ในเรขาคณิต ระนาบ การแบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสตามแนวทแยงมุมจะได้สามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วสองรูปแต่ละรูปมีมุมฉากหนึ่งมุม (90° หรือ⁠π / 2⁠ เรเดียน ) และอีกสองมุมที่เท่ากันทุกประการ โดยแต่ละมุมมีขนาดครึ่งหนึ่งของมุมฉาก (45° หรือ⁠π / 4⁠ เรเดียน ) อัตราส่วนของด้านในรูปสามเหลี่ยมนี้คือ 1 : 1 : √2ซึ่งได้มาโดยตรงจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส    

ในบรรดาสามเหลี่ยมมุมฉากทั้งหมด สามเหลี่ยมมุมฉาก 45°–45°–90° มีอัตราส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากต่อผลรวมของด้านประกอบมุมฉากน้อยที่สุดคือ⁠ √ 2 / 2 ⁠ [ 1 ^{] : หน้า 282 , หน้า 358}และมีอัตราส่วนของความสูงจากด้านตรงข้ามมุมฉากต่อผลรวมของด้านประกอบมุมฉากมากที่สุด คือ⁠ √ 2 / 4 ⁠ ^{[ 1 ]} : ^{หน้า282}

รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมเหล่านี้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเพียงรูปเดียวที่เป็นไปได้และเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วในเรขาคณิตแบบยุคลิดอย่างไรก็ตาม ในเรขาคณิตทรงกลมและเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกมีรูปทรงของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วที่แตกต่างกันมากมายนับไม่ถ้วน

สามเหลี่ยมมุมฉากชนิดพิเศษอีกประเภทหนึ่งคือ สามเหลี่ยม 30°-60°-90° ซึ่งหมายถึงสามเหลี่ยมใดๆ ที่มีมุมทั้งสามขนาดดังกล่าว โดยที่อัตราส่วนของมุมเหล่านี้คือ 1  :  2  :  3

คุณสมบัติที่มีประโยชน์ อย่างหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมดังกล่าวคือ ความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมมีอัตราส่วน 1  : √3 : 2 คุณสมบัตินี้สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ตรีโกณมิติหรือผ่าน การพิสูจน์ ทางเรขาคณิตดังต่อไปนี้:   

วาดรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าABCที่มีด้านยาว 2 และจุดMเป็นจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงBCลากเส้นตั้งฉากจากAไปยังMจากนั้นABMจะเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 30°–60°–90° ที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 2 และฐานBMยาว 1

ข้อเท็จจริงที่ว่าด้านที่เหลือAMมีความยาว√3 นั้นเป็นผลโดยตรงจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส

สามเหลี่ยมมุมฉาก 30°–60°–90° เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากเพียงรูปเดียวที่มุมต่างๆ เรียงลำดับเป็นลำดับเลขคณิตการพิสูจน์ข้อเท็จจริงนี้ทำได้ง่ายและมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า ถ้าα , α + δ , α + 2 δเป็นมุมในลำดับเลขคณิตแล้ว ผลรวมของมุม3 α + 3 δ = 180° เมื่อหารด้วย 3 แล้ว มุมα + δจะต้องเป็น 60° มุมฉากคือ 90° เหลือมุมอีก 30°

มีชุดตัวเลขพีทาโกเรียนหลายชุดที่เป็นที่รู้จักกันดี รวมถึงชุดที่มีด้านเป็นอัตราส่วนดังนี้:

3  :	4  :	5
5  :	12  :	13
8  :	15  :	17
7  :	24  :	25
9  :	40  :	41

รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 3  :  4  :  5 เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเพียงรูปเดียวที่มีด้านเรียงลำดับเป็นเลขคณิตรูปสามเหลี่ยมที่สร้างจากชุดตัวเลขพีทาโกรัสเรียก ว่ารูปสามเหลี่ยม เฮโรเนียนซึ่งหมายความว่ามีพื้นที่ เป็นจำนวนเต็ม และมีจำนวนด้านเป็นจำนวนเต็มเช่นกัน

การใช้สามเหลี่ยม 3  :  4  :  5 ที่เป็นไปได้ในอียิปต์โบราณโดยสันนิษฐานว่าใช้เชือกผูกปมเพื่อวางสามเหลี่ยมดังกล่าว และคำถามที่ว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นที่รู้จักในเวลานั้นหรือไม่ ได้มีการถกเถียงกันอย่างมาก^{[ 3 ]}นักประวัติศาสตร์Moritz Cantor เป็นผู้ตั้งข้อสันนิษฐานนี้เป็นครั้งแรก ในปี 1882 ^{[ 3 ]}เป็นที่ทราบกันว่ามุมฉากถูกวางอย่างแม่นยำในอียิปต์โบราณ นักสำรวจของพวกเขาใช้เชือกในการวัด^{[ 3 ]} และพลูตาร์คบันทึกไว้ในIsis and Osiris (ประมาณ ค.ศ. 100) ว่าชาวอียิปต์ชื่นชมสามเหลี่ยม 3  :  4  :  5 ^{[ 3 ]} และปาปิรัสเบอร์ลิน 6619จากอาณาจักรกลางของอียิปต์ (ก่อน 1700 ปีก่อนคริสตกาล) ระบุว่า "พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 100 เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเล็กสองรูป ด้านของรูปหนึ่งคือ^1/2 + 1/4ของด้านของอีกรูปหนึ่ง " ^[ 4 ^]นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ Roger L. Cooke ตั้งข้อสังเกตว่า "เป็นการยากที่จะจินตนาการว่าใครจะสนใจเงื่อนไขดังกล่าวโดยไม่รู้จักทฤษฎีบทพีทาโกรัส" [ ^{3 ] ใน} ทางตรงกันข้าม Cooke ตั้งข้อสังเกตว่าไม่มีข้อความอียิปต์ใดก่อน 300 ปีก่อนคริสตกาลที่กล่าวถึงการใช้ทฤษฎีบทเพื่อหาความยาวด้านของสามเหลี่ยม และมีวิธีที่ง่ายกว่าในการสร้างมุมฉาก คุกสรุปว่าสมมติฐานของแคนเตอร์ยังคงไม่แน่นอน: เขาคาดเดาว่าชาวอียิปต์โบราณน่าจะรู้จักทฤษฎีบทพีทาโกรัส แต่ "ไม่มีหลักฐานว่าพวกเขาใช้มันเพื่อสร้างมุมฉาก" ^{[ 3 ]}

