้ส่วนโค้งเล็กลง^{[ 6 ] : หน้า 2–24} ทั้งนี้เพราะพลังงานที่ชิงช้าดูดซับจะสูงสุดเมื่อการผลักตรงกับการแกว่งตามธรรมชาติของชิงช้า

การสั่นพ้องเกิดขึ้นอย่างแพร่หลายในธรรมชาติ และถูกนำไปใช้ประโยชน์ในอุปกรณ์หลายชนิด เป็นกลไกที่ทำให้เกิดคลื่นไซน์ และการสั่นสะเทือนเกือบทั้งหมด ตัวอย่างเช่น เมื่อวัตถุแข็ง เช่นโลหะแก้วหรือไม้ถูกกระแทก จะเกิดการสั่นสะเทือนแบบสั่นพ้องสั้นๆ ในวัตถุ^{[ 6 ] : หน้า 2–24} แสงและรังสีแม่เหล็กไฟฟ้า ความยาวคลื่นสั้นอื่นๆ เกิดจากการสั่นพ้องในระดับอะตอมเช่นอิเล็กตรอนในอะตอม ตัวอย่างอื่นๆ ของการสั่นพ้อง ได้แก่:

• กลไกการบอกเวลาของนาฬิกาและนาฬิกาข้อมือสมัยใหม่ เช่นล้อสมดุลในนาฬิกา เชิงกล และผลึกควอตซ์ในนาฬิกาควอตซ์^{[ 7 ]}
• การสั่นพ้องของกระแสน้ำขึ้นน้ำลงของอ่าวฟันดี^{[ 8 ]}
• เสียงสะท้อนของเครื่องดนตรี^{[ 9 ]}และช่องเสียง ของมนุษย์ ^{[ 10 ]}
• การแตกของแก้วไวน์คริสตัลเมื่อสัมผัสกับโทนเสียงดนตรีที่มีระดับเสียงที่ถูกต้อง (ความถี่เรโซแนนซ์) ^{[ 11 ]}
• เครื่องดนตรีประเภทเสียงเสียดทานเช่น การทำให้วัตถุแก้ว (แก้ว ขวด แจกัน) สั่นโดยการถูรอบขอบด้วยปลายนิ้ว^{[ 12 ]}
• การสั่นพ้องทางไฟฟ้าของวงจรปรับจูนในวิทยุและโทรทัศน์ที่ช่วยให้สามารถรับความถี่วิทยุได้แบบเลือก^{[ 13 ]}
• การสร้างแสงที่สอดคล้องกัน โดย การเรโซแนนซ์ทางแสงในโพรงเลเซอร์
• ปรากฏการณ์การโคจรแบบเรโซแนนซ์ดังตัวอย่างเช่นดวงจันทร์ บางดวง ของดาวเคราะห์ยักษ์ในระบบสุริยะและกลุ่มดาวเรโซแนนซ์ เช่น กลุ่มพลูติโน
• การสั่นพ้องของวัสดุในระดับอะตอมเป็นพื้นฐานของ เทคนิค ทางสเปกโทรสโก ปีหลายอย่าง ที่ใช้ในฟิสิกส์สสารควบแน่น
  • การสั่นพ้องของสปินอิเล็กตรอน
  • ปรากฏการณ์เมิสส์บาวเออร์
  • การเรโซแนนซ์แม่เหล็กนิวเคลียร์

ปรากฏการณ์เรโซแนนซ์ปรากฏในระบบเชิงเส้นและ ไม่เชิงเส้นหลายระบบ ในรูปของการแกว่งตัวรอบจุดสมดุล เมื่อระบบถูกกระตุ้นด้วยสัญญาณภายนอกแบบไซน์ สัญญาณเอาต์พุตที่วัดได้ของระบบอาจแกว่งตัวตอบสนอง อัตราส่วนของแอมพลิจูดของการแกว่งตัวในสภาวะคงที่ของเอาต์พุตต่อการแกว่งตัวของอินพุตเรียกว่าอัตราขยาย และอัตราขยายสามารถเป็นฟังก์ชันของความถี่ของสัญญาณภายนอกแบบไซน์ได้ จุดสูงสุดของอัตราขยายที่ความถี่บางค่าสอดคล้องกับเรโซแนนซ์ ซึ่งแอมพลิจูดของการแกว่งตัวของเอาต์พุตที่วัดได้มีขนาดใหญ่เกินสัดส่วน

เนื่องจากระบบเชิงเส้นและไม่เชิงเส้นจำนวนมากที่สั่นนั้นถูกจำลองเป็นตัวสั่นแบบฮาร์มอนิกใกล้จุดสมดุล จึงมีการแสดงการหาความถี่เรโซแนนซ์สำหรับตัวสั่นแบบฮาร์มอนิกที่ถูกกระตุ้น และมี การหน่วง วงจร RLCถูกนำมาใช้เพื่อแสดงความสัมพันธ์ระหว่างเรโซแนนซ์กับฟังก์ชันถ่ายโอน การตอบสนองความถี่ ขั้ว และศูนย์ของระบบ โดยต่อยอดจากตัวอย่างวงจร RLC ความสัมพันธ์เหล่านี้สำหรับระบบเชิงเส้นลำดับสูงกว่าที่มีอินพุตและเอาต์พุตหลายตัวจะถูกทำให้เป็นแบบทั่วไป

พิจารณามวลที่หน่วงซึ่งติดอยู่กับสปริงและถูกขับเคลื่อนด้วยแรงภายนอกที่มีลักษณะเป็นรูปคลื่นไซน์กฎข้อที่สองของนิวตันจะมีรูปแบบดังนี้

$${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=F_{0}\sin(\omega t)-kx-c{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}},}$$

1

โดยที่mคือมวล, xคือการกระจัดของมวลจากจุดสมดุล, F₀คือแอมพลิจูดการขับเคลื่อน, ωคือความถี่เชิงมุมการขับเคลื่อน, k คือค่าคงที่ _ของสปริง และcคือสัมประสิทธิ์การหน่วงหนืด สามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบ

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}x={\frac {F_{0}}{m}}\sin(\omega t),}$$

2

ที่ไหน

• ${\textstyle \omega _{0}={\sqrt {k/m}}}$เรียกว่าความถี่เชิงมุมที่ไม่ลดทอนของตัวสั่นหรือความถี่ธรรมชาติ
• ${\displaystyle \zeta ={\frac {c}{2{\sqrt {mk}}}}}$เรียกว่าอัตราส่วนการหน่วง

แหล่งข้อมูลหลายแห่งยังอ้างถึงω ₀ว่าเป็นความถี่เรโซแนนซ์อย่างไรก็ตาม ดังที่แสดงด้านล่าง เมื่อวิเคราะห์การสั่นของระยะการกระจัดx ( t ) ความถี่เรโซแนนซ์จะใกล้เคียงกับ แต่ไม่เหมือนกับω ₀โดยทั่วไป ความถี่เรโซแนนซ์จะใกล้เคียงกับ แต่ไม่จำเป็นต้องเหมือนกับความถี่ธรรมชาติ^{[ 14 ]}ตัวอย่างวงจร RLC ในส่วนถัดไปจะแสดงตัวอย่างความถี่เรโซแนนซ์ที่แตกต่างกันสำหรับระบบเดียวกัน

คำตอบทั่วไปของสมการ ( 2 ) คือผลรวมของ คำตอบ ชั่วคราวที่ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้นและ คำตอบ สถานะคงที่ซึ่งไม่ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้นและขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดการขับเคลื่อนF0ความถี่การขับเคลื่อนωความถี่เชิงมุมที่ไม่ลดทอน_ω0 และอัตราส่วนการลดทอนζ _{เท่านั้น}คำตอบชั่วคราวจะลดลงในระยะเวลาที่ค่อนข้างสั้น ดังนั้นในการศึกษาเรโซแนนซ์จึงเพียงพอที่จะพิจารณาคำตอบสถานะคงที่

สามารถเขียนคำตอบสภาวะคงที่สำหรับx ( t ) ในรูปฟังก์ชันที่แปรผันตรงกับแรงขับเคลื่อนพร้อมกับการเปลี่ยนแปลงเฟส ที่เหนี่ยวนำ φได้

$${\displaystyle x(t)={\frac {F_{0}}{m{\sqrt {\left(2\omega \omega _{0}\zeta \right)^{2}+(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}}}}}\sin(\omega t+\varphi ),}$$

