ในทางคณิตศาสตร์ระบบอัตโนมัติหรือสมการเชิงอนุพันธ์อัตโนมัติคือระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญที่ไม่ขึ้นอยู่กับตัวแปรอิสระ โดยตรง เมื่อตัวแปรคือเวลา ระบบเหล่านี้จะถูกเรียกว่าระบบไม่แปรเปลี่ยนตามเวลาด้วย

กฎหลายข้อในวิชาฟิสิกส์ซึ่งโดยปกติแล้วตัวแปรอิสระคือเวลามักแสดงออกมาในรูปของระบบอัตโนมัติ เนื่องจากถือว่ากฎธรรมชาติที่ใช้ได้ในปัจจุบันนั้นเหมือนกับกฎที่ใช้ได้ ณ จุดใด ๆ ในอดีตหรืออนาคต

ระบบอัตโนมัติคือระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญในรูปแบบ ที่xมีค่าอยู่ในปริภูมิยุคลิดมิติnและtมักถูกตีความว่าเป็นเวลา $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))}$$

ระบบดัง กล่าวแตกต่างจากระบบสมการเชิงอนุพันธ์ในรูปแบบ ที่กฎที่ควบคุมวิวัฒนาการของระบบไม่ได้ขึ้นอยู่กับสถานะปัจจุบันของระบบเพียงอย่างเดียว แต่ยังขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์tซึ่งมักตีความว่าเป็นเวลาด้วย โดยนิยามแล้ว ระบบดังกล่าวไม่ใช่ระบบอิสระ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=g(x(t),t)}$$

คำตอบจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการเลื่อนในแนวนอน:

ให้เป็นคำตอบเฉพาะของปัญหาค่าเริ่มต้นสำหรับระบบอัตโนมัติ จากนั้นแก้ สมการ โดยกำหนดให้ ได้และดังนั้น สำหรับเงื่อนไขเริ่มต้น การตรวจสอบนั้นง่ายมาก ${\displaystyle x_{1}(t)}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))\,,\quad x(0)=x_{0}.}$$${\displaystyle x_{2}(t)=x_{1}(t-t_{0})}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))\,,\quad x(t_{0})=x_{0}.}$$${\displaystyle s=t-t_{0}}$${\displaystyle x_{1}(s)=x_{2}(t)}$${\displaystyle ds=dt}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x_{2}(t)={\frac {d}{dt}}x_{1}(t-t_{0})={\frac {d}{ds}}x_{1}(s)=f(x_{1}(s))=f(x_{2}(t)).}$$$${\displaystyle x_{2}(t_{0})=x_{1}(t_{0}-t_{0})=x_{1}(0)=x_{0}.}$$

สมการนี้เป็นสมการอิสระ เนื่องจากตัวแปรอิสระ ( ) ไม่ปรากฏอย่างชัดเจนในสมการ ในการพล็อตสนามความชันและเส้นไอโซคลายน์สำหรับสมการนี้ สามารถใช้โค้ดต่อไปนี้ในGNU Octave / MATLAB ได้${\displaystyle y'=\left(2-y\right)y}$${\displaystyle x}$

Ffun = @( X , Y )( 2 - Y ) .* Y ; % ฟังก์ชัน f(x,y)=(2-y)y [ X , Y ] = meshgrid ( 0 : .2 : 6 , - 1 : .2 : 3 ); % เลือกขนาดพล็อตDY = Ffun ( X , Y ); DX = ones ( size ( DY )); % สร้างค่าพล็อตquiver ( X , Y , DX , DY , 'k' ); % พล็อตฟิลด์ทิศทางเป็นสีดำhold on ; contour ( X , Y , DY , [ 0 1 2 ], 'g' ); % เพิ่มไอโซคลายน์ (0 1 2) เป็นสีเขียวtitle ( 'ฟิลด์ความชันและไอโซคลายน์สำหรับ f(x,y)=(2-y)y' )

