ความคลาดเคลื่อนในการประมาณค่าข้อมูลที่กำหนด แสดงถึงความคลาดเคลื่อนอย่างมีนัยสำคัญที่เกิดขึ้นเมื่อเปรียบเทียบค่าที่แท้จริงกับค่าประมาณที่ได้มา ความคลาดเคลื่อนโดยธรรมชาติในการประมาณค่านี้สามารถวัดและแสดงได้สองวิธีหลัก ได้แก่ ความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ซึ่งแสดงถึงขนาดเชิงตัวเลขโดยตรงของความคลาดเคลื่อนนี้โดยไม่คำนึงถึงมาตราส่วนของค่าที่แท้จริง หรือความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ซึ่งเป็นการวัดความคลาดเคลื่อนโดยพิจารณาความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์เทียบกับค่าข้อมูลที่แท้จริง ทำให้สามารถประเมินความสำคัญของความคลาดเคลื่อนได้ตามบริบท

ข้อผิดพลาดในการประมาณค่าอาจเกิดขึ้นได้จากหลายสาเหตุ สาเหตุสำคัญประการหนึ่งคือข้อจำกัดด้านความแม่นยำของเครื่อง คอมพิวเตอร์ เนื่องจากระบบดิจิทัลไม่สามารถแสดงจำนวนจริงทั้งหมดได้อย่างแม่นยำสมบูรณ์แบบ จึงทำให้เกิดการตัดทอนหรือการปัดเศษอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ อีกสาเหตุหนึ่งที่พบบ่อยคือข้อผิดพลาดในการวัดโดยธรรมชาติ ซึ่งเกิดจากข้อจำกัดในทางปฏิบัติของเครื่องมือ ปัจจัยด้านสิ่งแวดล้อม หรือกระบวนการสังเกต (ตัวอย่างเช่น หากความยาวจริงของกระดาษแผ่นหนึ่งคือ 4.53  เซนติเมตร แต่ไม้บรรทัดวัดได้ละเอียดที่สุดเพียง 0.1  เซนติเมตร ข้อจำกัดนี้อาจทำให้บันทึกการวัดได้ 4.5  เซนติเมตร ซึ่งทำให้เกิดข้อผิดพลาด)

ใน สาขา คณิตศาสตร์ของการวิเคราะห์เชิงตัวเลขแนวคิดสำคัญของความเสถียรเชิงตัวเลขที่เกี่ยวข้องกับอัลกอริทึมทำหน้าที่บ่งชี้ขอบเขตที่ข้อผิดพลาดหรือการรบกวนเริ่มต้นที่มีอยู่ในข้อมูลอินพุตของอัลกอริทึมมีแนวโน้มที่จะแพร่กระจายและอาจขยายตัวกลายเป็นข้อผิดพลาดที่สำคัญในผลลัพธ์สุดท้าย อัลกอริทึมที่มีลักษณะเสถียรเชิงตัวเลขนั้นมีความแข็งแกร่งในแง่ที่ว่าจะไม่ก่อให้เกิดข้อผิดพลาดที่ขยายใหญ่ขึ้นอย่างมีนัยสำคัญในผลลัพธ์แม้ว่าอินพุตจะผิดรูปเล็กน้อยหรือมีข้อผิดพลาดเล็กน้อย ในทางกลับกัน อัลกอริทึมที่ไม่เสถียรเชิงตัวเลขอาจแสดงการเติบโตของข้อผิดพลาดอย่างมากจากการเปลี่ยนแปลงอินพุตเล็กน้อย ทำให้ผลลัพธ์ไม่น่าเชื่อถือ^{[ 1 ]}

เมื่อกำหนดค่าจริงหรือค่าที่แน่นอนvเราจะระบุอย่างเป็นทางการว่าค่าประมาณv หรือแทนvโดยที่ขนาดของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ถูกจำกัดด้วยค่าบวกε (เช่นε >0) หากความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle |v-v_{\text{ประมาณ}}|\leq \varepsilon }$

