Source:^[4]

The defining property of a crystal is translational symmetry, which means that if the crystal is shifted an appropriate amount, it winds up with all its atoms in the same places. (A finite-size crystal cannot have perfect translational symmetry, but it is a useful approximation.)

A three-dimensional crystal has three primitive lattice vectorsa₁, a₂, a₃. If the crystal is shifted by any of these three vectors, or a combination of them of the form $${\displaystyle n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3},}$$ where n_i are three integers, then the atoms end up in the same set of locations as they started.

ส่วนประกอบที่เป็นประโยชน์อีกอย่างหนึ่งในการพิสูจน์คือเวกเตอร์แลตติซผกผัน เวกเตอร์เหล่านี้คือเวกเตอร์สามตัวb ₁ , b ₂ , b ₃ (มีหน่วยเป็นความยาวผกผัน) ซึ่งมีคุณสมบัติว่าa _i · b _i = 2 πแต่a _i · b _j = 0เมื่อi ≠ j (สำหรับสูตรของb _iโปรดดูที่ เวกเตอร์แลตติซผกผัน )

ให้แทนตัวดำเนินการแปลที่เลื่อนฟังก์ชันคลื่นทุกฟังก์ชันด้วยปริมาณn ₁ a ₁ + n ₂ a ₂ + n ₃ a ₃ (ดังข้างต้นn _jเป็นจำนวนเต็ม) ข้อเท็จจริงต่อไปนี้มีประโยชน์สำหรับการพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Bloch: ${\displaystyle {\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}}$

สุดท้ายนี้ เราพร้อมแล้วสำหรับการพิสูจน์หลักของทฤษฎีบทของ Bloch ซึ่งมีดังต่อไปนี้

As above, let ${\displaystyle {\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}}$ denote a translation operator that shifts every wave function by the amount n₁a₁ + n₂a₂ + n₃a₃, where n_i are integers. Because the crystal has translational symmetry, this operator commutes with the Hamiltonian operator. Moreover, every such translation operator commutes with every other. Therefore, there is a simultaneous eigenbasis of the Hamiltonian operator and every possible ${\displaystyle {\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}\!}$ operator. This basis is what we are looking for. The wave functions in this basis are energy eigenstates (because they are eigenstates of the Hamiltonian), and they are also Bloch states (because they are eigenstates of the translation operators; see Lemma above).

Source:^[5]

We define the translation operator $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {r} )&=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {T} _{\mathbf {n} })\\&=\psi (\mathbf {r} +n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3})\\&=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {A} \mathbf {n} )\end{aligned}}}$$ with $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}&\mathbf {a} _{3}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {n} ={\begin{pmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\end{pmatrix}}}$$ We use the hypothesis of a mean periodic potential $${\displaystyle U(\mathbf {x} +\mathbf {T} _{\mathbf {n} })=U(\mathbf {x} )}$$ and the independent electron approximation with a Hamiltonian $${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}+U(\mathbf {x} )}$$ Given the Hamiltonian is invariant for translations it shall commute with the translation operator $${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }]=0}$$ and the two operators shall have a common set of eigenfunctions. Therefore, we start to look at the eigen-functions of the translation operator: $${\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )=\lambda _{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )}$$ Given ${\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }}$ is an additive operator $${\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} _{1}}{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} _{2}}\psi (\mathbf {x} )=\psi (\mathbf {x} +\mathbf {A} \mathbf {n} _{1}+\mathbf {A} \mathbf {n} _{2})={\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} _{1}+\mathbf {n} _{2}}\psi (\mathbf {x} )}$$ If we substitute here the eigenvalue equation and dividing both sides for ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )}$ we have $${\displaystyle \lambda _{\mathbf {n} _{1}}\lambda _{\mathbf {n} _{2}}=\lambda _{\mathbf {n} _{1}+\mathbf {n} _{2}}}$$

This is true for $${\displaystyle \lambda _{\mathbf {n} }=e^{s\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} }}$$ where ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ if we use the normalization condition over a single primitive cell of volume V $${\displaystyle 1=\int _{V}|\psi (\mathbf {x} )|^{2}d\mathbf {x} =\int _{V}\left|{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )\right|^{2}d\mathbf {x} =|\lambda _{\mathbf {n} }|^{2}\int _{V}|\psi (\mathbf {x} )|^{2}d\mathbf {x} }$$ and therefore $${\displaystyle 1=|\lambda _{\mathbf {n} }|^{2}}$$ and $${\displaystyle s=ik}$$ where ${\displaystyle k\in \mathbb {R} }$. Finally, $${\displaystyle \mathbf {{\hat {T}}_{n}} \psi (\mathbf {x} )=\psi (\mathbf {x} +\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )=e^{ik\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} }\psi (\mathbf {x} ),}$$ which is true for a Bloch wave i.e. for ${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )}$ with ${\displaystyle u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} +\mathbf {A} \mathbf {n} )}$