จากกราฟจะเห็นได้ว่าฟังก์ชันนั้นไม่เปลี่ยนแปลงตามค่า และรูปร่างของคำตอบก็ไม่เปลี่ยนแปลงตามค่าเช่นกัน กล่าวคือสำหรับทุกการเลื่อน ${\displaystyle \left(2-y\right)y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y(x)=y(x-x_{0})}$${\displaystyle x_{0}}$

การแก้สมการเชิงสัญลักษณ์ในMATLABโดยการรัน

syms y(x) ; equation = ( diff ( y ) == ( 2 - y ) * y ); % แก้สมการเพื่อหาคำตอบทั่วไปเชิงสัญลักษณ์y_general = dsolve ( equation );

ได้ คำตอบสมดุลสอง คำตอบ คือ และ และคำ ตอบ ที่สามซึ่งเกี่ยวข้องกับค่าคงที่ที่ไม่ทราบค่า ${\displaystyle y=0}$${\displaystyle y=2}$${\displaystyle C_{3}}$-2/(exp(C3-2*x)-1)

เมื่อเลือกค่าเฉพาะบางค่าสำหรับเงื่อนไขเริ่มต้นแล้วเราสามารถเพิ่มกราฟแสดงผลลัพธ์หลายๆ แบบได้

% แก้ปัญหาค่าเริ่มต้นเชิงสัญลักษณ์% สำหรับเงื่อนไขเริ่มต้นที่แตกต่างกันy1 = dsolve ( equation , y ( 1 ) == 1 ); y2 = dsolve ( equation , y ( 2 ) == 1 ); y3 = dsolve ( equation , y ( 3 ) == 1 ); y4 = dsolve ( equation , y ( 1 ) == 3 ); y5 = dsolve ( equation , y ( 2 ) == 3 ); y6 = dsolve ( equation , y ( 3 ) == 3 ); % พล็อตผลลัพธ์ezplot ( y1 , [ 0 6 ]); ezplot ( y2 , [ 0 6 ]); ezplot ( y3 , [ 0 6 ]); ezplot ( y4 , [ 0 6 ]); ezplot ( y5 , [ 0 6 ]); ezplot ( y6 , [ 0 6 ]); title ( 'Slope field, isoclines and solutions for f(x,y)=(2-y)y' ) legend ( 'Slope field' , 'Isoclines' , 'Solutions y_{1..6}' ); text ([ 1 2 3 ], [ 1 1 1 ], strcat ( '\leftarrow' , { 'y_1' , 'y_2' , 'y_3' })); text ([ 1 2 3 ], [ 3 3 3 ], strcat ( '\leftarrow' , { 'y_4' , 'y_5' , 'y_6'})); เปิดตาราง;

ระบบอัตโนมัติสามารถวิเคราะห์ได้ในเชิงคุณภาพโดยใช้ปริภูมิเฟสในกรณีที่มีตัวแปรเดียว ปริภูมิเฟสก็คือเส้น เฟส

เทคนิคต่อไปนี้ใช้ได้กับสมการเชิงอนุพันธ์อิสระหนึ่งมิติ สมการหนึ่งมิติใดๆ ที่มีอันดับ n จะเทียบเท่ากับระบบอันดับหนึ่งมิติ n (ดังที่อธิบายไว้ในการลดรูปเป็นระบบอันดับหนึ่ง ) แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นในทางกลับกันเสมอไป ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

สมการอิสระอันดับหนึ่ง สามารถแยกตัวแปรได้ดังนั้นจึงสามารถแก้ได้โดยการจัดเรียงใหม่ให้อยู่ในรูปอินทิกรัล $${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(x)}$$$${\displaystyle t+C=\int {\frac {dx}{f(x)}}}$$

สมการอิสระอันดับสอง นั้นยากกว่า แต่สามารถแก้ไขได้^{[ 2 ]}โดยการแนะนำตัวแปรใหม่ และแสดงอนุพันธ์อันดับสองของผ่านกฎลูกโซ่เป็น เพื่อให้สมการเดิมกลายเป็น ซึ่งเป็นสมการอันดับหนึ่งที่ไม่มีการอ้างอิงถึงตัวแปรอิสระการแก้สมการจะให้เป็นฟังก์ชันของ จากนั้น เมื่อนึกถึงนิยามของ: $${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=f(x,x')}$$$${\displaystyle v={\frac {dx}{dt}}}$$${\displaystyle x}$$${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {dv}{dt}}={\frac {dx}{dt}}{\frac {dv}{dx}}=v{\frac {dv}{dx}}}$$$${\displaystyle v{\frac {dv}{dx}}=f(x,v)}$$${\displaystyle t}$${\displaystyle v}$${\displaystyle x}$${\displaystyle v}$

$${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=v(x)\quad \Rightarrow \quad t+C=\int {\frac {dx}{v(x)}}}$$