โดยที่เครื่องหมายขีดแนวตั้ง | | แสดงถึงค่าสัมบูรณ์ของผลต่างระหว่างค่าจริงvและค่าประมาณv อย่างชัดเจน การดำเนินการทางคณิตศาสตร์นี้แสดงถึงขนาดของข้อผิดพลาด โดยไม่คำนึงว่าค่าประมาณนั้นจะเป็นการประมาณค่าสูงเกินไปหรือต่ำเกินไป

ในทำนองเดียวกัน เรากล่าวว่าv ประมาณค่าvโดยที่ขนาดของข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ถูกจำกัดด้วยค่าบวกη (กล่าวคือη > 0) โดยมีเงื่อนไขว่าvไม่เป็นศูนย์ ( v ≠ 0) หากเงื่อนไขอสมการต่อไปนี้เป็นจริง:

${\displaystyle |v-v_{\text{approx}}|\leq \eta \cdot |v|}$.

นิยามนี้รับประกันว่าηทำหน้าที่เป็นขอบเขตบนของอัตราส่วนของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ต่อขนาดของค่าจริง หากv ≠ 0 ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ ที่แท้จริง ซึ่งมักจะใช้สัญลักษณ์η แทน ในบริบท (โดยแสดงถึงค่าที่คำนวณได้ ไม่ใช่ขอบเขต) จะคำนวณได้อย่างแม่นยำดังนี้:

${\displaystyle \eta ={\frac {|v-v_{\text{approx}}|}{|v|}}=\left|{\frac {v-v_{\text{approx}}}{v}}\right|=\left|1-{\frac {v_{\text{approx}}}{v}}\right|}$.

โปรดสังเกตว่าพจน์แรกในสมการข้างต้นกำหนด `ε` โดยปริยายเป็น `|v-v_approx|` ถ้า `η` คือ `ε/|v|`

เปอร์เซ็นต์ความคลาดเคลื่อนซึ่งมักใช้สัญลักษณ์δเป็นวิธีแสดงความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ที่ใช้กันทั่วไปและเข้าใจง่าย โดยเป็นการแปลงค่าความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ให้เป็นเปอร์เซ็นต์เพื่อให้ตีความและเปรียบเทียบได้ง่ายขึ้นในบริบทต่างๆ

${\displaystyle \delta =100\%\times \eta =100\%\times \left|{\frac {v-v_{\text{approx}}}{v}}\right|.}$

ขอบเขตข้อผิดพลาดจะกำหนดขีดจำกัดบนที่กำหนดไว้อย่างเข้มงวดสำหรับขนาดสัมพัทธ์หรือขนาดสัมบูรณ์ของข้อผิดพลาดในการประมาณค่า ขอบเขตดังกล่าวจึงให้การรับประกันอย่างเป็นทางการเกี่ยวกับความเบี่ยงเบนสูงสุดที่เป็นไปได้ของการประมาณค่าจากค่าจริง ซึ่งมีความสำคัญอย่างยิ่งในการใช้งานที่ต้องการระดับความแม่นยำที่ทราบ^{[ 3 ]}

เพื่ออธิบายแนวคิดเหล่านี้ด้วยตัวอย่างเชิงตัวเลข ลองพิจารณากรณีที่ค่าที่ยอมรับได้ถูกต้องคือ 50 และค่าประมาณที่สอดคล้องกันคือ 49.9 ในสถานการณ์นี้ ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์คือ 0.1 (คำนวณจาก |50 − 49.9|) และข้อผิดพลาดสัมพัทธ์คำนวณจากข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ 0.1 หารด้วยค่าจริง 50 ซึ่งเท่ากับ 0.002 ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์นี้สามารถแสดงได้เป็น 0.2% ในสถานการณ์ที่ใช้งานได้จริงมากขึ้น เช่น เมื่อวัดปริมาตรของเหลวในบี กเกอร์ขนาด 6 มล. หากเครื่องมืออ่านค่าได้ 5  มล. ในขณะที่ปริมาตรจริงคือ 6  มล. ข้อผิดพลาดเป็นเปอร์เซ็นต์สำหรับสถานการณ์การวัดนี้ เมื่อปัดเศษเป็นทศนิยมหนึ่งตำแหน่ง จะอยู่ที่ประมาณ 16.7% (คำนวณจาก |(6  มล. − 5  มล.) / 6  มล.| × 100%)

