ในทางเรขาคณิตข้อบกพร่องเชิงมุมหรือเรียกสั้น ๆ ว่าข้อบกพร่อง (หรือเรียกว่าการขาดแคลนหรือความไม่เพียงพอ ) คือ การที่มุม บางมุม รวมกันแล้วไม่เท่ากับค่าที่คาดหวังไว้ คือ 360° หรือ 180° ในขณะที่มุมเหล่านั้นในระนาบยูคลิดควรจะเป็น 180° ส่วนแนวคิดตรงกันข้ามคือส่วนเกิน

โดยทั่วไปแล้ว ข้อบกพร่องเกิดขึ้นในสองบริบท: ในระนาบยูคลิด มุมรอบจุดหนึ่งๆ จะรวมกันได้ 360° ในขณะที่มุมภายในของสามเหลี่ยมจะรวมกันได้ 180° อย่างไรก็ตาม บนทรงหลายเหลี่ยมแบบนูนมุมของหน้าต่างๆ ที่มาบรรจบกันที่จุดยอดจะรวมกันได้น้อยกว่า 360° (ข้อบกพร่อง) ในขณะที่มุมที่จุดยอดบางจุดของทรงหลายเหลี่ยมแบบไม่นูนอาจรวมกันได้มากกว่า 360° (ส่วนเกิน) นอกจากนี้ มุมในสามเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิกจะรวมกันได้น้อยกว่า 180° (ข้อบกพร่อง) ในขณะที่มุมในสามเหลี่ยมทรงกลมจะรวมกันได้มากกว่า 180° (ส่วนเกิน)

ในทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ความบกพร่องที่จุดยอดคือค่าความโค้ง แบบไม่ต่อเนื่อง ของพื้นผิวทรงหลายเหลี่ยมที่กระจุกตัวอยู่ที่จุดนั้นความบกพร่องที่เป็นลบแสดงว่าจุดยอดนั้นมีลักษณะคล้ายจุดอานม้า (ความโค้งเป็นลบ) ในขณะที่ความบกพร่องที่เป็นบวกแสดงว่าจุดยอดนั้นมีลักษณะคล้ายจุดสูงสุดหรือต่ำสุดเฉพาะที่ (ความโค้งเป็นบวก) ทฤษฎีบทเกาส์-บอนเนต์ให้ความโค้งทั้งหมดดังนี้${\displaystyle 2\pi }$คูณด้วยค่าลักษณะเฉพาะของออยเลอร์${\displaystyle \chi =2}$ดังนั้นสำหรับทรงหลายเหลี่ยมนูน ผลรวมของข้อบกพร่องคือ${\displaystyle 4\pi }$ในขณะที่ทรงหลายเหลี่ยมแบบทอรอยด์มี${\displaystyle \chi =0}$และข้อบกพร่องทั้งหมดเป็นศูนย์

สำหรับทรงหลายเหลี่ยมค่าความบกพร่องที่จุดยอดเท่ากับ 2π ลบด้วยผลรวมของมุมทั้งหมดที่จุดยอดนั้น (รวมทุกหน้าของจุดยอดนั้นด้วย) ถ้าทรงหลายเหลี่ยมนั้นเป็นทรงนูน ค่าความบกพร่องของแต่ละจุดยอดจะเป็นบวกเสมอ แต่ถ้าผลรวมของมุมเกินกว่าหนึ่งรอบ เต็ม ซึ่งเกิดขึ้นในบางจุดยอดของทรงหลายเหลี่ยมที่ไม่เป็นทรงนูน ค่าความบกพร่องจะเป็นลบ

แนวคิดเรื่องข้อบกพร่องขยายไปสู่มิติที่สูงขึ้น โดยพิจารณาจากปริมาณที่ผลรวมของมุมไดเฮดรัลของเซลล์ณจุดสูงสุด นั้น ต่ำกว่าวงกลมสมบูรณ์

มุมที่เบี่ยงเบนไปจากจุดยอดใดๆ ของทรงสิบ สองเหลี่ยมด้านเท่า (ซึ่ง ประกอบด้วย รูปห้าเหลี่ยม ด้านเท่า สามรูปมาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอด) คือ 36° หรือ π/5 เรเดียน หรือ 1/10 ของวงกลม แต่ละมุมมีขนาด 108° มุมเหล่านี้สามมุมมาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอด ดังนั้นมุมที่เบี่ยงเบนไปจากจุดยอดคือ 360° − (108° + 108° + 108°) = 36°

สามารถใช้วิธีเดียวกันนี้กับทรงหลายเหลี่ยมเพลโต อื่นๆ ได้เช่นกัน :

รูปร่าง	จำนวนจุดยอด	รูปหลายเหลี่ยมที่มาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด	ข้อบกพร่องที่จุดยอดแต่ละจุด	ข้อบกพร่องทั้งหมด
จัตุรมุข	4	สามเหลี่ยมด้านเท่าสามรูป	${\displaystyle \pi \ \ (180^{\circ })}$	${\displaystyle 4\pi \ \ (720^{\circ })}$
ทรงแปดเหลี่ยม	6	สามเหลี่ยมด้านเท่าสี่รูป	${\displaystyle {2\pi \over 3}\ (120^{\circ })}$	${\displaystyle 4\pi \ \ (720^{\circ })}$
ลูกบาศก์	8	สามสี่เหลี่ยม	${\displaystyle {\pi \over 2}\ \ (90^{\circ })}$	${\displaystyle 4\pi \ \ (720^{\circ })}$
ทรงยี่สิบหน้า	12	สามเหลี่ยมด้านเท่าห้ารูป	${\displaystyle {\pi \over 3}\ \ (60^{\circ })}$	${\displaystyle 4\pi \ \ (720^{\circ })}$
ทรงสิบสองเหลี่ยม	20	รูปห้าเหลี่ยมปกติสามรูป	${\displaystyle {\pi \over 5}\ \ (36^{\circ })}$	${\displaystyle 4\pi \ \ (720^{\circ })}$