3

ที่ไหน${\displaystyle \varphi =\arctan \left({\frac {2\omega \omega _{0}\zeta }{\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}\right)+n\pi .}$

โดยปกติค่าเฟสจะอยู่ระหว่าง -180° ถึง 0 ซึ่งแสดงถึงความล่าช้าของเฟสสำหรับทั้งค่าบวกและค่าลบของอาร์กิวเมนต์ arctan

ปรากฏการณ์เรโซแนนซ์เกิดขึ้นเมื่อที่ความถี่ในการกระตุ้นบางค่า แอมพลิจูดคงที่ของx ( t ) มีค่ามากเมื่อเทียบกับแอมพลิจูดที่ความถี่ในการกระตุ้นอื่นๆ สำหรับมวลที่ติดอยู่กับสปริง เรโซแนนซ์จะสอดคล้องกับการสั่นของมวลที่มีการกระจัดมากจากตำแหน่งสมดุลของสปริงที่ความถี่ในการกระตุ้นบางค่า เมื่อพิจารณาแอมพลิจูดของx ( t ) เป็นฟังก์ชันของความถี่ในการกระตุ้นω แอมพลิจูด จะมีค่าสูงสุดที่ความถี่ในการกระตุ้น ω = 0 $${\displaystyle \omega _{r}=\omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}.}$$

ωrคือความถี่เรโซแนนซ์ของระบบนี้ อีกครั้ง ความถี่เรโซแนนซ์ไม่เท่ากับความถี่เชิงมุมที่ไม่ลดทอนω0 ของออสซิเลเตอร์ ทั้ง _{สอง เป็นสัดส่วนกัน และถ้าอัตราส่วนการลดทอนเข้าใกล้ศูนย์ ความถี่ ทั้ง}สองจะเท่ากัน แต่สำหรับการลดทอนที่ไม่เป็นศูนย์ ความถี่ทั้งสองจะไม่เท่ากัน ดังแสดงในรูป เรโซแนนซ์อาจเกิดขึ้นที่ความถี่อื่นๆ ใกล้เคียงกับความถี่เรโซแนนซ์ รวมถึง_ω0 ด้วยแต่การตอบสนองสูงสุดจะอยู่ที่ความถี่เรโซแนนซ์

นอกจากนี้ωr จะเป็น _ค่าจริงและไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อดังนั้นระบบนี้จะเกิดการสั่นพ้องได้ก็ต่อเมื่อตัวสั่นแบบฮาร์มอนิกมีการหน่วงน้อยมากเท่านั้น สำหรับระบบที่มีอัตราส่วนการหน่วงน้อยมากและมีความถี่ในการขับเคลื่อนใกล้เคียงกับความถี่เรโซแนนซ์ การสั่นในสภาวะคงที่อาจมีขนาดใหญ่มาก ${\textstyle \zeta <1/{\sqrt {2}}}$

สำหรับออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกแบบขับเคลื่อนและหน่วงอื่นๆ ที่สมการการเคลื่อนที่ไม่เหมือนกับตัวอย่างมวลบนสปริง ความถี่เรโซแนนซ์ยังคงอยู่ แต่คำจำกัดความของω ₀และζเปลี่ยนแปลงไปตามหลักฟิสิกส์ของระบบ สำหรับลูกตุ้มที่มีความยาวℓและมุมการกระจัดเล็กๆθสมการ ( 1 ) จะกลายเป็น $${\displaystyle \omega _{r}=\omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}},}$$$${\displaystyle m\ell {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}=F_{0}\sin(\omega t)-mg\theta -c\ell {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}}$$

และด้วยเหตุนี้

• ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {g}{\ell }}},}$
• ${\displaystyle \zeta ={\frac {c}{2m}}{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}.}$

พิจารณาวงจรที่ประกอบด้วยตัวต้านทานที่มีความต้านทานRตัวเหนี่ยวนำที่มีความเหนี่ยวนำLและตัวเก็บประจุที่มีความจุCต่ออนุกรมกับกระแสi ( t ) และขับเคลื่อนด้วย แหล่ง จ่ายแรงดันที่มีแรงดันvin ₍ t ) แรงดันตกคร่อมรอบวงจรคือ

${\displaystyle L{\frac {di(t)}{dt}}+Ri(t)+V(0)+{\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}i(\tau )d\tau =v_{\text{in}}(t).}$

4

แทนที่จะวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้สำหรับสมการนี้ เช่นเดียวกับตัวอย่างมวลบนสปริงข้างต้น ส่วนนี้จะวิเคราะห์การตอบสนองความถี่ของวงจรนี้ โดยการใช้การแปลงลาปลาสของสมการ ( 4 ) โดยที่I ( s ) และVin ₍ s )คือการแปลงลาปลาสของกระแสและแรงดันอินพุตตามลำดับ และsคือ พารามิเตอร์ความถี่ เชิงซ้อนในโดเมนลาปลาส จัดเรียงพจน์ใหม่ $${\displaystyle sLI(s)+RI(s)+{\frac {1}{sC}}I(s)=V_{\text{in}}(s),}$$$${\displaystyle I(s)={\frac {s}{s^{2}L+Rs+{\frac {1}{C}}}}V_{\text{in}}(s).}$$

วงจร RLC แบบอนุกรมมีตัวเลือกหลายอย่างสำหรับการวัดแรงดันเอาต์พุต สมมติว่าแรงดันเอาต์พุตที่สนใจคือแรงดันตกคร่อมตัวเก็บประจุ ดังแสดงในภาพด้านบน ในโดเมนลาปลาส แรงดันนี้คือ หรือ $${\displaystyle V_{\text{out}}(s)={\frac {1}{sC}}I(s)}$$$${\displaystyle V_{\text{out}}={\frac {1}{LC(s^{2}+{\frac {R}{L}}s+{\frac {1}{LC}})}}V_{\text{in}}(s).}$$

จงหาความถี่ธรรมชาติและอัตราส่วนการหน่วงสำหรับวงจรนี้ $${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}},}$$$${\displaystyle \zeta ={\frac {R}{2}}{\sqrt {\frac {C}{L}}}.}$$

อัตราส่วนของแรงดันเอาต์พุตต่อแรงดันอินพุตจะกลายเป็น $${\displaystyle H(s)\triangleq {\frac {V_{\text{out}}(s)}{V_{\text{in}}(s)}}={\frac {\omega _{0}^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{0}s+\omega _{0}^{2}}}}$$

H ( s ) คือฟังก์ชันถ่ายโอนระหว่างแรงดันอินพุตและแรงดันเอาต์พุต ฟังก์ชันถ่ายโอนนี้มีขั้ว สองขั้ว ซึ่งเป็นรากของพหุนามในตัวส่วนของฟังก์ชันถ่ายโอน ณ ตำแหน่ง

$${\displaystyle s=-\zeta \omega _{0}\pm i\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}$$

5

และไม่มีรากศูนย์ของพหุนามในตัวเศษของฟังก์ชันถ่ายโอน ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับขนาดของขั้วเหล่านี้คือความถี่ธรรมชาติω ₀และสำหรับ ซึ่งเป็นเงื่อนไขของเราสำหรับการเกิดเรโซแนนซ์ในตัวอย่างออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิก ขั้วจะอยู่ใกล้แกนจินตนาการมากกว่าแกนจริง ${\displaystyle \zeta \leq 1}$${\displaystyle \zeta <1/{\sqrt {2}}}$

เมื่อประเมินH ( s ) ตามแกนจินตนาการs = iωฟังก์ชันถ่ายโอนจะอธิบายการตอบสนองความถี่ของวงจรนี้ หรืออีกนัยหนึ่ง การตอบสนองความถี่สามารถวิเคราะห์ได้โดยการใช้การแปลงฟูริเยร์ของสมการ ( 4 ) แทนการแปลงลาปลาส ฟังก์ชันถ่ายโอนซึ่งเป็นจำนวนเชิงซ้อนเช่นกัน สามารถเขียนได้ในรูปของอัตราขยายและเฟส $${\displaystyle H(i\omega )=G(\omega )e^{i\Phi (\omega )}.}$$

