ในปรัชญาคณิตศาสตร์นามธรรมของอนันต์ที่แท้จริงหรือที่เรียกว่าอนันต์^ที่สมบูรณ์ [ ^{1 ]}เกี่ยวข้องกับ เอน ทิตีอนันต์ในฐานะวัตถุที่กำหนด เป็นจริง และสมบูรณ์ อนันต์ที่แท้จริงจะแตกต่างจากอนันต์ศักยภาพซึ่งกระบวนการที่ไม่มีที่สิ้นสุด (เช่น "บวก 1 กับจำนวนก่อนหน้า") จะสร้างลำดับที่ไม่มีองค์ประกอบสุดท้าย และผลลัพธ์แต่ละรายการจะจำกัดและบรรลุได้ในจำนวนขั้นตอนที่จำกัด กระบวนการประเภทนี้เกิดขึ้นในคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น ในการกำหนดรูปแบบมาตรฐานของแนวคิดของการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์อนุกรมอนันต์ ผล คูณอนันต์และลิมิต^{[ 2 ]}

แนวคิดเรื่องอนันต์ที่แท้จริงถูกนำเสนอเข้าสู่คณิตศาสตร์ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 โดยเกออร์ก แคนเตอร์ด้วยทฤษฎีเซตอนันต์ ของเขา และต่อมาได้ถูกทำให้เป็นทางการในทฤษฎีเซตของเซอร์เมโล-แฟรงเคิลทฤษฎีนี้ซึ่งปัจจุบันได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางว่าเป็นรากฐานของคณิตศาสตร์ ประกอบด้วยสัจพจน์ของอนันต์ซึ่งหมายความว่าจำนวนธรรมชาติประกอบกันเป็นเซต (ซึ่งจำเป็นต้องมีจำนวนอนันต์) การค้นพบที่ยิ่งใหญ่ของแคนเตอร์คือ หากเรายอมรับเซตอนันต์แล้ว จะมีขนาด ( จำนวนสมาชิก ) ของเซตอนันต์ที่แตกต่างกัน และโดยเฉพาะอย่างยิ่งจำนวนสมาชิกของจำนวนจริงนั้นมากกว่าจำนวนสมาชิกของจำนวนธรรมชาติอย่างชัดเจน

คำศัพท์ภาษากรีกโบราณสำหรับอนันต์ที่มีศักยภาพหรือไม่เหมาะสมคือapeiron (ไม่จำกัดหรือไม่แน่นอน) ซึ่งตรงข้ามกับอนันต์ที่แท้จริงหรือเหมาะสมคือaphorismenon ^{[ 3 ]} Apeironตรงข้ามกับสิ่งที่มีperas (ขีดจำกัด) แนวคิดเหล่านี้ในปัจจุบันถูกแสดงด้วยคำว่าอนันต์ที่มีศักยภาพและอนันต์ที่แท้จริงตามลำดับ

อนาซิมานเดอร์ (610–546  ปีก่อนคริสตกาล) เชื่อว่าอะพีรอนเป็นหลักการหรือองค์ประกอบหลักที่ประกอบขึ้นเป็นสรรพสิ่ง เห็นได้ชัดว่า 'อะพีรอน' คือสารพื้นฐานบางชนิด แนวคิดเรื่อง อะพีรอนของเพลโตนั้นมีความเป็นนามธรรมมากกว่า เกี่ยวข้องกับความแปรปรวนที่ไม่แน่นอน บทสนทนาหลักที่เพลโตกล่าวถึง 'อะพีรอน' คือบทสนทนาในช่วงปลายของเขา ได้แก่ปาร์เมนิดส์และฟิเลบัส

อริสโตเติลสรุปทัศนะของนักปรัชญารุ่นก่อนๆ เกี่ยวกับอนันต์ไว้ดังนี้:

“มีเพียงชาวพีทาโกเรียน เท่านั้น ที่จัดวางอนันต์ไว้ท่ามกลางวัตถุแห่งประสาทสัมผัส (พวกเขาไม่ถือว่าจำนวนแยกออกจากสิ่งเหล่านี้ได้) และยืนยันว่าสิ่งที่อยู่นอกสวรรค์เป็นอนันต์ ในทางกลับกัน เพลโตถือว่าไม่มีวัตถุใดอยู่นอกเหนือ (รูปแบบต่างๆ ไม่ได้อยู่นอกเหนือเพราะมันไม่มีอยู่จริง) แต่อนันต์นั้นปรากฏอยู่ไม่เพียงแต่ในวัตถุแห่งประสาทสัมผัสเท่านั้น แต่ยังอยู่ในรูปแบบต่างๆ ด้วย” (อริสโตเติล) ^{[ 4 ]}

แนวคิดนี้ถูกนำเสนอขึ้นโดยอริสโตเติลเมื่อพิจารณาถึงอะเพรอนในบริบทของคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ (การศึกษาธรรมชาติ):

“ปรากฏว่าอนันต์เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับสิ่งที่ผู้คนพูดกัน มันไม่ใช่ ‘สิ่งที่ไม่มีอะไรนอกเหนือจากตัวมันเอง’ ที่เป็นอนันต์ แต่เป็น ‘สิ่งที่มีบางสิ่งบางอย่างนอกเหนือจากตัวมันเองอยู่เสมอ’” (อริสโตเติล) ^{[ 5 ]}

ความเชื่อในการมีอยู่ของอนันต์นั้นมาจากการพิจารณาหลักๆ 5 ประการ: ^{[ 6 ]}

1. เนื่องจากธรรมชาติของเวลานั้นไม่มีที่สิ้นสุด
2. จากการหารขนาด – เพราะนักคณิตศาสตร์ก็ใช้แนวคิดเรื่องอนันต์เช่นกัน
3. หากการเกิดขึ้นและการดับสูญไม่ก่อให้เกิดสิ่งใด ก็เป็นเพราะสิ่งที่ก่อกำเนิดสิ่งต่างๆ นั้นเป็นอนันต์
4. เพราะสิ่งที่มีขีดจำกัดย่อมพบขีดจำกัดของมันในสิ่งอื่นเสมอ ดังนั้นจึงต้องไม่มีขีดจำกัด หากทุกสิ่งทุกอย่างล้วนถูกจำกัดด้วยสิ่งอื่นที่แตกต่างจากตัวมันเองอยู่เสมอ
5. เหนือสิ่งอื่นใด เหตุผลที่เหมาะสมเป็นพิเศษและแสดงให้เห็นถึงความยากลำบากที่ทุกคนรู้สึกได้ คือ ไม่เพียงแต่ตัวเลขเท่านั้น แต่รวมถึงขนาดทางคณิตศาสตร์และสิ่งที่อยู่นอกเหนือขอบเขตของสวรรค์นั้นก็ถือว่าไม่มีที่สิ้นสุด เพราะมันไม่เคยหมดไปในความคิดของเรา (อริสโตเติล)

อริสโตเติลตั้งสมมติฐานว่าอนันต์ที่แท้จริงเป็นไปไม่ได้ เพราะหากเป็นไปได้ สิ่งนั้นจะต้องมีขนาดอนันต์ และจะมีขนาดใหญ่กว่าสวรรค์ อย่างไรก็ตาม เขากล่าวว่าคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับอนันต์ไม่ได้ถูกตัดทอนความสามารถในการใช้งานเนื่องจากความเป็นไปไม่ได้นี้ เพราะนักคณิตศาสตร์ไม่จำเป็นต้องใช้อนันต์สำหรับทฤษฎีบทของพวกเขา เพียงแค่ขนาดที่จำกัดและใหญ่ตามอำเภอใจก็พอแล้ว^{[ 7 ]}