ประโยชน์ของความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์จะเห็นได้ชัดเจนเป็นพิเศษเมื่อนำไปใช้เปรียบเทียบคุณภาพของการประมาณค่าตัวเลขที่มีขนาดแตกต่างกันอย่างมาก ตัวอย่างเช่น การประมาณค่าตัวเลข 1,000 ด้วยความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ 3 จะได้ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ 0.003 (หรือ 0.3%) ซึ่งในบริบทของการใช้งานทางวิทยาศาสตร์หรือวิศวกรรมส่วนใหญ่ ถือว่าเป็นการประมาณค่าที่แม่นยำน้อยกว่าการประมาณค่าตัวเลขที่ใหญ่กว่ามากอย่าง 1,000,000 ด้วยความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์เท่ากันที่ 3 ในกรณีหลัง ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์มีเพียง 0.000003 (หรือ 0.0003%) ในกรณีแรก ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์คือ 0.003 ในขณะที่ในกรณีที่สอง ซึ่งเป็นสถานการณ์ที่ดีกว่า ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์มีค่าต่ำกว่ามากเพียง 0.000003 การเปรียบเทียบนี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ให้การประเมินความแม่นยำที่เหมาะสมและมีความหมายมากกว่า โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อต้องจัดการกับค่าที่มีขนาดแตกต่างกันอย่างมาก

มีคุณสมบัติสำคัญสองประการหรือข้อควรระวังที่เกี่ยวข้องกับการตีความและการประยุกต์ใช้ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ที่ควรคำนึงถึงเสมอ ประการแรก ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์จะไม่สามารถหาค่าได้ทางคณิตศาสตร์เมื่อใดก็ตามที่ค่าจริง ( v ) เป็นศูนย์ เนื่องจากค่าจริงนี้ปรากฏอยู่ในตัวส่วนของการคำนวณ (ดังที่ได้อธิบายไว้ในคำจำกัดความอย่างเป็นทางการข้างต้น) และการหารด้วยศูนย์เป็นการดำเนินการที่ไม่สามารถหาค่าได้ ประการที่สอง แนวคิดของความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์จะมีความหมายและสามารถตีความได้อย่างสม่ำเสมอที่สุดก็ต่อเมื่อการวัดที่พิจารณาอยู่นั้นดำเนินการบนมาตราส่วนอัตราส่วนมาตราส่วนประเภทนี้มีลักษณะเฉพาะคือมีจุดศูนย์ที่แท้จริงและไม่เป็นไปตามอำเภอใจ ซึ่งหมายถึงการไม่มีอยู่ของปริมาณที่กำลังวัดอย่างสมบูรณ์ หากไม่เป็นไปตามเงื่อนไขของมาตราส่วนอัตราส่วนนี้ (เช่น เมื่อใช้มาตราส่วนช่วง เช่น อุณหภูมิเซลเซียส) ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ที่คำนวณได้อาจมีความไวต่อการเลือกหน่วยวัดสูง ซึ่งอาจนำไปสู่การตีความที่ผิดพลาดได้ ตัวอย่างเช่น เมื่อความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ใน การวัด อุณหภูมิในหน่วยเซลเซียสคือ 1  °C และค่าจริงคือ 2  °C ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์คือ 0.5 (หรือ 50% คำนวณจาก |1  °C / 2  °C|) อย่างไรก็ตาม หากใช้หน่วยเคลวิน (ซึ่งเป็นหน่วยวัดอัตราส่วนที่ 0  K แทนศูนย์สัมบูรณ์) ในการประมาณค่าแบบเดียวกันนี้ ซึ่งแสดงถึงความแตกต่างของอุณหภูมิทางกายภาพเดียวกัน  ความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ 1 K (เทียบเท่ากับความ คลาดเคลื่อน 1 °C) กับค่าจริงเดียวกันที่ 275.15  K (ซึ่งเทียบเท่ากับ 2  °C) จะให้ความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ที่แตกต่างกันอย่างมาก ประมาณ 0.00363 หรือประมาณ 3.63 × 10⁻⁶⁻³ (คำนวณจาก |1 K / 275.15 K|) ความแตกต่างนี้เน้นย้ำถึงความสำคัญของมาตราส่วนการวัดพื้นฐาน

