สถานะพื้นผิวคือสถานะอิเล็กตรอนที่พบที่พื้นผิวของวัสดุ เกิดขึ้นเนื่องจากการเปลี่ยนผ่านอย่างรวดเร็วจากวัสดุแข็งที่สิ้นสุดที่พื้นผิว และพบได้เฉพาะที่ชั้นอะตอมที่ใกล้พื้นผิวที่สุด การสิ้นสุดของวัสดุที่พื้นผิวนำไปสู่การเปลี่ยนแปลงโครงสร้างแถบอิเล็กตรอนจากวัสดุเนื้อในไปสู่สุญญากาศในศักยภาพที่อ่อนลงที่พื้นผิว สถานะอิเล็กตรอนใหม่สามารถเกิดขึ้นได้ ซึ่งเรียกว่าสถานะพื้นผิว^{[ 1 ]}

ตามที่ ทฤษฎีบทของ Blochระบุไว้สถานะไอเกนของสมการ Schrödinger อิเล็กตรอนเดี่ยวที่มีศักยภาพเป็นคาบสมบูรณ์แบบ ผลึก คือคลื่น Bloch ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{n{\boldsymbol {k}}}&=\mathrm {e} ^{i{\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {r}}}u_{n{\boldsymbol {k}}}({\boldsymbol {r}}).\end{aligned}}}$

นี่คือฟังก์ชันที่มีคาบเวลาเดียวกันกับผลึกnคือดัชนีแถบ และkคือเลขคลื่น เลขคลื่นที่อนุญาตสำหรับศักยภาพที่กำหนดจะพบได้โดยการใช้เงื่อนไขขอบเขตแบบวงจร Born–von Karman ตามปกติ^{[ 2 ]}การสิ้นสุดของผลึก กล่าวคือ การก่อตัวของพื้นผิว ย่อมทำให้เกิดการเบี่ยงเบนจากคาบเวลาที่สมบูรณ์แบบ ดังนั้น หากละทิ้งเงื่อนไขขอบเขตแบบวงจรในทิศทางตั้งฉากกับพื้นผิว พฤติกรรมของอิเล็กตรอนจะเบี่ยงเบนจากพฤติกรรมในเนื้อวัสดุ และคาดว่าจะมีการเปลี่ยนแปลงโครงสร้างอิเล็กตรอนบางอย่าง ${\displaystyle u_{n{\boldสัญลักษณ์ {k}}}({\boldสัญลักษณ์ {r}})}$

แบบจำลองอย่างง่ายของศักยภาพผลึกในมิติเดียวสามารถวาดได้ดังแสดงในรูปที่ 1 [ ^{3 ] ใน}ผลึก ศักยภาพจะมีคาบaของแลตทิซ ในขณะที่ใกล้กับพื้นผิว ศักยภาพจะต้องมีค่าเท่ากับระดับสุญญากาศ ศักยภาพ ขั้นบันได (เส้นทึบ) ที่แสดงในรูปที่ 1เป็นการทำให้ง่ายเกินไป ซึ่งสะดวกสำหรับการคำนวณแบบจำลองอย่างง่ายเป็นส่วนใหญ่ ที่พื้นผิวจริง ศักยภาพจะได้รับอิทธิพลจากประจุภาพและการก่อตัวของไดโพลพื้นผิว และจะมีลักษณะดังที่แสดงด้วยเส้นประ

จากศักยภาพในรูปที่ 1สามารถแสดงได้ว่าสมการชโรดิงเกอร์อิเล็กตรอนเดี่ยวหนึ่งมิติให้คำตอบสองประเภทที่แตกต่างกันในเชิงคุณภาพ^{[ 4 ]}

• สถานะประเภทแรก (ดูรูปที่ 2) ขยายเข้าไปในผลึกและมีลักษณะเฉพาะของ Bloch ในบริเวณนั้น โซลูชันประเภทนี้สอดคล้องกับสถานะในปริมาณมากซึ่งสิ้นสุดลงด้วยส่วนหางที่ลดลงแบบเอกซ์ponentialและแผ่ขยายไปสู่สุญญากาศ
• สถานะประเภทที่สอง (ดูรูปที่ 3) สลายตัวแบบเอกซ์โปเนนเชียลทั้งในสุญญากาศและในผลึกส่วนใหญ่ โซลูชันประเภทนี้สอดคล้องกับสถานะพื้นผิวที่มีฟังก์ชันคลื่นอยู่ใกล้กับพื้นผิวผลึก