ทฤษฎีบทของเดส์การ์ตเกี่ยวกับ "ข้อบกพร่องทั้งหมด" ของทรงหลายเหลี่ยมระบุว่า ถ้าทรงหลายเหลี่ยมนั้นเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับทรงกลม (กล่าวคือ เทียบเท่าทางโทโพโลยีกับทรงกลม ดังนั้นจึงสามารถเปลี่ยนรูปเป็นทรงกลมได้โดยการยืดโดยไม่ฉีกขาด) "ข้อบกพร่องทั้งหมด" กล่าวคือ ผลรวมของข้อบกพร่องของจุดยอดทั้งหมด จะเท่ากับวงกลมเต็มสองวง (หรือ 720° หรือ 4π เรเดียน ) ทรงหลายเหลี่ยมนั้นไม่จำเป็นต้องเป็นทรงนูน^{[ 1 ]}

โดยทั่วไปแล้ว จำนวนวงกลมในความบกพร่องทั้งหมดจะเท่ากับค่าลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ของทรงหลายเหลี่ยม นี่เป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทเกาส์-บอนเนต์ซึ่งเชื่อมโยงปริพันธ์ของความโค้งเกาส์กับค่าลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ ในที่นี้ ความโค้งเกาส์จะกระจุกตัวอยู่ที่จุดยอด: บนพื้นผิวและขอบ ความโค้งเป็นศูนย์ (พื้นผิวมีความสมมาตร เฉพาะ ที่กับระนาบยูคลิด) และปริพันธ์ของความโค้งที่จุดยอดจะเท่ากับความบกพร่อง ณ จุดนั้น (ตามคำนิยาม)

สามารถใช้วิธีนี้ในการคำนวณจำนวน จุดยอด Vของทรงหลายเหลี่ยมโดยการรวมมุมของทุกหน้า และเพิ่มผลรวมของข้อบกพร่อง (ซึ่งคือ)${\displaystyle 2\pi }$(คูณด้วยค่าลักษณะเฉพาะของออยเลอร์) ผลรวมนี้จะทำให้มีวงกลมสมบูรณ์หนึ่งวงสำหรับทุกจุดยอดในทรงหลายเหลี่ยม

ทฤษฎีบทผกผันของเดส์การ์ตได้มาจากทฤษฎีบทของอเล็กซานดรอฟเกี่ยวกับทรงหลายเหลี่ยม ซึ่งกล่าวว่าปริภูมิเมตริกที่เป็นแบบยุคลิดเฉพาะที่ (ดังนั้นความโค้งเป็นศูนย์) ยกเว้นจุดจำนวนจำกัดที่มีความคลาดเคลื่อนเชิงมุมเป็นบวก บวกกับ${\displaystyle 4\pi }$สามารถรับรู้ได้อย่างเฉพาะเจาะจงว่าเป็นพื้นผิวของทรงหลายเหลี่ยมนูน^{[ 2 ]}

อาจฟังดูน่าสนใจที่รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ไม่นูนทุกรูปจะต้องมีจุดยอดบางจุดที่มีค่าความบกพร่องเป็นลบ แต่ความจริงแล้วไม่จำเป็นต้องเป็นเช่นนั้นเสมอไป หากค่าลักษณะเฉพาะของออยเลอร์เป็นบวก (เช่น ทรงกลมเชิงทอพอโลยี)

ทรงหลายเหลี่ยมที่มีข้อบกพร่องเชิงบวก

ตัวอย่างค้านคือลูกบาศก์ที่ด้านหนึ่งถูกแทนที่ด้วยพีระมิดฐานสี่เหลี่ยม : พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมที่ยาวขึ้น นี้ เป็นทรงนูน และข้อบกพร่องที่แต่ละจุดยอดจะมีค่าเป็นบวก ทีนี้ลองพิจารณาลูกบาศก์เดียวกันที่พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมเข้าไปด้านในลูกบาศก์: อันนี้เป็นทรงเว้า แต่ข้อบกพร่องยังคงเหมือนเดิม ดังนั้นจึงมีค่าเป็นบวกทั้งหมด

ตัวอย่างค้านสองตัวอย่างที่เป็นทรงหลายเหลี่ยมที่ตัดกันเอง ได้แก่ทรงสิบสองเหลี่ยมดาวเล็กและทรงสิบสองเหลี่ยมดาวใหญ่ซึ่งมีจุดนูนสิบสองจุดและยี่สิบจุดตามลำดับ โดยทั้งหมดมีข้อบกพร่องเป็นบวก

• ริเชสัน, ดี. ; อัญมณีของออยเลอร์: สูตรโพลีเฮดรอนและการกำเนิดของโทโพโลยี , พรินซ์ตัน (2008), หน้า 220–225

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ข้อบกพร่องเชิงมุม" . MathWorld .