กายวิภาคศาสตร์เชิงคำนวณ (Computational anatomy หรือ CA)เป็นสาขาหนึ่งในด้านการถ่ายภาพทางการแพทย์ที่ มุ่งเน้นการศึกษาเกี่ยวกับรูปร่างและโครงสร้างทางกายวิภาคในระดับที่มองเห็นได้หรือระดับมหภาคสาขานี้มีการนิยามอย่างกว้างขวางและครอบคลุมพื้นฐานในด้านกายวิภาคศาสตร์คณิตศาสตร์ประยุกต์และคณิตศาสตร์บริสุทธิ์รวมถึงการถ่ายภาพทางการแพทย์ประสาทวิทยาฟิสิกส์ความน่าจะเป็นและสถิติโดยมุ่งเน้นที่โครงสร้างทางกายวิภาคที่ถูกถ่ายภาพ มากกว่าอุปกรณ์การถ่ายภาพทางการแพทย์ จุดสนใจหลักของสาขาย่อยกายวิภาคศาสตร์เชิงคำนวณในด้านการถ่ายภาพทางการแพทย์คือการแมปข้อมูลข้ามระบบพิกัดทางกายวิภาค ซึ่งส่วนใหญ่เป็นข้อมูลหนาแน่นที่วัดได้จากภาพถ่ายด้วยคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า (MRI) การนำแนวคิดเรื่องการไหลมาใช้ใน CA ซึ่งคล้ายกับสมการการเคลื่อนที่ที่ใช้ในพลศาสตร์ของไหล ใช้ประโยชน์จากแนวคิดที่ว่าพิกัดหนาแน่นในการวิเคราะห์ภาพเป็นไปตามสมการการเคลื่อนที่แบบลากรางจ์และแบบออยเลอร์ในแบบจำลองที่อิงตามการไหลของ Lagrangian และ Eulerian ของ diffeomorphism ข้อจำกัดจะเกี่ยวข้องกับคุณสมบัติทางโทโพโลยี เช่น เซตเปิดที่ได้รับการรักษาไว้ พิกัดที่ไม่ตัดกันหมายถึงความเป็นเอกลักษณ์และการมีอยู่ของการแมปผกผัน และเซตที่เชื่อมต่อกันยังคงเชื่อมต่อกัน การใช้วิธี diffeomorphic เติบโตอย่างรวดเร็วและครอบงำสาขาของวิธีการแมปหลังจากบทความต้นฉบับของ Christensen ^{[ 1 ]} โดยมีวิธีการที่รวดเร็วและสมมาตรให้ใช้งานได้^{[ 2 ] [ 3 ]}

แบบจำลองทางสถิติหลักของกายวิภาคศาสตร์เชิงคำนวณในบริบทของการถ่ายภาพทางการแพทย์คือแบบจำลองแหล่งกำเนิด-ช่องสัญญาณของทฤษฎีแชนนอนโดยแหล่งกำเนิดคือแม่แบบภาพที่เปลี่ยนแปลงได้และเอาต์พุตของช่องสัญญาณคือเซ็นเซอร์รับภาพที่มีค่าที่สังเกตได้(ดูรูป) ความสำคัญของแบบจำลองแหล่งกำเนิด-ช่องสัญญาณคือการจำลองความแปรผันในโครงสร้างทางกายวิภาคแยกจากความแปรผันของเซ็นเซอร์รับภาพทางการแพทย์ทฤษฎีของเบย์สกำหนดว่าแบบจำลองนี้มีลักษณะเฉพาะโดยความน่าจะเป็นล่วงหน้าของแหล่งกำเนิดและความหนาแน่นแบบมีเงื่อนไขของค่าที่สังเกตได้ ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$${\displaystyle I^{D}\in {\mathcal {I}}^{\mathcal {D}}}$${\displaystyle \pi _{\mathcal {I}}(\cdot )}$${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$

${\displaystyle p(\cdot \mid I){\text{ on }}I^{D}\in {\mathcal {I}}^{\mathcal {D}}}$