วิธีแก้ปัญหาแบบแรกสามารถพบได้ทั้งในโลหะและสารกึ่งตัวนำอย่างไรก็ตาม ในสารกึ่งตัวนำพลังงานเฉพาะ ที่เกี่ยวข้อง จะต้องอยู่ในแถบพลังงานที่อนุญาต วิธีแก้ปัญหาแบบที่สองมีอยู่ในช่องว่างพลังงานต้องห้ามของสารกึ่งตัวนำ เช่นเดียวกับในช่องว่างเฉพาะที่ของโครงสร้างแถบพลังงานที่ฉายออกมาของโลหะ สามารถแสดงได้ว่าพลังงานของสถานะเหล่านี้ทั้งหมดอยู่ภายในช่องว่างของแถบพลังงาน ผลที่ตามมาคือ ในผลึก สถานะเหล่านี้มีลักษณะเฉพาะด้วยเลขคลื่น จินตนาการ ซึ่งนำไปสู่การลดลงแบบเอกซ์ponentialในเนื้อวัสดุ

ในการอภิปรายเกี่ยวกับสถานะพื้นผิว โดยทั่วไปจะแยกความแตกต่างระหว่างสถานะ Shockley ^{[ 5 ]}และสถานะ Tamm ^{[ 6 ]}ซึ่งตั้งชื่อตามนักฟิสิกส์ชาวอเมริกันWilliam Shockleyและนักฟิสิกส์ชาวรัสเซียIgor Tammไม่มีการแบ่งแยกทางกายภาพที่เข้มงวดระหว่างสถานะทั้งสองประเภท แต่ลักษณะเชิงคุณภาพและวิธีการทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในการอธิบายนั้นแตกต่างกัน

• ในอดีต สถานะพื้นผิวที่เกิดขึ้นเป็นคำตอบของสมการชโรดิงเกอร์ในกรอบของการประมาณอิเล็กตรอนอิสระเกือบสมบูรณ์สำหรับพื้นผิวที่สะอาดและสมบูรณ์แบบ เรียกว่าสถานะช็อกลีย์สถานะช็อกลีย์จึงเป็นสถานะที่เกิดขึ้นเนื่องจากการเปลี่ยนแปลงของศักยภาพอิเล็กตรอนที่เกี่ยวข้องกับการสิ้นสุดของผลึกเท่านั้น วิธีการนี้เหมาะสมสำหรับการอธิบายโลหะทั่วไปและสารกึ่งตัวนำที่มีช่องว่างพลังงานแคบ บางชนิด รูปที่ 3 แสดงตัวอย่างของสถานะช็อกลีย์ที่ได้มาโดยใช้การประมาณอิเล็กตรอนอิสระเกือบสมบูรณ์ ภายในผลึก สถานะช็อกลีย์มีลักษณะคล้ายคลื่นบล็อกที่ลดลงแบบเอกซ์โปเนนเชียล
• สถานะพื้นผิวที่คำนวณในกรอบของแบบจำลองไทต์ไบน์ดิงมักเรียกว่าสถานะแทมม์ในแนวทางไทต์ไบน์ดิงฟังก์ชันคลื่น อิเล็กตรอน มักจะแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของออร์บิทัลอะตอม (LCAO) ตรงกันข้ามกับแบบจำลองอิเล็กตรอนอิสระ เกือบสมบูรณ์ ที่ใช้ในการอธิบายสถานะช็อกลีย์ สถานะแทมม์เหมาะสมที่จะใช้อธิบายโลหะทรานซิชันและ เซมิ คอนดักเตอร์ช่องว่างกว้าง ได้เช่นกัน ^{[ 3 ]}ในเชิงคุณภาพ สถานะแทมม์คล้ายกับออร์บิทัลอะตอมหรือโมเลกุลเฉพาะที่บนพื้นผิว