นักปรัชญาส่วนใหญ่ ในยุคนั้น ยึดมั่นในคติพจน์Infinitum actu non daturซึ่งหมายความว่า มีเพียงอนันต์ที่เป็นไปได้ (ที่กำลังพัฒนา ไม่เหมาะสม "แบบซิงเคโทเรมาติก") แต่ไม่มี อนันต์ที่แท้จริง (ที่คงที่ เหมาะสม "แบบเคโทเรมาติก") อย่างไรก็ตาม ก็มีข้อยกเว้น เช่น ในประเทศอังกฤษ

เป็นที่ทราบกันดีว่าในยุคกลาง นักปรัชญาสกอลัสติกทุกคนสนับสนุน "infinitum actu non datur" ของอริสโตเติลในฐานะหลักการที่ไม่อาจโต้แย้งได้ ( G. Cantor ) ^{[ 9 ]}

อนันต์ที่แท้จริงมีอยู่จริงในจำนวน เวลา และปริมาณ (J. Baconthorpe [9, หน้า 96])

ในช่วงยุคเรเนสซองส์และช่วงต้นยุคสมัยใหม่ เสียงสนับสนุนแนวคิดเรื่องอนันต์ที่แท้จริงนั้นค่อนข้างหายาก

แท้จริงแล้วความต่อเนื่องประกอบด้วยสิ่งที่ไม่สามารถแบ่งแยกได้จำนวนอนันต์ ( G. Galilei [9, หน้า 97])

ฉันเห็นด้วยอย่างยิ่งกับความเป็นอนันต์ที่แท้จริง ( GW Leibniz [9, หน้า 97])

อย่างไรก็ตาม นักคิดส่วนใหญ่ในยุคก่อนสมัยใหม่เห็นพ้องกับคำกล่าวอันโด่งดังของเกาส์ที่ว่า:

ฉันคัดค้านการใช้ขนาดอนันต์เป็นสิ่งที่สมบูรณ์ ซึ่งไม่ได้รับอนุญาตในทางคณิตศาสตร์ อนันต์เป็นเพียงวิธีการพูดเท่านั้น ความหมายที่แท้จริงคือขีดจำกัดที่อัตราส่วนบางอย่างเข้าใกล้อย่างไม่มีที่สิ้นสุด ในขณะที่อัตราส่วนอื่นๆ ได้รับอนุญาตให้เพิ่มขึ้นโดยไม่มีข้อจำกัด^{[ 10 ]} ( CF Gauss [ในจดหมายถึงSchumacher , 12 กรกฎาคม 1831])

ปัจจุบันเป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปในวิชาคณิตศาสตร์แล้วว่าค่าอนันต์ที่แท้จริงมีอยู่จริง การเปลี่ยนแปลงครั้งสำคัญนี้เริ่มต้นโดยโบลซาโนและแคนเตอร์ในศตวรรษที่ 19 และเป็นหนึ่งในต้นกำเนิดของวิกฤตการณ์พื้นฐานของคณิตศาสตร์

เบอร์นาร์ด โบลซาโนผู้ซึ่งนำเสนอแนวคิดเรื่องเซต (ในภาษาเยอรมัน: Menge ) และเกออร์ก แคนเตอร์ ผู้ซึ่งนำเสนอทฤษฎีเซตคัดค้านทัศนคติทั่วไป แคนเตอร์แยกแยะขอบเขตของอนันต์ออกเป็นสามส่วน: (1) อนันต์ของพระเจ้า (ซึ่งเขาเรียกว่า "absolutum") (2) อนันต์ของความเป็นจริง (ซึ่งเขาเรียกว่า "nature") และ (3) จำนวนและเซตอนันต์ของคณิตศาสตร์

ข้าพเจ้าจะเรียกมวลสารที่ใหญ่กว่ามวลสารจำกัดใดๆ ว่ามวลสารที่มีคุณสมบัติว่าเซตจำกัดทุกเซต [ของสมาชิกประเภทที่กล่าวถึง] เป็นเพียงส่วนหนึ่งของมวลสารนั้น ว่าคือมวลสารอนันต์ (บี. โบลซาโน [2, หน้า 6])

