แลตติซผกผันเป็นแนวคิดที่เกี่ยวข้องกับของแข็งที่มีสมมาตรการเลื่อนซึ่งมีบทบาทสำคัญในหลายด้าน เช่น การเลี้ยวเบน ของรังสีเอกซ์และอิเล็กตรอนรวมถึงพลังงานของอิเล็กตรอนในของแข็ง มันเกิดขึ้นจากการแปลงฟูริเยร์ของแลตติซที่เกี่ยวข้องกับการจัดเรียงของอะตอมแลตติซโดยตรงหรือแลตติซจริงเป็นฟังก์ชันคาบใน ปริภูมิ ทางกายภาพเช่นระบบผลึก (โดยปกติคือแลตติซบราเวส์ ) แลตติซผกผันมีอยู่ในปริภูมิทางคณิตศาสตร์ของความถี่เชิงพื้นที่หรือเลขคลื่นkซึ่งเรียกว่าปริภูมิผกผันหรือ ปริภูมิ kมันเป็นคู่ของปริภูมิทางกายภาพที่ถือว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์ กล่าว อีกนัยหนึ่ง แลตติซผกผันเป็นแลตติซย่อยที่เป็นคู่ของแลตติซโดยตรง

แลตติซผกผันคือเซตของเวกเตอร์ ทั้งหมด ซึ่งเป็นเวกเตอร์คลื่นkของคลื่นระนาบในอนุกรมฟูริเยร์ของฟังก์ชันเชิงพื้นที่ที่มีคาบเวลาเดียวกันกับแลตติซโดยตรงคลื่นระนาบแต่ละลูกในอนุกรมฟูริเยร์นี้จะมีเฟสเดียวกันหรือหลายเฟสที่แตกต่างกันด้วยผลคูณของที่แต่ละจุดของแลตติซโดยตรง (กล่าวคือมีเฟสเดียวกันที่ทุกจุดของแลตติซโดยตรง) ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$${\displaystyle 2\pi }$

แลตติซผกผันของแลตติซผกผันนั้นเทียบเท่ากับแลตติซตรงดั้งเดิม เนื่องจากสมการกำหนดนั้นสมมาตรกับเวกเตอร์ในปริภูมิจริงและปริภูมิผกผัน ในทางคณิตศาสตร์ เวกเตอร์แลตติซตรงและแลตติซผกผันแทนเวกเตอร์โคแวเรียนต์และคอนทราแวเรียนต์ตามลำดับ

โซนบริลลูอินเป็นเซลล์วิกเนอร์-ไซทซ์ของแลตทิซผกผัน

ปริภูมิผกผัน (หรือเรียกว่า ปริภูมิ k ) เป็นวิธีหนึ่งในการแสดงภาพผลลัพธ์ของการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันเชิงพื้นที่ บทบาทของมันคล้ายกับโดเมนความถี่ที่เกิดจากการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับเวลา ปริภูมิผกผันเป็นปริภูมิที่แสดงการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันเชิงพื้นที่ด้วยความถี่เชิงพื้นที่หรือเวกเตอร์คลื่นของคลื่นระนาบของการแปลงฟูริเยร์ โดเมนของฟังก์ชันเชิงพื้นที่เองมักเรียกว่าโดเมนเชิงพื้นที่หรือปริภูมิจริง ในการใช้งานทางฟิสิกส์ เช่นผลึกศาสตร์ทั้งปริภูมิจริงและปริภูมิผกผันมักจะมีสองหรือสามมิติ แม้ว่าจำนวนมิติเชิงพื้นที่ของปริภูมิทั้งสองที่เกี่ยวข้องกันจะเท่ากัน แต่ปริภูมิทั้งสองจะแตกต่างกันในมิติปริมาณดังนั้นเมื่อปริภูมิจริงมีมิติความยาว ( L ) ปริภูมิผกผันจะมีมิติความยาวผกผันดังนั้นL ⁻¹ (ส่วนกลับของความยาว)

ปริภูมิผกผันเข้ามามีบทบาทในเรื่องของคลื่น ทั้งคลื่นคลาสสิกและคลื่นควอนตัม เนื่องจากคลื่นระนาบไซน์ที่มีแอมพลิจูดหนึ่งหน่วยสามารถเขียนได้ในรูปพจน์การสั่นโดย มี เฟสเริ่มต้นเลขคลื่นเชิงมุมและความถี่เชิงมุมจึงสามารถมองได้ว่าเป็นฟังก์ชันของทั้งและ(และส่วนที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาเป็นฟังก์ชันของทั้งและ)บทบาทที่เสริมกันของและ นี้ ทำให้สามารถมองเห็นภาพคลื่นทั้งสองในปริภูมิที่เสริมกัน (ปริภูมิจริงและปริภูมิผกผัน) คาบเชิงพื้นที่ของคลื่นนี้ถูกกำหนดโดยความยาวคลื่นโดยที่;ดังนั้นเลขคลื่นที่สอดคล้องกันในปริภูมิผกผันจะเป็น${\displaystyle \cos(kx-\omega t+\varphi _{0})}$${\displaystyle \varphi _{0}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle k}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle t}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle k\แลมบ์ดา =2\pi }$${\displaystyle k=2\pi /\แลมบ์ดา }$