วัสดุทั้งหมดสามารถจำแนกได้ด้วยตัวเลขเดียว คือ ค่าคงที่ทางทอพอโลยี ซึ่งสร้างขึ้นจากฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนจำนวนมาก ซึ่งรวมเข้าด้วยกันเหนือโซนบริลลูอิน ในลักษณะเดียวกับการคำนวณจีนัส ใน ทอพอโลยีเชิงเรขาคณิต ในวัสดุบางชนิด ค่าคงที่ทางทอพอโลยีสามารถเปลี่ยนแปลงได้เมื่อแถบพลังงานจำนวนมากบางส่วนกลับด้านเนื่องจากการเชื่อมโยงสปิน-ออร์บิทัลที่แข็งแกร่ง ที่ส่วนต่อประสานระหว่างฉนวนที่มีทอพอโลยีที่ไม่ธรรมดา ซึ่งเรียกว่าฉนวนทางทอพอโลยีและฉนวนที่มีทอพอโลยีธรรมดา ส่วนต่อประสานจะต้องกลายเป็นโลหะ ยิ่งไปกว่านั้น สถานะพื้นผิวจะต้องมีการกระจายแบบ Dirac เชิงเส้นที่มีจุดตัดซึ่งได้รับการปกป้องโดยสมมาตรการย้อนกลับของเวลา สถานะดังกล่าวคาดว่าจะมีความแข็งแกร่งภายใต้ความไม่เป็นระเบียบ และด้วยเหตุนี้จึงไม่สามารถระบุตำแหน่งได้ง่าย^{[ 7 ]}

แบบจำลองอย่างง่ายสำหรับการหาคุณสมบัติพื้นฐานของสถานะที่พื้นผิวโลหะคือโซ่อะตอมที่เหมือนกันแบบกึ่งอนันต์เป็นระยะ^{[ 1 ]}ในแบบจำลองนี้ การสิ้นสุดของโซ่แสดงถึงพื้นผิว ซึ่งศักยภาพมีค่าเท่ากับ V ₀ของสุญญากาศในรูปแบบของฟังก์ชันขั้นบันไดดังรูปที่ 1ภายในผลึก ศักยภาพจะถือว่าเป็นระยะด้วยคาบaของแลตทิซ จากนั้นสถานะ Shockley จะพบเป็นคำตอบของสมการ Schrödinger อิเล็กตรอนเดี่ยวแบบหนึ่งมิติ

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}+V(z)\right]\Psi (z)&=&E\Psi (z),\end{aligned}}}$

ด้วยศักยภาพเป็นระยะ

${\displaystyle {\begin{aligned}V(z)=\left\{{\begin{array}{cc}P\delta (z+la),&{\textrm {for}}\quad z<0\\V_{0},&{\textrm {for}}\quad z>0\end{array}}\right.,\end{aligned}}}$

โดยที่lเป็นจำนวนเต็ม และPคือตัวประกอบการทำให้เป็นมาตรฐาน ต้องหาคำตอบโดยอิสระสำหรับสองโดเมนz < 0 และz > 0โดยที่ขอบเขตของโดเมน (z = 0) จะใช้เงื่อนไขปกติเกี่ยวกับการต่อเนื่องของฟังก์ชันคลื่นและอนุพันธ์ของมัน เนื่องจากศักย์เป็นคาบในส่วนลึกของผลึกฟังก์ชันคลื่น อิเล็กตรอน จึงต้องเป็นคลื่นบล็อกที่นี่ คำตอบในผลึกจึงเป็นการรวมเชิงเส้นของคลื่นขาเข้าและคลื่นที่สะท้อนจากพื้นผิว สำหรับz > 0 คำตอบจะต้องลดลงแบบเอกซ์โปเนนเชียลเข้าสู่สุญญากาศ

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi (z)&=&\left\{{\begin{array}{cc}Bu_{-k}e^{-ikz}+Cu_{k}e^{ikz},&{\textrm {สำหรับ}}\quad z<0\\A\exp \left[-{\sqrt {2m(V_{0}-E)}}{\frac {z}{\hbar }}\right],&{\textrm {สำหรับ}}\quad z>0\end{array}}\right.,\end{aligned}}}$