การแปลทั้งหมดเป็นแบบเอกภาพและแบบอาเบเลียนการแปลสามารถเขียนได้ในรูปของเวกเตอร์หน่วย เราสามารถคิดว่าสิ่งเหล่านี้เป็นตัวดำเนินการสลับที่ กันได้ โดยที่$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\sum _{i=1}^{3}n_{i}\mathbf {a} _{i}}$$$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\tau }}}={\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{1}{\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{2}{\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{3}}$$$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{i}=n_{i}{\hat {\mathbf {a} }}_{i}}$$

คุณสมบัติการสลับที่ของตัวดำเนินการทำให้เกิดกลุ่มย่อยวัฏจักรที่สลับกันได้ 3 กลุ่ม (โดยที่สามารถสร้างได้ด้วยองค์ประกอบเพียงตัวเดียว) ซึ่งเป็นอนันต์ มิติเดียว และเป็นกลุ่มอาเบล การแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ทั้งหมดของกลุ่มอาเบลมีมิติเดียว^{[ 8 ]}${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{i}}$

เนื่องจากเป็นกลุ่มมิติเดียว เมทริกซ์แทนกลุ่มและอักขระจึงเหมือนกัน อักขระคือการแทนกลุ่มด้วยจำนวนเชิงซ้อน หรือร่องรอยของการแทน กลุ่ม ซึ่งในกรณีนี้คือเมทริกซ์มิติเดียว กลุ่มย่อยทั้งหมดเหล่านี้ เนื่องจากเป็นกลุ่มวัฏจักร จึงมีอักขระที่เป็นรากของเอกภาพ ที่เหมาะสม ในความเป็นจริง พวกมันมีตัวสร้างหนึ่งตัวที่ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขและดังนั้นอักขระจึงเป็นค่าคงที่ โปรดทราบว่าสิ่งนี้ตรงไปตรงมาในกรณีของกลุ่มวัฏจักรจำกัด แต่ในกรณีอนันต์ที่นับได้ของกลุ่มวัฏจักร อนันต์ (เช่น กลุ่มการแปลในที่นี้) จะมีขีดจำกัดที่อักขระยังคงเป็นค่าจำกัด ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma ^{n}=1}$${\displaystyle \chi (\gamma )^{n}=1}$${\displaystyle n\to \infty }$

เนื่องจากตัวอักษรเป็นรากฐานของความเป็นเอกภาพ ดังนั้นสำหรับแต่ละกลุ่มย่อย ตัวอักษรจึงสามารถเขียนได้ดังนี้ $${\displaystyle \chi _{k_{1}}({\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{1}(n_{1},a_{1}))=e^{ik_{1}n_{1}a_{1}}}$$

ถ้าเรานำเงื่อนไขขอบเขตของบอร์น-ฟอน คาร์มันมาใช้กับศักยภาพ โดยที่Lคือคาบเวลาในระดับมหภาคในทิศทางที่สามารถมองได้ว่าเป็นผลคูณของโดยที่$${\displaystyle V\left(\mathbf {r} +\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}\right)=V(\mathbf {r} +\mathbf {L} )=V(\mathbf {r} )}$$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle a_{i}}$${\textstyle \mathbf {L} =\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}}$

การแทนที่สม การชโรดิงเกอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลาด้วยแฮมิลโทเนียนที่มีประสิทธิภาพอย่างง่าย นี้ ทำให้เกิดความเป็นคาบด้วยฟังก์ชันคลื่น: $${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )}$$$${\displaystyle \psi \left(\mathbf {r} +\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}\right)=\psi (\mathbf {r} )}$$

และสำหรับแต่ละมิติจะมีตัวดำเนินการแปลที่มีคาบL$${\displaystyle {\hat {P}}_{\varepsilon |\tau _{i}+L_{i}}={\hat {P}}_{\varepsilon |\tau _{i}}}$$

จากตรงนี้เราจะเห็นได้ว่าลักษณะเฉพาะนั้นจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการแปลแบบ: และจากสมการสุดท้ายเราจะได้เงื่อนไขเป็นคาบสำหรับแต่ละมิติ: โดยที่เป็นจำนวนเต็ม และ${\displaystyle L_{i}}$$${\displaystyle e^{ik_{1}n_{1}a_{1}}=e^{ik_{1}(n_{1}a_{1}+L_{1})}}$$$${\displaystyle k_{1}n_{1}a_{1}=k_{1}(n_{1}a_{1}+L_{1})-2\pi m_{1}}$$${\displaystyle m_{1}\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle k_{1}={\frac {2\pi m_{1}}{L_{1}}}}$

เวกเตอร์คลื่นระบุการแสดงแทนที่ลดทอนไม่ได้ในลักษณะเดียวกับและเป็นความยาวคาบระดับมหภาคของผลึกในทิศทางในบริบทนี้ เวกเตอร์คลื่นทำหน้าที่เป็นเลขควอนตัมสำหรับตัวดำเนินการการแปล ${\displaystyle k_{1}}$${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle a_{1}}$

