ฉนวนโทโพโลยีคือวัสดุที่มีภายในทำหน้าที่เป็นฉนวนไฟฟ้าในขณะที่พื้นผิวทำหน้าที่เป็นตัวนำไฟฟ้า^{[ 3 ]}ซึ่งหมายความว่าอิเล็กตรอนสามารถเคลื่อนที่ได้เฉพาะตามพื้นผิวของวัสดุเท่านั้น

ฉนวนเชิงทอพอโลยีเป็นฉนวนด้วยเหตุผลเดียวกับที่ฉนวน " ธรรมดา " (ทั่วไป) เป็น นั่นคือ มีช่องว่างพลังงานระหว่างแถบวาเลนซ์และแถบนำไฟฟ้าของวัสดุ แต่ในฉนวนเชิงทอพอโลยี แถบเหล่านี้จะ "บิด" ในความหมายที่ไม่เป็นทางการ เมื่อเทียบกับฉนวนธรรมดา^{[ 4 ]}ฉนวนเชิงทอพอโลยีไม่สามารถ แปลงเป็นฉนวนธรรมดา ได้อย่างต่อเนื่องโดยไม่คลายการบิดของแถบ ซึ่งจะปิดช่องว่างของแถบและสร้างสถานะนำไฟฟ้า ดังนั้น เนื่องจากการต่อเนื่องของสนามพื้นฐานขอบของฉนวนเชิงทอพอโลยีกับฉนวนธรรมดา (รวมถึงสุญญากาศซึ่งเป็นฉนวนเชิงทอพอโลยีธรรมดา) จึงถูกบังคับให้รองรับสถานะขอบ นำ ไฟฟ้า^{[ 5 ]}

เนื่องจากผลลัพธ์นี้เกิดจากคุณสมบัติโดยรวมของ โครงสร้างแถบพลังงานของฉนวนเชิงทอพอโลยี การรบกวนเฉพาะที่ (ที่รักษาความสมมาตร) จึงไม่สามารถทำลายสถานะพื้นผิวนี้ได้^{[ 6 ]}นี่เป็นคุณสมบัติเฉพาะของฉนวนเชิงทอพอโลยี: ในขณะที่ฉนวนทั่วไปสามารถรองรับสถานะพื้นผิวที่เป็นตัวนำได้เช่นกัน แต่มีเพียงสถานะพื้นผิวของฉนวนเชิงทอพอโลยีเท่านั้นที่มีคุณสมบัติความทนทานนี้

สิ่งนี้นำไปสู่คำจำกัดความที่เป็นทางการมากขึ้นของฉนวนเชิงทอพอโลยี: ฉนวนที่ไม่สามารถ แปลงเป็นฉนวนธรรมดา ได้โดยไม่ผ่านสถานะการนำไฟฟ้าขั้นกลาง^{[ 5 ]}กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฉนวนเชิงทอพอโลยีและฉนวนธรรมดาเป็นบริเวณที่แยกจากกันในแผนภาพเฟสโดยเชื่อมต่อกันด้วยเฟสการนำไฟฟ้าเท่านั้น ด้วยวิธีนี้ ฉนวนเชิงทอพอโลยีจึงเป็นตัวอย่างของสถานะของสสารที่ไม่ได้รับการอธิบายโดยทฤษฎีการทำลายสมมาตรของแลนเดาซึ่งกำหนดสถานะของสสารทั่วไป^{[ 6 ]}

คุณสมบัติของฉนวนเชิงทอพอโลยีและสถานะพื้นผิวของพวกมันขึ้นอยู่กับมิติของวัสดุและสมมาตร พื้นฐานอย่างมาก และสามารถจำแนกประเภทได้โดยใช้สิ่งที่เรียกว่าตารางธาตุของฉนวนเชิงทอพอโลยี การรวมกันของมิติและสมมาตรบางอย่างทำให้ฉนวนเชิงทอพอโลยีหายไปโดยสิ้นเชิง^{[ 7 ]}ฉนวนเชิงทอพอโลยีทั้งหมดมีสมมาตร U(1) อย่างน้อยหนึ่งอย่าง จาก การอนุรักษ์ จำนวนอนุภาคและมักจะมีสมมาตรการย้อนกลับเวลาจากการไม่มีสนามแม่เหล็ก ด้วยวิธีนี้ ฉนวนเชิงทอพอโลยีจึงเป็นตัวอย่างของลำดับเชิงทอพอโลยีที่ได้รับการปกป้องโดยสมมาตร [ ^{8 ] สิ่ง}ที่เรียกว่า "ค่าคงที่เชิงทอพอโลยี" ซึ่งมีค่าอยู่ใน หรือช่วยให้สามารถจำแนกฉนวนเป็นแบบธรรมดาหรือเชิงทอพอโลยีได้ และสามารถคำนวณได้ด้วยวิธีการต่างๆ^{[ 7 ]}${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

สถานะพื้นผิวของฉนวนเชิงทอพอโลยีอาจมีคุณสมบัติที่แปลกใหม่ ตัวอย่างเช่น ในฉนวนเชิงทอพอโลยี 3 มิติที่มีสมมาตรการย้อนกลับของเวลา สถานะพื้นผิวจะมีสปินที่ถูกล็อกไว้ที่มุมฉากกับโมเมนตัม (การล็อกสปิน-โมเมนตัม) ที่พลังงานที่กำหนด สถานะอิเล็กตรอนอื่น ๆ ที่มีอยู่จะมีสปินที่แตกต่างกัน ดังนั้นการกระเจิงแบบ "U"-turnจึงถูกยับยั้งอย่างมาก และการนำไฟฟ้าบนพื้นผิวจึงมีคุณสมบัติเป็นโลหะสูง

^{แม้ว่าจะมีต้นกำเนิดมาจากระบบกลศาสตร์ควอนตัม แต่}ยังสามารถพบอะนาล็อกของฉนวนเชิงทอพอโลยีได้ในสื่อคลาสสิก มี ฉนวนเชิงทอพอโลยี แบบโฟตอนิก [ ^{9 ] แบบ}แม่เหล็ก [ ^{10 ]}และแบบอะคูสติก^{[ 11 ]}เป็นต้น

แบบจำลองแรกของฉนวนทอพอโลยี 3 มิติได้รับการเสนอโดย BA Volkov และ OA Pankratov ในปี 1985 ^{[ 12 ]} และต่อมาโดย Pankratov, SV Pakhomov และ Volkov ในปี 1987 ^{[ 13 ]}สถานะ Dirac 2 มิติที่ไม่มีช่องว่างได้รับการแสดงให้เห็นว่ามีอยู่ ณ จุดสัมผัสการผกผันของแถบใน โครงสร้างเฮเทโร PbTe / SnTe ^{[ 12 ]}และHgTe / CdTe ^{[ 13 ]}การมีอยู่ของสถานะ Dirac ที่ส่วนต่อประสานใน HgTe/CdTe ได้รับการตรวจสอบโดยการทดลองโดย กลุ่ม ของ Laurens W. Molenkampในฉนวนทอพอโลยี 2 มิติในปี 2007 ^{[ 14 ]}

ต่อมาชุดแบบจำลองทางทฤษฎีสำหรับฉนวนทอพอโลยี 2 มิติ (หรือที่รู้จักกันในชื่อฉนวนควอนตัมสปินฮอลล์) ได้รับการเสนอโดยCharles L. KaneและEugene J. Meleในปี 2548 ^{[ 15 ]}และโดยB. Andrei BernevigและShoucheng Zhangในปี 2549 ^{[ 16 ]}ตัวแปรทอพอโลยีถูกสร้างขึ้นและความสำคัญของสมมาตรการย้อนกลับเวลาได้รับการชี้แจงในงานของ Kane และ Mele ^{[ 17 ]}ต่อมา Bernevig, Taylor L. Hughes และ Zhang ได้ทำการคาดการณ์ทางทฤษฎีว่าฉนวนทอพอโลยี 2 มิติที่มีสถานะขอบเกลียวหนึ่งมิติ (1D) จะเกิดขึ้นในบ่อควอนตัม (ชั้นบางมาก) ของปรอทเทลลูไรด์ที่ประกบอยู่ระหว่างแคดเมียมเทลลูไรด์^{[ 18 ]}การขนส่งเนื่องจากสถานะขอบเกลียว 1 มิติได้รับการสังเกตจริงในการทดลองโดยกลุ่มของ Molenkamp ในปี 2550 ^{[ 14 ]}${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