ฟังก์ชันคลื่นสำหรับสถานะที่ผิวโลหะแสดงให้เห็นในเชิงคุณภาพในรูปที่ 2มันคือคลื่นบล็อกที่ขยายตัวภายในผลึก โดยมีส่วนหางที่ลดลงแบบเอกซ์ponential อยู่นอกผิว ผลที่ตามมาของส่วนหางนี้คือ การขาดแคลนความหนาแน่นของประจุ ลบ ภายในผลึก และการเพิ่มขึ้นของความหนาแน่นของประจุลบภายนอกผิว ทำให้เกิดการก่อตัวของชั้นคู่ ไดโพล ไดโพลจะรบกวนศักยภาพที่ผิว ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันงาน ของโลหะ เป็นต้น

การประมาณอิเล็กตรอนอิสระเกือบสมบูรณ์สามารถใช้เพื่อหาคุณสมบัติพื้นฐานของสถานะพื้นผิวสำหรับสารกึ่งตัวนำช่องว่างแคบได้ แบบจำลองโซ่เชิงเส้นกึ่งอนันต์ก็มีประโยชน์ในกรณีนี้เช่นกัน^{[ 4 ]}อย่างไรก็ตาม ตอนนี้ศักยภาพตามแนวโซ่อะตอมถือว่าแปรผันตามฟังก์ชันโคไซน์

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}V(z)&=V\left[\exp \left(i{\frac {2\pi z}{a}}\right)+\exp \left(-i{\frac {2\pi z}{a}}\right)\right]\\&=2V\cos \left({\frac {2\pi z}{a}}\right),\\\end{alignedat}}}$

ในขณะที่ที่พื้นผิว ศักยภาพถูกจำลองเป็นฟังก์ชันขั้นบันไดของความสูง V0 _คำตอบของสมการชโรดิงเกอร์จะต้องได้มาแยกกันสำหรับสองโดเมน z < 0 และ z > 0 ในแง่ของการประมาณอิเล็กตรอนอิสระเกือบสมบูรณ์ คำตอบที่ได้สำหรับ z < 0 จะมี ลักษณะเป็น คลื่นระนาบสำหรับเวกเตอร์คลื่นที่อยู่ห่างจากขอบเขตของโซนบริลลูอินซึ่งความสัมพันธ์การกระจายตัวจะเป็นพาราโบลา ดังแสดงในรูปที่ 4ที่ขอบเขตของโซนบริลลูอิน การสะท้อนแบบแบร็กเกิดขึ้น ส่งผลให้เกิดคลื่นนิ่งซึ่งประกอบด้วยคลื่นที่มีเวกเตอร์คลื่นและเวกเตอร์คลื่น ${\displaystyle k=\pm \pi /a}$${\displaystyle k=\pi /a}$${\displaystyle k=-\pi /a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi (z)&=Ae^{ikz}+Be^{i[k-(2\pi /a)]z}.\end{aligned}}}$

นี่คือเวกเตอร์แลตติซของแลตติซผกผัน (ดูรูปที่ 4 ) เนื่องจากคำตอบที่สนใจอยู่ใกล้กับขอบเขตของโซนบริลลูอิน เราจึงกำหนดให้โดยที่κเป็นปริมาณเล็กน้อย ค่าคงที่AและB ที่กำหนดขึ้นเอง นั้นหาได้จากการแทนค่าลงในสมการชโรดิงเกอร์ ซึ่งนำไปสู่ค่าไอเกนต่อไปนี้ ${\displaystyle G=2\pi /a}$${\displaystyle k_{\perp }={\bigl (}\pi /a{\bigr )}+\คัปปา }$

${\displaystyle {\begin{aligned}E&={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\pi }{a}}+\kappa \right)^{2}\pm |V|\left[-{\frac {\hbar ^{2}\pi \kappa }{ma|V|}}\pm {\sqrt {\left({\frac {\hbar ^{2}\pi \kappa }{ma|V|}}\right)^{2}+1}}\right]\end{aligned}}}$

แสดงให้เห็นถึงการแยกแถบที่ขอบของโซนบริลลูอินโดยที่ความกว้างของช่องว่างต้องห้ามมีค่าเท่ากับ 2V ฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนที่อยู่ลึกเข้าไปในผลึก ซึ่งเกิดจากแถบต่างๆ มีค่าดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{i}&=Ce^{i\kappa z}\left(e^{i\pi z/a}+\left[-{\frac {\hbar ^{2}\pi \kappa }{ma|V|}}\pm {\sqrt {\left({\frac {\hbar ^{2}\pi \kappa }{ma|V|}}\right)^{2}+1}}\right]e^{-i\pi z/a}\right)\end{aligned}}}$

