In mathematics, the characteristic equation (or auxiliary equation^[1]) is an algebraic equation of degreen upon which depends the solution of a given nth-orderdifferential equation^[2] or difference equation.^[3][4] The characteristic equation can only be formed when the differential equation is linear and homogeneous, and has constant coefficients.^[1] Such a differential equation, with y as the dependent variable, superscript (n) denoting n^th-derivative, and a, a, ..., a, a as constants,

${\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0,}$

will have a characteristic equation of the form

${\displaystyle a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0}$

whose solutions r, r, ..., r are the roots from which the general solution can be formed.^[1][5][6] Analogously, a linear difference equation of the form

${\displaystyle y_{t+n}=b_{1}y_{t+n-1}+\cdots +b_{n}y_{t}}$

has characteristic equation

${\displaystyle r^{n}-b_{1}r^{n-1}-\cdots -b_{n}=0,}$

discussed in more detail at Linear recurrence with constant coefficients.

The characteristic roots (roots of the characteristic equation) also provide qualitative information about the behavior of the variable whose evolution is described by the dynamic equation. For a differential equation parameterized on time, the variable's evolution is stableif and only if the real part of each root is negative. For difference equations, there is stability if and only if the modulus of each root is less than 1. For both types of equation, persistent fluctuations occur if there is at least one pair of complex roots.

วิธีการอินทิ เกรตสมการเชิง อนุพันธ์สามัญเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์คงที่ถูกค้นพบโดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ซึ่งพบว่าคำตอบขึ้นอยู่กับสมการลักษณะเฉพาะทางพีชคณิต^{[ 2 ]} คุณสมบัติของสมการลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ได้รับการพิจารณาในรายละเอียดมากขึ้นในภายหลังโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสออกัสติน-หลุยส์ โคชีและกัสปาร์ มงจ์^{[ 2 ] [ 6 ]}

เริ่มต้นด้วยสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเอกพันธุ์ที่มีสัมประสิทธิ์คงที่a , a , ..., a , a ,

${\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y^{\prime }+a_{0}y=0,}$

จะเห็นได้ว่าถ้าy ( x ) = e ^rxแต่ละเทอมจะเป็นค่าคงที่คูณกับe ^{rx ซึ่งเป็นผล มา}จากข้อเท็จจริงที่ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังe ^rxเป็นผลคูณของตัวมันเอง ดังนั้นy ′ = re ^rx , y ″ = r²e rxและy ^{( n )} = r ^ne rxล้วนเป็นผลคูณ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าค่าr บางค่าจะทำให้ ^ผลคูณของe ^rxรวมกันเป็นศูนย์ จึงแก้สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธุ์ได้^{[ 5 ] เพื่อ} หาค่าrเราสามารถแทนy = e ^rxและอนุพันธ์ของมันลงในสมการเชิงอนุพันธ์เพื่อให้ได้

${\displaystyle a_{n}r^{n}e^{rx}+a_{n-1}r^{n-1}e^{rx}+\cdots +a_{1}re^{rx}+a_{0}e^{rx}=0}$

เนื่องจากe ^rxไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ จึงสามารถหารออกไปได้ ทำให้ได้สมการลักษณะเฉพาะ

${\displaystyle a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0.}$

โดยการแก้หาค่ารากrในสมการลักษณะเฉพาะนี้ เราสามารถหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ได้^{[ 1 ] [ 6 ]} ตัวอย่างเช่น ถ้าrมีค่ารากเท่ากับ 3, 11 และ 40 คำตอบทั่วไปจะเป็นโดยที่, , และ เป็นค่าคงที่ใดๆที่ต้องกำหนดโดยเงื่อนไขขอบเขตและ/หรือเงื่อนไขเริ่มต้น ${\displaystyle y(x)=c_{1}e^{3x}+c_{2}e^{11x}+c_{3}e^{40x}}$${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle c_{3}}$

การแก้สมการลักษณะเฉพาะเพื่อหาค่ารากr , ..., r จะช่วยให้สามารถหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ได้ รากอาจเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนและอาจเป็นรากที่ต่างกันหรือซ้ำกันก็ได้ ถ้าสมการลักษณะเฉพาะมีส่วนที่มีรากจริงที่ต่างกัน ราก ที่ซ้ำกัน hราก หรือรากเชิงซ้อนk ราก ซึ่งสอดคล้องกับคำตอบทั่วไปของ y ( x ) , y ( x ), ..., y ( x )และy ( x ), ..., y ( x )ตามลำดับ แล้วคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์คือ

${\displaystyle y(x)=y_{\mathrm {D} }(x)+y_{\mathrm {R} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {R} _{h}}(x)+y_{\mathrm {C} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {C} _{k}}(x)}$

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเอกพันธุ์ที่มีสัมประสิทธิ์คงที่

${\displaystyle y^{(5)}+y^{(4)}-4y^{(3)}-16y''-20y'-12y=0}$

มีสมการลักษณะเฉพาะ

${\displaystyle r^{5}+r^{4}-4r^{3}-16r^{2}-20r-12=0}$

โดยการแยกตัวประกอบสมการลักษณะเฉพาะเข้าไป

${\displaystyle (r-3)(r^{2}+2r+2)^{2}=0}$

จะเห็นได้ว่าคำตอบสำหรับrคือรากเดี่ยวที่แตกต่างกันr = 3และรากเชิงซ้อนคู่r = 1 ± iซึ่งสอดคล้องกับคำตอบทั่วไปที่เป็นค่าจริง