ดังนั้น ข้าพเจ้าจึงแยกแยะความอนันต์นิรันดร์หรือสัมบูรณ์ที่ไม่ถูกสร้างขึ้น ซึ่งเป็นผลมาจากพระเจ้าและคุณลักษณะของพระองค์ และความอนันต์ที่ถูกสร้างขึ้นหรือทรานส์ฟินิตัม ซึ่งจะต้องใช้ในทุกที่ในธรรมชาติที่ถูกสร้างขึ้นซึ่งจะต้องสังเกตเห็นความอนันต์ที่แท้จริง ตัวอย่างเช่น ในส่วนที่เกี่ยวกับจำนวนบุคคลที่ถูกสร้างขึ้นซึ่งมีจำนวนอนันต์อย่างแท้จริง ตามความเชื่อมั่นอันแน่วแน่ของข้าพเจ้า ในจักรวาล เช่นเดียวกับบนโลกของเรา และเป็นไปได้มากที่สุด แม้แต่ในห้วงอวกาศที่ขยายออกไปเล็กๆ ทุกห้วง (Georg Cantor) ^{[ 11 ]} (G. Cantor [8, p.  252])

ตัวเลขเหล่านี้เป็นสิ่งที่จิตใจมนุษย์สร้างขึ้นอย่างอิสระ ( R. Dedekind [3a, หน้า III])

หลักฐานข้อหนึ่งนั้นอิงอยู่กับแนวคิดเรื่องพระเจ้า ประการแรก จากความสมบูรณ์สูงสุดของพระเจ้า เราอนุมานถึงความเป็นไปได้ของการสร้างสิ่งที่เป็นอนันต์ จากนั้น จากพระคุณและรัศมีอันรุ่งโรจน์ของพระองค์ เราอนุมานถึงความจำเป็นที่การสร้างสิ่งที่เป็นอนันต์ได้เกิดขึ้นจริง (G. Cantor [3, หน้า 400])

แคนเตอร์ได้แยกแยะอนันต์ที่แท้จริงออกเป็นสองประเภท คือ อนันต์เหนือขอบเขต และอนันต์สัมบูรณ์ ซึ่งเขายืนยันว่า:

แนวคิดเหล่านี้จะต้องมีความแตกต่างอย่างเคร่งครัด ตราบเท่าที่แนวคิดแรกนั้นแน่นอนว่าไม่มีที่สิ้นสุดแต่สามารถเพิ่มได้ในขณะที่แนวคิดหลังไม่สามารถเพิ่มขึ้นได้ดังนั้นจึงไม่สามารถกำหนดได้ว่าเป็นแนวคิดทางคณิตศาสตร์ ข้อผิดพลาดนี้เราพบ เช่น ในลัทธิแพนเทวนิยม (G. Cantor, Über verschiedene Standpunkte ใน bezug auf das aktuelle Unendliche , ในGesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts , หน้า 375, 378) ^{[ 12 ]}

ในทางคณิตศาสตร์ ปัจจุบันยอมรับกันโดยทั่วไปแล้วว่าอนันต์ที่แท้จริงนั้นหมายถึง " เซตอนันต์ " ที่จริงแล้วทฤษฎีเซตได้รับการวางรูปแบบอย่างเป็นทางการแล้ว เช่นทฤษฎีเซตของเซอร์เมโล-แฟรงเคิล (ZF) หนึ่งในสัจพจน์ของ ZF คือสัจพจน์ของอนันต์ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วกล่าวว่าจำนวนธรรมชาติประกอบกันเป็นเซต