โดยที่Cคือค่าคงที่การทำให้เป็นมาตรฐาน บริเวณใกล้ผิวที่z = 0สารละลายส่วนใหญ่จะต้องถูกปรับให้เข้ากับสารละลายที่ลดลงแบบเอกซ์ponential ซึ่งสอดคล้องกับศักยภาพคงที่ V ₀

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{0}&=D\exp \left[-{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(V_{0}-E)}}z\right]\end{aligned}}}$

สามารถแสดงให้เห็นได้ว่าเงื่อนไขการจับคู่สามารถเป็นไปได้สำหรับค่าพลังงานไอเกน ทุกค่าที่เป็นไปได้ ซึ่งอยู่ในแถบที่อนุญาต เช่นเดียวกับในกรณีของโลหะ โซลูชันประเภทนี้แสดงถึงคลื่นบล็อกนิ่งที่แผ่ขยายเข้าไปในผลึกและไหลล้นออกไปสู่สุญญากาศที่พื้นผิว แผนภาพเชิงคุณภาพของฟังก์ชันคลื่นแสดงอยู่ในรูปที่ 2

หาก พิจารณาค่าจินตนาการของκ เช่น κ = - i·qสำหรับz ≤ 0และกำหนด

${\displaystyle {\begin{aligned}i\sin(2\delta )&=-i{\frac {\hbar ^{2}\pi q}{maV}}\end{aligned}}}$

จะได้คำตอบที่มีแอมพลิจูดลดลงเมื่อเข้าไปในผลึก

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{i}(z\leq 0)&=Fe^{qz}\left[\exp \left[i\left({\frac {\pi }{a}}z\pm \delta \right)\right]\pm \exp \left[-i\left({\frac {\pi }{a}}z\pm \delta \right)\right]\right]e^{\mp i\delta }\end{aligned}}}$

ค่าพลังงานไอเกนจะกำหนดโดย

${\displaystyle {\begin{aligned}E&={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left[\left({\frac {\pi }{a}}\right)^{2}-q^{2}\right]\pm V{\sqrt {1-\left({\frac {\hbar ^{2}\pi q}{maV}}\right)^{2}}}\end{aligned}}}$

E มีค่าจริงสำหรับค่า z ติดลบมาก ๆ ตามที่ต้องการ นอกจากนี้ ในช่วงดังกล่าวพลังงานทั้งหมดของสถานะพื้นผิวจะตกอยู่ในช่องว่างต้องห้าม คำตอบที่สมบูรณ์จะพบได้อีกครั้งโดยการจับคู่คำตอบของวัสดุหลักกับคำตอบของสุญญากาศที่ลดลงแบบเอกซ์ponential ผลลัพธ์ที่ได้คือสถานะที่อยู่เฉพาะที่พื้นผิวซึ่งลดลงทั้งในผลึกและในสุญญากาศ แผนภาพเชิงคุณภาพแสดงอยู่ใน รูป ที่ 3${\displaystyle 0\leq q\leq q_{max}={\frac {maV}{\hbar ^{2}\pi }}}$

ผลลัพธ์สำหรับสถานะพื้นผิวของสายโซ่เชิงเส้นอะตอมเดี่ยวสามารถขยายไปสู่กรณีของผลึกสามมิติได้อย่างง่ายดาย เนื่องจากความเป็นคาบสองมิติของโครงตาข่ายพื้นผิว ทฤษฎีบทของ Bloch จึงต้องใช้ได้กับการเลื่อนขนานกับพื้นผิว ส่งผลให้สถานะพื้นผิวสามารถเขียนได้เป็นผลคูณของคลื่น Bloch ที่มีค่า k ขนานกับพื้นผิวและฟังก์ชันที่แสดงถึงสถานะพื้นผิวหนึ่งมิติ ${\displaystyle {\textbf {k}__{||}=(k_{x},k_{y})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{0}({\textbf {r}})&=&\psi _{0}(z)u_{{\textbf {k}__{||}}({\textbf {r}__{||})e^{-i{\textbf {r}__{||}\cdot {\textbf {k}__{||}}\end{aligned}}}$