แม้ว่าการจำแนกประเภททางทอพอโลยีและความสำคัญของสมมาตรการย้อนเวลาจะถูกชี้ให้เห็นในช่วงทศวรรษ 2000 แต่ส่วนประกอบที่จำเป็นทั้งหมดและฟิสิกส์ของฉนวนทางทอพอโลยีนั้นเป็นที่เข้าใจกันดีอยู่แล้วในงานวิจัยตั้งแต่ทศวรรษ 1980

ในปี 2550 มีการคาดการณ์ว่าฉนวนทอพอโลยี 3 มิติอาจพบได้ในสารประกอบไบนารีที่เกี่ยวข้องกับบิสมัท [ ^{19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง "ฉนวนทอพอโลยีที่แข็งแกร่ง" มีอยู่ซึ่งไม่สามารถลดรูปเป็นสำเนาหลายชุดของ^{สถานะ}ควอนตัมสปินฮอลล์ได้^{[ 23 ]}

การล็อกสปิน-โมเมนตัม^{[ 24 ]}ในฉนวนทอพอโลยีช่วยให้สถานะพื้นผิวที่ได้รับการปกป้องด้วยสมมาตรสามารถรองรับอนุภาคมาโจรานา ได้ หากมีการเหนี่ยวนำสภาพนำยิ่งยวดบนพื้นผิวของฉนวนทอพอโลยี 3 มิติผ่านเอฟเฟกต์ความใกล้เคียง^{[ 25 ]} (โปรดทราบว่าโหมดศูนย์มาโจรานาสามารถปรากฏขึ้นได้โดยไม่ต้องใช้ฉนวนทอพอโลยี^{[ 26 ]} ) ความไม่ธรรมดาของฉนวนทอพอโลยีถูกเข้ารหัสไว้ในการมีอยู่ของก๊าซของเฟอร์มิออนดิแรกแบบเกลียวอนุภาคดิแรกซึ่งมีพฤติกรรมเหมือนเฟอร์มิออนสัมพัทธภาพไร้มวลได้รับการสังเกตในฉนวนทอพอโลยี 3 มิติ โปรดทราบว่าสถานะพื้นผิวไร้ช่องว่างของฉนวนทอพอโลยีแตกต่างจากสถานะในปรากฏการณ์ควอนตัมฮอลล์ : สถานะพื้นผิวไร้ช่องว่างของฉนวนทอพอโลยีได้รับการปกป้องด้วยสมมาตร (กล่าวคือ ไม่ใช่ทอพอโลยี) ในขณะที่สถานะพื้นผิวไร้ช่องว่างในปรากฏการณ์ควอนตัมฮอลล์เป็นทอพอโลยี (กล่าวคือ ทนทานต่อการรบกวนในท้องถิ่นใดๆ ที่สามารถทำลายสมมาตรทั้งหมดได้) ไม่สามารถวัด ค่าคงที่ทางทอพอโลยีได้โดยใช้วิธีการขนส่งแบบดั้งเดิม เช่น การนำไฟฟ้าสปินฮอลล์ และการขนส่งไม่ได้ถูกควอนตัมโดยค่าคงที่เหล่านั้น มีการสาธิตวิธีการทดลองเพื่อวัดค่าคงที่ทางทอพอโลยี ซึ่งให้การวัดลำดับทางทอพอโลยี^{[ 27 ]} (โปรดทราบว่าคำว่าลำดับทางทอพอโลยียังถูกใช้เพื่ออธิบายลำดับทางทอพอโลยีด้วยทฤษฎีเกจ ที่เกิดขึ้นใหม่ ซึ่งค้นพบในปี 1991 ^{[ 28 ] [ 29 ]} ) โดยทั่วไป (ในสิ่งที่เรียกว่าวิธีสิบเท่า ) สำหรับแต่ละมิติเชิงพื้นที่ แต่ละคลาสสมมาตร Altland—Zirnbauer สิบคลาสของแฮมิลโท เนียนแบบสุ่ม ที่ติดป้ายกำกับด้วยประเภทของสมมาตรแบบไม่ต่อเนื่อง (สมมาตรการย้อนเวลา สมมาตรอนุภาค-หลุม และสมมาตรไครัล) มีกลุ่มของค่าคงที่ทางทอพอโลยีที่สอดคล้องกัน (ไม่ว่าจะเป็นหรือไม่สำคัญ) ตามที่อธิบายโดยตารางธาตุของค่าคงที่ทางทอพอโลยี^{[ 30 ]}${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

การประยุกต์ใช้ฉนวนเชิงทอพอโลยีที่น่าสนใจที่สุดคืออุปกรณ์สปินโทรนิกส์และทรานซิสเตอร์ ไร้การสูญเสียพลังงาน สำหรับคอมพิวเตอร์ควอนตัมโดยอาศัยปรากฏการณ์ควอนตัมฮอลล์^{[ 14 ]}และปรากฏการณ์ควอนตัมอะโนมาลัสฮอลล์^{[ 31 ]}นอกจากนี้ วัสดุฉนวนเชิงทอพอโลยียังพบการประยุกต์ใช้งานจริงในอุปกรณ์แม่เหล็กไฟฟ้าและออปโตอิเล็กทรอนิกส์ ขั้นสูงอีกด้วย ^{[ 32 ] [ 33 ]}

ฉนวนทอพอโลยีที่รู้จักกันดีบางชนิดยังเป็นวัสดุเทอร์โมอิเล็กทริกเช่น Bi₂Te₃ _และโลหะผสมกับ Bi₂Se₃ ₍เท_อร์โมอิเล็กทริกชนิด n) และ Sb₂Te₃ ₍ เทอร์โมอิเล็ก ท_ริกชนิด p) ^{[ 34 ]}ประสิทธิภาพการแปลงพลังงานเทอร์โมอิเล็กทริกสูงเกิดขึ้นในวัสดุที่มีค่าการนำความร้อนต่ำ ค่าการนำไฟฟ้าสูง และค่าสัมประสิทธิ์ซีเบค สูง (กล่าวคือ การเปลี่ยนแปลงแรงดันไฟฟ้าที่เพิ่มขึ้นเนื่องจากการเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิที่เพิ่มขึ้น) ฉนวนทอพอโลยีมักประกอบด้วยอะตอมหนัก ซึ่งมีแนวโน้มที่จะลดค่าการนำความร้อนและเป็นประโยชน์ต่อเทอร์โมอิเล็กทริก การศึกษาล่าสุดยังแสดงให้เห็นว่าคุณลักษณะทางไฟฟ้าที่ดี (กล่าวคือ ค่าการนำไฟฟ้าสูงและค่าสัมประสิทธิ์ซีเบค) สามารถเกิดขึ้นได้ในฉนวนทอพอโลยีเนื่องจากการบิดเบี้ยวของโครงสร้างแถบพลังงานจำนวนมาก ซึ่งขับเคลื่อนโดยการกลับด้านของแถบพลังงาน^{[ 35 ]}บ่อยครั้งที่ค่าการนำไฟฟ้าและค่าสัมประสิทธิ์ซีเบคเป็นคุณสมบัติที่ขัดแย้งกันของเทอร์โมอิเล็กทริกและยากที่จะปรับให้เหมาะสมพร้อมกัน การบิดเบี้ยวของแถบพลังงานที่เกิดจากการกลับด้านของแถบพลังงานในฉนวนเชิงทอพอโลยี สามารถเป็นตัวกลางระหว่างคุณสมบัติทั้งสองได้โดยการลดมวลยังผลของอิเล็กตรอน/โฮล และเพิ่มความเสื่อมของหุบเขา (กล่าวคือ จำนวนแถบอิเล็กตรอนที่ส่งผลต่อการขนส่งประจุ) ด้วยเหตุนี้ ฉนวนเชิงทอพอโลยีจึงเป็นตัวเลือกที่น่าสนใจสำหรับการใช้งานด้านเทอร์โมอิเล็กทริกโดยทั่วไป