โดยมีเงื่อนไขว่า. ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$

ในทฤษฎีแม่แบบที่ปรับเปลี่ยนรูปทรงได้ ภาพจะเชื่อมโยงกับแม่แบบ โดยการปรับเปลี่ยนรูปทรงเป็นกลุ่มที่กระทำต่อแม่แบบ ดูการกระทำของกลุ่มในกายวิภาคศาสตร์เชิงคำนวณ สำหรับการกระทำของภาพความน่าจะเป็นล่วงหน้าของกลุ่มจะเหนี่ยวนำให้เกิดความน่าจะเป็นล่วงหน้าของภาพซึ่งเขียนเป็นความหนาแน่น ความน่าจะเป็นภายหลังแบบลอการิทึมจะมีรูปแบบดังนี้ ${\displaystyle I(g)\doteq g\cdot I_{\mathrm {temp} },g\in {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \pi _{\mathcal {G}}(\cdot )}$${\displaystyle \pi _{\mathcal {I}}(\cdot )}$

${\displaystyle \log p(I(g)\mid I^{D})\simeq \log p(I^{D}\mid I(g))+\log \pi _{\mathcal {G}}(g).}$

แบบจำลองวงโคจรแบบสุ่มที่จะกล่าวถึงต่อไปนี้ ระบุวิธีการสร้างองค์ประกอบของกลุ่ม และด้วยเหตุนี้จึงสร้างการกระจายแบบสุ่มของวัตถุซึ่งก่อให้เกิดการแจกแจงแบบก่อนหน้า

แบบจำลองวงโคจรแบบสุ่ม ของกายวิภาคศาสตร์เชิงคำนวณปรากฏครั้งแรกใน^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}โดยจำลองการเปลี่ยนแปลงพิกัดที่เกี่ยวข้องกับความสุ่มของกลุ่มที่กระทำต่อแม่แบบ ซึ่งเหนี่ยวนำให้เกิดความสุ่มบนแหล่งที่มาของภาพในวงโคจรทางกายวิภาคของรูปร่างและรูปแบบ และการสังเกตที่เกิดขึ้นผ่านอุปกรณ์การถ่ายภาพทางการแพทย์แบบจำลองวงโคจรแบบสุ่ม ดังกล่าว ซึ่งความสุ่มบนกลุ่มเหนี่ยวนำให้เกิดความสุ่มบนภาพ ได้รับการตรวจสอบสำหรับกลุ่มยูคลิดพิเศษสำหรับการจดจำวัตถุซึ่งองค์ประกอบของกลุ่ม คือกลุ่มยูคลิดพิเศษ^{[ 7 ]}${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}}$

สำหรับการศึกษาเกี่ยวกับรูปทรงที่เปลี่ยนแปลงได้ในกายวิภาคศาสตร์เชิงคำนวณ กลุ่มดิฟฟีโอเมอร์ฟิซึมมิติสูงที่ใช้ในกายวิภาคศาสตร์เชิงคำนวณนั้นถูกสร้างขึ้นผ่านการไหลที่ราบเรียบซึ่งสอดคล้องกับข้อกำหนดแบบลากรางจ์และแบบออยเลอร์ของสนามการไหลที่สอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ :${\displaystyle \varphi _{t},t\in [0,1]}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\varphi _{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},\ \varphi _{0}=\operatorname {id} \ ;}$

การไหลแบบลากรางเจียน

โดยที่เวกเตอร์ฟิลด์บนเรียกว่า ความเร็ว แบบออยเลอร์ของอนุภาค ณ ตำแหน่งของการไหล เวกเตอร์ฟิลด์เป็นฟังก์ชันในปริภูมิฟังก์ชัน ซึ่งจำลองเป็น ปริภูมิ ฮิลเบิร์ต เรียบ โดยที่เวกเตอร์ฟิลด์มีอนุพันธ์ต่อเนื่อง 1 สำหรับการผกผันของการไหลจะกำหนดโดย ${\displaystyle v\doteq (v_{1},v_{2},v_{3})}$${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle v_{t}={\dot {\varphi }}_{t}\circ \varphi _{t}^{-1},t\in [0,1]}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\varphi _{t}^{-1}=-(D\varphi _{t}^{-1})v_{t},\ \varphi _{0}^{-1}=\ชื่อผู้ดำเนินการ {id} ,}$