ซึ่งเป็นวิธีแก้ปัญหาโดยปริยาย

กรณีพิเศษที่เป็นอิสระจาก${\displaystyle f}$${\displaystyle x'}$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=f(x)}$$

ได้รับประโยชน์จากการรักษาแยกกัน^{[ 3 ]}สมการประเภทนี้พบได้บ่อยมากในกลศาสตร์คลาสสิกเนื่องจากเป็นระบบแฮมิลโทเนียนเสมอ

แนวคิดคือการใช้ประโยชน์จากอัตลักษณ์นั้น

$${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}}$$

ซึ่งเป็นผลมาจากกฎลูกโซ่โดยไม่นับรวมปัญหาใดๆ ที่เกิดจากการหารด้วยศูนย์

โดยการกลับด้านทั้งสองของระบบอัตโนมัติอันดับแรก เราสามารถทำการอินทิเกรตโดยทันทีโดยสัมพันธ์กับ: ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(x)\quad \Rightarrow \quad {\frac {dt}{dx}}={\frac {1}{f(x)}}\quad \Rightarrow \quad t+C=\int {\frac {dx}{f(x)}}}$$

ซึ่งเป็นอีกวิธีหนึ่งในการมองเทคนิคการแยกตัวแปร อนุพันธ์อันดับสองจะต้องแสดงในรูปอนุพันธ์เทียบกับแทนที่จะเป็น: ${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dx}{dt}}\right)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dx}{dt}}\right){\frac {dx}{dt}}\\[4pt]&={\frac {d}{dx}}\left(\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}\right)\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}\\[4pt]&=-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}=-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-3}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}\\[4pt]&={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}\right)\end{aligned}}}$$

เพื่อเน้นย้ำอีกครั้ง: สิ่งที่สำเร็จไปแล้วคือ อนุพันธ์อันดับสองเทียบกับ ได้ถูกแสดงออกมาในรูปอนุพันธ์ของสมการอันดับสองดั้งเดิมจึงสามารถหาปริพันธ์ได้แล้ว: ${\displaystyle t}$${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&=f(x)\\{\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}\right)&=f(x)\\\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}&=2\int f(x)dx+C_{1}\\{\frac {dt}{dx}}&=\pm {\frac {1}{\sqrt {2\int f(x)dx+C_{1}}}}\\t+C_{2}&=\pm \int {\frac {dx}{\sqrt {2\int f(x)dx+C_{1}}}}\end{aligned}}}$$

นี่เป็นวิธีแก้ปัญหาโดยปริยาย ปัญหาที่สำคัญที่สุดคือความไม่สามารถลดรูปอินทิกรัล ซึ่งหมายความว่าอาจเกิดความยากลำบากหรือเป็นไปไม่ได้ในการประเมินค่าคงที่ของการอินทิเกรต

ด้วยวิธีการข้างต้น เทคนิคนี้สามารถขยายไปใช้กับสมการทั่วไปได้มากขึ้น

$${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{n}f(x)}$$

โดยที่เป็นพารามิเตอร์บางตัวที่ไม่เท่ากับสอง วิธีนี้จะใช้ได้ผลเพราะอนุพันธ์อันดับสองสามารถเขียนในรูปแบบที่มีกำลังของ ได้การเขียนอนุพันธ์อันดับสองใหม่ การจัดเรียงใหม่ และการแสดงด้านซ้ายเป็นอนุพันธ์: ${\displaystyle n}$${\displaystyle x'}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-3}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}=\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-n}f(x)\\[4pt]&-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{n-3}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}=f(x)\\[4pt]&{\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{2-n}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{n-2}\right)=f(x)\\[4pt]&\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{n-2}=(2-n)\int f(x)dx+C_{1}\\[2pt]&t+C_{2}=\int \left((2-n)\int f(x)dx+C_{1}\right)^{\frac {1}{n-2}}dx\end{aligned}}}$$