ในสามมิติ พจน์คลื่นระนาบที่สอดคล้องกันจะกลายเป็นซึ่งลดรูปเหลือที่เวลาคงที่โดยที่คือเวกเตอร์ตำแหน่งของจุดในปริภูมิจริง และคือเวกเตอร์คลื่นในปริภูมิผกผันสามมิติ (ขนาดของเวกเตอร์คลื่นเรียกว่าเลขคลื่น) ค่าคงที่คือเฟสของหน้าคลื่น (ระนาบที่มีเฟสคงที่) ที่ผ่านจุดกำเนิดณ เวลาและคือเวกเตอร์ปกติหน่วยของหน้าคลื่นนี้ หน้าคลื่นที่มีเฟสโดยที่แทนจำนวนเต็ม ใดๆ ประกอบด้วยชุดของระนาบขนานที่ เว้นระยะห่างเท่ากันด้วยความยาวคลื่น${\displaystyle \cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\varphi _{0})}$${\displaystyle \cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\varphi )}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {k} =2\pi \mathbf {e} /\lambda }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \mathbf {r} =0}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathbf {e} }$${\displaystyle \varphi +(2\pi )n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \lambda }$

โดยทั่วไปแล้ว โครงข่ายเรขาคณิตคืออาร์เรย์ของจุดยอด (จุด) ที่ไม่มีที่สิ้นสุดและสม่ำเสมอในอวกาศ ซึ่งสามารถจำลองได้ในรูปแบบเวกเตอร์เป็นโครงข่ายบราเวส์โครงข่ายบางชนิดอาจเป็นโครงข่ายเฉียง ซึ่งหมายความว่าเส้นหลักของโครงข่ายอาจไม่จำเป็นต้องตั้งฉากกัน ในปริภูมิผกผัน โครงข่ายผกผันถูกนิยามว่าเป็นเซตของเวกเตอร์คลื่น ของคลื่นระนาบในอนุกรมฟูริเยร์ของฟังก์ชันใดๆที่มีคาบเวลาที่เข้ากันได้กับโครงข่ายตรงเริ่มต้นในปริภูมิจริง หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง เวกเตอร์คลื่นจะเป็นจุดยอดของโครงข่ายผกผันก็ต่อเมื่อมันสอดคล้องกับคลื่นระนาบในปริภูมิจริงที่มีเฟส ณ เวลาใดๆ เหมือนกัน (จริงๆ แล้วต่างกันด้วยจำนวนเต็ม) ที่ทุกจุดยอดของโครงข่ายตรง ${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$${\displaystyle (2\pi )n}$${\displaystyle n}$

วิธีการเชิงอนุมานวิธีหนึ่งในการสร้างแลตติซผกผันในสามมิติคือการเขียนเวกเตอร์ตำแหน่งของจุดยอดของแลตติซโดยตรงเป็นโดยที่เป็นจำนวนเต็มที่กำหนดจุดยอด และเป็น เวกเตอร์การแปลแบบดั้งเดิมที่เป็น อิสระเชิงเส้น (หรือเรียกสั้น ๆ ว่าเวกเตอร์ดั้งเดิม) ซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะของแลตติซ จากนั้นจะมีคลื่นระนาบที่ไม่ซ้ำกัน (โดยมีปัจจัยลบหนึ่ง) ซึ่งหน้าคลื่นที่ผ่านจุดกำเนิด ประกอบด้วยจุด แลตติซโดยตรงที่และและหน้าคลื่นที่อยู่ติดกัน (ซึ่งมีเฟสแตกต่างกันโดยหรือจากหน้าคลื่นก่อนหน้าที่ผ่านจุดกำเนิด) ผ่านเวกเตอร์คลื่นเชิงมุมมีรูปแบบโดยที่เป็นเวกเตอร์หน่วยที่ตั้งฉากกับหน้าคลื่นที่อยู่ติดกันทั้งสองนี้ และความยาวคลื่นต้องเป็นไปตามเงื่อนไขหมายความว่าเท่ากับระยะห่างระหว่างหน้าคลื่นทั้งสอง ดังนั้นโดยการสร้างและ${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {R} =0}$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{3}}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle -2\pi }$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {b} _{1}=2\pi \mathbf {e} _{1}/\lambda _{1}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{1}=\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {e} _{1}}$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {b} _{1}=2\pi }$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {b} _{1}=\mathbf {a} _{3}\cdot \mathbf {b} _{1}=0}$