เมื่อเปรียบเทียบพฤติกรรมและลักษณะเฉพาะของข้อผิดพลาดพื้นฐานสองประเภทนี้ สิ่งสำคัญคือต้องตระหนักถึงความไวที่แตกต่างกันต่อการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ทั่วไป โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ข้อความและข้อสรุปที่เกี่ยวกับข้อผิดพลาดสัมพัทธ์นั้นมีความไวต่อการเพิ่มค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์เข้าไปในค่าจริงและค่าประมาณพื้นฐานอย่างเห็นได้ชัด เนื่องจากการเพิ่มดังกล่าวจะเปลี่ยนค่าฐานที่ใช้ในการเปรียบเทียบข้อผิดพลาด ทำให้สัดส่วนเปลี่ยนแปลงไป อย่างไรก็ตาม ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์จะไม่ได้รับผลกระทบจากการคูณทั้งค่าจริงและค่าประมาณด้วยค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์เดียวกัน เนื่องจากค่าคงที่นี้จะปรากฏทั้งในตัวเศษ (ของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์) และตัวส่วน (ค่าจริง) ของการคำนวณข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ และจะหักล้างกันไป ทำให้ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ไม่เปลี่ยนแปลง ในทางกลับกัน สำหรับข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ความสัมพันธ์ตรงกันข้ามจะเป็นจริง: ข้อผิดพลาดสัมบูรณ์มีความไวโดยตรงต่อการคูณค่าพื้นฐานด้วยค่าคงที่ (เนื่องจากสิ่งนี้ปรับขนาดของความแตกต่างเอง) แต่โดยส่วนใหญ่จะไม่ไวต่อการเพิ่มค่าคงที่ให้กับค่าเหล่านี้ (เนื่องจากการเพิ่มค่าคงที่เดียวกันให้กับทั้งค่าจริงและค่าประมาณจะไม่เปลี่ยนแปลงความแตกต่างระหว่างกัน: ( v +c) − ( v +c) = v − v ) ^{[ 4 ] : 34}

ในขอบเขตของทฤษฎีความซับซ้อนของการคำนวณเรากำหนดว่าค่าจริงvสามารถคำนวณได้แบบพหุนามโดยมีข้อผิดพลาดสัมบูรณ์จากข้อมูลป้อนเข้าที่กำหนด หากสำหรับจำนวนตรรกยะε > 0 ใดๆ ที่ระบุ ซึ่งแสดงถึงข้อผิดพลาดสัมบูรณ์สูงสุดที่อนุญาตได้นั้น เป็นไปได้ในเชิงอัลกอริทึมที่จะคำนวณจำนวนตรรกยะv โดยที่v ประมาณ ค่า vด้วยข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ไม่เกินε (ในเชิงรูปธรรมคือ | v − v | ≤ ε ) ที่สำคัญ การคำนวณนี้จะต้องทำได้ภายในระยะเวลาที่เป็นพหุนามเมื่อเทียบกับขนาดของข้อมูลป้อนเข้าและขนาดการเข้ารหัสของε (โดยทั่วไปแล้วขนาดการเข้ารหัสจะมีขนาดประมาณ O(log(1/ ε )) บิต ซึ่งสะท้อนถึงจำนวนบิตที่จำเป็นในการแสดงความแม่นยำ) ในทำนองเดียวกัน ค่าvถือว่าสามารถคำนวณได้แบบพหุนามโดยมีข้อผิดพลาดสัมพัทธ์หากสำหรับจำนวนตรรกยะที่กำหนดη > 0 ซึ่งแสดงถึงข้อผิดพลาดสัมพัทธ์สูงสุดที่อนุญาตได้นั้น สามารถคำนวณจำนวนตรรกยะv ที่ประมาณ ค่า vโดยมีข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ไม่เกินη (ในทางทฤษฎีคือ |( v − v )/ v | ≤ ηโดยสมมติว่าv ≠ 0) การคำนวณนี้ เช่นเดียวกับกรณีข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ จะต้องสามารถทำได้ในระยะเวลาที่เป็นพหุนามตามขนาดของข้อมูลอินพุตและขนาดการเข้ารหัสของη (ซึ่งโดยทั่วไปคือ O(log(1/ η )) บิต)