โดยนิยามแล้ว ระบบคาบจะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อนบางอย่าง ทำให้เราสามารถกำหนดสถานะเฉพาะของแฮมิลโทเนียน แบบคาบได้ ด้วยค่าเฉพาะของตัวดำเนินการเลื่อนที่ทำให้ระบบไม่เปลี่ยนแปลง ค่าเฉพาะของตัวดำเนินการเลื่อนเรียกว่าโมเมนตัมผลึก (หรือควาซิโมเมนตัม) และมักเขียนเป็น(โดยที่ d คือจำนวนมิติของระบบ) เลขควอนตัม เหล่านี้ มีบทบาทคล้ายกับเวกเตอร์คลื่นของอนุภาคอิสระความเป็นคาบของผลึกเหนี่ยวนำให้เกิดความเป็นคาบในปริภูมิ k: และโดยที่เป็นเวกเตอร์คลื่นผกผันอธิบายสถานะเดียวกัน (หรือชุดของสถานะ) ชุดของควาซิโมเมนตัมทั้งหมดที่ไม่เท่ากันจนถึงเวกเตอร์คลื่นผกผันเรียกว่าโซนบริลลูอิน^{[ 36 ]} อันเป็นผลมาจากความเป็นคาบของโซนบริลลูอิน ขอบหรือหน้าตรงข้ามของมันควรจะถูกระบุให้เหมือนกัน ดังนั้นโซนบริลลูอินจึงอธิบายทอรัสd มิติ ^{[ 37 ]}${\displaystyle \mathbf {k} =(k_{1},k_{2},...,k_{d})}$${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle \mathbf {k} +\mathbf {G} }$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle T^{d}}$

ฉนวนเชิงทอพอโลยีที่อธิบายได้ง่ายที่สุดคือฉนวนผลึกแบบเป็นคาบที่มีสององศาอิสระ (เช่น สองออร์บิทัล) ต่อหน่วยเซลล์แม้ว่าการวิเคราะห์ต่อไปนี้ส่วนใหญ่จะเป็นจริงเฉพาะกับระบบเหล่านั้น แต่ก็สามารถขยายความทั่วไปไปยังฉนวนเชิงทอพอโลยีผลึกใดๆ ได้อย่างง่ายดาย ตัวอย่างที่โดดเด่นของระบบสองแถบ ได้แก่กราฟีนและแบบจำลอง Su-Shrieffer-Heeger (ซึ่งอธิบายโพลีอะเซทิลีน ) โดยการแยกองศาอิสระจากภายในและภายนอกเซลล์ เราสามารถเขียนฟังก์ชันคลื่นได้เป็น โดยที่กำกับหน่วยเซลล์เป็นเวกเตอร์แลตทิซเป็นจำนวนหน่วยเซลล์ (ซึ่งอาจเป็นอนันต์หรือไม่ก็ได้) และเป็นสถานะภายในของหน่วยเซลล์ ซึ่งในกรณีของเราสามารถเขียนได้โดยทั่วไปว่า(โดยที่ A และ B เป็นองศาอิสระภายใน) ^{[ 38 ]}เนื่องจากทฤษฎีบทของ Blochฐานนี้จะทำให้แฮมิลโทเนียนเป็นบล็อกทแยงมุม บล็อกหนึ่งดังกล่าว ซึ่งสอดคล้องกับควาซิโมเมนตัมสามารถแสดงได้ด้วยเมทริกซ์เฮอร์ มิเชียน สำหรับกรณีสองแถบ (เมทริกซ์นี้มักเรียกว่าแฮมิลโทเนียนของบล็อก) เมทริกซ์เฮอร์มิเชียนใดๆ สามารถเขียนได้ในรูปการรวมเชิงเส้นของเมทริกซ์ Pauliและและเมทริกซ์เอกลักษณ์ดังนั้นแฮมิลโทเนียนแบบคาบสองแถบใดๆ สามารถเขียนได้เป็น^{[ 38 ]}โดยถือว่ามีการบวกเหนือดัชนีที่ซ้ำกันเป็นเวกเตอร์ค่าจริงสามมิติ และเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ ข้อดีของสูตรนี้คือแฮมิลโทเนียนสามารถมองได้ว่าเป็นเวกเตอร์ในและเซตย่อย n มิติของโซนบริลลูอินจะกำหนดพารามิเตอร์พื้นผิว n มิติในในแง่นี้ เราสามารถคิดว่าเป็นการแมประหว่างสองพื้นที่: สอดคล้องกับ k-space และในกรณีของเรา สอดคล้องกับพื้นที่ของเมทริกซ์เฮอร์มิเชียน ยิ่งไปกว่านั้น ฐานของแฮมิลโทเนียนนี้ยังช่วยให้สามารถทำการคูณสเกลาร์และการหมุนของเวกเตอร์ได้ ประเด็นหลังนี้มีความน่าสนใจเป็นพิเศษ เนื่องจากเป็นเมทริกซ์ทแยงมุม หมายความว่า สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้โดยการหมุนให้ขนานกับแกน ดังนั้นจึงมีเมทริกซ์เอกลักษณ์ในรูปแบบเช่นนั้นโดยที่คือแกนการหมุน และขนาดของแกนจะเป็นตัวกำหนดมุมการหมุน พลังงานสามารถอนุมานได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าที่สำคัญที่สุด การหมุนเกี่ยวข้องเฉพาะทิศทางของ เท่านั้นดังนั้นสถานะเฉพาะของ$${\displaystyle |\psi _{\mathbf {k} }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{m}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} _{m}}|m\rangle \otimes |\alpha \rangle \equiv |\mathbf {k} \rangle \otimes |\alpha \ระยะ }$$${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbf {R} _{m}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle |\alpha \rangle }$${\displaystyle |\alpha \rangle =a|A\rangle +b|B\rangle }$${\displaystyle h_{\mathbf {k} }\equiv \langle \mathbf {k} |H|\mathbf {k} \rangle }$${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle \sigma ^{1},\sigma ^{2}}$${\displaystyle \sigma ^{3}}$$${\displaystyle h_{\mathbf {k} }=d_{i}(\mathbf {k} )\sigma ^{i}+d_{0}(\mathbf {k} )I}$$${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbf {d} =(d_{1},d_{2},d_{3})}$$${\displaystyle \mathbf {d} :T^{d}\to \mathbb {R} ^{3}}$$${\displaystyle T^{d}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle \mathbf {d} }$${\displaystyle \sigma ^{3}}$${\displaystyle h_{\mathbf {k} }}$${\displaystyle \mathbf {d} }$${\displaystyle z}$${\displaystyle R_{\mathbf {k} }=\exp[i\mathbf {\theta (\mathbf {k} } )\cdot {\frac {\mathbf {\sigma } }{2}}]}$$${\displaystyle R_{\mathbf {k} }h_{\mathbf {k} }R_{\mathbf {k} }^{\dagger }={\begin{pmatrix}|\mathbf {d(\mathbf {k} )} |+d_{0}&0\\0&-|\mathbf {d(\mathbf {k} )} |+d_{0}\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle \mathbf {\theta } (\mathbf {k} )}$${\displaystyle (h_{\mathbf {k} }-d_{0}I)^{2}=d_{i}d^{i}}$${\displaystyle R_{\mathbf {k} }}$${\displaystyle \mathbf {d} }$${\displaystyle h_{\mathbf {k} }}$ไม่ขึ้นอยู่กับขนาดของมัน และปริมาณใดๆ ที่เกี่ยวข้องเฉพาะกับสถานะเฉพาะก็เช่นกัน