เมื่อวนลูปผ่านดัชนีทีละตัว วิธีเดียวกันนี้จะให้เวกเตอร์คลื่นสามตัวที่มีโดยที่เดลต้าโครเนกเกอร์เท่ากับหนึ่งเมื่อและเป็นศูนย์ในกรณีอื่น ๆเวกเตอร์เหล่านี้ประกอบด้วยชุดของเวกเตอร์คลื่นดั้งเดิมสามตัวหรือเวกเตอร์การแปลดั้งเดิมสามตัวสำหรับแลตทิซผกผัน ซึ่งแต่ละจุดยอดจะมีรูปแบบโดยที่เป็นจำนวนเต็ม แลตทิซผกผันยังเป็นแลตทิซบราเวส์ ด้วย เนื่องจากเกิดจากการรวมกันของจำนวนเต็มของเวกเตอร์ดั้งเดิม ซึ่งในกรณีนี้คือ, , และพีชคณิตอย่างง่ายแสดงให้เห็นว่า สำหรับคลื่นระนาบใด ๆ ที่มีเวกเตอร์คลื่นบนแลตทิซผกผัน การเปลี่ยนแปลงเฟสทั้งหมดระหว่างจุดกำเนิดและจุดใด ๆบนแลตทิซโดยตรงจะเป็นผลคูณของ(ซึ่งอาจเป็นศูนย์ได้หากตัวคูณเป็นศูนย์) ดังนั้นเฟสของคลื่นระนาบที่มีจะเท่ากันโดยพื้นฐานสำหรับทุกจุดยอดของแลตทิซโดยตรง สอดคล้องกับคำจำกัดความของแลตทิซผกผันข้างต้น (ถึงแม้ว่าเวกเตอร์คลื่นใดๆบนแลตทิซผกผันจะอยู่ในรูปแบบนี้เสมอ แต่การพิสูจน์นี้เป็นเพียงการกระตุ้นความคิดมากกว่าความถูกต้องแม่นยำ เพราะได้ละเว้นการพิสูจน์ว่าไม่มีความเป็นไปได้อื่นๆ อีก) ${\displaystyle \mathbf {b} _{j}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=2\pi \,\delta _{ij}}$${\displaystyle \delta _{ij}}$${\displaystyle i=j}$${\displaystyle \mathbf {b} _{j}}$${\displaystyle \mathbf {G} =m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}}$${\displaystyle m_{j}}$${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {b} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {b} _{3}}$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \mathbf {G} \cdot \mathbf {R} }$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \mathbf {G} }$

เขตบริลลูอินเป็นเซลล์พื้นฐาน (โดยเฉพาะอย่างยิ่งเซลล์วิกเนอร์-ไซทซ์ ) ของแลตทิซผกผัน ซึ่งมีบทบาทสำคัญในฟิสิกส์ของของแข็งเนื่องจากทฤษฎีบทของบล็อกในคณิตศาสตร์ บริสุทธิ์ ปริภูมิคู่ของรูปแบบเชิงเส้นและแลตทิซคู่ให้การวางนัยทั่วไปที่เป็นนามธรรมมากขึ้นของปริภูมิผกผันและแลตทิซผกผัน

โดยสมมติว่าใช้ แลตทิซบราเวส์สามมิติและกำหนดป้ายกำกับเวกเตอร์แลตทิซแต่ละตัว (เวกเตอร์ที่ระบุจุดแลตทิซ) ด้วยดัชนีที่เป็นทูเปิล3 ตัวของจำนวนเต็ม ${\displaystyle n=(n_{1},n_{2},n_{3})}$

${\displaystyle \mathbf {R} _{n}=n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$ที่ไหน${\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3}\in \mathbb {Z} }$

โดยที่เป็นเซตของจำนวนเต็ม และเป็นเวกเตอร์การแปลแบบดั้งเดิม หรือเรียกสั้น ๆ ว่า เวกเตอร์ดั้งเดิม เมื่อพิจารณาฟังก์ชันโดยที่เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งจากจุดกำเนิดไปยังตำแหน่งใด ๆ ถ้าเป็นไปตามคาบของแลตทิซนี้ เช่น ฟังก์ชันที่อธิบายความหนาแน่นอิเล็กตรอนในผลึกอะตอม การเขียนในรูปอนุกรมฟูริเยร์หลายมิติ จะเป็นประโยชน์${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {R} _{n}=0}$${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \sum _{m}f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} }=f\left(\mathbf {r} \right)}$

โดยที่ตัวห้อยตอนนี้คือผลรวมสามเท่า ${\displaystyle m=(m_{1},m_{2},m_{3})}$

เนื่องจากความเป็นคาบของแลตทิซ การเลื่อนด้วยเวกเตอร์แลตทิซใดๆก็จะได้ค่าเดียวกัน ดังนั้น ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$

${\displaystyle f(\mathbf {r} +\mathbf {R} _{n})=f(\mathbf {r} ).}$

หากแสดงข้างต้นในรูปของอนุกรมฟูริเยร์ เราจะได้ $${\displaystyle \sum _{m}f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} }=\sum _{m}f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot (\mathbf {r} +\mathbf {R} _{n})}=\sum _{m}f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}}\,e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} }.}$$

เนื่องจากการเท่ากันของอนุกรมฟูริเยร์สองอนุกรมหมายถึงการเท่ากันของสัมประสิทธิ์ของอนุกรมทั้งสองซึ่งจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}}=1}$

${\displaystyle \mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}=2\pi N}$ที่ไหน${\displaystyle N\in \mathbb {Z} .}$

ในทางคณิตศาสตร์ แลตติซผกผันคือเซตของเวกเตอร์ ทั้งหมด ซึ่งเป็นเวกเตอร์คลื่นของคลื่นระนาบในอนุกรมฟูริเยร์ของฟังก์ชันเชิงพื้นที่ที่มีคาบเดียวกันกับแลตติซโดยตรง โดยเป็นเซตของเวกเตอร์ตำแหน่งจุดแลตติซโดยตรงทั้งหมดและเป็นไปตามความเท่าเทียมกันนี้สำหรับทุกค่าคลื่นระนาบแต่ละลูกในอนุกรมฟูริเยร์มีเฟสเดียวกัน (จริงๆ แล้วอาจแตกต่างกันได้ด้วยผลคูณของ) ที่ทุกจุดบนแลตติซ ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$