การไหลของออยเลอร์

และเมทริกซ์จาโคเบียนสำหรับการไหลที่ กำหนดดังนี้${\displaystyle 3\times 3}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \ D\varphi \doteq \left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right).}$

เพื่อให้มั่นใจถึงการไหลที่ราบรื่นของดิฟฟีโอเมอร์ฟิซึมที่มีอินเวอร์ส ฟิลด์เวกเตอร์จะต้องสามารถหาอนุพันธ์ได้ต่อเนื่องอย่างน้อย 1 ครั้งในปริภูมิ^{[ 8 ] [ 9 ]}ซึ่งจำลองเป็นองค์ประกอบของปริภูมิฮิลเบิร์ต โดยใช้ ทฤษฎีบทการฝังตัว ของโซ โบเลฟ เพื่อให้แต่ละองค์ประกอบมีอนุพันธ์ที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ 3 เท่า ดังนั้นจึงฝังตัวได้อย่างราบรื่นในฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ต่อเนื่อง 1 ครั้ง^{[ 8 ] [ 9 ]} กลุ่มดิฟฟีโอเมอร์ฟิซึมคือการไหลที่มีฟิลด์เวกเตอร์ที่สามารถหาปริพันธ์ได้อย่างสมบูรณ์ในบรรทัดฐานของโซโบเลฟ: ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$${\displaystyle v_{i}\in H_{0}^{3},i=1,2,3,}$${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$

${\displaystyle \operatorname {Diff} _{V}\doteq \left\{\varphi =\varphi _{1}:{\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},\varphi _{0}=\operatorname {id} ,\int _{0}^{1}\|v_{t}\|_{V}\,dt<\infty \right\},}$

กลุ่มดิฟฟีโอมอร์ฟิซึม

โดยที่ตัวดำเนินการเชิงเส้นกำหนดบรรทัดฐานของ RKHS อินทิกรัลคำนวณโดยการอินทิเกรตแบบแยกส่วนเมื่อเป็นฟังก์ชันทั่วไปในปริภูมิคู่ ${\displaystyle \|v_{t}\|_{V}^{2}\doteq \int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}dx}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A:V\mapsto V^{*}}$${\displaystyle Av}$${\displaystyle V^{*}}$

ในแบบจำลองวงโคจรสุ่มของกายวิภาคศาสตร์เชิงคำนวณการไหลทั้งหมดจะลดลงเหลือเพียงเงื่อนไขเริ่มต้นซึ่งก่อให้เกิดพิกัดที่เข้ารหัสการแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียล จากเงื่อนไขเริ่มต้นการกำหนดตำแหน่งทางธรณีวิทยาโดยสัมพันธ์กับเมตริกแบบรีมันน์ของกายวิภาคศาสตร์เชิงคำนวณจะแก้ปัญหาการไหลของสมการออยเลอร์-ลากรองจ์ การแก้ปัญหาทางธรณีวิทยาจากเงื่อนไขเริ่มต้นเรียกว่ารีมันน์-เอกซ์โพเนนเชียล ซึ่งเป็นการแมปที่เอกลักษณ์ไปยังกลุ่ม ${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(\cdot ):V\to \operatorname {Diff} _{V}}$

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลแบบรีมันน์สอดคล้องกับเงื่อนไขเริ่มต้น พลวัตของสนามเวกเตอร์ ${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})=\varphi _{1}}$${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{0}=v_{0}}$${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},t\in [0,1]}$

• สำหรับสมการคลาสสิกรูปทรงดิฟฟีโอเมอร์ฟิกโมเมนตัม, , แล้ว${\displaystyle \int _{X}Av_{t}\cdot w\,dx}$${\displaystyle Av\in V}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}Av_{t}+(Dv_{t})^{T}Av_{t}+(DAv_{t})v_{t}+(\nabla \cdot v)Av_{t}=0\ ;}$

• สำหรับสมการทั่วไปแล้ว,${\displaystyle Av\in V^{*}}$${\displaystyle w\in V}$

${\displaystyle \int _{X}{\frac {d}{dt}}Av_{t}\cdot w\,dx+\int _{X}Av_{t}\cdot ((Dv_{t})w-(Dw)v_{t})\,dx=0.}$