สามารถพิสูจน์ได้ว่า ถ้าค่าvสามารถคำนวณได้ด้วยพหุนามโดยมีข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ (โดยใช้อัลกอริทึมที่เราสามารถกำหนดให้เป็น REL) แล้ว ค่า v นั้นก็จะสามารถคำนวณได้ด้วยพหุนามโดยมีข้อผิดพลาดสัมบูรณ์เช่นกันโครงร่างการพิสูจน์ : ให้ε > 0 เป็นค่าข้อผิดพลาดสัมบูรณ์สูงสุดเป้าหมายที่เราต้องการบรรลุ ขั้นตอนเริ่มต้นด้วยการเรียกใช้อัลกอริทึม REL โดยเลือกขอบเขตข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ เช่นη = 1/2 ขั้นตอนนี้มีเป้าหมายเพื่อหา ค่า ประมาณจำนวนตรรกยะr ที่ทำให้ความไม่เท่าเทียมกัน | v − r | ≤ | v |/2 เป็นจริง จากความสัมพันธ์นี้ โดยการใช้ความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมผกผัน (| v | − | r | ≤ | v − r |) เราสามารถสรุปได้ว่า | v | ≤ 2| r | (เงื่อนไขนี้เป็นจริงเมื่อr ≠ 0; ถ้าr = 0 เงื่อนไขความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์จะบ่งชี้ว่าvต้องเป็น 0 ด้วย ซึ่งในกรณีนี้ปัญหาของการบรรลุความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์ใดๆε > 0 นั้นเป็นเรื่องง่าย เนื่องจากv = 0 ใช้ได้ และเราก็เสร็จสิ้น) เนื่องจากอัลกอริทึม REL ทำงานในเวลาพหุนาม ความยาวของการเข้ารหัสของr ที่คำนวณได้ จึงจำเป็นต้องเป็นพหุนามเมื่อเทียบกับขนาดของอินพุต จากนั้น อัลกอริทึม REL จะถูกเรียกใช้เป็นครั้งที่สอง โดยครั้งนี้มีเป้าหมายความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ใหม่ ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะเล็กกว่ามาก ตั้งค่าเป็นη ' = ε / (2| r |) (ขั้นตอนนี้ยังถือว่าr ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งเราสามารถตรวจสอบหรือจัดการเป็นกรณีพิเศษได้) การประยุกต์ใช้ REL ครั้งที่สองนี้จะให้ค่าประมาณจำนวนตรรกยะอีกค่าหนึ่งr ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข | v − r | ≤ η ' | v | เมื่อ แทนค่านิพจน์สำหรับη 'จะได้ | v − r | ≤ ( ε / (2| r |)) | v | จากนั้น โดยใช้ความไม่เท่าเทียมกันที่ได้มาจากก่อนหน้านี้ | v | ≤ 2| r | เราสามารถกำหนดขอบเขตของเทอมได้ดังนี้: | v − r | ≤ ( ε / (2| r |)) × (2| r |) = εดังนั้น การประมาณค่าr vได้สำเร็จด้วยข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ε ที่ต้องการ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าความสามารถในการคำนวณพหุนามที่มีข้อผิดพลาดสัมพัทธ์หมายถึงความสามารถในการคำนวณพหุนามที่มีข้อผิดพลาดสัมบูรณ์^{[ 4 ] : 34}