${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$สามารถเลือกได้ในรูปแบบที่ โดยที่. ด้วยรูปแบบนี้ แลตทิซผกผันซึ่งเป็นเซตของเวกเตอร์คลื่นทั้งหมดสำหรับอนุกรมฟูริเยร์ของฟังก์ชันเชิงพื้นที่ซึ่งมีคาบตาม นั้นเป็นแลตทิซบราเวส์เอง เนื่องจากมันถูกสร้างขึ้นจากการรวมกันของจำนวนเต็มของเวกเตอร์การแปลดั้งเดิมของมันเองและส่วนกลับของแลตทิซผกผันคือแลตทิซดั้งเดิม ซึ่งเผยให้เห็นความเป็นคู่ของปอนทรียา จินของ ปริภูมิเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้อง(อาจมีรูปแบบอื่นของรูปแบบที่ถูกต้องใดๆ ของจะส่งผลให้ได้แลตทิซผกผันเดียวกัน) ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}=m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=2\pi \,\delta _{ij}}$${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$${\displaystyle \left(\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right)}$${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$

สำหรับโครงตาข่ายสองมิติอนันต์ ซึ่งกำหนดโดยเวกเตอร์ดั้งเดิม โครงตาข่ายผกผันของมันสามารถหาได้โดยการสร้างเวกเตอร์ดั้งเดิมผกผันสองตัว โดยใช้สูตรต่อไปนี้ ${\displaystyle \left(\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {G} _{m}=m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}}$

โดยที่เป็นจำนวนเต็ม และ ${\displaystyle m_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&=2\pi {\frac {-\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}{-\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}}=2\pi {\frac {\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}{\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}}\\[8pt]\mathbf {b} _{2}&=2\pi {\frac {\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{1}}{\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{1}}}\end{aligned}}}$

ในที่นี้ แทน เมทริกซ์การหมุน 90 องศาหรือหนึ่งในสี่รอบการหมุนทวนเข็มนาฬิกาและการหมุนตามเข็มนาฬิกาสามารถใช้กำหนดแลตติซผกผันได้: ถ้าคือการหมุนทวนเข็มนาฬิกา และคือการหมุนตามเข็มนาฬิกาสำหรับเวกเตอร์ทั้งหมดดังนั้น โดยใช้การเรียงสับเปลี่ยน${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle \mathbf {Q'} }$${\displaystyle \mathbf {Q} \,\mathbf {v} =-\mathbf {Q'} \,\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}}}$

เราได้รับ

${\displaystyle \mathbf {b} _{n}=2\pi {\frac {\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}{\mathbf {a} _{n}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}}=2\pi {\frac {\mathbf {Q} '\,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}{\mathbf {a} _{n}\cdot \mathbf {Q} '\,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}}.}$

ที่น่าสังเกตคือ ในพื้นที่ 3 มิติ แลตติซผกผัน 2 มิตินี้เป็นชุดแท่งแบร็กที่ขยายออกไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุด ซึ่งอธิบายโดย Sung et al. ^{[ 1 ]}

สำหรับแลตทิซสามมิติอนันต์ซึ่งกำหนดโดยเวกเตอร์ดั้งเดิมและดัชนีจำนวนเต็ม แล ตทิซผกผันที่มีดัชนีจำนวนเต็มสามารถกำหนดได้โดยการสร้างเวกเตอร์ดั้งเดิมผกผันสามตัว โดยที่คือผลคูณสามเท่าของสเกลาร์การเลือกเวกเตอร์เหล่านี้เป็นไปตามเงื่อนไขที่ทราบ (อาจมีเงื่อนไขอื่น) ของเวกเตอร์การแปลดั้งเดิมสำหรับแลตทิซผกผันที่ได้มาจากวิธีการเชิงอนุมานข้างต้นและส่วนอนุกรมฟูริเยร์หลายมิติการเลือกนี้ยังเป็นไปตามข้อกำหนดของแลตทิซผกผันที่ได้มาจากการคำนวณทางคณิตศาสตร์ข้างต้นการใช้การแสดงเวกเตอร์คอลัมน์ของเวกเตอร์ดั้งเดิม (ผกผัน) สูตรข้างต้นสามารถเขียนใหม่ได้โดยใช้การผกผันเมทริก ซ์ : ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}=n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$${\displaystyle \left(\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}\right)}$${\displaystyle n=\left(n_{1},n_{2},n_{3}\right)}$${\displaystyle \mathbf {G} _{m}=m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}}$${\displaystyle m=(m_{1},m_{2},m_{3})}$${\displaystyle \left(\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\\[8pt]\mathbf {b} _{2}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\\[8pt]\mathbf {b} _{3}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle V=\mathbf {a} _{1}\cdot \left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)=\mathbf {a} _{2}\cdot \left(\mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\right)=\mathbf {a} _{3}\cdot \left(\mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\right)}$$${\displaystyle \left(\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right)}$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=2\pi \,\delta _{ij}}$${\displaystyle e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}}=1}$