แนวคิดนี้ขยายไปทั่วทั้งกลุ่ม ดัง แสดงในรูปที่แนบมา คือภาพแสดงวงโคจรแบบสุ่มรอบตัวอย่างแต่ละตัวซึ่งสร้างขึ้นโดยการสุ่มการไหลโดยการสร้าง เวกเตอร์สนาม สัมผัส เริ่มต้น ที่จุดเอกลักษณ์ แล้วจึงสร้างวัตถุ แบบ สุ่ม${\displaystyle \varphi =\operatorname {Exp} _{\varphi }(v_{0}\circ \varphi )\doteq \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})\circ \varphi .}$${\displaystyle m_{0}\in {\mathcal {M}}}$${\displaystyle v_{0}\in V}$${\displaystyle n\doteq \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})\cdot m_{0}\in {\mathcal {M}}}$

ภาพทางด้านขวาแสดงวงโคจรแบบการ์ตูน ซึ่งเป็นการกระจายแบบสุ่มของแมนิโฟลด์ใต้เปลือกสมองที่สร้างขึ้นโดยการสุ่มฟิลด์เวกเตอร์ที่รองรับบนซับแมนิโฟลด์ แบบจำลองวงโคจรแบบสุ่มเหนี่ยวนำให้เกิดความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับรูปร่างและภาพโดยมีเงื่อนไขจากแอตลาสเฉพาะสำหรับสิ่งนี้แบบจำลองการสร้างจะสร้างสนามเฉลี่ยเป็นการเปลี่ยนแปลงแบบสุ่มในพิกัดของแม่แบบตาม โดยที่การเปลี่ยนแปลงพิกัดแบบดิฟฟีโอเมอร์ฟิกถูกสร้างขึ้นแบบสุ่มผ่านการไหลของจีโอเดสิก ${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$${\displaystyle I_{a}\in {\mathcal {I}}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I\doteq \varphi \cdot I_{a}}$

แบบจำลองวงโคจรแบบสุ่มเหนี่ยวนำให้เกิดความน่าจะเป็นล่วงหน้าของรูปร่างและภาพโดยมีเงื่อนไขอยู่ที่แผนที่เฉพาะสำหรับสิ่งนี้ แบบจำลองเชิงกำเนิดจะสร้างสนามเฉลี่ยเป็นการเปลี่ยนแปลงแบบสุ่มในพิกัดของแม่แบบตาม โดยที่การเปลี่ยนแปลงแบบดิฟฟีโอเมอร์ฟิกในพิกัดถูกสร้างขึ้นแบบสุ่มผ่านการไหลของจีโอเดสิก ความน่าจะเป็นล่วงหน้าของการแปลงแบบสุ่มบนเหนี่ยวนำโดยการไหลโดยที่ถูกสร้างขึ้นเป็นความน่าจะเป็นล่วงหน้าของสนามสุ่มแบบเกาส์เซียนความหนาแน่นของตัวแปรสังเกตแบบสุ่มที่เอาต์พุตของเซ็นเซอร์กำหนดโดย ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$${\displaystyle I_{a}\in {\mathcal {I}}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I\doteq \varphi \cdot I_{a}}$${\displaystyle \pi _{\mathrm {Diff} }(d\varphi )}$${\displaystyle \operatorname {Diff} _{V}}$${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v)}$${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle \pi _{V}(dv)}$${\displaystyle I^{D}\in {\mathcal {I}}^{D}}$

${\displaystyle p(I^{D}\mid I_{a})=\int _{V}p(I^{D}\mid \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v)\cdot I_{a})\pi _{V}(dv)\ .}$

การประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดภายหลัง ( Maximum a posteriori estimation : MAP) เป็นหัวใจสำคัญของทฤษฎีทางสถิติ สมัยใหม่ พารามิเตอร์ที่สนใจมีหลายรูปแบบ ได้แก่ (i) ประเภทของโรค เช่น โรค ความเสื่อมของระบบประสาทหรือ โรค พัฒนาการของระบบประสาท (ii) ประเภทของโครงสร้าง เช่น โครงสร้างของเปลือกสมองหรือใต้เปลือกสมองในปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการแบ่งส่วนภาพ และ (iii) การสร้างแม่แบบขึ้นใหม่จากประชากร เมื่อกำหนดภาพที่สังเกตได้การประมาณค่า MAP จะเพิ่มค่าความน่าจะเป็นภายหลังให้สูงสุด: ${\displaystyle \theta \in \Theta }$${\displaystyle I^{D}}$