โดยทั่วไปแล้ว ข้อสรุปในทางกลับกันที่ว่า การคำนวณพหุนามที่มีข้อผิดพลาดสัมบูรณ์จะหมายถึงการคำนวณพหุนามที่มีข้อผิดพลาดสัมพัทธ์นั้น ไม่เป็นความจริงหากไม่มีการกำหนดเงื่อนไขหรือข้อสมมติเพิ่มเติม อย่างไรก็ตาม มีกรณีพิเศษที่สำคัญอยู่: หากเราสามารถสมมติได้ว่าขอบเขตล่างบวกb บางอย่าง ของขนาดของv (เช่น | v | > b > 0) สามารถคำนวณได้ในเวลาพหุนาม และหากทราบว่าv สามารถคำนวณได้ในเวลาพหุนามที่มีข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ (อาจผ่านอัลกอริทึมที่เรียกว่า ABS) แล้ว vก็จะสามารถคำนวณได้ในเวลาพหุนามที่มีข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ด้วยเช่นกัน เนื่องจากเราสามารถเรียกใช้อัลกอริทึม ABS ได้ง่ายๆ ด้วยข้อผิดพลาดสัมบูรณ์เป้าหมายที่เลือกอย่างระมัดระวัง โดยเฉพาะε = ηbโดยที่ηคือข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ที่ต้องการ ค่าประมาณ v ที่ได้ จะสอดคล้องกับ | v − v | ≤ ηbเพื่อดูข้อสรุปสำหรับข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ เราหารด้วย | v | (ซึ่งไม่ใช่ศูนย์): |( v − v )/ v | ≤ ( ηb )/| v |. เนื่องจากเรามีเงื่อนไข | v | > bดังนั้นb /| v | < 1 ด้วยเหตุนี้ ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์จึงถูกจำกัดด้วยη × ( b /| v |) < η × 1 = ηซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่ต้องการสำหรับการคำนวณพหุนามที่มีข้อผิดพลาดสัมพัทธ์

อัลกอริทึมที่ สามารถคำนวณจำนวนตรรกยะv ได้สำเร็จ สำหรับทุกจำนวนตรรกยะη > 0 โดยที่v approx มีความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ไม่เกินηและที่สำคัญคือ ใช้เวลาในการคำนวณที่เป็นพหุนามทั้งในขนาดของข้อมูลป้อนเข้าและในส่วนกลับของความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ 1/ η (แทนที่จะเป็นพหุนามเพียงแค่ log(1/ η ) ซึ่งโดยทั่วไปจะช่วยให้การคำนวณเร็วขึ้นเมื่อηมีค่าน้อยมาก) เรียกว่าFully Polynomial-Time Approximation Scheme (FPTAS)การพึ่งพา 1/ ηแทนที่จะเป็น log(1/ η ) เป็นลักษณะเฉพาะของ FPTAS และทำให้แตกต่างจากวิธีการประมาณค่าที่อ่อนกว่า

ในบริบทของเครื่องมือวัดแบบแสดงผลส่วนใหญ่ เช่น โวลต์มิเตอร์แบบอนาล็อกหรือดิจิทัล เกจวัดความดัน และเทอร์โมมิเตอร์ ความแม่นยำที่ระบุมักจะได้รับการรับประกันโดยผู้ผลิตเป็นเปอร์เซ็นต์ที่แน่นอนของความสามารถในการอ่านค่าเต็มสเกลของเครื่องมือ มากกว่าที่จะเป็นเปอร์เซ็นต์ของค่าที่อ่านได้จริง ขอบเขตหรือขีดจำกัดที่กำหนดไว้ของค่าเบี่ยงเบนที่อนุญาตจากค่าจริงหรือค่าที่ระบุภายใต้สภาวะการทำงาน มักจะเรียกว่าข้อผิดพลาดที่จำกัด หรือเรียกอีกอย่างว่าข้อผิดพลาดที่รับประกัน วิธีการระบุความแม่นยำนี้หมายความว่าข้อผิดพลาดสัมบูรณ์สูงสุดที่เป็นไปได้อาจมีขนาดใหญ่ขึ้นเมื่อวัดค่าไปทางปลายสเกลที่สูงขึ้นของเครื่องมือ ในขณะที่ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์เมื่อเทียบกับค่าเต็มสเกลยังคงคงที่ตลอดช่วง ดังนั้น ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์เมื่อเทียบกับค่าที่วัดได้จริงอาจมีขนาดใหญ่มากสำหรับการอ่านค่าที่ปลายสเกลต่ำของเครื่องมือ^{[ 5 ]}