${\displaystyle \left[\mathbf {b} _{1}\mathbf {b} _{2}\mathbf {b} _{3}\right]^{\mathsf {T}}=2\pi \left[\mathbf {a} _{1}\mathbf {a} _{2}\mathbf {a} _{3}\right]^{-1}.}$

วิธีนี้สอดคล้องกับนิยาม และช่วยให้สามารถสรุปไปสู่มิติใดๆ ก็ได้ สูตรผลคูณไขว้เป็นสูตรหลักที่ใช้ในเนื้อหาเบื้องต้นเกี่ยวกับผลึกศาสตร์

นิยามข้างต้นเรียกว่านิยาม "ทางฟิสิกส์" เนื่องจากปัจจัยมาจากการศึกษาโครงสร้างเป็นคาบโดยธรรมชาติ นิยามที่เทียบเท่ากันโดยพื้นฐานคือนิยาม "ทางผลึกศาสตร์" ซึ่งมาจากการกำหนดแลตติซผกผันซึ่งเปลี่ยนเวกเตอร์ดั้งเดิมผกผันให้เป็น ${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \mathbf {K} _{m}=\mathbf {G} _{m}/2\pi }$

${\displaystyle \mathbf {b} _{1}={\frac {\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}}{\mathbf {a} _{1}\cdot \left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)}}}$

และเช่นเดียวกันสำหรับเวกเตอร์พื้นฐานอื่นๆ คำจำกัดความของนักผลึกศาสตร์มีข้อดีตรงที่คำจำกัดความของ นั้นเป็นเพียงค่าผกผันของในทิศทางของ โดยตัดปัจจัย ออกไปซึ่งสามารถทำให้การคำนวณทางคณิตศาสตร์บางอย่างง่ายขึ้น และแสดงมิติของแลตติซผกผันในหน่วยของความถี่เชิงพื้นที่การเลือกใช้คำจำกัดความของแลตติซแบบใดนั้นขึ้นอยู่กับความชอบส่วนบุคคล ตราบใดที่ทั้งสองไม่ปะปนกัน ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}}$${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle m=(m_{1},m_{2},m_{3})}$โดยทั่วไปจะเขียนเป็นหรือเรียกว่าดัชนีมิลเลอร์ ; จะถูกแทนที่ด้วย, จะถูกแทนที่ด้วย, และจะถูกแทนที่ด้วยแต่ละจุดในแลตติสผกผันจะสอดคล้องกับชุดของระนาบแลตติสใน แลตติ สปริภูมิจริง (ระนาบแลตติสคือระนาบที่ตัดผ่านจุดแลตติส) ทิศทางของเวกเตอร์แลตติสผกผันจะสอดคล้องกับ แนวตั้ง ฉากกับระนาบปริภูมิจริง ขนาดของเวกเตอร์แลตติสผกผันจะระบุเป็นความยาวผกผันและเท่ากับส่วนกลับของระยะห่างระหว่างระนาบของระนาบปริภูมิจริง ${\displaystyle (h,k,\ell )}$${\displaystyle (hk\ell )}$${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle m_{2}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle m_{3}}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle (hk\ell )}$${\displaystyle (hk\ell )}$${\displaystyle \mathbf {K} _{m}}$

สูตรสำหรับมิติสามารถหาได้โดยสมมติว่ามีปริภูมิเวกเตอร์จริงมิติ n ที่มีฐานและผลคูณภายในเวกเตอร์แลตติซผกผันถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดยสูตรโดยใช้การเรียงสับเปลี่ยน${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle V}$${\displaystyle (\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})}$${\displaystyle g\colon V\times V\to \mathbf {R} }$${\displaystyle g(\mathbf {a} _{i},\mathbf {b} _{j})=2\pi \delta _{ij}}$

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\2&3&\cdots &1\end{pmatrix}},}$

สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

${\displaystyle \mathbf {b} _{i}=2\pi {\frac {\varepsilon _{\sigma ^{1}i\ldots \sigma ^{n}i}}{\omega (\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})}}g^{-1}(\mathbf {a} _{\sigma ^{n-1}i}\,\lrcorner \ldots \mathbf {a} _{\sigma ^{1}i}\,\lrcorner \,\omega )\in V}$

ในที่นี้คือรูปแบบปริมาตรคือส่วนกลับของไอโซมอร์ฟิซึมของปริภูมิเวกเตอร์ที่กำหนดโดยและหมายถึง การ คูณ ภายใน${\displaystyle \omega \colon V^{n}\to \mathbf {R} }$${\displaystyle g^{-1}}$${\displaystyle {\hat {g}}\colon V\to V^{*}}$${\displaystyle {\hat {g}}(v)(w)=g(v,w)}$${\displaystyle \lrcorner }$

สามารถตรวจสอบได้ว่าสูตรนี้เทียบเท่ากับสูตรที่ทราบสำหรับกรณีสองมิติและสามมิติโดยใช้ข้อเท็จจริงต่อไปนี้: ในสามมิติและในสองมิติโดยที่คือการหมุน 90 องศา (เช่นเดียวกับรูปแบบปริมาตร มุมที่กำหนดให้กับการหมุนขึ้นอยู่กับการเลือกทิศทาง^{[ 2 ]} ) ${\displaystyle \omega (u,v,w)=g(u\times v,w)}$${\displaystyle \omega (v,w)=g(Rv,w)}$${\displaystyle R\in {\text{SO}}(2)\subset L(V,V)}$