${\displaystyle {\hat {\theta }}\doteq \arg \max _{\theta \in \Theta }\log p(\theta \mid I^{D}).}$

สิ่งนี้ต้องอาศัยการคำนวณความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขแบบจำลองวงโคจรแผนที่หลายชุดจะสุ่มค่าเหนือชุดแผนที่ที่นับได้ แบบจำลองบนภาพในวงโคจรมีรูปแบบเป็นการกระจายแบบผสมหลายโหมด ${\displaystyle p(\theta \mid I^{D})={\frac {p(I^{D},\theta )}{p(I^{D})}}}$${\displaystyle \{I_{a},a\in {\mathcal {A}}\}}$

${\displaystyle p(I^{D},\theta )=\sum _{a\in {\mathcal {A}}}p(I^{D},\theta \mid I_{a})\pi _{\mathcal {A}}(a)\ .}$

แบบจำลองเกาส์เซียนแบบมีเงื่อนไขได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางสำหรับการจับคู่ที่ไม่แม่นยำในภาพที่มีความหนาแน่นสูง และสำหรับการจับคู่จุดสังเกต

แบบจำลองเป็นสนามสุ่มแบบเกาส์เซียนที่มีเงื่อนไข โดยมีค่าเฉลี่ยเป็นเงื่อนไข สำหรับความแปรปรวนแบบเอกรูป พจน์ความคลาดเคลื่อนของจุดปลายจะทำหน้าที่เหมือนลอการิทึมแบบมีเงื่อนไข (ซึ่งเป็นฟังก์ชันของค่าเฉลี่ยเท่านั้น) ทำให้ได้พจน์ของจุดปลายดังนี้: ${\displaystyle I^{D}(x),x\in X}$${\displaystyle \varphi _{1}\cdot I\doteq I(\varphi _{1}^{-1}),\varphi _{1}\in Diff_{V}}$

แบบจำลองเป็นแบบเกาส์เซียนแบบมีเงื่อนไข โดยมีค่าเฉลี่ยเป็นฟิลด์และความแปรปรวนของสัญญาณรบกวนคงที่ ซึ่งไม่ขึ้นอยู่กับจุดสังเกต ค่าลอการิทึมแบบมีเงื่อนไข (ซึ่งเป็นฟังก์ชันของค่าเฉลี่ยเป็นฟิลด์เท่านั้น) สามารถมองได้ว่าเป็นพจน์ปลายทาง: ${\displaystyle Y=\{y_{1},y_{2},\dots \}}$${\displaystyle \varphi _{1}(x_{i}),i=1,2,\dots ,\varphi _{1}\in \operatorname {Diff} _{V}}$

${\displaystyle -\log p(I^{D}\mid I(g))\simeq \operatorname {E} (\varphi _{1})\doteq {\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{i}\|y_{i}-\varphi _{1}(x_{i})\|^{2}.}$

แบบจำลองวงโคจรแบบสุ่มสำหรับแอตลาสหลายชุดจำลองวงโคจรของรูปร่างเป็นผลรวมของวงโคจรทางกายวิภาคหลายวงที่สร้างขึ้นจากการกระทำร่วมกันของดิฟฟีโอเมอร์ฟิซึมโดยแต่ละแอตลาสมีแม่แบบและขอบเขตการแบ่งส่วนที่กำหนดไว้ล่วงหน้าโดยรวมการแบ่งส่วนเข้ากับโครงสร้างทางกายวิภาคของพิกัด MRI คู่ต่างๆ จะถูกจัดทำดัชนีบนโครงข่ายว็อกเซลด้วยภาพ MRI และการติดฉลากอย่างหนาแน่นของพิกัดว็อกเซลทุกตัว การติดฉลากทางกายวิภาคของโครงสร้างที่แบ่งส่วนนั้นเป็นการกำหนดขอบเขตด้วยตนเองโดยนักประสาทกายวิภาคศาสตร์ ${\displaystyle {\mathcal {I}}=\textstyle \bigcup _{a\in {\mathcal {A}}}\displaystyle \operatorname {Diff} _{V}\cdot I_{a}}$${\displaystyle (I_{a},W_{a}),a=a_{1},a_{2},\ldots }$${\displaystyle I_{a}(x_{i}),W_{a}(x_{i}),x_{i}\in X\subset {\mathbb {R} }^{3}}$