นิยามพื้นฐานของความคลาดเคลื่อนสัมบูรณ์และความคลาดเคลื่อนสัมพัทธ์ ซึ่งนำเสนอไว้สำหรับค่าสเกลาร์ (มิติเดียว) เป็นหลัก สามารถขยายไปสู่สถานการณ์ที่ซับซ้อนกว่าได้อย่างเป็นธรรมชาติและเข้มงวด โดยที่ปริมาณที่สนใจเป็นตัวแปรหลายมิติ${\displaystyle v}$และการประมาณค่าที่สอดคล้องกัน${\displaystyle v_{\text{approx}}}$เวกเตอร์เมทริกซ์ หรือโดยทั่วไปแล้ว องค์ประกอบของปริภูมิเวกเตอร์ที่มี นอร์ม n มิติ การวางนัยทั่วไปที่สำคัญนี้มักทำได้โดยการแทนที่ ฟังก์ชัน ค่าสัมบูรณ์ (ซึ่งวัดขนาดหรือ "ความใหญ่" สำหรับจำนวนสเกลาร์) ด้วยนอร์มเวกเตอร์nมิติหรือนอร์มเมทริกซ์ ที่เหมาะสม ตัวอย่างทั่วไปของนอร์มดังกล่าว ได้แก่ นอร์ม L₁ ผลรวมของค่าสัมบูรณ์ของส่วนประกอบ) นอร์ม L₂ นอร์มยุคลิด หรือรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของส่วนประกอบ) และนอร์ม L∞ ค่าสัมบูรณ์สูงสุดของส่วนประกอบ) นอร์มเหล่านี้เป็นวิธีในการวัด "ระยะห่าง" หรือ "ความแตกต่าง" ระหว่างเวกเตอร์ (หรือเมทริกซ์) ที่แท้จริงกับการประมาณค่าในปริภูมิหลายมิติ จึงทำให้สามารถกำหนดนิยามที่คล้ายคลึงกันของข้อผิดพลาดสัมบูรณ์และสัมพัทธ์ในบริบทมิติสูงเหล่านี้ได้^{[ 6 ]}ตัวอย่างเช่น เมื่อจัดการกับการประมวลผลภาพซึ่งภาพมักจะถูกแสดงเป็นเมทริกซ์นอร์ม Frobeniusมักใช้เพื่อวัดความแตกต่างโดยรวมระหว่างภาพต้นฉบับกับเวอร์ชันที่ถูกบีบอัดหรือสร้างใหม่ ในการสร้างแบบจำลองทางสถิติด้วยข้อมูลเวกเตอร์ นอร์มนี้เป็นตัวเลือกที่นิยมใช้ในการประเมินประสิทธิภาพของแบบจำลองเนื่องจากคุณสมบัติเชิงวิเคราะห์

• ค่าที่ยอมรับและค่าทดลอง
• หมายเลขเงื่อนไข
• ข้อผิดพลาดและค่าตกค้างในทางสถิติ
• การวิเคราะห์ความไม่แน่นอนของการทดลอง
• เครื่องเอปซิลอน
• ข้อผิดพลาดในการวัด
• ความไม่แน่นอนในการวัด
• การแพร่กระจายของความไม่แน่นอน
• ข้อผิดพลาดในการกำหนดปริมาณ
• ความแตกต่างเชิงสัมพัทธ์
• ข้อผิดพลาดจากการปัดเศษ
• ความไม่แน่นอน

• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "ข้อผิดพลาดเปอร์เซ็นต์" . แมทเวิลด์ .