แรงดันอินพุตแบบไซน์ที่ความถี่ωจะส่งผลให้เกิดแรงดันเอาต์พุตที่ความถี่เดียวกัน โดยที่ค่าG ( ω ) จะถูกปรับขนาด และมีเฟสชิฟต์Φ ( ω ) สามารถพล็อตค่าเกนและเฟสเทียบกับความถี่บนกราฟโบเดได้สำหรับแรงดันตัวเก็บประจุของวงจร RLC ค่าเกนของฟังก์ชันถ่ายโอนH ( iω ) คือ

$${\displaystyle G(\omega )={\frac {\omega _{0}^{2}}{\sqrt {\left(2\omega \omega _{0}\zeta \right)^{2}+(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}}}}.}$$

6

โปรดสังเกตความคล้ายคลึงกันระหว่างอัตราขยายในที่นี้กับแอมพลิจูดในสมการ ( 3 ) อีกครั้ง อัตราขยายจะสูงสุดที่ความถี่เรโซแนนซ์$${\displaystyle \omega _{r}=\omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}.}$$

ในที่นี้ ปรากฏการณ์เรโซแนนซ์สอดคล้องกับการที่การแกว่งตัวแบบคงที่ของแรงดันไฟฟ้าคร่อมตัวเก็บประจุมีแอมพลิจูดค่อนข้างมากเมื่อเทียบกับแอมพลิจูดที่ความถี่การขับเคลื่อนอื่นๆ

ความถี่เรโซแนนซ์ไม่จำเป็นต้องมีรูปแบบดังตัวอย่างข้างต้นเสมอไป สำหรับวงจร RLC สมมติว่าแรงดันเอาต์พุตที่สนใจคือแรงดันคร่อมตัวเหนี่ยวนำ ดังที่แสดงไว้ข้างต้น ในโดเมนลาปลาส แรงดันคร่อมตัวเหนี่ยวนำคือ $${\displaystyle V_{\text{out}}(s)=sLI(s),}$$$${\displaystyle V_{\text{out}}(s)={\frac {s^{2}}{s^{2}+{\frac {R}{L}}s+{\frac {1}{LC}}}}V_{\text{in}}(s),}$$$${\displaystyle V_{\text{out}}(s)={\frac {s^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{0}s+\omega _{0}^{2}}}V_{\text{in}}(s),}$$

โดยใช้คำจำกัดความเดียวกันสำหรับω ₀และζเช่นเดียวกับในตัวอย่างก่อนหน้า ฟังก์ชันถ่ายโอนระหว่างV _in ( s ) และ V _out ( s ) ใหม่นี้ที่ผ่านตัวเหนี่ยวนำคือ $${\displaystyle H(s)={\frac {s^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{0}s+\omega _{0}^{2}}}.}$$

ฟังก์ชันถ่ายโอนนี้มีขั้วเดียวกันกับฟังก์ชันถ่ายโอนในตัวอย่างก่อนหน้า แต่ยังมีศูนย์สองตัวในตัวเศษที่s = 0 ด้วย เมื่อประเมินH ( s ) ตามแกนจินตนาการ อัตราขยายของมันจะกลายเป็น $${\displaystyle G(\omega )={\frac {\omega ^{2}}{\sqrt {\left(2\omega \omega _{0}\zeta \right)^{2}+(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}}}}.}$$

เมื่อเปรียบเทียบกับอัตราขยายในสมการ ( 6 ^{) โดยใช้แรงดันตัวเก็บประจุเป็นเอาต์พุต อัตราขยายนี้ จะ}มีตัวประกอบω2ในตัวเศษ และด้วยเหตุนี้จึงมีความถี่เรโซแนนซ์ที่แตกต่างกันซึ่งทำให้อัตราขยายสูงสุด ความถี่นั้นคือ $${\displaystyle \omega _{r}={\frac {\omega _{0}}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}},}$$

ดังนั้นสำหรับวงจร RLC เดียวกัน แต่มีแรงดันตกคร่อมตัวเหนี่ยวนำเป็นเอาต์พุต ความถี่เรโซแนนซ์จึงมากกว่าความถี่ธรรมชาติ แม้ว่าจะยังคงมีแนวโน้มเข้าใกล้ความถี่ธรรมชาติเมื่ออัตราส่วนการหน่วงเข้าใกล้ศูนย์ก็ตาม การที่วงจรเดียวกันสามารถมีความถี่เรโซแนนซ์ที่แตกต่างกันสำหรับตัวเลือกเอาต์พุตที่แตกต่างกันนั้นไม่ขัดแย้งกัน ดังแสดงในสมการ ( 4 ) แรงดันตกคร่อมวงจรจะถูกแบ่งออกไปในองค์ประกอบวงจรทั้งสาม และแต่ละองค์ประกอบมีพลวัตที่แตกต่างกัน แรงดันของตัวเก็บประจุจะเพิ่มขึ้นอย่างช้าๆ โดยการรวมกระแสในช่วงเวลาหนึ่ง ดังนั้นจึงมีความไวต่อความถี่ต่ำมากกว่า ในขณะที่แรงดันของตัวเหนี่ยวนำจะเพิ่มขึ้นเมื่อกระแสเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็ว ดังนั้นจึงมีความไวต่อความถี่สูงมากกว่า แม้ว่าวงจรโดยรวมจะมีความถี่ธรรมชาติที่มันมีแนวโน้มที่จะสั่น แต่พลวัตที่แตกต่างกันของแต่ละองค์ประกอบวงจรทำให้แต่ละองค์ประกอบสั่นพ้องที่ความถี่ที่แตกต่างกันเล็กน้อย

สมมติว่าแรงดันเอาต์พุตที่สนใจคือแรงดันคร่อมตัวต้านทาน ในโดเมนลาปลาส แรงดันคร่อมตัวต้านทานคือ $${\displaystyle V_{\text{out}}(s)=RI(s),}$$$${\displaystyle V_{\text{out}}(s)={\frac {Rs}{L\left(s^{2}+{\frac {R}{L}}s+{\frac {1}{LC}}\right)}}V_{\text{in}}(s),}$$

และเมื่อใช้ความถี่ธรรมชาติและอัตราส่วนการหน่วงเดียวกันกับในตัวอย่างตัวเก็บประจุ ฟังก์ชันถ่ายโอนจะเป็นดังนี้ $${\displaystyle H(s)={\frac {2\zeta \omega _{0}s}{s^{2}+2\zeta \omega _{0}s+\omega _{0}^{2}}}.}$$

ฟังก์ชันถ่ายโอนนี้มีขั้วเหมือนกับตัวอย่างวงจร RLC ก่อนหน้านี้ แต่มีศูนย์เพียงจุดเดียวในตัวเศษที่s = 0 สำหรับฟังก์ชันถ่ายโอนนี้ อัตราขยายคือ $${\displaystyle G(\omega )={\frac {2\zeta \omega _{0}\omega }{\sqrt {\left(2\omega \omega _{0}\zeta \right)^{2}+(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}}}}.}$$

ความถี่เรโซแนนซ์ที่ให้ค่าการขยายสูงสุดคือ และค่าการขยายจะเท่ากับหนึ่งที่ความถี่นี้ ดังนั้นแรงดันตกคร่อมตัวต้านทานจะเกิดเร โซแนนซ์ ที่ความถี่ธรรมชาติของวงจร และที่ความถี่นี้ แอมพลิจูดของแรงดันตกคร่อมตัวต้านทานจะเท่ากับแอมพลิจูดของแรงดันอินพุต $${\displaystyle \omega _{r}=\omega _{0},}$$

บางระบบแสดงปรากฏการณ์แอนติเรโซแนนซ์ ซึ่งสามารถวิเคราะห์ได้ในลักษณะเดียวกับเรโซแนนซ์ สำหรับแอนติเรโซแนนซ์ แอมพลิจูดของการตอบสนองของระบบที่ความถี่บางค่าจะ มี ขนาดเล็ก อย่างไม่สมส่วน แทนที่จะมีขนาดใหญ่อย่างไม่สมส่วน ในตัวอย่างวงจร RLC ปรากฏการณ์นี้สามารถสังเกตได้โดยการวิเคราะห์ทั้งตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุรวมกัน

สมมติว่าแรงดันเอาต์พุตที่สนใจในวงจร RLC คือแรงดันคร่อมตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุที่ต่ออนุกรมกัน สมการ ( 4 ) แสดงให้เห็นว่าผลรวมของแรงดันคร่อมองค์ประกอบวงจรทั้งสามเท่ากับแรงดันอินพุต ดังนั้นการวัดแรงดันเอาต์พุตเป็นผลรวมของแรงดันตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุรวมกันจึงเท่ากับv _inลบด้วยแรงดันตกคร่อมตัวต้านทาน ตัวอย่างก่อนหน้านี้แสดงให้เห็นว่าที่ความถี่ธรรมชาติของระบบ แอมพลิจูดของแรงดันตกคร่อมตัวต้านทานเท่ากับแอมพลิจูดของv _inดังนั้นแรงดันคร่อมตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุรวมกันจึงมีแอมพลิจูดเป็นศูนย์ เราสามารถแสดงสิ่งนี้ได้ด้วยฟังก์ชันถ่ายโอน

ผลรวมของแรงดันในตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุคือ $${\displaystyle V_{\text{out}}(s)=(sL+{\frac {1}{sC}})I(s),}$$$${\displaystyle V_{\text{out}}(s)={\frac {s^{2}+{\frac {1}{LC}}}{s^{2}+{\frac {R}{L}}s+{\frac {1}{LC}}}}V_{\text{in}}(s).}$$

โดยใช้ความถี่ธรรมชาติและอัตราส่วนการหน่วงเดียวกันกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ ฟังก์ชันถ่ายโอนจะเป็นดังนี้ $${\displaystyle H(s)={\frac {s^{2}+\omega _{0}^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{0}s+\omega _{0}^{2}}}.}$$

การถ่ายโอนนี้มีขั้วเหมือนกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ แต่มีศูนย์อยู่ที่

$${\displaystyle s=\pm i\omega _{0}.}$$

7

เมื่อประเมินฟังก์ชันถ่ายโอนตามแกนจินตนาการ จะได้ค่าเกนดังนี้ $${\displaystyle G(\omega )={\frac {\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}{\sqrt {\left(2\omega \omega _{0}\zeta \right)^{2}+(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}}}}.}$$

แทนที่จะมองหาเรโซแนนซ์ กล่าวคือ จุดสูงสุดของอัตราขยาย ให้สังเกตว่าอัตราขยายเป็นศูนย์ที่ω = ω ₀ซึ่งสอดคล้องกับการวิเคราะห์แรงดันของตัวต้านทานของเรา นี่เรียกว่าแอนติเรโซแนนซ์ซึ่งมีผลตรงกันข้ามกับเรโซแนนซ์ แทนที่จะส่งผลให้เอาต์พุตมีขนาดใหญ่เกินสัดส่วนที่ความถี่นี้ วงจรนี้ที่มีเอาต์พุตที่เลือกไว้จะไม่มีการตอบสนองใดๆ เลยที่ความถี่นี้ ความถี่ที่ถูกกรองออกจะตรงกับศูนย์ของฟังก์ชันถ่ายโอนอย่างแม่นยำ ซึ่งแสดงไว้ในสมการ ( 7 ) และอยู่บนแกนจินตนาการ

ตัวอย่างวงจร RLC เหล่านี้แสดงให้เห็นว่าการสั่นพ้องมีความสัมพันธ์กับความถี่ตอบสนองของระบบอย่างไร โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตัวอย่างเหล่านี้แสดงให้เห็นถึง:

• สามารถหาความถี่เรโซแนนซ์ได้โดยการมองหาจุดสูงสุดของอัตราขยายของฟังก์ชันถ่ายโอนระหว่างอินพุตและเอาต์พุตของระบบ ตัวอย่างเช่น ในกราฟ Bode magnitude
• ความถี่เรโซแนนซ์ของระบบเดียวสามารถแตกต่างกันได้อย่างไร เมื่อเลือกค่าเอาต์พุตของระบบที่แตกต่างกัน
• ความสัมพันธ์ระหว่างความถี่ธรรมชาติของระบบ อัตราส่วนการหน่วงของระบบ และความถี่เรโซแนนซ์ของระบบ
• ความเชื่อมโยงระหว่างความถี่ธรรมชาติของระบบและขนาดของขั้วของฟังก์ชันถ่ายโอน ชี้ให้เห็นในสมการ ( 5 ) และด้วยเหตุนี้จึงมีความเชื่อมโยงระหว่างขั้วและความถี่เรโซแนนซ์
• ความสัมพันธ์ระหว่างค่าศูนย์ของฟังก์ชันถ่ายโอนและรูปร่างของอัตราขยายที่เป็นฟังก์ชันของความถี่ และด้วยเหตุนี้จึงมีความสัมพันธ์ระหว่างค่าศูนย์และความถี่เรโซแนนซ์ที่ให้ค่าอัตราขยายสูงสุด
• ความเชื่อมโยงระหว่างศูนย์ของฟังก์ชันถ่ายโอนและแอนติเรโซแนนซ์

ส่วนถัดไปจะขยายแนวคิดเหล่านี้ไปสู่ปรากฏการณ์เรโซแนนซ์ในระบบเชิงเส้นทั่วไป

ต่อไปให้พิจารณาระบบเชิงเส้นใดๆ ที่มีอินพุตและเอาต์พุตหลายตัว ตัวอย่างเช่น ในการแสดงแบบปริภูมิสถานะระบบเชิงเส้นอันดับสาม ที่ไม่ขึ้นกับเวลา ที่มีอินพุตสามตัวและเอาต์พุตสองตัว อาจเขียนได้ดังนี้ โดย ที่u _i ( t ) คืออินพุต, x _i (t) คือตัวแปรสถานะ, y _i ( t ) คือเอาต์พุต และA , B , CและDคือเมทริกซ์ที่อธิบายพลวัตระหว่างตัวแปร $${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}\\{\dot {x}}_{2}\\{\dot {x}}_{3}\end{bmatrix}}=A{\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\x_{3}(t)\end{bmatrix}}+B{\begin{bmatrix}u_{1}(t)\\u_{2}(t)\\u_{3}(t)\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1}(t)\\y_{2}(t)\end{bmatrix}}=C{\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\x_{3}(t)\end{bmatrix}}+D{\begin{bmatrix}u_{1}(t)\\u_{2}(t)\\u_{3}(t)\end{bmatrix}},}$$

ระบบนี้มีเมทริกซ์ฟังก์ชันถ่ายโอนซึ่งองค์ประกอบต่างๆ คือฟังก์ชันถ่ายโอนระหว่างอินพุตและเอาต์พุตต่างๆ ตัวอย่างเช่น $${\displaystyle {\begin{bmatrix}Y_{1}(s)\\Y_{2}(s)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}H_{11}(s)&H_{12}(s)&H_{13}(s)\\H_{21}(s)&H_{22}(s)&H_{23}(s)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}U_{1}(s)\\U_{2}(s)\\U_{3}(s)\end{bmatrix}}.}$$

แต่ละH _ij ( s ) คือฟังก์ชันถ่ายโอนแบบสเกลาร์ที่เชื่อมโยงอินพุตหนึ่งกับเอาต์พุตหนึ่ง วงจร RLC ตัวอย่างข้างต้นมีแรงดันอินพุตหนึ่งตัวและแสดงแรงดันเอาต์พุตที่เป็นไปได้สี่ค่า ได้แก่ แรงดันคร่อมตัวเก็บประจุ แรงดันคร่อมตัวเหนี่ยวนำ แรงดันคร่อมตัวต้านทาน และแรงดันคร่อมตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนำที่ต่ออนุกรมกัน โดยแต่ละค่าจะมีฟังก์ชันถ่ายโอนของตัวเอง หากวงจร RLC ถูกตั้งค่าให้วัดแรงดันเอาต์พุตทั้งสี่ค่านี้ ระบบจะมีเมทริกซ์ฟังก์ชันถ่ายโอนขนาด 4×1 ที่เชื่อมโยงอินพุตเดียวกับเอาต์พุตทั้งสี่ค่า