พลังงานของสถานะนี้เพิ่มขึ้นด้วยพจน์หนึ่งดังนั้นเราจึงได้ ${\displaystyle E_{||}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{s}=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}{\textbf {k}}_{||}^{2}}{2m^{*}}},\end{aligned}}}$

โดยที่m ^*คือมวลยังผลของอิเล็กตรอน เงื่อนไขการจับคู่ที่พื้นผิวผลึก กล่าวคือที่ z=0 จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขสำหรับแต่ละกรณีแยกกัน และสำหรับแต่ละกรณีจะได้ระดับพลังงานเดียว แต่โดยทั่วไปแล้วจะแตกต่างกันสำหรับสถานะพื้นผิว ${\displaystyle {\textbf {k}}_{||}}$${\displaystyle {\textbf {k}}_{||}}$

สถานะพื้นผิวอธิบายได้ด้วยพลังงานและเวกเตอร์คลื่นที่ขนานกับพื้นผิว ในขณะที่สถานะเนื้อในมีลักษณะเฉพาะด้วยทั้งเลข คลื่น และ ค่าพลังงาน ใน โซนบริลลูอินสองมิติของพื้นผิว สำหรับแต่ละค่าของค่าพลังงานดังนั้นจะมีแท่งพลังงานยื่นเข้าไปในโซนบริลลูอินสามมิติของเนื้อใน แถบพลังงานเนื้อในที่ถูกตัดโดยแท่งพลังงานเหล่านี้ทำให้เกิดสถานะที่แทรกซึมลึกเข้าไปในผลึก ดังนั้นโดยทั่วไปจึงแยกความแตกต่างระหว่างสถานะพื้นผิวที่แท้จริงและเรโซแนนซ์พื้นผิว สถานะพื้นผิวที่แท้จริงมีลักษณะเฉพาะด้วยแถบพลังงานที่ไม่เสื่อมสภาพกับแถบพลังงานเนื้อใน สถานะเหล่านี้มีอยู่ในช่องว่างพลังงานต้องห้ามเท่านั้น และจึงถูกจำกัดอยู่ที่พื้นผิว คล้ายกับภาพที่แสดงในรูปที่ 3ที่พลังงานที่สถานะพื้นผิวและสถานะเนื้อในเสื่อมสภาพ สถานะพื้นผิวและสถานะเนื้อในสามารถผสมกันได้ ก่อให้เกิดเรโซแนนซ์พื้นผิวสถานะดังกล่าวสามารถแพร่กระจายลึกเข้าไปในเนื้อใน คล้ายกับคลื่นบล็อกในขณะที่ยังคงรักษาแอมพลิจูดที่เพิ่มขึ้นใกล้กับพื้นผิว ${\displaystyle E_{s}}$${\displaystyle {\textbf {k}}_{||}}$${\displaystyle \mathbf {k} _{||}}$${\displaystyle \mathbf {k} _{\perp }}$${\displaystyle \mathbf {k} _{||}}$${\displaystyle \mathbf {k} _{\perp }}$

สถานะพื้นผิวที่คำนวณภายใต้กรอบของแบบจำลองไทต์ไบน์ดิงมักเรียกว่าสถานะแทมม์ (Tamm states) ในแนวทางไทต์ไบน์ดิง ฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอนมักแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นของออร์บิทัลอะตอม (LCAO) ดังแสดงในรูปที่ 5 ในภาพนี้ เราสามารถเข้าใจได้ง่ายว่าการมีอยู่ของพื้นผิวจะทำให้เกิดสถานะพื้นผิวที่มีพลังงานแตกต่างจากพลังงานของสถานะภายในเนื้อวัสดุ เนื่องจากอะตอมที่อยู่ในชั้นพื้นผิวบนสุดขาดพันธะกับอะตอมข้างเคียง ออร์บิทัลของพวกมันจึงมีการทับซ้อนกับออร์บิทัลของอะตอมข้างเคียงน้อยกว่า ดังนั้น การแยกและการเลื่อนของระดับพลังงานของอะตอมที่ประกอบเป็นผลึกจึงมีขนาดเล็กกว่าที่พื้นผิวเมื่อเทียบกับภายในเนื้อวัสดุ