ตัวอย่างที่สำคัญของปริมาณดังกล่าวคือการเชื่อมต่อ Berry : โดยที่และเป็นดัชนีของแถบ การอินทิเกรตเหนือเส้นทางจะให้เฟสทางเรขาคณิตซึ่งสอดคล้องกับเฟสที่ได้รับโดยสถานะระหว่างวิวัฒนาการแบบอะเดียแบติกที่ไม่เกิดจากการเปลี่ยนแปลงของพลังงาน ในวัสดุสองมิติ การอินทิเกรตเหนือโซน Brillouin จะให้ค่าการนำไฟฟ้าของ Hall ^{[ 39 ]}และการอินทิเกรตยังสามารถใช้ในการคำนวณโพลาไรเซชันของผลึก ได้อีกด้วย ^{[ 40 ]}โปรดสังเกตว่าการเชื่อมต่อ Berry ไม่คงที่ภายใต้การแปลงเกจ แต่การอินทิเกรตเหนือเส้นทางปิดนั้นคงที่ ดังนั้นการอินทิเกรตเหนือโดเมนปิดเท่านั้นที่สามารถสอดคล้องกับปริมาณที่สังเกตได้ ขึ้นอยู่กับทิศทางของ, ซึ่งสามารถคิดได้ว่าเป็นแผนที่จาก d-torus ไปยัง 2 - sphere ^{[ 41 ]}ให้เป็นปริมาณที่สังเกตได้ทางกายภาพที่ได้จากการอินทิเกรตเฟส Berry เหนือโซน Brillouin (ตัวอย่างเช่น ค่าการนำไฟฟ้าของ Hall) สิ่งนี้สามารถมองได้ว่าเป็นแผนที่ประกอบ$${\displaystyle {\mathcal {A}__{\alpha ,\beta }(\mathbf {k} )\equiv i\langle \psi _{\alpha }(\mathbf {k} )|\nabla _{\mathbf {k} }|\psi _{\beta }(\mathbf {k} )\rangle }$$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \mathbf {d} (\mathbf {k} )}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {d} }}(\mathbf {k} )}$${\displaystyle T^{d}}$${\displaystyle S^{2}}$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {d} }}:T^{d}\to S^{2}}$$${\displaystyle {\mathcal {O}}\in \mathbb {R} }$${\displaystyle T^{d}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}({\hat {\mathbf {d} }}(T^{d}))}$

$${\displaystyle {\mathcal {O}}:T^{d}\to S^{2}\to \mathbb {R} }$$ดังนั้นสิ่งที่สังเกตได้ดังกล่าวจะต้องขึ้นอยู่กับลองพิจารณาและซึ่งเป็นการแมปแบบต่อเนื่องสองแบบจากไปยังถ้าสามารถเปลี่ยนรูปได้อย่างราบรื่นเป็นก็จะกล่าวได้ว่าเป็นการสมมูลกันแบบโฮโมโทปี [ ^{42 ] ตัวอย่าง}เช่น วงรอบบนทรงกลมสามารถคิดได้ว่าเป็นการแมปดังกล่าว โดยที่คือวงกลมหน่วย และวงรอบทั้งหมดบนทรงกลมเป็นการสมมูลกันแบบโฮโมโทปี เนื่องจากสามารถเปลี่ยนรูปได้อย่างราบรื่นเป็นจุดเดียว ถ้า แทนซึ่งเป็นกรณีที่อยู่บนระนาบ (และดังนั้นแฮมิลโทเนียนของบล็อกจึงประกอบด้วยเมทริกซ์ Pauli เพียงสองเมทริกซ์) กรณีนี้จะไม่เป็นเช่นนั้นอีกต่อไป: ไม่ใช่ทุกวงรอบบนวงกลมที่สามารถหดตัวเป็นจุดได้ เซตของการแมปที่สมมูลกันแบบโฮโมโทปีเรียกว่าชั้นสมมูลเมื่อกำหนด แม นิโฟลด์เซตของชั้นสมมูลของการแมประหว่างและด้วยการดำเนินการประกอบของการแมป เรียกว่ากลุ่มโฮโมโทปีที่ nของ ซึ่งเขียนแทนด้วย^{[ 42 ]}กลุ่มโฮโมโทปีที่เกี่ยวข้องสำหรับระบบสองแถบคือและเนื่องจากเราสามารถพิจารณาเฉพาะการแมปจากเซตย่อยปิดของโซนบริลลูอิน ( ) ไปยังทรงกลม 2 มิติหรือวงกลม(ซึ่งเป็นเซตย่อยของ) เท่านั้น ตัวอย่างเช่น ถ้าเราใช้วงกลมหน่วย แล้ว: เมื่อเราแมปวงกลมไปยังวงกลม เราจะได้ลูปที่อยู่บนเส้นรอบวงของวงกลม ลูปดังกล่าวสามารถพันรอบวงกลมได้เป็นจำนวนเต็มครั้ง และลูปที่มีจำนวนรอบการพัน ที่ต่างกัน ไม่สามารถเปลี่ยนรูปเป็นลูปอื่นได้ อีกตัวอย่างหนึ่งคือเนื่องจากทุกลูปบนทรงกลมสามารถเปลี่ยนรูปได้อย่างราบรื่นไปยังจุดเดียว ดังนั้นการแมปทั้งหมดจากวงกลมไปยังทรงกลม 2 มิติจึงเทียบเท่ากันในเชิงโฮโมโทปี ตัวเลขที่ระบุองค์ประกอบของกลุ่มโฮโมโทปีเรียกว่าตัวแปรเชิงโทโพโลยี ตัวอย่างของตัวแปรเชิงโทโพโลยีดังกล่าวสำหรับกลุ่มโฮโมโทปีแรกของวงกลมคือจำนวนรอบการพันที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้^{[ 42 ]}ในกรณีนี้และวิธีหนึ่งในการคำนวณจำนวนรอบการพันคือ${\displaystyle {\hat {\mathbf {d} }}(T^{d})}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {d} }}(T^{d})}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {d} }}'(T^{d})}$${\displaystyle T^{d}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {d} }}(T^{d})}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {d} }}'(T^{d})}$${\displaystyle T^{d}=S^{1}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {d} }}:T^{d}\to S^{1}}$${\displaystyle \mathbf {d} }$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \pi _{n}(M)}$${\displaystyle \pi _{2}(T^{d})}$${\displaystyle \pi _{1}(T^{d})}$${\displaystyle T^{d}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle \pi _{1}(S^{1})=\mathbb {Z} }$${\displaystyle \pi _{2}(S^{1})=\{I\}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {d} }}(\mathbf {k} )=\cos(\phi (\mathbf {k} )){\hat {\mathbf {x} }}+\sin(\phi (\mathbf {k} )){\hat {\mathbf {y} }}}$${\displaystyle \nu }$$${\displaystyle \nu ={\frac {1}{2\pi }}\int _{\Sigma }d\phi (\mathbf {k} )}$$