เราสามารถสรุปเป็นหลักการทั่วไปสำหรับ 3 มิติได้ และสูตรทั่วไปสำหรับฟังก์ชันคลื่นจะกลายเป็น: กล่าวคือ เมื่อปรับให้เข้ากับการเลื่อนตำแหน่ง เราก็ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทของ Bloch แล้ว ${\displaystyle \chi _{k_{1}}(n_{1},a_{1})\chi _{k_{2}}(n_{2},a_{2})\chi _{k_{3}}(n_{3},a_{3})=e^{i\mathbf {k} \cdot {\boldsymbol {\tau }}}}$$${\displaystyle {\hat {P}}_{R}\psi _{j}=\sum _{\alpha }\psi _{\alpha }\chi _{\alpha j}(R)}$$$${\displaystyle {\hat {P}}_{\varepsilon |{\boldsymbol {\tau }}}\psi (\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} )e^{i\mathbf {k} \cdot {\boldsymbol {\tau }}}=\psi (\mathbf {r} +{\boldsymbol {\tau }})}$$

$${\displaystyle E_{\mathbf {k} }\left(e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)=\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {x} )\right]\left(e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)}$$

เรายังคงอยู่กับ $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla \cdot \left(i\mathbf {k} e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+U(\mathbf {x} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\\[1.2ex]E_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\left(i\mathbf {k} \cdot \left(i\mathbf {k} e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+i\mathbf {k} \cdot e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla ^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+U(\mathbf {x} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\\[1.2ex]E_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(\mathbf {k} ^{2}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )-2i\mathbf {k} \cdot e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )-e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla ^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+U(\mathbf {x} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\\[1.2ex]E_{\mathbf {k} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(-i\nabla +\mathbf {k} \right)^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+U(\mathbf {x} )u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\end{aligned}}}$$

เราประเมินอนุพันธ์และ กำหนดให้เป็นสัมประสิทธิ์ของการขยายต่อไปนี้ในqโดยที่qถือว่าเล็กเมื่อเทียบกับk กำหนดให้เป็นค่าลักษณะเฉพาะของ เราสามารถพิจารณาปัญหาการรบกวนต่อไปนี้ใน q: ทฤษฎีการรบกวนอันดับสองระบุว่า เพื่อคำนวณถึงอันดับเชิงเส้นในq โดยที่การอินทิเกรตอยู่เหนือเซลล์พื้นฐานหรือผลึกทั้งหมด โดยกำหนดว่าอินทิกรัลนั้น ถูกทำให้เป็นมาตรฐานทั่วทั้งเซลล์หรือผลึก ${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}}$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}}$$${\displaystyle \varepsilon _{n}(\mathbf {k} +\mathbf {q} )=\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )+\sum _{i}{\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial k_{i}}}q_{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}q_{i}q_{j}+O(q^{3})}$$${\displaystyle \varepsilon _{n}(\mathbf {k} +\mathbf {q} )}$${\displaystyle {\hat {H}}_{\mathbf {k} +\mathbf {q} }}$$${\displaystyle {\hat {H}}_{\mathbf {k} +\mathbf {q} }={\hat {H}}_{\mathbf {k} }+{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla +\mathbf {k} )+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}}$$$${\displaystyle E_{n}=E_{n}^{0}+\int d\mathbf {r} \,\psi _{n}^{*}{\hat {V}}\psi _{n}+\sum _{n'\neq n}{\frac {|\int d\mathbf {r} \,\psi _{n}^{*}{\hat {V}}\psi _{n}|^{2}}{E_{n}^{0}-E_{n'}^{0}}}+...}$$$${\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial k_{i}}}q_{i}=\sum _{i}\int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}(-i\nabla +\mathbf {k} )_{i}q_{i}u_{n\mathbf {k} }}$$$${\displaystyle \int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}u_{n\mathbf {k} }}$$

เราสามารถลดรูปสมการให้ง่ายขึ้นโดยใช้qเพื่อให้ได้ และเราสามารถใส่ฟังก์ชันคลื่นที่สมบูรณ์กลับเข้าไปได้ $${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}(-i\nabla +\mathbf {k} )u_{n\mathbf {k} }}$$$${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} \,\psi _{n\mathbf {k} }^{*}(-i\nabla )\psi _{n\mathbf {k} }}$$

พจน์อันดับสอง อีกครั้งด้วย การกำจัดและเราก็ได้ทฤษฎีบท $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}q_{i}q_{j}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}+\sum _{n'\neq n}{\frac {|\int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla +\mathbf {k} )u_{n'\mathbf {k} }|^{2}}{\varepsilon _{n\mathbf {k} }-\varepsilon _{n'\mathbf {k} }}}}$$${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }=|n\mathbf {k} \rangle =e^{i\mathbf {k} \mathbf {x} }u_{n\mathbf {k} }}$$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}q_{i}q_{j}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}+\sum _{n'\neq n}{\frac {|\langle n\mathbf {k} |{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla )|n'\mathbf {k} \rangle |^{2}}{\varepsilon _{n\mathbf {k} }-\varepsilon _{n'\mathbf {k} }}}}$$${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle q_{j}}$$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\delta _{ij}+\left({\frac {\hbar ^{2}}{m}}\right)^{2}\sum _{n'\neq n}{\frac {\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n\mathbf {k} \rangle +\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n\mathbf {k} \rangle }{\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )-\varepsilon _{n'}(\mathbf {k} )}}}$$