${\displaystyle y(x)=c_{1}e^{3x}+e^{x}(c_{2}\cos x+c_{3}\sin x)+xe^{x}(c_{4}\cos x+c_{5}\sin x)}$

โดยมีค่าคงที่c 1 ..., c

หลักการซ้อนทับสำหรับสมการเชิงเส้นเอกพันธุ์กล่าวว่า ถ้าu , ..., u เป็น คำตอบ เชิงเส้นอิสระn คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เฉพาะ แล้วc u + ⋯ + c u ก็เป็นคำตอบสำหรับค่าc , ..., c เช่น กัน ^{[ 1 ] [ 7 ]} ดังนั้น ถ้าสมการลักษณะเฉพาะมีรากจริงที่แตกต่างกันr , ..., r แล้วคำตอบทั่วไปจะมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle y_{\mathrm {D} }(x)=c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x}+\cdots +c_{n}e^{r_{n}x}}$

ถ้าสมการลักษณะเฉพาะมีรากr ที่ซ้ำกันkครั้ง แสดงว่าy ( x ) = c e ^{r x}เป็นอย่างน้อยหนึ่งคำตอบ^{[ 1 ]} อย่างไรก็ตาม คำตอบนี้ขาดคำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้นจากราก k − 1 อื่นๆเนื่องจากr มีความซ้ำซ้อนkสมการเชิงอนุพันธ์จึงสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น^{[ 1 ]}

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}y=0.}$

ข้อเท็จจริงที่ว่าy ( x ) = c e ^{r x}เป็นหนึ่งในคำตอบ ทำให้เราสามารถสันนิษฐานได้ว่าคำตอบทั่วไปอาจอยู่ในรูปแบบy ( x ) = u ( x ) e ^{r x}โดยที่u ( x )เป็นฟังก์ชันที่ต้องกำหนด เมื่อแทนค่าue ^{r x}จะได้

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)\!ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}\left(ue^{r_{1}x}\right)-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}+r_{1}ue^{r_{1}x}-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}}$

เมื่อk = 1โดยการใช้ข้อเท็จจริงนี้ ซ้ำ kครั้ง จะได้ว่า

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}ue^{r_{1}x}={\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)e^{r_{1}x}=0.}$

โดยการหารe ^{r x} ออกไป จะเห็นได้ว่า

${\displaystyle {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)=u^{(k)}=0.}$

ดังนั้น กรณีทั่วไปสำหรับ( x ) คือพหุนามดีกรี k − 1ดังนั้นu ( x ) = c1 c2x + c3x2 ⁺ ⋯ + ckxk ¹ [ ^] เนื่องจากy ⁽ x = uer1xส่วน^{ของตอบทั่วไป}ที่สอดคล้อง^กับ r1คือ

${\displaystyle y_{\mathrm {R} }(x)=e^{r_{1}x}\!\left(c_{1}+c_{2}x+\cdots +c_{k}x^{k-1}\right).}$

ถ้าสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองมีสมการลักษณะเฉพาะที่มี รากคู่ สังยุคเชิงซ้อนในรูปแบบr = a + biและr = a − biแล้ว ผลเฉลยทั่วไปจะเป็นy ( x ) = c e ^{( a + bi ) x} + c e ^{( a − bi ) x} ตามลำดับ โดยใช้สูตรของออยเลอร์ซึ่งระบุว่าe ^iθ = cos( θ ) + i sin( θ )ผลเฉลยนี้สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}y(x)&=c_{1}e^{(a+bi)x}+c_{2}e^{(a-bi)x}\\&=c_{1}e^{ax}(\cos bx+i\sin bx)+c_{2}e^{ax}(\cos bx-i\sin bx)\\&=\left(c_{1}+c_{2}\right)e^{ax}\cos bx+i(c_{1}-c_{2})e^{ax}\sin bx\end{aligned}}}$

โดยที่c และc เป็นค่าคงที่ซึ่งอาจไม่ใช่จำนวนจริงและขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้น^{[ 6 ]} (อันที่จริง เนื่องจากy ( x )เป็นจำนวนจริง ดังนั้นc − c ต้องเป็นจำนวนจินตนาการหรือศูนย์ และc + c ต้องเป็นจำนวนจริง เพื่อให้ทั้งสองพจน์หลังเครื่องหมายเท่ากับตัว สุดท้าย เป็นจำนวนจริง)

ตัวอย่างเช่น ถ้าc = c = ⁠1/2จาก นั้น จะได้ คำตอบเฉพาะ y ( x ) = e ^ax cos( bx )ในทำนองเดียวกัน ถ้า c = ⁠1/2 ฉันและ c = −​1/2 ฉันดังนั้นผลเฉลยอิสระที่เกิดขึ้นคือ y ( x ) = e ^ax sin( bx )ดังนั้น โดยหลักการซ้อนทับสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเอกพันธุ์ สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองที่มีรากเชิงซ้อน r = a ± biจะส่งผลให้ได้ผลเฉลยทั่วไปดังต่อไปนี้:

${\displaystyle y_{\mathrm {C} }(x)=e^{ax}(C_{1}\cos bx+C_{2}\sin bx)}$

การวิเคราะห์นี้ยังสามารถนำไปใช้กับส่วนต่าง ๆ ของคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสูง ซึ่งสมการลักษณะเฉพาะเกี่ยวข้องกับรากเชิงซ้อนสังยุคที่ไม่ใช่จำนวนจริงได้อีกด้วย

• พหุนามลักษณะเฉพาะ