เวกเตอร์หน่วย สามารถกำหนดได้ตราบใดที่ดังนั้นเส้นโค้งหรือพื้นผิวที่ผ่านจุดกำเนิดไม่สามารถแมปอย่างต่อเนื่องไปยังทรงกลม 2 มิติได้ องค์ประกอบสองตัวของกลุ่มโฮโมโทปีถูกแยกออกจากกันด้วยความไม่ต่อเนื่อง ดังนั้นจึงต้องอธิบายเส้นโค้งหรือพื้นผิวที่สามารถเปลี่ยนรูปเข้าหากันได้โดยการผ่านจุดกำเนิดในอวกาศเท่านั้น เมื่อพิจารณารูปแบบของแฮมิลโทเนียนบล็อกสองแถบที่ให้ไว้ข้างต้น จะเห็นได้ว่าถ้าแฮมิลโทเนียนจะเสื่อมสภาพดังนั้นแถบ ทั้งสอง ต้องสัมผัสกัน ดังนั้น ตามทฤษฎีแถบแฮมิลโทเนียนสองแถบจะอธิบายตัวนำ ได้ก็ต่อ เมื่อผ่านจุดกำเนิดที่จุดใดจุดหนึ่งในโซนบริลลูอิน จากนี้สามารถอนุมานได้ว่าองค์ประกอบสองตัวของกลุ่มโฮโมโทปีสอดคล้องกับแฮมิลโทเนียนฉนวนสองตัวที่แยกจากกันด้วยเฟสตัวนำ หรืออีกทางหนึ่ง แฮมิลโทเนียนทั้งสองนั้นไม่ได้เชื่อมต่อกันแบบอะเดียแบติก [ ^{38 ] คู่}ของแฮมิลโทเนียนที่แสดงถึงองค์ประกอบที่แตกต่างกันของกลุ่มโฮโมโทปีกล่าวได้ว่ามีโทโพโลยีที่แตกต่างกัน ${\displaystyle {\hat {\mathbf {d} }}(\mathbf {k} )}$${\displaystyle {\frac {\mathbf {d} (\mathbf {k} )}{|\mathbf {d} (\mathbf {k} )|}}}$${\displaystyle |\mathbf {d} (\mathbf {k} )|\neq 0}$${\displaystyle \mathbf {d} (\mathbf {k} )}$${\displaystyle (d_{1},d_{2},d_{3})}$${\displaystyle |\mathbf {d} (\mathbf {k} )|=0}$${\displaystyle \mathbf {d} (\mathbf {k} )}$

อินทิกรัลของการเชื่อมต่อ Berry เหนือโซน Brillouin ไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้อย่างราบรื่นระหว่างแฮมิลโทเนียนที่มีโทโพโลยีต่างกัน เนื่องจากขึ้นอยู่กับซึ่งไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้อย่างราบรื่นระหว่างแฮมิลโทเนียนทั้งสองนั้น ปรากฏว่าอินทิกรัลนี้เป็นค่าคงที่ทางโทโพโลยีตัวอย่างเช่น ในกรณีที่อยู่บนระนาบ สามารถแสดงได้โดยใช้เมทริกซ์เอกภาพที่ทำให้แฮมิลโทเนียนเป็นแนวทแยงมุมว่า(โดยที่คือมุมบนวงกลม) ดังนั้น จึงเป็นเลขการวนรอบ^{[ 38 ]}ดังที่ได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ ค่าคงที่ทางโทโพโลยีเป็นค่าคงที่เกจ และดังนั้นจึงสามารถเป็นปริมาณที่สังเกตได้ทางกายภาพ ปริมาณที่มีชื่อเสียงที่สุดดังกล่าวคือจำนวนสถานะขอบ (ดูตัวอย่างเช่น แบบจำลอง Su-Schrieffer-Heeger ) และค่าการนำไฟฟ้าของฮอลล์ใน ปรากฏการณ์ค วอน ตัมฮอลล์จำนวนเต็ม${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {d} }}({\mathcal {BZ}})}$${\displaystyle \mathbf {d} }$${\displaystyle R_{\mathbf {k} }=\exp[i\mathbf {\theta (\mathbf {k} } )\cdot {\frac {\mathbf {\sigma } }{2}}]}$${\displaystyle {\mathcal {A}}(\mathbf {k} )=\mathbf {\nabla } _{\mathbf {k} }\phi (\mathbf {k} )}$${\displaystyle \phi }$$${\displaystyle \nu ={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathcal {BZ}}d\mathbf {\Sigma } \cdot {\mathcal {A}}(\mathbf {k} )}$$

ฉนวนทอพอโลยีแบบ 2 มิติถูกสร้างขึ้นเป็นครั้งแรกในระบบที่มีบ่อควอนตัมHgTe คั่นอยู่ระหว่าง แคดเมียมเทลลูไรด์ในปี 2007

ฉนวนทอพอโลยี 3 มิติชนิดแรกที่ได้รับการสร้างขึ้นจากการทดลองคือBi _{1 − x} Sb x _[ ^{43 ] [ 44 ] [ 45 ] บิสมัท}ในสถานะบริสุทธิ์เป็นเซมิเมทัลที่มีช่องว่างแถบอิเล็กตรอนขนาดเล็ก การใช้สเปกโทรสโกปีโฟโตอิเล็กตรอนแบบแยกมุมและการวัดอื่นๆ อีกมากมาย พบว่าโลหะผสม Bi _{1 − x} Sb _xแสดงสถานะพื้นผิว คี่ (SS) ที่ตัดกันระหว่างจุด Kramersคู่ใดๆและคุณสมบัติของเฟอร์มิออน Dirac ขนาดใหญ่^{[ 44 ]} นอกจากนี้ ยังมีการคาดการณ์ว่า Bi _{1 − x} Sb _{x ในรูปของสารเนื้อเดียวกันจะมี} อนุภาค Dirac 3 มิติ ^{[ 46 ]} การคาดการณ์นี้มีความน่าสนใจเป็นพิเศษเนื่องจากการสังเกตการแยกส่วนควอนตัมฮอลล์ ของประจุ ในกราฟีน 2 มิติ^{[ 47 ]}และบิสมัทบริสุทธิ์^{[ 48 ]}

หลังจากนั้นไม่นาน สถานะพื้นผิวที่ได้รับการปกป้องด้วยสมมาตรก็ถูกสังเกตพบในแอนติโมนี บริสุทธิ์ บิสมัทเซเลไนด์บิสมัทเทลลูไรด์และแอนติโมนีเทลลูไรด์โดยใช้สเปกโทรสโกปีการปล่อยโฟตอนแบบแยกมุม (ARPES) ^{[ 49 ] [ 24 ] [ 50 ] [ 51 ] [ 52 ]}และบิสมัทเซเลไนด์ [ ^{52 ] [ 53 ] ปัจจุบัน} เชื่อกันว่า สารกึ่งตัวนำจำนวนมากในตระกูลวัสดุเฮาส์เลอร์ ขนาดใหญ่ แสดงสถานะพื้นผิวเชิงทอพอโลยี^{[ 54 ] [ 55 ]}ในวัสดุบางชนิดเหล่านี้ ระดับเฟอร์มิจะตกอยู่ในแถบนำไฟฟ้าหรือแถบวาเลนซ์เนื่องจากข้อบกพร่องที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติ และจะต้องถูกผลักเข้าไปในช่องว่างของเนื้อวัสดุโดยการเจือปนหรือการควบคุมด้วยเกต^{[ 56 ] [ 57 ]} สถานะพื้นผิวของฉนวนทอพอโลยี 3 มิติเป็น ก๊าซอิเล็กตรอนสองมิติชนิดใหม่(2DEG) ซึ่งสปินของอิเล็กตรอนถูกล็อกไว้กับโมเมนตัมเชิงเส้น^{[ 24 ]}

สถานะฉนวนแบบเต็มรูปแบบหรือสถานะฉนวนเชิงทอพอโลยี 3 มิติโดยเนื้อแท้มีอยู่ในวัสดุที่มี Bi เป็นองค์ประกอบหลัก ดังที่แสดงให้เห็นในการวัดการขนส่งบนพื้นผิว^{[ 58 ]}ในแคลโคเจนไนด์ที่มี Bi เป็นองค์ประกอบหลักตัวใหม่ (Bi _1.1 Sb _0.9 Te ₂ S) ที่มีการเจือ Sn เล็กน้อย จะแสดง พฤติกรรม เซมิคอนดักเตอร์โดยเนื้อแท้โดยมีพลังงานเฟอร์มิและจุดดิแรกอยู่ในช่องว่างของเนื้อวัสดุ และสถานะพื้นผิวได้รับการตรวจสอบโดยการทดลองการขนส่งประจุ^{[ 59 ]}