แลตติสผกผันสำหรับระบบผลึกทรงลูกบาศก์มีดังต่อไปนี้

แลตติสบราเวส์แบบลูกบาศก์อย่างง่ายซึ่งมีเซลล์พื้นฐาน แบบลูกบาศก์ ที่มีด้านยาวn จะมีแลตติสผกผันเป็นแลตติสลูกบาศก์อย่างง่าย ซึ่งมีเซลล์พื้นฐานแบบลูกบาศก์ที่มีด้านยาว n (หรือตามคำจำกัดความของนักผลึกศาสตร์) ดังนั้น แลตติสลูกบาศก์จึงกล่าวได้ว่าเป็นแบบทวิภาวะในตัวเอง กล่าวคือ มีสมมาตรเดียวกันในปริภูมิผกผันและในปริภูมิจริง ${\displaystyle a}$${\textstyle {\frac {2\pi }{a}}}$${\textstyle {\frac {1}{a}}}$

โครงสร้างแลตติซผกผันของแลตติซ FCC คือแลตติซลูกบาศก์แบบมีอะตอมอยู่ตรงกลาง (BCC) โดยมีด้านของลูกบาศก์ยาว. ${\textstyle {\frac {4\pi }{a}}}$

พิจารณาเซลล์หน่วยประกอบ FCC หาเซลล์หน่วยพื้นฐานของ FCC นั่นคือเซลล์หน่วยที่มีจุดแลตติสหนึ่งจุด จากนั้นให้จุดยอดจุดหนึ่งของเซลล์หน่วยพื้นฐานเป็นจุดกำเนิด ให้เวกเตอร์ฐานของแลตติสจริง จากนั้นจากสูตรที่ทราบ คุณสามารถคำนวณเวกเตอร์ฐานของแลตติสผกผันได้ เวกเตอร์แลตติสผกผันของ FCC เหล่านี้แสดงถึงเวกเตอร์ฐานของแลตติสจริง BCC เวกเตอร์ฐานของแลตติสจริง BCC และแลตติสผกผันของ FCC มีความคล้ายคลึงกันในทิศทาง แต่ไม่คล้ายคลึงกันในขนาด

โครงสร้างแลตติซผกผันของ แลตติซ BCCคือ แลตติซ FCCซึ่งมีด้านของลูกบาศก์ยาว. ${\textstyle 4\pi /a}$

สามารถพิสูจน์ได้ว่าเฉพาะแลตติซบราเวส์ที่มีมุม 90 องศาระหว่างกัน(ลูกบาศก์ สี่เหลี่ยมจัตุรัส ออร์โธรอมบิก) เท่านั้นที่มีเวกเตอร์การแปลแบบดั้งเดิมสำหรับแลตติซผกผันซึ่งขนานกับเวกเตอร์ในปริภูมิจริงของพวกมัน ${\displaystyle \left(\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}\right)}$${\displaystyle \left(\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right)}$

ส่วนกลับของแลตติซ Bravais หกเหลี่ยมแบบง่ายที่มีค่าคงที่แลตติซ และเป็นแลตติซหกเหลี่ยมแบบง่ายอีกอันที่มีค่าคงที่แลตติซและหมุนไป 90° รอบ แกน cเมื่อเทียบกับแลตติซโดยตรง ดังนั้นแลตติซหกเหลี่ยมแบบง่ายจึงกล่าวได้ว่าเป็นแบบคู่ตัวเอง โดยมีสมมาตรเดียวกันในปริภูมิส่วนกลับเช่นเดียวกับในปริภูมิจริง เวกเตอร์การแปลแบบดั้งเดิมสำหรับเวกเตอร์แลตติซ Bravais หกเหลี่ยมแบบง่ายนี้คือ ^{[ 3 ]}${\textstyle a}$${\textstyle c}$${\textstyle 2\pi /c}$${\textstyle 4\pi /(a{\sqrt {3}})}$$${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}&={\frac {\sqrt {3}}{2}}a{\hat {x}}+{\frac {1}{2}}a{\hat {y}},\\[8pt]a_{2}&=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}a{\hat {x}}+{\frac {1}{2}}a{\hat {y}},\\[8pt]a_{3}&=c{\hat {z}}.\end{aligned}}}$$

เส้นทางหนึ่งสู่แลตติซผกผันของกลุ่มอะตอมใดๆ มาจากแนวคิดของคลื่นกระเจิงในขีดจำกัดFraunhofer (ระยะไกลหรือระนาบโฟกัสหลังเลนส์) เป็นผล รวมแอมพลิจูด แบบ Huygensจากจุดกระเจิงทั้งหมด (ในกรณีนี้จากอะตอมแต่ละตัว) ^{[ 4 ]} ผลรวมนี้แสดงด้วยแอมพลิจูดเชิงซ้อน ในสมการด้านล่าง เนื่องจากเป็นการแปลงฟูริเยร์ (เป็นฟังก์ชันของความถี่เชิงพื้นที่หรือระยะทางผกผัน) ของศักยภาพการกระเจิงที่มีประสิทธิภาพในพื้นที่โดยตรง: ${\displaystyle F}$