ปัญหาการแบ่งส่วนแบบเบย์ส^{[ 10 ]}ได้รับการวัดด้วยสนามเฉลี่ยและการแบ่งส่วน การติดฉลากทางกายวิภาคจะต้องได้รับการประมาณสำหรับภาพ MRI ที่วัดได้ สนามเฉลี่ยของภาพที่สังเกตได้นั้นถูกจำลองเป็นการเปลี่ยนแปลงแบบสุ่มจากแม่แบบหนึ่งซึ่งถูกเลือกแบบสุ่มเช่นกันการแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลที่เหมาะสมที่สุดจะถูกซ่อนไว้และกระทำบนพื้นที่พื้นหลังของพิกัดของภาพแม่แบบที่เลือกแบบสุ่มเมื่อมีแอตลาสเดียวแบบจำลองความน่าจะเป็นสำหรับการอนุมานจะถูกกำหนดโดยความน่าจะเป็นร่วมเมื่อมีแอตลาสหลายอัน การรวมฟังก์ชันความน่าจะเป็นจะให้แบบจำลองผสมหลายรูปแบบด้วยการเฉลี่ยก่อนหน้าเหนือแบบจำลอง ${\displaystyle I^{D}}$${\displaystyle (I,W)}$${\displaystyle \theta \doteq W}$${\displaystyle I^{D}}$${\displaystyle I\doteq \varphi \cdot I_{a}}$${\displaystyle A=a}$${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {G}}}$${\displaystyle I_{a}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle p(I^{D},W\mid A=a)}$

ตัวประมาณค่า MAP ของการแบ่งส่วน คือค่าสูงสุด ที่กำหนดให้ซึ่งเกี่ยวข้องกับการผสมกันของแอตลาสทั้งหมด ${\displaystyle W_{a}}$${\displaystyle \max _{W}\log p(W\mid I^{D})}$${\displaystyle I^{D}}$

${\displaystyle {\hat {W}}\doteq \arg \textstyle \max _{W}\displaystyle \log p(I^{D},W){\text{ with }}p(I^{D},W)=\textstyle \sum _{a\in {\mathcal {A}}}\displaystyle p(I^{D},W\mid A=a)\pi _{A}(a).}$

ปริมาณดังกล่าวคำนวณโดยการรวมความน่าจะเป็นจากแผนที่กายวิภาคที่ปรับเปลี่ยนได้หลายชุด โดยที่คือความน่าจะเป็นเบื้องต้นที่ภาพที่สังเกตได้นั้นพัฒนามาจากภาพแม่แบบเฉพาะ ${\displaystyle p(I^{D},W)}$${\displaystyle \pi _{A}(a)}$${\displaystyle I_{a}}$

การแบ่งส่วน MAP สามารถแก้ไขได้แบบวนซ้ำโดยใช้อัลกอริธึมความคาดหวัง-การทำให้สูงสุด

${\displaystyle W^{\text{new}}\doteq \arg \max _{W}\int \log p(W,I^{D},A,\varphi )\,dp(A,\varphi \mid W^{\text{old}},I^{D}).}$