เมื่อประเมินตามแกนจินตนาการ ค่าH _ij ( iω ) แต่ละค่าสามารถเขียนได้ในรูปของการขยายและการเปลี่ยนเฟส $${\displaystyle H_{ij}(i\omega )=G_{ij}(\omega )e^{i\Phi _{ij}(\omega )}.}$$

จุดสูงสุดของอัตราขยายที่ความถี่บางค่า สอดคล้องกับการสั่นพ้องระหว่างอินพุตและเอาต์พุตของฟังก์ชันถ่ายโอนนั้น โดยสมมติว่าระบบมี เสถียรภาพ

ฟังก์ชันถ่ายโอน H _ij ( s ) แต่ละฟังก์ชันสามารถเขียนได้ในรูปเศษส่วนที่มีตัวเศษและตัวส่วนเป็นพหุนามของsเช่น กัน$${\displaystyle H_{ij}(s)={\frac {N_{ij}(s)}{D_{ij}(s)}}.}$$

รากเชิงซ้อนของตัวเศษเรียกว่าศูนย์ และรากเชิงซ้อนของตัวส่วนเรียกว่าขั้ว สำหรับระบบที่เสถียร ตำแหน่งของขั้วและศูนย์เหล่านี้บนระนาบเชิงซ้อนจะบ่งชี้ว่าระบบสามารถสั่นพ้องหรือสั่นพ้องแบบย้อนกลับได้หรือไม่ และที่ความถี่ใด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง คู่ขั้วเชิงซ้อนคู่สังยุคที่เสถียรหรือเสถียรเล็กน้อยที่มีส่วนประกอบจินตนาการสามารถเขียนได้ในรูปของความถี่ธรรมชาติและอัตราส่วนการหน่วงดัง สมการ ( 5 ) ความถี่ธรรมชาติω0 ของขั้วนั้นคือขนาด _ของตำแหน่งของขั้วบนระนาบเชิงซ้อน และอัตราส่วนการหน่วงของขั้วนั้นจะกำหนดว่าการสั่นนั้นลดลงเร็วแค่ไหน โดยทั่วไป^{[ 14 ]}$${\displaystyle s=-\zeta \omega _{0}\pm i\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}},}$$

• คู่ ขั้วเชิงซ้อนที่อยู่ใกล้แกนจินตนาการจะสอดคล้องกับจุดสูงสุดหรือการสั่นพ้องในกราฟการตอบสนองความถี่ในบริเวณใกล้เคียงกับความถี่ธรรมชาติของขั้วนั้น หากคู่ขั้วอยู่บนแกนจินตนาการ อัตราขยายจะอนันต์ที่ความถี่นั้น
• คู่ของค่าศูนย์ เชิงซ้อน ที่อยู่ใกล้แกนจินตนาการ สอดคล้องกับรอยบากหรือภาวะต้านการสั่นพ้องในกราฟการตอบสนองความถี่ในบริเวณใกล้เคียงกับความถี่ของค่าศูนย์ กล่าวคือ ความถี่ที่เท่ากับขนาดของค่าศูนย์ หากคู่ของค่าศูนย์อยู่บนแกนจินตนาการ อัตราขยายจะเป็นศูนย์ที่ความถี่นั้น

ในตัวอย่างวงจร RLC การสรุปทั่วไปครั้งแรกที่เชื่อมโยงขั้วกับเรโซแนนซ์จะสังเกตได้ในสมการ ( 5 ) การสรุปทั่วไปครั้งที่สองที่เชื่อมโยงศูนย์กับแอนติเรโซแนนซ์จะสังเกตได้ในสมการ ( 7 ) ในตัวอย่างของออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิก แรงดันตัวเก็บประจุของวงจร RLC และแรงดันตัวเหนี่ยวนำของวงจร RLC "ขั้วใกล้แกนจินตนาการ" สอดคล้องกับเงื่อนไขการหน่วงต่ำอย่างมีนัยสำคัญ ζ < 1 / ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

ระบบทางกายภาพสามารถมีความถี่ธรรมชาติได้มากเท่ากับจำนวนองศาอิสระและสามารถเกิดการสั่นพ้องใกล้กับความถี่ธรรมชาติแต่ละความถี่ได้ มวลที่ติดอยู่กับสปริง ซึ่งมีองศาอิสระหนึ่งองศา จะมีความถี่ธรรมชาติหนึ่งความถี่ลูกตุ้มคู่ซึ่งมีองศาอิสระสององศา สามารถมีความถี่ธรรมชาติได้สองความถี่ เมื่อจำนวนของตัวสั่นแบบฮาร์มอนิกที่เชื่อมต่อกันเพิ่มขึ้น เวลาที่ใช้ในการถ่ายโอนพลังงานจากตัวหนึ่งไปยังอีกตัวหนึ่งก็จะมีความสำคัญ ระบบที่มีจำนวนองศาอิสระมาก ๆ สามารถมองได้ว่าเป็นระบบต่อเนื่องมากกว่าระบบที่มีตัวสั่นแบบไม่ต่อ เนื่อง

พลังงานถ่ายโอนจากตัวสั่นหนึ่งไปยังอีกตัวสั่นหนึ่งในรูปของคลื่น ตัวอย่างเช่น สายกีตาร์หรือผิวน้ำในชามสามารถจำลองได้ว่าเป็นระบบต่อเนื่องของตัวสั่นขนาดเล็กที่เชื่อมต่อกัน และคลื่นสามารถเดินทางไปตามระบบเหล่านั้นได้ ในหลายกรณี ระบบเหล่านี้มีศักยภาพที่จะเกิดการสั่นพ้องที่ความถี่บางค่า ก่อให้เกิดคลื่นนิ่งที่มีการสั่นขนาดใหญ่ ณ ตำแหน่งคงที่ การสั่นพ้องในรูปของคลื่นนิ่งเป็นพื้นฐานของปรากฏการณ์ที่คุ้นเคยหลายอย่าง เช่น เสียงที่เกิดจากเครื่องดนตรี โพรงแม่เหล็กไฟฟ้าที่ใช้ในเลเซอร์และเตาไมโครเวฟ และระดับพลังงานของอะตอม

เมื่อสายที่มีความยาวคงที่ถูกขับเคลื่อนด้วยความถี่เฉพาะ คลื่นจะแพร่กระจายไปตามสายด้วยความถี่เดียวกัน คลื่นจะสะท้อนออกจากปลายสาย และในที่สุดก็ จะถึง สภาวะคงที่โดยมีคลื่นเคลื่อนที่ไปในทั้งสองทิศทาง รูปคลื่นคือการซ้อนทับกันของคลื่น^{[ 15 ]}

ที่ความถี่บางค่า รูปคลื่นสถานะคงที่ดูเหมือนจะไม่เคลื่อนที่ไปตามสาย ที่ตำแหน่งคงที่ที่เรียกว่าจุดบัพสายจะไม่เคลื่อนที่ระหว่างจุดบัพ สายจะสั่น และที่ตำแหน่งกึ่งกลางระหว่างจุดบัพ ซึ่งเรียกว่าจุดปฏิบัพ การสั่นจะมีแอมพลิจูดสูงสุด^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}

สำหรับสายที่มีความยาวและปลายคงที่ การกระจัดของสายที่ตั้งฉากกับแกน y ในเวลาคือ^{[ 15 ]}${\displaystyle L}$${\displaystyle y(x,t)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$$${\displaystyle y(x,t)=2y_{\text{max}}\sin(kx)\cos(2\pi ft),}$$

ที่ไหน

• ${\displaystyle y_{\text{max}}}$คือแอมพลิจูดของคลื่นที่เคลื่อนที่ไปทางซ้ายและขวาที่แทรกสอดกันจนเกิดเป็นคลื่นนิ่ง
• ${\displaystyle k}$คือเลขคลื่น
• ${\displaystyle f}$คือความถี่​

ความถี่ที่สั่นพ้องและก่อตัวเป็นคลื่นนิ่งมีความสัมพันธ์กับความยาวของสายดัง^{[ 19 ] [ 17 ]}$${\displaystyle f={\frac {nv}{2L}},}$$$${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$$