${\displaystyle F[{\vec {g}}]=\sum _{j=1}^{N}f_{j}\!\left[{\vec {g}}\right]e^{2\pi i{\vec {g}}\cdot {\vec {r}}_{j}}.}$

ในที่นี้g = q /(2 π ) คือเวกเตอร์การกระเจิงqในหน่วยคริสตัลโลกราฟี, Nคือจำนวนอะตอม, f _j [ g ] คือแฟกเตอร์การกระเจิงของอะตอมสำหรับอะตอมjและเวกเตอร์การกระเจิงgในขณะที่r _jคือเวกเตอร์ตำแหน่งของอะตอมjเฟสฟูริเยร์ขึ้นอยู่กับการเลือกจุดกำเนิดพิกัด

สำหรับกรณีพิเศษของผลึกคาบอนันต์ แอมพลิจูดการกระเจิงF = M F _h,k,ℓจาก เซลล์หน่วย Mเซลล์ (เช่นเดียวกับในกรณีข้างต้น) จะมีค่าไม่เป็นศูนย์เฉพาะเมื่อค่าของ เป็นจำนวนเต็มเท่านั้น โดยที่ ${\displaystyle (h,k,\ell )}$

${\displaystyle F_{h,k,\ell }=\sum _{j=1}^{m}f_{j}\left[g_{h,k,\ell }\right]e^{2\pi i\left(hu_{j}+kv_{j}+\ell w_{j}\right)}}$

เมื่อมี อะตอม j  = 1, mอยู่ภายในเซลล์หน่วยซึ่งมีดัชนีแลตติซเศษส่วนเป็น { u _j , v _j , w _j } ตามลำดับ เพื่อพิจารณาผลกระทบเนื่องจากขนาดผลึกที่จำกัด แน่นอนว่าต้องใช้การสังเคราะห์รูปร่างสำหรับแต่ละจุดหรือสมการข้างต้นสำหรับแลตติซที่จำกัดแทน

ไม่ว่าอาร์เรย์ของอะตอมจะมีจำนวนจำกัดหรืออนันต์ เราก็สามารถจินตนาการถึง "แลตติซผกผันความเข้ม" I[ g ] ซึ่งมีความสัมพันธ์กับแลตติซแอมพลิจูด F ผ่านความสัมพันธ์ปกติI = F ^* Fโดยที่F ^*คือค่าสังยุคเชิงซ้อนของ F เนื่องจากการแปลงฟูริเยร์สามารถย้อนกลับได้ แน่นอนว่าการแปลงเป็นความเข้มนี้จะทิ้งข้อมูล "ทั้งหมด ยกเว้นโมเมนต์ที่สอง" (เช่น เฟส) ออกไป สำหรับกรณีของกลุ่มอะตอมใดๆ แลตติซผกผันความเข้มจึงเป็นดังนี้:

${\displaystyle I[{\vec {g}}]=\sum _{j=1}^{N}\sum _{k=1}^{N}f_{j}\left[{\vec {g}}\right]f_{k}\left[{\vec {g}}\right]e^{2\pi i{\vec {g}}\cdot {\vec {r}}_{\!\!\;jk}}.}$

ในที่นี้r _jkคือเวกเตอร์ระยะห่างระหว่างอะตอมjและอะตอมkนอกจากนี้ยังสามารถใช้สิ่งนี้ในการทำนายผลกระทบของรูปร่างผลึกนาโน และการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในทิศทางของลำแสง ต่อจุดยอดการเลี้ยวเบนที่ตรวจพบ แม้ว่าในบางทิศทางกลุ่มอะตอมจะมีเพียงความหนาเดียวก็ตาม ข้อเสียคือ การคำนวณการกระเจิงโดยใช้แลตติสผกผันโดยพื้นฐานแล้วจะพิจารณาเฉพาะคลื่นระนาบตกกระทบ ดังนั้นหลังจากพิจารณาผลกระทบของแลตติสผกผัน (การกระเจิงแบบจลนศาสตร์) แล้ว การขยายลำแสงและผลกระทบของการกระเจิงหลายครั้ง (เช่นแบบไดนามิก ) อาจมีความสำคัญที่ต้องพิจารณาด้วยเช่นกัน

ในความเป็นจริงแล้ว ใน ทางคณิตศาสตร์มีแนวคิดเกี่ยวกับแลตทิซคู่แบบนามธรรมอยู่สองเวอร์ชัน สำหรับแลตทิซL ที่กำหนด ในปริภูมิเวกเตอร์จริงVที่มีมิติจำกัด

วิธีแรก ซึ่งเป็นการขยายความโดยตรงของการสร้างแลตทิซผกผันนั้น ใช้การวิเคราะห์ฟูริเยร์อาจกล่าวได้ง่ายๆ ในแง่ของทฤษฎีคู่ของปอนทรียาจินกลุ่มคู่V ^ ของVก็เป็นปริมาณเวกเตอร์จริงอีกกลุ่มหนึ่ง และกลุ่มย่อยปิดL ^ ที่เป็นคู่ของLก็เป็นแลตทิซในV ^ ด้วย ดังนั้นL ^ จึงเป็นตัวเลือกที่เหมาะสมสำหรับแลตทิซคู่ในปริมาณเวกเตอร์ที่แตกต่างกัน (แต่มีมิติเดียวกัน)

