ในทางคณิตศาสตร์ขอบเขตเชิงเส้นหรือขอบเขตเชิงเส้นของเซต${\displaystyle S}$ใน ปริภูมิยูคลิด${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$เป็นเซตเชิงเส้น ที่เล็กที่สุด ที่ประกอบด้วย${\displaystyle S}$[ ^{1 ]}หรือเทียบเท่ากับการตัดกัน ของเซตแอฟฟิ ^นทั้งหมดที่มี${\displaystyle S}$ในที่นี้เซตเชิงเส้นตรงอาจถูกนิยามว่าเป็นการเลื่อนตำแหน่งของปริภูมิย่อยเวกเตอร์

เปลือกหุ้มเชิงเส้นของ${\displaystyle S}$คือสิ่งที่${\displaystyle \operatorname {span} S}$จะเป็นเช่นนั้นหากจุดกำเนิดถูกย้ายไปที่${\displaystyle S}$.

เปลือกแอฟฟิน aff(${\displaystyle S}$) ของ${\displaystyle S}$คือเซตของการรวมเชิงเส้น ทั้งหมด ขององค์ประกอบต่างๆ ของ${\displaystyle S}$นั่นคือ

${\displaystyle \operatorname {aff} (S)=\left\{\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}x_{i}\,{\Bigg |}\,k>0,\,x_{i}\in S,\,\alpha _{i}\in \mathbb {R} ,\,\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}=1\right\}.}$

• ขอบเขตเชิงเส้นของเซตว่างคือเซตว่าง
• ขอบเขตเชิงเส้นของเซตที่มีสมาชิกเพียงหนึ่งเดียว (เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกเพียงหนึ่งเดียว) คือตัวเซตที่มีสมาชิกเพียงหนึ่งเดียวนั้นเอง
• เส้นที่ ลากผ่านจุดสองจุดที่แตกต่างกันเรียกว่า "เส้นขอบเชิงเส้น" (affine hull)
• ระนาบที่ ลากผ่านจุดสามจุดที่ไม่เรียงตัวอยู่บนเส้นตรงเดียวกันเรียกว่าระนาบหุ้มเชิงเส้น (affine hull)
• ขอบเขตเชิงเส้นของเซตของจุดสี่จุดที่ไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$คือพื้นที่ทั้งหมด${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

สำหรับเซตย่อยใดๆ${\displaystyle S,T\subseteq X}$

• ${\displaystyle \operatorname {aff} (\operatorname {aff} S)=\operatorname {aff} S\subset \operatorname {span} S=\operatorname {span} \operatorname {aff} S}$.
• ${\displaystyle \operatorname {aff} S}$เป็นเซตปิดถ้า${\displaystyle X}$มีมิติจำกัด
• ${\displaystyle \operatorname {aff} (S+T)=\operatorname {aff} S+\operatorname {aff} T}$.
• ${\displaystyle S\subset \operatorname {aff} S}$.
• ถ้า${\displaystyle 0\in \operatorname {aff} S}$แล้ว${\displaystyle \operatorname {aff} S=\operatorname {span} S}$.
• ถ้า${\displaystyle s_{0}\in \operatorname {aff} S}$แล้ว${\displaystyle \operatorname {aff} (S)-s_{0}=\operatorname {span} (S-s_{0})=\operatorname {span} (SS)}$เป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้นของ${\displaystyle X}$.
• ${\displaystyle \operatorname {aff} (SS)=\operatorname {span} (SS)}$ถ้า${\displaystyle S\neq \varnothing }$.
  • ดังนั้น,${\displaystyle \operatorname {aff} (SS)}$เป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ของเสมอ${\displaystyle X}$ถ้า${\displaystyle S\neq \varnothing }$.
• ถ้า${\displaystyle S}$ถ้าเป็นนูนแล้ว${\displaystyle \operatorname {aff} (SS)=\displaystyle \bigcup _{\lambda >0}\lambda (SS)}$
• สำหรับทุกๆ${\displaystyle s_{0}\in \operatorname {aff} S}$,${\displaystyle \operatorname {aff} S=s_{0}+\operatorname {span} (S-s_{0})=s_{0}+\operatorname {span} (SS)=S+\operatorname {span} (SS)=s_{0}+\operatorname {cone} (SS)}$ที่ไหน${\displaystyle \operatorname {cone} (SS)}$เป็นกรวย ที่เล็กที่สุด ที่บรรจุ${\displaystyle SS}$(ตรงนี้คือชุดหนึ่ง)${\displaystyle C\subseteq X}$เป็นรูปทรงกรวยถ้า${\displaystyle rc\in C}$สำหรับทุกคน${\displaystyle c\in C}$และค่าที่ไม่เป็นลบทั้งหมด${\displaystyle r\geq 0}$)
  • เพราะฉะนั้น${\displaystyle \operatorname {cone} (SS)=\operatorname {span} (SS)}$เป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้นของเสมอ${\displaystyle X}$ขนานกับ${\displaystyle \operatorname {aff} S}$ถ้า${\displaystyle S\neq \varnothing }$.
  • บันทึก:${\displaystyle \operatorname {aff} S=s_{0}+\operatorname {span} (S-s_{0})}$บอกว่าถ้าเราแปล${\displaystyle S}$เพื่อให้มันมีจุดกำเนิด ให้ใช้ช่วงของมัน แล้วแปลกลับ เราจะได้${\displaystyle \operatorname {aff} S}$. นอกจากนี้,${\displaystyle \operatorname {aff} S}$หรือ${\displaystyle s_{0}+\operatorname {span} (S-s_{0})}$คือสิ่งที่ ${\displaystyle \operatorname {span} S}$จะเป็นเช่นนั้นหากจุดกำเนิดอยู่ที่${\displaystyle s_{0}}$.

• หากแทนที่จะใช้การรวมเชิงเส้นตรง เราใช้การรวมเชิงนูนนั่นคือ หากเรากำหนดเงื่อนไขในสูตรข้างต้นว่าทั้งหมด${\displaystyle \alpha _{i}}$ถ้าค่าเป็นค่าที่ไม่เป็นลบ จะได้รูปทรงนูนของ${\displaystyle S}$ซึ่งไม่สามารถมีขนาดใหญ่กว่าขอบเขตเชิงเส้นของ${\displaystyle S}$เนื่องจากมีข้อจำกัดเพิ่มเติมเข้ามาเกี่ยวข้อง
• แนวคิดเรื่องการรวมกันแบบทรงกรวยก่อให้เกิดแนวคิดเรื่องตัวเรือทรงกรวย${\displaystyle \operatorname {cone} S}$.
• อย่างไรก็ตาม หากไม่มีการจำกัดจำนวนใดๆ เลย${\displaystyle \alpha _{i}}$แทนที่จะเป็นการรวมแบบแอฟฟิน เราจะได้การรวมเชิงเส้นและเซตที่ได้นั้นคือเซตสแปนเชิงเส้น${\displaystyle \operatorname {span} S}$ของ${\displaystyle S}$ซึ่งประกอบด้วยเปลือกแอฟฟินของ${\displaystyle S}$.

• RJ Webster, Convexity , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด, 1994. ISBN 0-19-853147-8.
• โรมัน, สตีเฟน (2008), พีชคณิตเชิงเส้นขั้นสูง , ตำราเรียนคณิตศาสตร์ระดับบัณฑิตศึกษา (  ฉบับที่สาม), สปริงเกอร์, ISBN 978-0-387-72828-5