โดยที่คือความเร็วของคลื่น และจำนวนเต็มแทนโหมดหรือฮาร์มอนิก ที่แตกต่างกัน คลื่นนิ่งที่มีn = 1สั่นด้วยความถี่พื้นฐานและมีความยาวคลื่นเป็นสองเท่าของความยาวของสาย โหมดการสั่นที่เป็นไปได้จะก่อตัวเป็นอนุกรมฮาร์มอนิก^{[ 19 ]}${\displaystyle v}$${\displaystyle n}$

ปรากฏการณ์เรโซแนนซ์เชิงกลคือแนวโน้มของระบบเชิงกลที่จะดูดซับพลังงานมากขึ้นเมื่อความถี่ ของการสั่นตรงกับความถี่ การสั่นตามธรรมชาติของระบบมากกว่าความถี่อื่นๆ อาจทำให้เกิดการแกว่งไหวอย่างรุนแรง และอาจถึงขั้นเกิดความเสียหายร้ายแรงในโครงสร้างที่สร้างไม่ถูกต้อง เช่น สะพาน อาคาร รถไฟ และเครื่องบิน ในการออกแบบวัตถุวิศวกร ต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่าความถี่เรโซแนนซ์เชิงกลของชิ้นส่วนประกอบไม่ตรงกับความถี่การสั่นของมอเตอร์หรือชิ้นส่วนที่สั่นอื่นๆ ซึ่งเป็นปรากฏการณ์ที่เรียกว่าภัยพิบัติจากเรโซแนนซ์

การหลีกเลี่ยงภัยพิบัติจากปรากฏการณ์เรโซแนนซ์เป็นเรื่องสำคัญอย่างยิ่งใน โครงการก่อสร้างอาคาร หอคอย และสะพาน ทุกแห่ง มาตรการแก้ไขคือการติดตั้ง อุปกรณ์ลดแรงสั่นสะเทือนเพื่อดูดซับความถี่เรโซแนนซ์และกระจายพลังงานที่ดูดซับเข้าไป อาคาร ไทเป 101ใช้ลูกตุ้มขนาด 660 ตัน (730 ตันสั้น) ซึ่งเป็นตัวลดแรงสั่นสะเทือนแบบมวล ปรับได้ เพื่อลดการเกิดเรโซแนนซ์ ยิ่งไปกว่านั้น โครงสร้างยังได้รับการออกแบบให้เกิดเรโซแนนซ์ที่ความถี่ที่ไม่เกิดขึ้นโดยทั่วไป อาคารใน เขต แผ่นดินไหวส่วนใหญ่มักถูกสร้างขึ้นโดยคำนึงถึงความถี่การสั่นของพื้นดิน ที่คาดว่าจะเกิดขึ้น นอกจากนี้วิศวกรที่ออกแบบวัตถุที่มีเครื่องยนต์ต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่าความถี่เรโซแนนซ์เชิงกลของชิ้นส่วนต่างๆ ไม่ตรงกับความถี่การสั่นสะเทือนของมอเตอร์หรือชิ้นส่วนอื่นๆ ที่สั่นอย่างรุนแรง

นาฬิกาบอกเวลาโดยอาศัยการสั่นสะเทือนทางกลในล้อสมดุลลูกตุ้ม หรือผลึก ควอตซ์

จังหวะการวิ่งของนักวิ่งได้รับการตั้งสมมติฐานว่าเอื้อต่อการใช้พลังงานเนื่องจากการสั่นพ้องระหว่างพลังงานยืดหยุ่นที่สะสมอยู่ในขาและมวลของนักวิ่ง^{[ 20 ]}

การสั่นพ้องทางเสียงเป็นสาขาหนึ่งของการสั่นพ้องทางกลที่เกี่ยวข้องกับการสั่นสะเทือนทางกลในช่วงความถี่ที่มนุษย์ได้ยิน หรืออีกนัยหนึ่งคือเสียงสำหรับมนุษย์ การได้ยินโดยปกติจะจำกัดอยู่ที่ความถี่ระหว่างประมาณ 20  Hzถึง 20,000 Hz (20  kHz ) ^{[ 21 ]} วัตถุและวัสดุหลายชนิดทำหน้าที่เป็นตัวสั่นพ้องที่มีความถี่การสั่นพ้องอยู่ในช่วงนี้ และเมื่อถูกกระทบจะสั่นสะเทือนทางกล ผลักดันอากาศโดยรอบเพื่อสร้างคลื่นเสียง นี่คือที่มาของเสียงกระทบต่างๆ ที่เราได้ยิน

การก้องของเสียงเป็นสิ่งสำคัญที่ผู้ผลิตเครื่องดนตรีต้องพิจารณา เนื่องจากเครื่องดนตรี ประเภทอะคูสติกส่วนใหญ่ ใช้ตัวก้อง เสียง เช่นสายและตัวไวโอลินความยาวของท่อในฟลุตและรูปทรงและความตึงของเยื่อกลอง

เช่นเดียวกับการสั่นพ้องเชิงกล การสั่นพ้องทางเสียงอาจส่งผลให้วัตถุที่เกิดการสั่นพ้องเสียหายอย่างรุนแรง ตัวอย่างคลาสสิกคือการทำให้แก้วไวน์แตกด้วยเสียงที่มีความถี่การสั่นพ้องที่แม่นยำของแก้ว แม้ว่าในทางปฏิบัติจะทำได้ยากก็ตาม^{[ 22 ]}

ปรากฏการณ์เรโซแนนซ์ทางไฟฟ้า เกิดขึ้นในวงจรไฟฟ้าที่ ความถี่เรโซแนนซ์เฉพาะเมื่ออิมพีแดนซ์ของวงจรมีค่าต่ำสุดในวงจรอนุกรม หรือมีค่าสูงสุดในวงจรขนาน (โดยปกติเมื่อฟังก์ชันถ่ายโอนมีค่าสูงสุดในค่าสัมบูรณ์) เรโซแนนซ์ในวงจรถูกนำมาใช้สำหรับการส่งและรับการสื่อสารไร้สาย เช่น โทรทัศน์ โทรศัพท์มือถือ และวิทยุ

โพรงแสงหรือที่เรียกว่าตัวเรโซเนเตอร์แสงคือการจัดเรียงกระจกที่สร้างโพรงเรโซเนเตอร์คลื่น นิ่ง สำหรับคลื่นแสงโพรงแสงเป็นส่วนประกอบสำคัญของเลเซอร์โดยล้อมรอบตัวกลางขยายสัญญาณและให้การป้อนกลับของแสงเลเซอร์ นอกจากนี้ยังใช้ในออสซิลเลเตอร์พาราเมตริกเชิงแสงและอินเตอร์เฟอโรเมตร บางชนิด แสงที่ถูกกักอยู่ในโพรงจะสะท้อนหลายครั้งทำให้เกิดคลื่นนิ่งสำหรับความถี่เรโซแนนซ์บางค่า รูปแบบของคลื่นนิ่งที่เกิดขึ้นเรียกว่า "โหมด" โหมดตามยาวจะแตกต่างกันเฉพาะความถี่ ในขณะที่โหมดตามขวางจะแตกต่างกันสำหรับความถี่ที่แตกต่างกันและมีรูปแบบความเข้มที่แตกต่างกันทั่วหน้าตัดของลำแสง ตัวเรโซเนเตอร์แบบวงแหวนและแกลเลอรีกระซิบเป็นตัวอย่างของตัวเรโซเนเตอร์แสงที่ไม่สร้างคลื่นนิ่ง

ตัวเรโซเนเตอร์แต่ละประเภทจะแตกต่างกันที่ระยะโฟกัสของกระจกทั้งสองบานและระยะห่างระหว่างกระจกเหล่านั้น โดยทั่วไปจะไม่ค่อยใช้กระจกแบนเนื่องจากจัดตำแหน่งให้ตรงกันได้ยาก รูปทรงเรขาคณิต (ประเภทของเรโซเนเตอร์) ต้องเลือกให้ลำแสงคงที่ กล่าวคือ ขนาดของลำแสงไม่เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ ในแต่ละครั้งที่สะท้อน นอกจากนี้ เรโซเนเตอร์ยังได้รับการออกแบบให้ตรงตามเกณฑ์อื่นๆ เช่น ขนาดลำแสงที่เล็กที่สุด หรือไม่มีจุดโฟกัส (และดังนั้นจึงไม่มีแสงที่เข้มข้น ณ จุดนั้น) ภายในโพรง