หากออร์บิทัลใดออร์บิทัล หนึ่ง มีหน้าที่ในการสร้างพันธะเคมี เช่น ไฮบริด sp³ ใน Si หรือ Ge ออร์บิทัลนั้นจะได้รับผลกระทบอย่างมากจากการมี ^อยู่ของพื้นผิว พันธะจะแตกหัก และส่วนที่เหลือของออร์บิทัลจะยื่นออกมาจากพื้นผิว ซึ่งเรียกว่าพันธะแขวน (dangling bonds ) ระดับพลังงานของสถานะดังกล่าวคาดว่าจะเปลี่ยนแปลงไปอย่างมากจากค่าในเนื้อวัสดุ

ตรงกันข้ามกับแบบจำลองอิเล็กตรอนอิสระเกือบทั้งหมดที่ใช้ในการอธิบายสถานะของ Shockley สถานะของ Tamm เหมาะสมที่จะใช้อธิบายโลหะทรานซิชันและสารกึ่งตัวนำที่มีช่องว่างพลังงานกว้างได้เช่น กัน

สถานะพื้นผิวที่เกิดขึ้นจากพื้นผิวที่สะอาดและเป็นระเบียบมักเรียกว่าสถานะพื้นฐาน (intrinsic state ) สถานะเหล่านี้รวมถึงสถานะที่เกิดขึ้นจากพื้นผิวที่ได้รับการปรับโครงสร้างใหม่ ซึ่ง สมมาตรการเลื่อนแบบสองมิติทำให้เกิดโครงสร้างแถบพลังงานในปริภูมิ k ของพื้นผิว

สถานะพื้นผิว ภายนอกโดยทั่วไปจะถูกกำหนดให้เป็นสถานะที่ไม่ได้มาจากพื้นผิวที่สะอาดและเป็นระเบียบ พื้นผิวที่เข้าข่ายเป็นสถานะภายนอกได้แก่: ^{[ 8 ]}

1. พื้นผิวที่มีข้อบกพร่อง ซึ่งสมมาตรการเลื่อนของพื้นผิวถูกทำลาย
2. พื้นผิวที่มีสารดูดซับ
3. ส่วนต่อประสานระหว่างวัสดุสองชนิด เช่น ส่วนต่อประสานระหว่างสารกึ่งตัวนำกับออกไซด์ หรือสารกึ่งตัวนำกับโลหะ
4. รอยต่อระหว่างเฟสของแข็งและเฟสของเหลว

โดยทั่วไปแล้ว สภาวะพื้นผิว ภายนอกนั้นยากที่จะระบุลักษณะเฉพาะได้อย่างชัดเจนในแง่ของคุณสมบัติทางเคมี ทางกายภาพ หรือทางโครงสร้าง

เทคนิคการทดลองเพื่อวัดการกระจายตัวของสถานะพื้นผิวคือ สเปกโทรสโกปีการปล่อยโฟตอนแบบแยกมุม ( ARPES ) หรือสเปกโทรสโกปีโฟโตอิเล็กตรอนอัลตราไวโอเลต แบบแยกมุม (ARUPS)

การกระจายตัวของสถานะพื้นผิวสามารถวัดได้โดยใช้กล้องจุลทรรศน์แบบสแกนอุโมงค์ในการทดลองเหล่านี้ การปรับเปลี่ยนเป็นระยะในความหนาแน่นของสถานะพื้นผิว ซึ่งเกิดขึ้นจากการกระเจิงจากสิ่งเจือปนบนพื้นผิวหรือขอบขั้นบันได จะถูกวัดโดยปลาย STM ที่แรงดันไบแอสที่กำหนด เวกเตอร์คลื่นเทียบกับไบแอส (พลังงาน) ของอิเล็กตรอนสถานะพื้นผิวสามารถปรับให้เข้ากับแบบจำลองอิเล็กตรอนอิสระที่มีมวลยังผลและพลังงานเริ่มต้นของสถานะพื้นผิวได้^{[ 9 ]}