ในปี 2008 และ 2009 มีการเสนอว่าฉนวนเชิงทอพอโลยีควรทำความเข้าใจได้ดีที่สุดไม่ใช่ในฐานะตัวนำพื้นผิวโดยตรง แต่เป็นแม่เหล็กไฟฟ้าแบบสามมิติที่มีผลกระทบแม่เหล็กไฟฟ้า แบบควอนตัม ^{[ 60 ] [ 61 ]} สิ่งนี้สามารถเปิดเผยได้โดยการวางฉนวนเชิงทอพอโลยีไว้ในสนามแม่เหล็ก ผลกระทบนี้สามารถอธิบายได้ในภาษาที่คล้ายกับอนุภาคแอกซิออนสมมุติของฟิสิกส์อนุภาค^{[ 62 ]} ผลกระทบนี้ได้รับการรายงานโดยนักวิจัยที่มหาวิทยาลัย Johns Hopkinsและมหาวิทยาลัย Rutgersโดยใช้สเปกโทรสโกปี THzซึ่งแสดงให้เห็นว่าการหมุนฟาราเดย์ถูกควอนตัมโดยค่าคงที่โครงสร้างละเอียด^{[ 63 ]}

ในปี 2012 ฉนวน คอนโด เชิง ทอพอโลยีถูกระบุในซามาเรียมเฮกซาโบไรด์ซึ่งเป็นฉนวนแบบก้อนที่อุณหภูมิต่ำ^{[ 64 ] [ 65 ]}

ในปี 2014 ได้มีการแสดงให้เห็นว่าส่วนประกอบแม่เหล็ก เช่น ส่วนประกอบในหน่วยความจำคอมพิวเตอร์แบบสปินทอร์กสามารถควบคุมได้ด้วยฉนวนเชิงทอพอโลยี^{[ 66 ] [ 67 ]}ผลกระทบนี้เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนผ่านจากโลหะเป็นฉนวน ( แบบจำลองโบส-ฮับบาร์ด )

ฉนวนเชิงทอพอโลยีเป็นสิ่งที่ยากต่อการสังเคราะห์ และมีข้อจำกัดในเฟสเชิงทอพอโลยีที่สามารถเข้าถึงได้ด้วยวัสดุของแข็ง^{[ 68 ]}สิ่งนี้กระตุ้นให้เกิดการค้นหาเฟสเชิงทอพอโลยีบนระบบที่จำลองหลักการเดียวกันกับที่อยู่เบื้องหลังฉนวนเชิงทอพอโลยี การเดินควอนตัมแบบเวลาไม่ต่อเนื่อง (DTQW) ได้รับการเสนอเพื่อสร้างฉนวนเชิงทอพอโลยีแบบฟลอเกต์ (FTI) ระบบที่ขับเคลื่อนเป็นระยะนี้จำลองแฮมิลโทเนียนที่มีประสิทธิภาพ ( ฟลอเกต์ ) ซึ่งไม่ใช่เชิงทอพอโลยีธรรมดา^{[ 69 ]}ระบบนี้จำลองแฮมิลโทเนียนที่มีประสิทธิภาพจากฉนวนเชิงทอพอโลยีแบบ 1 ถึง 3 มิติทุกคลาสสากล^{[ 70 ] [ 71 ] [ 72 ] [ 73 ]}ที่น่าสนใจคือ คุณสมบัติเชิงทอพอโลยีของฉนวนเชิงทอพอโลยีแบบฟลอเกต์สามารถควบคุมได้ผ่านการขับเคลื่อนเป็นระยะภายนอก แทนที่จะใช้สนามแม่เหล็กภายนอก โครงตาข่ายอะตอมที่เสริมพลังด้วยปฏิสัมพันธ์ Rydberg ที่เลือกตามระยะทางสามารถจำลอง FTI หลายประเภทได้บนไซต์และขั้นตอนหลายร้อยรายการใน 1, 2 หรือ 3 มิติ^{[ 73 ]}ปฏิสัมพันธ์ระยะไกลช่วยให้สามารถออกแบบเงื่อนไขขอบเขตแบบคาบที่มีการเรียงลำดับเชิงทอพอโลยี ซึ่งช่วยเพิ่มความหลากหลายของเฟสเชิงทอพอโลยีที่สามารถเกิดขึ้นได้^{[ 73 ]}

ฉนวนเชิงทอพอโลยีสามารถปลูกได้โดยใช้วิธีการต่างๆ เช่นการตกตะกอนไอสารเคมีโลหะอินทรีย์ (MOCVD) ^{[ 74 ]}

การตกตะกอนไอทางกายภาพ (PVD) ^{[ 75 ]}การสังเคราะห์โซลโวเทอร์มอล^{[ 76 ]} เทคนิคโซโนเคมี^{[ 77 ]} และการปลูกผลึกด้วยลำแสงโมเลกุล

(MBE) ^{[ 52 ]} MBE ถือเป็นเทคนิคการทดลองที่พบได้บ่อยที่สุด การเติบโตของฉนวนทอพอโลยีแบบฟิล์มบางนั้นถูกควบคุมโดยปฏิกิริยาแวนเดอร์วาลส์ที่ อ่อนแอ ^{[ 78 ]}ปฏิกิริยาที่อ่อนแอนี้ทำให้สามารถลอกฟิล์มบางออกจากผลึกขนาดใหญ่ได้โดยมีพื้นผิวที่สะอาดและสมบูรณ์แบบ ปฏิกิริยาแวนเดอร์วาลส์ในเอพิแท็กซี หรือที่รู้จักกันในชื่อแวนเดอร์วาลส์เอพิแท็กซี (VDWE) เป็นปรากฏการณ์ที่ถูกควบคุมโดยปฏิกิริยาแวนเดอร์วาลส์ที่อ่อนแอระหว่างวัสดุแบบชั้นที่มีองค์ประกอบต่างกันหรือเหมือนกัน^{[ 79 ]}ซึ่งวัสดุจะวางซ้อนกัน วิธีการนี้ทำให้สามารถเติบโตฉนวนทอพอโลยีแบบชั้นบนพื้นผิวอื่นๆ สำหรับโครงสร้างเฮเทอโรและวงจรรวมได้^{[ 79 ]}

การปลูกผลึก ด้วยลำแสงโมเลกุล (Molecular beam epitaxy หรือ MBE) เป็น วิธี การปลูกผลึกบนพื้นผิวผลึกเพื่อสร้างชั้นที่มีระเบียบ กระบวนการ MBE ดำเนินการในสภาวะสุญญากาศสูงหรือสุญญากาศสูงมากโดยให้ความร้อนแก่ธาตุต่างๆ ในเครื่องระเหยด้วยลำแสงอิเล็กตรอนจนกระทั่งระเหิด จากนั้นธาตุที่เป็นก๊าซจะควบแน่นบนแผ่นเวเฟอร์และ ทำ ปฏิกิริยากันเพื่อสร้างผลึกเดี่ยว

MBE เป็นเทคนิคที่เหมาะสมสำหรับการเติบโตของฟิล์มผลึกเดี่ยวคุณภาพสูง เพื่อหลีกเลี่ยงความไม่ตรงกันของแลตติส ขนาดใหญ่ และข้อบกพร่องที่ส่วนต่อประสาน คาดว่าพื้นผิวและฟิล์มบางจะมีค่าคงที่ของแลตติสที่คล้ายกัน MBE มีข้อได้เปรียบเหนือวิธีการอื่น ๆ เนื่องจากกระบวนการสังเคราะห์ดำเนินการในสุญญากาศสูง จึงส่งผลให้มีการปนเปื้อนน้อยลง นอกจากนี้ ข้อบกพร่องของแลตติสจะลดลงเนื่องจากความสามารถในการมีอิทธิพลต่ออัตราการเติบโตและอัตราส่วนของชนิดของวัสดุต้นกำเนิดที่มีอยู่ที่ส่วนต่อประสานของพื้นผิว^{[ 80 ]}ยิ่งไปกว่านั้น ใน MBE ตัวอย่างสามารถเติบโตได้ทีละชั้น ซึ่งส่งผลให้พื้นผิวเรียบที่มีส่วนต่อประสานที่เรียบสำหรับโครงสร้างเฮเทอโรที่ได้รับการออกแบบ นอกจากนี้ เทคนิคการสังเคราะห์ MBE ยังได้รับประโยชน์จากความสะดวกในการเคลื่อนย้ายตัวอย่างฉนวนทางทอพอโลยีจากห้องการเติบโตไปยังห้องวิเคราะห์ เช่น สเปกโทรสโกปีการปล่อยโฟโตอิเล็กตรอนแบบแยกมุม (ARPES) หรือ การศึกษา ด้วยกล้องจุลทรรศน์แบบสแกนอุโมงค์ (STM) ^{[ 81 ]}