โพรงแสงได้รับการออกแบบให้มีค่า Qแฟคเตอร์สูงมาก^{[ 23 ]}ลำแสงสะท้อนหลายครั้งโดยมีการลดทอน น้อย ดังนั้นความกว้างของเส้น ความถี่ ของลำแสงจึงน้อยเมื่อเทียบกับความถี่ของเลเซอร์

นอกจากนี้ ยังมีปรากฏการณ์เรโซแนนซ์ทางแสงอื่นๆ เช่นเรโซแนนซ์แบบนำทางและเรโซแนนซ์พลาสมอนบนพื้นผิวซึ่งส่งผลให้เกิดการสะท้อนที่ผิดปกติและสนามเอวาเนสเซนต์สูงที่จุดเรโซแนนซ์ ในกรณีนี้ โหมดเรโซแนนซ์จะเป็นโหมดนำทางของท่อนำคลื่นหรือโหมดพลาสมอนบนพื้นผิวของส่วนต่อประสานระหว่างไดอิเล็กทริกกับโลหะ โดยปกติโหมดเหล่านี้จะถูกกระตุ้นด้วยตะแกรงที่มีขนาดเล็กกว่าความยาวคลื่น

ในกลศาสตร์ดาราศาสตร์การสั่นพ้องของวงโคจรเกิดขึ้นเมื่อวัตถุสอง ดวง ที่โคจรรอบกันส่งอิทธิพลแรงโน้มถ่วงต่อกันอย่างสม่ำเสมอและเป็นคาบ โดยปกติเกิดจากคาบการโคจรของวัตถุทั้งสองสัมพันธ์กันด้วยอัตราส่วนของจำนวนเต็มขนาดเล็กสองจำนวน การสั่นพ้องของวงโคจรจะเพิ่มอิทธิพลแรงโน้มถ่วงระหว่างวัตถุอย่างมาก ในกรณีส่วนใหญ่ สิ่งนี้ส่งผลให้เกิด ปฏิสัมพันธ์ ที่ไม่เสถียรซึ่งวัตถุจะแลกเปลี่ยนโมเมนตัมและเปลี่ยนวงโคจรจนกระทั่งการสั่นพ้องหายไป ในบางสถานการณ์ ระบบการสั่นพ้องอาจเสถียรและแก้ไขตัวเองได้ ทำให้วัตถุยังคงอยู่ในภาวะสั่นพ้อง ตัวอย่างเช่น การสั่นพ้อง 1:2:4 ของดวงจันทร์แกนีมีดยูโรปาและไอโอ ของดาวพฤหัสบดี และการสั่นพ้อง 2:3 ระหว่างพลูโตและเนปจูนการสั่นพ้องที่ไม่เสถียรกับ ดวงจันทร์ชั้นในของ ดาวเสาร์ทำให้เกิดช่องว่างในวงแหวนของดาวเสาร์ กรณีพิเศษของการสั่นพ้องแบบ 1:1 (ระหว่างวัตถุที่มีรัศมีวงโคจรใกล้เคียงกัน) ทำให้วัตถุขนาดใหญ่ในระบบสุริยะกวาดล้างบริเวณรอบวงโคจรของตนโดยการขับไล่วัตถุอื่นๆ เกือบทั้งหมดออกไป ซึ่งปรากฏการณ์นี้ถูกนำมาใช้ในการกำหนดนิยามของดาวเคราะห์ ใน ปัจจุบัน

การเรโซแนนซ์แม่เหล็กนิวเคลียร์ (NMR) คือชื่อที่ใช้เรียกปรากฏการณ์การเรโซแนนซ์ทางฟิสิกส์ ซึ่งเกี่ยวข้องกับการสังเกต คุณสมบัติทางแม่เหล็ก เชิงกลควอนตัม เฉพาะ ของนิวเคลียสอะตอม ในสภาวะที่มีสนามแม่เหล็กภายนอกกระทำ เทคนิคทางวิทยาศาสตร์หลายอย่างใช้ประโยชน์จากปรากฏการณ์ NMR ในการศึกษาฟิสิกส์โมเลกุลผลึกและวัสดุที่ไม่เป็นผลึกผ่านสเปกโทรสโกปี NMRนอกจากนี้ NMR ยังถูกใช้เป็นประจำในเทคนิคการถ่ายภาพทางการแพทย์ขั้นสูง เช่น ในการถ่ายภาพด้วยคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า (MRI)

นิวเคลียสทั้งหมดที่มีจำนวนนิวคลีออน เป็นเลขคี่ จะมีโมเมนตัมเชิงมุมและโมเมนต์แม่เหล็กเฉพาะตัว คุณสมบัติสำคัญของ NMR คือความถี่เรโซแนนซ์ของสารใดๆ จะแปรผันตรงกับความแรงของสนามแม่เหล็กที่ใช้ คุณสมบัตินี้ถูกนำไปใช้ในเทคนิคการสร้างภาพ หากวางตัวอย่างไว้ในสนามแม่เหล็กที่ไม่สม่ำเสมอ ความถี่เรโซแนนซ์ของนิวเคลียสในตัวอย่างจะขึ้นอยู่กับตำแหน่งที่นิวเคลียสนั้นอยู่ภายในสนาม ดังนั้นจึงสามารถระบุตำแหน่งของอนุภาคได้อย่างแม่นยำโดยใช้ความถี่เรโซแนนซ์ของมัน

การเรโซแนนซ์พาราแมกเนติกของอิเล็กตรอนหรือที่รู้จักกันในชื่อการเรโซแนนซ์สปินของอิเล็กตรอน (ESR) เป็นเทคนิคทางสเปกโทรสโกปีที่คล้ายกับ NMR แต่ใช้อิเล็กตรอนที่ไม่จับคู่กันแทน วัสดุที่สามารถนำเทคนิคนี้ไปใช้ได้นั้นมีข้อจำกัดมาก เนื่องจากวัสดุนั้นต้องมีทั้งสปินที่ไม่จับคู่กันและเป็นพาราแมกเนติกด้วย

ปรากฏการณ์เมิสส์บาวเออร์คือการปล่อยและการดูดกลืน โฟ ตอนรังสีแกมมาโดยอะตอมที่ยึดเหนี่ยวกันในรูปของแข็งอย่างมีเร โซแนนซ์และปราศจาก แรงสะท้อนกลับ

ปรากฏการณ์เรโซแนนซ์ในฟิสิกส์อนุภาคปรากฏขึ้นในสถานการณ์ที่คล้ายคลึงกับฟิสิกส์คลาสสิกในระดับกลศาสตร์ควอนตัมและทฤษฎีสนามควอนตัม เรโซแนนซ์อาจมองได้ว่าเป็นอนุภาคที่ไม่เสถียร โดยสูตรใน ส่วนเส้น โค้งเรโซแนนซ์สากลของบทความนี้จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อΓ คือ อัตราการสลายตัวของอนุภาคและคือมวลของอนุภาคMในกรณีนั้น สูตรจะมาจากตัวแพร่กระจาย ของอนุภาค โดยแทนที่มวลด้วยจำนวนเชิงซ้อนM  +  iΓสูตรนี้ยังมีความสัมพันธ์กับอัตราการสลายตัวของอนุภาคโดยทฤษฎี ทางแสง อีกด้วย${\displaystyle \omega _{0}}$

ขบวนทหารที่เดินเป็นจังหวะสม่ำเสมอบนสะพานที่แคบและมีความยืดหยุ่นทางโครงสร้าง อาจทำให้เกิดการสั่นสะเทือนที่มีแอมพลิจู ดสูงจนเป็นอันตรายได้ เมื่อวันที่ 12 เมษายน พ.ศ. 2374 สะพานแขวนบรอกตันใกล้เมืองซัลฟอร์ด ประเทศอังกฤษได้พังถล่มลงมาขณะที่กลุ่มทหารอังกฤษกำลังเดินข้ามสะพาน^{[ 24 ]}ตั้งแต่นั้นมา กองทัพอังกฤษจึงมีคำสั่งให้ทหารหยุดเดินเป็นจังหวะเมื่อเดินข้ามสะพาน เพื่อหลีกเลี่ยงการสั่นสะเทือนจากรูปแบบการเดินปกติของพวกเขาที่ส่งผลกระทบต่อสะพาน^{[ 25 ] [ 26 ]}