คณิตศาสตร์ทั้งหมดได้รับการเขียนใหม่โดยใช้ ZF (Zero Field) โดยเฉพาะอย่างยิ่งเส้นตรงเส้นโค้ง และ ปริภูมิทุกชนิดมักถูกนิยามว่าเป็นเซตของจุดต่างๆ เซตอนันต์นั้นพบได้บ่อยมาก จนเมื่อพิจารณาเซตจำกัด มักจะมีการระบุไว้อย่างชัดเจน เช่น ในเรขาคณิตจำกัดหรือฟิลด์จำกัด

ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์เป็นทฤษฎีบทที่กล่าวไว้ในแง่ของเลขคณิตพื้นฐานซึ่งได้รับการพิสูจน์ในอีกกว่า 350 ปีต่อมาการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์โดยไวลส์ ในฉบับดั้งเดิม นั้น ไม่เพียงแต่ใช้พลังทั้งหมดของ ZF ร่วมกับสัจพจน์ของการเลือกเท่านั้น แต่ยังใช้สัจพจน์เพิ่มเติมโดยปริยายซึ่งบ่งชี้ถึงการมีอยู่ของเซตขนาดใหญ่มาก ข้อกำหนดของสัจพจน์เพิ่มเติมนี้ถูกยกเลิกในภายหลัง แต่เซตอนันต์ยังคงถูกนำมาใช้ในลักษณะพื้นฐาน ซึ่งไม่ได้เป็นอุปสรรคต่อการยอมรับความถูกต้องของการพิสูจน์โดยชุมชนนักคณิตศาสตร์

งานวิจัยล่าสุดบางส่วนเกี่ยวกับค่าอนันต์ที่เป็นไปได้ใช้grossoneซึ่งสามารถแทนค่า "ทั้งหมด" ของค่าอนันต์ที่เป็นไปได้ และช่วยให้สามารถดำเนินการทางคณิตศาสตร์บางอย่างกับมันได้

ความหมายทางคณิตศาสตร์ของคำว่า "จริง" ในอนันต์ที่แท้จริงนั้นมีความหมายเหมือนกับแน่นอนสมบูรณ์ขยายหรือมีอยู่จริง^{[ 13 ]}แต่ไม่ควรสับสนกับการมีอยู่จริงทางกายภาพคำถามที่ว่า จำนวน ธรรมชาติหรือจำนวนจริง ก่อตัวเป็นเซตที่แน่นอน หรือไม่ จึงเป็นอิสระจากคำถามที่ว่าสิ่งที่เป็นอนันต์มีอยู่จริงทางกายภาพในธรรมชาติหรือไม่

ผู้สนับสนุนลัทธิสัญชาตญาณนิยมตั้งแต่โครเนกเกอร์เป็นต้นมา ปฏิเสธข้ออ้างที่ว่ามีวัตถุหรือเซตทางคณิตศาสตร์ที่เป็นอนันต์อยู่จริง ดังนั้น พวกเขาจึงสร้างรากฐานของคณิตศาสตร์ขึ้นใหม่ในลักษณะที่ไม่ถือว่ามีอนันต์อยู่จริง ในทางกลับกันการวิเคราะห์เชิงสร้างสรรค์ยอมรับการมีอยู่ของอนันต์ที่สมบูรณ์ของจำนวนเต็ม

สำหรับนักสัญชาตญาณ นิยมอนันต์ถูกอธิบายว่าเป็นศักยภาพคำศัพท์ที่มีความหมายเหมือนกันกับแนวคิดนี้คือกำลังเกิดขึ้นหรือสร้างสรรค์^{[ 13 ]}ตัวอย่างเช่นStephen Kleeneอธิบายแนวคิดของ เทป เครื่องจักรทัวริงว่าเป็น "เทปเชิงเส้น (ที่มีศักยภาพ) เป็นอนันต์ในทั้งสองทิศทาง" ^{[ 14 ]}ในการเข้าถึงหน่วยความจำบนเทป เครื่องจักรทัวริงจะเคลื่อนหัวอ่านไปตามเทปเป็นจำนวนขั้นตอนที่จำกัด ดังนั้นเทปจึงเป็นอนันต์ "ที่มีศักยภาพ" เท่านั้น เนื่องจากในขณะที่มีความสามารถในการก้าวไปอีกขั้นเสมอ อนันต์เองก็ไม่เคยไปถึงจริง ๆ^{[ 15 ]}