ต่อไปนี้คืออัตราส่วนสามเท่าของพีทาโกรัสทั้งหมดที่แสดงในรูปอย่างง่ายที่สุด (นอกเหนือจากห้าค่าที่เล็กที่สุดในรูปอย่างง่ายที่สุดในรายการด้านบน) โดยที่ด้านที่ไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุมฉากทั้งสองด้านมีค่าน้อยกว่า 256:

11  :	60  :	61
12  :	35  :	37
13  :	84  :	85
15  :	112  :	113
16  :	63  :	65
17  :	144  :	145
19  :	180  :	181
20  :	21  :	29
20  :	99  :	101
21  :	220  :	:221

รูปสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วไม่สามารถมีด้านที่เป็นจำนวนเต็มได้ เพราะอัตราส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากต่อด้านอื่นๆ คือ√2 และ √2 ไม่สามารถแสดงเป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวนได้อย่างไรก็ตามรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วเกือบเท่ามีอยู่มากมายนับไม่ ถ้วน รูปสามเหลี่ยมเหล่านี้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านเป็นจำนวนเต็ม โดยที่ความยาวของด้านที่ไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุมฉากจะต่างกันหนึ่ง^{[ 5 ] [ 6 ]}รูปสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่วเกือบเท่าดังกล่าวสามารถหาได้แบบเวียนเกิด

a = 1, b = 2

a = 2 b + a

b = 2 a + b

nคือความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก โดยที่ = 1, 2, 3, .... หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ

${\displaystyle ({\tfrac {x-1}{2}})^{2}+({\tfrac {x+1}{2}})^{2}=y^{2}}$

โดยที่ { x , y } เป็นคำตอบของสมการเพลล์x ² − 2 y ² = −1โดยที่ด้านตรงข้ามมุมฉากyเป็นพจน์คี่ของจำนวนเพลล์1 , 2, 5 , 12, 29 , 70 , 169 , 408 , 985 , 2378... (ลำดับA000129ในOEIS ) .. สามเหลี่ยมพีทาโกเรียนที่เล็กที่สุดที่ได้คือ: ^{[ 7 ]}

3  :	4  :	5
20  :	21  :	29
119  :	120  :	169
696  :	697  :	985

อีกทางเลือกหนึ่ง สามเหลี่ยมเดียวกันสามารถได้มาจากจำนวนสามเหลี่ยมกำลัง^สอง [ ^{8 ]}

รูปสามเหลี่ยมเคปเลอร์เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านเรียงตามลำดับเรขาคณิตถ้าด้านประกอบขึ้นจากลำดับเรขาคณิตa , ar , ar²แล้ว อัตราส่วนร่วมrจะกำหนดโดยr = √φโดยที่φคืออัตราส่วนทองคำดังนั้นอัตราส่วนของด้านคือ1 : √φ : φ ^{ด้วยเหตุนี้ รูปทรงของรูปสามเหลี่ยมเค ป}เลอร์จึงถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจง (โดยไม่รวมปัจจัยมาตราส่วน) ด้วยข้อกำหนดที่ว่าด้านต้องเรียงตามลำดับเรขาคณิต  

สามเหลี่ยม 3–4–5 เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่ไม่ซ้ำกัน (โดยไม่คำนึงถึงการปรับขนาด) ซึ่งด้านต่างๆ อยู่ในลำดับเลขคณิต^{[ 9 ]}

อนุญาต$${\displaystyle a=2\sin {\frac {\pi }{10}}={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}={\frac {1}{\varphi }}\approx 0.618}$$ให้ เป็นความยาวด้านของรูปสิบเหลี่ยม ด้านเท่า ที่บรรจุอยู่ในวงกลมหน่วย โดยที่${\displaystyle \varphi }$คืออัตราส่วนทองคำ ให้$${\displaystyle b=2\sin {\frac {\pi }{6}}=1}$$ให้ เป็นความยาวด้านของรูปหกเหลี่ยม ด้านเท่าที่ อยู่ในวงกลมหน่วย และให้$${\displaystyle c=2\sin {\frac {\pi }{5}}={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\approx 1.176}$$ให้ เป็นความยาวด้านของรูปห้าเหลี่ยม ด้านเท่า ในวงกลมหน่วย จากนั้น${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ดังนั้นความยาวทั้งสามนี้จึงเป็นด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก^{[ 10 ]}สามเหลี่ยมเดียวกันนี้ประกอบเป็นครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมผืนผ้าทองคำนอกจากนี้ยังสามารถพบได้ภายในทรงยี่สิบหน้าปกติที่มีความยาวด้าน${\displaystyle c}$: ส่วนของเส้นตรงที่สั้นที่สุดจากจุดยอดใดๆ${\displaystyle V}$ระนาบของเพื่อนบ้านทั้งห้ามีความยาว${\displaystyle a}$และจุดปลายของส่วนของเส้นตรงนี้ รวมทั้งจุดข้างเคียงใดๆ ของ${\displaystyle V}$สร้างจุดยอดของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านยาว${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$, และ${\displaystyle c}$[ ^{11 ]​}