เนื่องจากพันธะแวนเดอร์วาลส์ที่อ่อนแอ ซึ่งทำให้เงื่อนไขการจับคู่แลตติสผ่อนคลายลง TI จึงสามารถเติบโตบนพื้นผิวที่หลากหลาย^{[ 82 ]}เช่น Si(111), ^{[ 83 ] [ 84 ]} Al₂โอ₃, GaAs (111), ^{[ 85 ]} InP (111), CdS (0001) และY₃เฟ₅โอ₁₂.

เทคนิคการตกตะกอนไอทางกายภาพ (PVD) ไม่มีข้อเสียของวิธีการลอกชั้น และในขณะเดียวกันก็ง่ายกว่าและถูกกว่าการเติบโตที่ควบคุมได้อย่างสมบูรณ์โดยวิธีการเอพิแท็กซีด้วยลำแสงโมเลกุลมาก วิธีการ PVD ช่วยให้สามารถสังเคราะห์ผลึกเดี่ยวของวัสดุกึ่งสองมิติแบบหลายชั้นต่างๆ ได้อย่างแม่นยำ รวมถึงฉนวนทางทอพอโลยี (เช่นBi)₂เซ₃บิ​₂ที₃). ^{[ 86 ]}ผลึกเดี่ยวที่ได้มีทิศทางผลึกศาสตร์ที่กำหนดไว้อย่างดี องค์ประกอบ ความหนา ขนาด และความหนาแน่นของพื้นผิวบนพื้นผิวที่ต้องการสามารถควบคุมได้ การควบคุมความหนามีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับ TI แบบ 3 มิติ ซึ่งช่องทางอิเล็กทรอนิกส์แบบธรรมดา (ขนาดใหญ่) มักจะครอบงำคุณสมบัติการขนส่งและบดบังการตอบสนองของโหมดทางทอพอโลยี (พื้นผิว) การลดความหนาจะช่วยลดการมีส่วนร่วมของช่องทางขนาดใหญ่แบบธรรมดาในการนำไฟฟ้าทั้งหมด จึงบังคับให้โหมดทางทอพอโลยีเป็นตัวนำกระแสไฟฟ้า^{[ 87 ]}

จนถึงปัจจุบัน สาขาของฉนวนทางทอพอโลยีได้มุ่งเน้นไปที่วัสดุที่มีบิสมัทและแอนติโมนีแคลโคเจนไนด์เป็นองค์ประกอบหลัก เช่นBi₂เซ₃บิ​₂ที₃, สบ.₂ที₃หรือBi _{1 − x} Sb _x , Bi _1.1 Sb _0.9 Te ₂ S. ^{[ 59 ]} การเลือกแชลโคเจนไนด์เกี่ยวข้องกับการผ่อนคลายแบบแวนเดอร์วาลส์ของความแข็งแรงในการจับคู่แลตติส ซึ่งจำกัดจำนวนวัสดุและพื้นผิว^{[ 80 ]} แชลโคเจนไนด์ของบิสมัทได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางสำหรับ TI และการประยุกต์ใช้ในวัสดุเทอร์โมอิเล็กทริกปฏิสัมพันธ์แบบแวนเดอร์วาลส์ใน TI แสดงคุณสมบัติที่สำคัญเนื่องจากพลังงานพื้นผิวต่ำ ตัวอย่างเช่น พื้นผิวของBi₂ที₃โดยปกติจะสิ้นสุดด้วย Te เนื่องจากมีพลังงานพื้นผิวต่ำ^{[ 52 ]}

สารประกอบบิสมัทแคลโคเจนไนด์ได้รับการสังเคราะห์บนพื้นผิวต่างๆ ได้สำเร็จ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ซิลิคอนเป็นพื้นผิวที่เหมาะสมสำหรับการสังเคราะห์ บิสมัท ได้สำเร็จ₂ที₃อย่างไรก็ตาม การใช้แซฟไฟร์เป็นพื้นผิวไม่ได้ผลดีนักเนื่องจากความไม่ตรงกันมากถึงประมาณ 15% ^{[ 88 ]}การเลือกพื้นผิวที่เหมาะสมสามารถปรับปรุงคุณสมบัติโดยรวมของ TI ได้ การใช้ชั้นบัฟเฟอร์สามารถลดความไม่ตรงกันของโครงสร้างผลึก จึงช่วยปรับปรุงคุณสมบัติทางไฟฟ้าของ TI ได้^{[ 88 ]} Bi₂เซ₃สามารถปลูกบนบัฟเฟอร์ Bi _{2 − x} In _x Se ₃ ต่างๆ ได้ ตารางที่ 1 แสดงBi₂เซ₃บิ​₂ที₃, สบ.₂ที₃ บนพื้นผิวที่แตกต่างกันและความไม่เข้ากันของโครงสร้างผลึกที่เกิดขึ้น โดยทั่วไปแล้ว ไม่ว่าพื้นผิวที่ใช้จะเป็นอะไร ฟิล์มที่ได้จะมีพื้นผิวที่มีลักษณะเป็นลวดลาย ซึ่งมีลักษณะเป็นโดเมนผลึกเดี่ยวรูปพีระมิดที่มีขั้นบันไดห้าชั้น ขนาดและสัดส่วนสัมพัทธ์ของโดเมนรูปพีระมิดเหล่านี้จะแตกต่างกันไปตามปัจจัยต่างๆ เช่น ความหนาของฟิล์ม ความไม่เข้ากันของโครงสร้างผลึกกับพื้นผิว และการก่อตัวของฟิล์มที่ขึ้นอยู่กับเคมีของส่วนต่อประสาน การสังเคราะห์ฟิล์มบางมีปัญหาเรื่องสัดส่วนทางเคมีเนื่องจากความดันไอสูงของธาตุต่างๆ ดังนั้น เตตระไดไมต์แบบไบนารีจึงถูกเจือปนจากภายนอกเป็นชนิด n ( Bi)₂เซ₃บิ​₂ที₃) หรือชนิด p ( Sb )₂ที₃). ^{[ 80 ]}เนื่องจากพันธะแวนเดอร์วาลส์ที่อ่อนแอ กราฟีนจึงเป็นหนึ่งในพื้นผิวที่ต้องการสำหรับการเติบโตของ TI แม้ว่าความไม่ตรงกันของแลตติซจะมีมากก็ตาม

ขั้นตอนแรกของการระบุฉนวนทางทอพอโลยีเกิดขึ้นทันทีหลังจากการสังเคราะห์ ซึ่งหมายความว่าโดยไม่ต้องทำลายสุญญากาศและเคลื่อนย้ายตัวอย่างไปยังบรรยากาศ สามารถทำได้โดยใช้เทคนิคสเปกโทรสโกปีการปล่อยโฟตอนแบบแยกมุม (ARPES) หรือกล้องจุลทรรศน์แบบสแกนอุโมงค์ (STM) ^{[ 81 ]}การวัดเพิ่มเติมรวมถึงการตรวจสอบโครงสร้างและทางเคมี เช่น การเลี้ยวเบนของรังสีเอกซ์และสเปกโทรสโกปีแบบกระจายพลังงาน แต่ขึ้นอยู่กับคุณภาพของตัวอย่าง ความไวที่ขาดหายไปอาจยังคงอยู่ การวัดการขนส่งไม่สามารถระบุทอพอโลยีได้อย่างเฉพาะเจาะจงตามคำจำกัดความของสถานะ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