โดยทั่วไปนักคณิตศาสตร์ยอมรับอนันต์ที่แท้จริง^{[ 16 ]} Georg Cantorเป็นนักคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุดที่ปกป้องอนันต์ที่แท้จริง เขาตัดสินใจว่าเป็นไปได้ที่จำนวนธรรมชาติและจำนวนจริงจะเป็นเซตที่แน่นอน และหากปฏิเสธสัจพจน์ของความจำกัดแบบยุคลิด (ซึ่งระบุว่าความเป็นจริง ทั้งแบบเดี่ยวและแบบรวม จำเป็นต้องมีความจำกัด) ก็จะไม่เกิดความขัดแย้ง ใด ๆ

การตีความเชิงจำกัดแบบดั้งเดิมในปัจจุบันของ จำนวน เชิงอันดับและจำนวนเชิงปริมาณคือ จำนวนเหล่านี้ประกอบด้วยชุดของสัญลักษณ์พิเศษ และภาษาเชิงรูปธรรม ที่เกี่ยวข้อง ซึ่งสามารถใช้ในการสร้างข้อความได้ ข้อความทั้งหมดเหล่านี้จำเป็นต้องมีความยาวจำกัด ความถูกต้องของการดำเนินการขึ้นอยู่กับหลักการพื้นฐานของภาษาเชิงรูปธรรมเท่านั้น เช่นพีชคณิตเทอมการเขียนเทอมใหม่และอื่นๆ ในเชิงนามธรรมมากขึ้น ทั้งทฤษฎีแบบจำลอง (จำกัด) และทฤษฎีการพิสูจน์ต่างก็มีเครื่องมือที่จำเป็นในการทำงานกับอนันต์ เราไม่จำเป็นต้อง "เชื่อ" ในอนันต์เพื่อที่จะเขียนนิพจน์ที่ถูกต้องตามหลักพีชคณิตโดยใช้สัญลักษณ์แทนอนันต์

• ใหญ่ตามอำเภอใจ
• จำนวนสมาชิกของความต่อเนื่อง

• อริสโตเติล , ฟิสิกส์
• เบอร์นาร์ด โบลซาโน , 1851, Paradoxien des Unendlichen , Reclam, ไลพ์ซิก.
• เบอร์นาร์ด โบลซาโน 2380, Wissenschaftslehre , Sulzbach
• Georg Cantorใน E. Zermelo (ed.) 1966, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts , Olms, Hildesheim.
• Richard Dedekindในปี 1960 Sind und is sollen die Zahlen หรือไม่? ,วิวเอ็ก,เบราน์ชไวก์.
• อดอล์ฟ อับราฮัม เฟรนเคิล 2466, ไอน์ไลตุง อิน ดี เมนเกนเลห์เร , สปริงเกอร์, เบอร์ลิน
• Adolf Abraham Fraenkel, Y. Bar-Hillel, A. Levy 1984, Foundations of Set Theory , ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2, North Holland, Amsterdam New York.
• Stephen C. Kleene 1952 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 10 ปี 1971) บทนำสู่เมตาคณิตศาสตร์ สำนักพิมพ์ North-Holland Publishing Company, Amsterdam New York. ISBN 0-444-10088-1.
• H. Meschkowski 1981, Georg Cantor: Leben, Werk und Wirkung (2. Aufl.), BI, Mannheim
• H. Meschkowski, W. Nilson (Hrsg.) 1991, Georg Cantor – Briefe , Springer, เบอร์ลิน
• Abraham Robinson 1979, Selected Papers , Vol. 2, WAJ Luxemburg, S. Koerner (บรรณาธิการ), North Holland, Amsterdam.