อีกแง่มุมหนึ่งที่เห็นได้คือการมีอยู่ของรูปแบบกำลังสองQบนVหากมันไม่เสื่อมสภาพมันจะช่วยให้สามารถระบุพื้นที่คู่V ^*ของVกับVได้ ความสัมพันธ์ของV ^*กับVไม่ใช่ความสัมพันธ์โดยเนื้อแท้ มันขึ้นอยู่กับการเลือกมาตรวัดฮาร์ (องค์ประกอบปริมาตร) บนVแต่เมื่อระบุความสัมพันธ์ของทั้งสองได้แล้ว ซึ่งในทุกกรณีก็กำหนดไว้อย่างดีจนถึงค่าสเกลาร์การมีอยู่ของQช่วยให้สามารถพูดถึงแลตทิซคู่ของLได้ ในขณะที่ยังคงอยู่ภายในV

ในทางคณิตศาสตร์ แลตทิซคู่ของแลตทิซL ที่กำหนด ในกลุ่มทอพอโลยีแบบอา เบเลียนที่กระชับเฉพาะที่ Gคือกลุ่มย่อยL ^∗ของกลุ่มคู่ของG ซึ่งประกอบด้วยอักขระต่อเนื่องทั้งหมดที่มี ค่า เท่ากับหนึ่ง ณ แต่ละจุดของL

ในคณิตศาสตร์เชิงดิสครีต แลตทิซคือเซตของจุดแบบไม่ต่อเนื่องเฉพาะที่ ซึ่งอธิบายได้ด้วยผลรวมเชิงเส้นจำนวนเต็มทั้งหมดของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นdim = n ใน R ⁿแลตทิซคู่ขนานจะถูกกำหนดโดยจุดทั้งหมดในปริภูมิเชิงเส้นของแลตทิซดั้งเดิม (โดยทั่วไปคือR ⁿ ทั้งหมด ) ที่มีคุณสมบัติว่าผลคูณภายในกับองค์ประกอบทั้งหมดของแลตทิซดั้งเดิมเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น แลตทิซคู่ขนานของแลตทิซคู่ขนานจึงเป็นแลตทิซดั้งเดิม

นอกจากนี้ หากเราอนุญาตให้เมทริกซ์Bมีคอลัมน์เป็นเวกเตอร์ที่เป็นอิสระเชิงเส้นซึ่งอธิบายถึงแลตทิซ เมทริกซ์นั้นก็จะมีคอลัมน์ของเวกเตอร์ที่อธิบายถึงแลตทิซคู่ขนานด้วย ${\displaystyle A=B\left(B^{\mathsf {T}}B\right)^{-1}}$

ในฟิสิกส์ควอนตัมปริภูมิผกผันมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับปริภูมิโมเมนตัมตามสัดส่วน โดยที่คือเวกเตอร์โมเมนตัมและคือค่าคงที่ของพลังค์แบบลดทอน ${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \hbar }$

• โซนบริลลูอิน  – เซลล์ดั้งเดิมในโครงตาข่ายปริภูมิผกผันของผลึก
• ผลึกศาสตร์  – การศึกษาทางวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับโครงสร้างของผลึก
• ฐานคู่  – แนวคิดพีชคณิตเชิงเส้น
• ทรงกลมของอีวาลด์  – การอนุรักษ์พลังงานระหว่างการเลี้ยวเบนของอะตอม
• เส้นคิคุจิ (ฟิสิกส์ของแข็ง)  – รูปแบบที่เกิดจากการกระเจิงPages displaying short descriptions of redirect targets
• ดัชนีมิลเลอร์  – ระบบการกำหนดสัญลักษณ์สำหรับระนาบโครงผลึก
• การเลี้ยวเบนของผง  – วิธีการทดลองในการเลี้ยวเบนของรังสีเอกซ์
• แกนโซน  – การวางแนวสมมาตรสูงของผลึก
• อนุกรมฟูริเยร์ของฟังก์ชันคาบแบบแลตติซบราเวส์ - การพิสูจน์เชิงเทคนิคที่ละเอียดกว่า

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับปรากฏการณ์การเลี้ยวเบนของแสง

• http://newton.umsl.edu/run//nano/known.html เก็บถาวรเมื่อ 31 สิงหาคม 2020 ที่Wayback Machine – โปรแกรมจำลองการเลี้ยวเบนของอิเล็กตรอนที่ใช้ Jmolช่วยให้คุณสำรวจจุดตัดระหว่างแลตติซผกผันและทรงกลม Ewald ในระหว่างการเอียง
• ชุดสื่อการสอนและการเรียนรู้ DoITPoMS เรื่องปริภูมิผกผันและแลตทิซผกผัน
• เรียนรู้เรื่องผลึกศาสตร์และวิธีที่แลตติซผกผันอธิบายปรากฏการณ์การเลี้ยวเบนได้อย่างง่ายดาย ดังแสดงในบทที่ 4 และ 5