การสั่นสะเทือนของมอเตอร์หรือเครื่องยนต์สามารถเหนี่ยวนำให้เกิดการสั่นสะเทือนแบบเรโซแนนซ์ในโครงสร้างรองรับได้ หากความถี่ธรรมชาติ ของโครงสร้างเหล่านั้น ใกล้เคียงกับความถี่ของการสั่นสะเทือนของเครื่องยนต์ ตัวอย่างที่พบได้ทั่วไปคือเสียงดังเอี๊ยดอ๊าดของตัวถังรถบัสเมื่อเครื่องยนต์เดินเบาอยู่

การสั่นพ้องเชิงโครงสร้างของสะพานแขวนที่เกิดจากลมอาจนำไปสู่การพังทลายอย่างร้ายแรง สะพานแขวนในยุคแรกๆ หลายแห่งในยุโรปและสหรัฐอเมริกาถูกทำลายโดยการสั่นพ้องเชิงโครงสร้างที่เกิดจากลมที่ไม่รุนแรง การพังทลายของสะพาน Tacoma Narrowsเมื่อวันที่ 7 พฤศจิกายน พ.ศ. 2483 ถือเป็นตัวอย่างคลาสสิกของการสั่นพ้องในทางฟิสิกส์^{[ 27 ]} Robert H. Scanlan และคนอื่นๆ ได้โต้แย้งว่าการทำลายล้างนั้นเกิดจากการสั่นไหวแบบแอโรอิลาสติกซึ่งเป็นการปฏิสัมพันธ์ที่ซับซ้อนระหว่างสะพานกับลมที่พัดผ่าน—เป็นตัวอย่างของการสั่นด้วยตนเองหรือ "การสั่นสะเทือนที่ยั่งยืนด้วยตนเอง" ตามที่กล่าวถึงในทฤษฎีการสั่นสะเทือนแบบไม่เชิงเส้น^{[ 28 ]}

ค่าQหรือค่าคุณภาพเป็น พารามิเตอร์ ไร้มิติที่อธิบายว่าออสซิลเลเตอร์หรือเรโซเนเตอร์มีการหน่วงน้อยเพียงใด และกำหนดลักษณะแบนด์วิดท์ของเรโซเนเตอร์เมื่อเทียบกับความถี่ศูนย์กลาง^{[ 29 ] [ 30 ]} ค่าQ สูง บ่งชี้ว่าอัตราการสูญเสียพลังงานต่ำกว่าเมื่อเทียบกับพลังงานที่เก็บไว้ กล่าวคือ ระบบมีการหน่วงน้อย พารามิเตอร์นี้กำหนดโดยสมการ : ^{[ 31 ]}$${\displaystyle Q=2\pi {\text{ }}{\frac {\text{ maximum energy stored}}{\text{total energy lost per cycle at resonance}}}}$$

ยิ่งค่า Q แฟกเตอร์สูงเท่าไร แอมพลิจูดที่ความถี่เรโซแนนซ์ก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น และแบนด์วิดท์หรือช่วงความถี่รอบเรโซแนนซ์ก็จะยิ่งแคบลงเท่านั้น ในเรโซแนนซ์ทางไฟฟ้า วงจรที่มีค่า Q สูง ในเครื่องรับวิทยุจะปรับจูนได้ยากกว่า แต่มีความเลือกสรร มากกว่า ดังนั้นจึงสามารถกรองสัญญาณจากสถานีอื่นได้ดีกว่า ออสซิลเลเตอร์ที่มีค่า Q สูงจะมีเสถียรภาพมากกว่า^{[ 31 ]}

ตัวอย่างที่ปกติจะมีค่า Q ต่ำ ได้แก่ตัวปิดประตู (Q=0.5) ระบบที่มีค่า Q สูง ได้แก่ ส้อมเสียง (Q=1000) นาฬิกาอะตอมและเลเซอร์ (Q≈10 ¹¹ ) ^{[ 32 ]}

การตอบสนองที่แท้จริงของการสั่นพ้อง โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับความถี่ที่อยู่ห่างจากความถี่สั่นพ้องนั้น ขึ้นอยู่กับรายละเอียดของระบบทางกายภาพ และโดยปกติแล้วจะไม่สมมาตรอย่างสมบูรณ์เกี่ยวกับความถี่สั่นพ้อง ดังที่แสดงให้เห็นในกรณีของตัวสั่นแบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายข้างต้น

สำหรับออสซิลเลเตอร์เชิงเส้นที่มีการหน่วงเล็กน้อยที่มีความถี่เร โซแนนซ์ ความเข้มของการสั่นเมื่อระบบถูกขับเคลื่อนด้วยความถี่ขับเคลื่อนโดยทั่วไปจะประมาณได้จากสูตรต่อไปนี้ซึ่งสมมาตรเกี่ยวกับความถี่เรโซแนนซ์: ^{[ 33 ]}${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \omega }$$${\displaystyle I(\omega )\equiv |\chi |^{2}\propto {\frac {1}{(\omega -\omega _{0})^{2}+\left({\frac {\Gamma }{2}}\right)^{2}}}.}$$

โดยที่ความไวต่อการเชื่อมโยงแอมพลิจูดของออสซิลเลเตอร์กับแรงขับเคลื่อนในพื้นที่ความถี่: ^{[ 34 ]}${\displaystyle \chi (\omega )}$$${\displaystyle x(\omega )=\chi (\omega )F(\omega )}$$

ความเข้มของการสั่นถูกกำหนดให้เป็นกำลังสองของแอมพลิจูดของการสั่น ซึ่งเป็นฟังก์ชันลอเรนซ์หรือการกระจายแบบโคชีและพบการตอบสนองนี้ได้ในสถานการณ์ทางฟิสิกส์หลายอย่างที่เกี่ยวข้องกับระบบเรโซแนนซ์Γเป็นพารามิเตอร์ที่ขึ้นอยู่กับการหน่วงของการสั่น และเรียกว่าความกว้างของเส้นสเปกตรัมของเรโซแนนซ์ ตัวสั่นที่มีการหน่วงมากมักมีความกว้างของเส้นสเปกตรัมกว้าง และตอบสนองต่อช่วงความถี่ในการกระตุ้นที่กว้างขึ้นรอบความถี่เรโซแนนซ์ ความกว้างของเส้นสเปกตรัมแปรผกผันกับ ค่า Qซึ่งเป็นตัววัดความคมชัดของเรโซแนนซ์

ในวิศวกรรมวิทยุและวิศวกรรมอิเล็กทรอนิกส์การตอบสนองสมมาตรโดยประมาณนี้เรียกว่าเส้นโค้งเรโซแนนซ์สากลซึ่งเป็นแนวคิดที่Frederick E. Terman นำเสนอ ในปี 1932 เพื่อลดความซับซ้อนของการวิเคราะห์โดยประมาณของวงจรวิทยุที่มีความถี่ศูนย์กลางและค่าQ ที่หลากหลาย ^{[ 35 ] [ 36 ]}

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับเรื่องResonance

• หนังสือ The Feynman Lectures on Physics เล่ม 1 บทที่ 23: ปรากฏการณ์เรโซแนนซ์
• บทความเรื่อง "Resonance" ถูกเก็บถาวรไว้เมื่อวันที่ 3 มกราคม 2017 ในWayback Machine - เป็นบทหนึ่งจากตำราเรียนออนไลน์
• กรีน, ไบรอัน , " เสียงสะท้อนในสาย " จักรวาลอันสง่างาม , NOVA ( PBS )
• ส่วนไฮเปอร์ฟิสิกส์เกี่ยวกับแนวคิดเรื่องการสั่นพ้อง
• เรโซแนนซ์ กับ เรโซแนนซ์ (การใช้คำศัพท์)
• การสั่นพ้องของไม้และอากาศในฮาร์ปซิคอร์ด
• เสียงกระจกแตก ( บันทึกไว้เมื่อวันที่ 2 ธันวาคม 2008 ในWayback Machine)ซึ่งรวมถึงภาพวิดีโอความเร็วสูงของกระจกแตก