คำถามพื้นฐานที่เรียบง่ายแต่สำคัญคือ มีสถานะพื้นผิวจำนวนเท่าใดในช่องว่างแถบพลังงานในผลึกหนึ่งมิติที่มีความยาว( คือคาบศักยภาพ และคือจำนวนเต็มบวก)? แนวคิดที่ได้รับการยอมรับอย่างดีซึ่งเสนอโดย Fowler ^{[ 10 ]}เป็นครั้งแรกในปี 1933 จากนั้นเขียนไว้ในหนังสือคลาสสิกของ Seitz ^{[ 11 ]}ว่า "ในผลึกหนึ่งมิติที่จำกัด สถานะพื้นผิวเกิดขึ้นเป็นคู่ โดยสถานะหนึ่งจะเกี่ยวข้องกับปลายแต่ละด้านของผลึก" แนวคิดดังกล่าวดูเหมือนจะไม่เคยถูกตั้งข้อสงสัยเลยนับตั้งแต่นั้นมาเป็นเวลาเกือบศตวรรษ ดังที่แสดงไว้ใน^{[ 12 ]} อย่างไรก็ตาม การวิจัยใหม่ล่าสุด^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]} ให้คำตอบที่แตกต่างออกไปอย่างสิ้นเชิง ${\displaystyle Na}$${\displaystyle a}$${\displaystyle N}$

การวิจัยนี้พยายามทำความเข้าใจสถานะอิเล็กตรอนในผลึกอุดมคติที่มีขนาดจำกัดโดยอาศัยทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของสมการเชิงอนุพันธ์แบบคาบ^{[ 16 ]}ทฤษฎีนี้ให้ความเข้าใจพื้นฐานใหม่บางประการเกี่ยวกับสถานะอิเล็กตรอนเหล่านั้น รวมถึงสถานะพื้นผิวด้วย

ทฤษฎีนี้พบว่าผลึกหนึ่งมิติที่มีขอบเขตจำกัดและมีปลายทั้งสองข้างอยู่ที่และจะมีสถานะเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น ซึ่งพลังงานและคุณสมบัติของสถานะนี้ขึ้นอยู่กับแต่ไม่ขึ้น อยู่ กับช่องว่างแถบพลังงานแต่ละช่องสถานะนี้อาจเป็นสถานะขอบแถบพลังงานหรือสถานะพื้นผิวในช่องว่างแถบพลังงาน (ดูอนุภาคในโครงตาข่ายหนึ่ง มิติ อนุภาคในกล่อง ) การคำนวณเชิงตัวเลขได้ยืนยันการค้นพบดังกล่าว^{[ 14 ] [ 15 ]} นอกจากนี้ พฤติกรรมเหล่านี้ยังพบเห็นได้ในระบบหนึ่งมิติที่แตกต่างกัน เช่น ใน^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}${\displaystyle \tau }$${\displaystyle Na+\tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle N}$

ดังนั้น:

• คุณสมบัติพื้นฐานของสถานะพื้นผิวคือ การดำรงอยู่และคุณสมบัติของสถานะนั้นขึ้นอยู่กับตำแหน่งของการตัดทอนความเป็นคาบ
• การตัดทอนศักยภาพแบบคาบของโครงตาข่ายอาจนำไปสู่สถานะพื้นผิวในช่องว่างแถบพลังงานหรือไม่ก็ได้
• ผลึกหนึ่งมิติในอุดมคติที่มีความยาวจำกัดและมีปลายสองด้าน จะมีสถานะพื้นผิวได้มากที่สุดเพียงหนึ่งสถานะที่ปลายด้านใดด้านหนึ่งในแต่ละช่องว่างแถบพลังงาน${\displaystyle L=Na}$

การตรวจสอบเพิ่มเติมที่ขยายไปยังกรณีที่มีหลายมิติพบว่า

• ผลึกสามมิติแบบง่ายในอุดมคติที่มีขอบเขตจำกัด อาจมีสถานะคล้ายจุดยอด คล้ายขอบ คล้ายพื้นผิว และคล้ายเนื้อใน
• สมมติฐานที่ว่า "สถานะพื้นผิวอยู่ในช่องว่างแถบพลังงานเสมอ" นั้นใช้ได้เฉพาะกับกรณีหนึ่งมิติเท่านั้น