ค่าทางขวาจะเป็น +/− ถ้าเป็นเลขคู่ วิธีการรักษาจะต้องแตกต่างกันหาก: ${\displaystyle n}$${\displaystyle n=2}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}&=f(x)\\-{\frac {d}{dx}}\left(\ln \left({\frac {dt}{dx}}\right)\right)&=f(x)\\{\frac {dt}{dx}}&=C_{1}e^{-\int f(x)dx}\\t+C_{2}&=C_{1}\int e^{-\int f(x)dx}dx\end{aligned}}}$$

ไม่มีวิธีการเทียบเคียงสำหรับการแก้สมการอิสระลำดับที่สามหรือสูงกว่า สมการดังกล่าวสามารถแก้ได้อย่างแม่นยำก็ต่อเมื่อมีคุณสมบัติการลดรูปอื่น ๆ เช่นความเป็นเส้นตรงหรือการขึ้นอยู่ของด้านขวาของสมการกับตัวแปรตามเท่านั้น^{[ 4 ] [ 5 ]} (กล่าวคือ ไม่ใช่อนุพันธ์) ซึ่งไม่น่าแปลกใจเลยเมื่อพิจารณาว่าระบบอิสระที่ไม่เป็นเส้นตรงในสามมิติสามารถสร้าง พฤติกรรม ที่อลวน อย่างแท้จริง เช่นตัวดึงดูด Lorenzและ ตัว ดึงดูด Rössler

ในทำนองเดียวกัน สมการทั่วไปที่ไม่เป็นอิสระอันดับสองไม่สามารถแก้ได้อย่างชัดเจน เนื่องจากสมการเหล่านี้อาจเกิดความโกลาหลได้เช่นเดียวกับลูกตุ้มที่ถูกบังคับเป็นระยะ^{[ 6 ]}

ในที่นี้เป็นเวกเตอร์คอลัมน์มิติ ที่ขึ้นอยู่กับ ${\displaystyle \mathbf {x} '(t)=A\mathbf {x} (t)}$${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle t}$

วิธีแก้ปัญหาคือเวกเตอร์คงที่^{[ 7 ]}${\displaystyle \mathbf {x} (t)=e^{At}\mathbf {c} }$${\displaystyle \mathbf {c} }$${\displaystyle n\times 1}$

สำหรับ ODE อัตโนมัติที่ไม่เป็นเชิงเส้นนั้น เป็นไปได้ภายใต้เงื่อนไขบางประการที่จะพัฒนาโซลูชันที่มีระยะเวลาจำกัด^{[ 8 ]}ซึ่งในที่นี้หมายความว่าจากพลวัตของระบบเอง ระบบจะไปถึงค่าศูนย์ ณ เวลาสิ้นสุดและคงอยู่ที่ศูนย์ตลอดไป โซลูชันที่มีระยะเวลาจำกัดเหล่านี้ไม่สามารถเป็นฟังก์ชันเชิงวิเคราะห์บนเส้นจำนวนจริงทั้งหมดได้ และเนื่องจากจะเป็นฟังก์ชันที่ไม่ใช่ลิปชิตซ์ณ เวลาสิ้นสุด จึงไม่เป็นไปตามความเป็นเอกลักษณ์ของโซลูชันของสมการเชิงอนุพันธ์ลิปชิตซ์

ตัวอย่างเช่น สมการ:

${\displaystyle y'=-{\text{sgn}}(y){\sqrt {|y|}},\,\,y(0)=1}$

ยอมรับวิธีแก้ปัญหาที่มีระยะเวลาจำกัด:

${\displaystyle y(x)={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x}{2}}+\left|1-{\frac {x}{2}}\right|\right)^{2}}$

• ระบบที่ไม่เป็นอิสระ (คณิตศาสตร์)