ทฤษฎีบทของ Blochช่วยให้สามารถอธิบายคุณสมบัติการแพร่กระจายคลื่นของวัสดุได้อย่างครบถ้วน โดยการกำหนดเมทริกซ์ให้กับเวกเตอร์คลื่นแต่ละตัวในโซน Brillouin

ในทางคณิตศาสตร์ การกำหนดนี้สร้างเวกเตอร์บันเดิลวัสดุที่แตกต่างกันจะมีคุณสมบัติการแพร่กระจายคลื่นที่แตกต่างกัน และด้วยเหตุนี้จึงมีเวกเตอร์บันเดิลที่แตกต่างกัน หากเราพิจารณาฉนวนทั้งหมด (วัสดุที่มีช่องว่างแถบพลังงาน) สิ่งนี้จะสร้างพื้นที่ของเวกเตอร์บันเดิล โทโพโลยีของพื้นที่นี้ (โมดูลัสของแถบพลังงานที่ไม่สำคัญ) เป็นที่มาของ "โทโพโลยี" ในฉนวนเชิงโทโพโลยี^{[ 7 ]}

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จำนวนส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันของพื้นที่บ่งชี้ว่ามี "เกาะ" ของฉนวนที่แตกต่างกันกี่แห่งในบรรดาสถานะโลหะ ฉนวนในส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันซึ่งมีสถานะสุญญากาศจะถูกระบุว่าเป็น "ธรรมดา" และฉนวนอื่นๆ ทั้งหมดเป็น "เชิงทอพอโลยี" ส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันซึ่งมีฉนวนอยู่สามารถระบุได้ด้วยตัวเลขที่เรียกว่า "ค่าคงที่เชิงทอพอโลยี" ^{[ 7 ]}

พื้นที่นี้สามารถถูกจำกัดภายใต้การมีอยู่ของสมมาตร ซึ่งจะเปลี่ยนโทโพโลยีที่เกิดขึ้น แม้ว่า สมมาตร แบบเอกภาพมักจะมีความสำคัญในกลศาสตร์ควอนตัม แต่ก็ไม่มีผลต่อโทโพโลยีในที่นี้^{[ 89 ]}ในทางกลับกัน สมมาตรสามอย่างที่มักพิจารณาคือ สมมาตรการย้อนเวลา สมมาตรอนุภาค-หลุม และสมมาตรไครัล (เรียกอีกอย่างว่าสมมาตรซับแลตติซ) ในทางคณิตศาสตร์ สิ่งเหล่านี้แสดงได้ดังนี้ ตามลำดับ: ตัวดำเนินการ ต่อต้านเอกภาพที่สลับกับแฮมิลโทเนียน ตัวดำเนินการต่อต้านเอกภาพที่สลับกับแฮมิลโทเนียน และตัวดำเนินการเอกภาพที่สลับกับแฮมิลโทเนียน การรวมกันทั้งหมดของทั้งสามร่วมกับมิติเชิงพื้นที่แต่ละมิติส่งผลให้เกิดสิ่งที่เรียกว่าตารางธาตุของฉนวนโทโพ โล ยี^{[ 7 ]}

สาขาของฉนวนทอพอโลยียังคงต้องการการพัฒนา ฉนวนทอพอโลยีบิสมัทแคลโคเจนไนด์ที่ดีที่สุดมีการเปลี่ยนแปลงช่องว่างพลังงานประมาณ 10 meV เนื่องมาจากประจุ การพัฒนาต่อไปควรเน้นไปที่การตรวจสอบทั้งสองอย่าง: การมีอยู่ของแถบอิเล็กตรอนที่มีสมมาตรสูงและวัสดุที่สังเคราะห์ได้ง่าย หนึ่งในตัวเลือกคือสารประกอบฮาล์ฟ-เฮาส์เลอร์^{[ 81 ]}โครงสร้างผลึกเหล่านี้สามารถประกอบด้วยธาตุจำนวนมาก โครงสร้างแถบและช่องว่างพลังงานมีความไวต่อการกำหนดค่าวาเลนซ์มาก เนื่องจากความน่าจะเป็นที่เพิ่มขึ้นของการแลกเปลี่ยนระหว่างไซต์และความไม่เป็นระเบียบ จึงมีความไวต่อการกำหนดค่าผลึกเฉพาะมากเช่นกัน โครงสร้างแถบที่ไม่ธรรมดาซึ่งแสดงการเรียงลำดับแถบที่คล้ายคลึงกับวัสดุ TI 2 มิติและ 3 มิติที่รู้จักได้รับการทำนายในสารประกอบฮาล์ฟ-เฮาส์เลอร์ 18 อิเล็กตรอนหลากหลายชนิดโดยใช้การคำนวณหลักการพื้นฐาน^{[ 90 ]}วัสดุเหล่านี้ยังไม่แสดงสัญญาณใด ๆ ของพฤติกรรมฉนวนทอพอโลยีที่แท้จริงในการทดลองจริง

• คอมพิวเตอร์ควอนตัมเชิงทอพอโลยี
• ทฤษฎีสนามควอนตัมเชิงทอพอโลยี
• เลขควอนตัมเชิงทอพอโลยี
• ฉนวนทอพอโลยีโฟตอนิก

• Hasan, M. Zahid; Kane, Charles L. (2010). "ฉนวนเชิงทอพอโลยี". บทวิจารณ์ฟิสิกส์สมัยใหม่ 82 (4): 3045– 67. arXiv : 1002.3895 . Bibcode : 2010RvMP...82.3045H . doi : 10.1103/RevModPhys.82.3045 . S2CID  16066223 .
• Kane, Charles L.; Moore, Joel E. (2011). "ฉนวนเชิงทอพอโลยี" (PDF) . Physics World . 24 (2): 32– 36. Bibcode : 2011PhyW...24b..32K . doi : 10.1088/2058-7058/24/02/36 .
• Hasan, M. Zahid; Xu, Su-Yang; Neupane, M (2015). "ฉนวนเชิงทอพอโลยี, เซมิเมทัลดิแรกเชิงทอพอโลยี, ฉนวนผลึกเชิงทอพอโลยี และฉนวนคอนโดเชิงทอพอโลยี" ใน Ortmann, F.; Roche, S.; Valenzuela, SO (บรรณาธิการ). ฉนวนเชิงทอพอโลยี . Wiley. หน้า  55–100 . doi : 10.1002/9783527681594.ch4 . ISBN 978-3-527-68159-4.
• Brumfiel, G. (2010). "ฉนวนเชิงทอพอโลยี : วัสดุดาว" Nature (Nature News). 466 (7304): 310– 1. doi : 10.1038/466310a . PMID  20631773 .
• มูราคามิ, ชูอิจิ (2010). "มุ่งเน้นไปที่ฉนวนเชิงทอพอโลยี" . วารสารฟิสิกส์ฉบับใหม่ .
• มัวร์, โจเอล อี. (กรกฎาคม 2011). "ฉนวนเชิงทอพอโลยี" . IEEE Spectrum .
• Ornes, S. (2016). "ฉนวนเชิงทอพอโลยีให้คำมั่นสัญญาถึงความก้าวหน้าในการคำนวณและข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับสสาร" . Proceedings of the National Academy of Sciences . 113 (37): 10223– 4. doi : 10.1073/pnas.1611504113 . PMC  5027448 . PMID  27625422 .
• "โทโพโลยีแปลกประหลาดที่กำลังเปลี่ยนแปลงโฉมหน้าฟิสิกส์" Scientific American . 2017.