การสร้างแม่แบบจากข้อมูลเชิงประจักษ์จากประชากรเป็นกระบวนการพื้นฐานที่พบได้ทั่วไปในสาขาวิชานี้ มีวิธีการหลายวิธีที่ใช้สถิติแบบเบย์เซียนสำหรับซับแมนิโฟลด์และปริมาตรภาพหนาแน่น สำหรับกรณีปริมาตรภาพหนาแน่น เมื่อกำหนดตัวแปรที่สังเกตได้ปัญหาคือการประมาณแม่แบบในวงโคจรของภาพหนาแน่น ขั้นตอนของ Ma ใช้ไฮเปอร์แม่แบบเริ่มต้นเป็นจุดเริ่มต้น และสร้างแบบจำลองแม่แบบในวงโคจรภายใต้การแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลที่ไม่ทราบค่าซึ่งต้องประมาณค่าโดยพารามิเตอร์ที่ต้องประมาณค่าคือพิกัดลอการิทึม ซึ่งกำหนดการแม ป แบบจีโอเดสิกของไฮเปอร์แม่แบบ${\displaystyle I^{D_{1}},I^{D_{2}},\dots }$${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$${\displaystyle I_{0}\in {\mathcal {I}}}$${\displaystyle I\doteq \varphi _{0}\cdot I_{0}}$${\displaystyle \theta \doteq v_{0}}$${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})\cdot I_{0}=I\in {\mathcal {I}}}$

ในแบบจำลองวงโคจรสุ่มแบบเบย์เซียนของกายวิภาคศาสตร์เชิงคำนวณ ภาพ MRI ที่สังเกตได้จะถูกจำลองเป็นสนามสุ่มแบบเกาส์เซียนแบบมีเงื่อนไข โดยมีสนามเฉลี่ยและมีการแปลงแม่แบบแบบสุ่มที่ไม่ทราบค่า ปัญหาการประมาณค่า MAP คือการประมาณค่าแม่แบบที่ไม่ทราบค่าโดยพิจารณาจากภาพ MRI ที่สังเกตได้ ${\displaystyle I^{D_{i}}}$${\displaystyle \varphi _{i}\cdot I}$${\displaystyle \varphi _{i}}$${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$

วิธีการของ Ma สำหรับการสร้างภาพความหนาแน่นสูงนั้นใช้ไฮเปอร์เทมเพลตเริ่มต้นเป็นจุดเริ่มต้น และจำลองเทมเพลตในวงโคจรภายใต้การแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลที่ไม่ทราบค่า ตัวแปรที่สังเกตได้จะถูกจำลองเป็นฟิลด์สุ่มแบบมีเงื่อนไข ซึ่งเป็นฟิลด์สุ่มแบบเกาส์เซียนแบบมีเงื่อนไขที่มีฟิลด์ค่าเฉลี่ย ตัวแปรที่ไม่ทราบค่าที่ต้องประมาณค่าอย่างชัดเจนโดย MAP คือการแมปของไฮเปอร์เทมเพลตโดยการแมปอื่นๆ จะถูกพิจารณาว่าเป็นตัวแปรที่ไม่พึงประสงค์หรือตัวแปรที่ซ่อนอยู่ ซึ่งจะถูกตัดออกไปโดยใช้วิธีการของเบย์ส กระบวนการนี้สำเร็จได้โดยใช้ อัลกอริธึ ม การคาดการณ์และการทำให้สูงสุด${\displaystyle I_{0}\in {\mathcal {I}}}$${\displaystyle I\doteq \varphi _{0}\cdot I_{0}}$${\displaystyle I^{D_{i}}}$${\displaystyle \varphi _{i}\cdot I\doteq \varphi _{i}\cdot \varphi _{0}\cdot I_{0}}$${\displaystyle \varphi _{0}}$

แบบจำลองวงโคจรถูกนำมาใช้โดยการเชื่อมโยงการไหลที่ไม่ทราบค่าที่จะประมาณเข้ากับพิกัดลอการิทึมผ่านลอการิทึมจีโอเดสิกแบบรีมันน์และเลขชี้กำลังสำหรับกายวิภาคเชิงคำนวณของสนามเวกเตอร์เริ่มต้นในปริภูมิสัมผัสที่เอกลักษณ์เพื่อให้ด้วยการแมปของไฮเปอร์เทมเพลต ปัญหาการประมาณค่า MAP จึงกลายเป็น ${\displaystyle v_{i},i=1,\dots }$${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i})\doteq \varphi _{i}}$${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})}$

${\displaystyle \max _{v_{0}}p(I^{D},\theta =v_{0})=\int p(I^{D},\theta =v_{0}\mid v_{1},v_{2},\dots )\pi (v_{1},v_{2},\dots )\,dv}$

อัลกอริทึม EM ใช้พิกัดสนามเวกเตอร์ซึ่งเป็นพารามิเตอร์ของการแมปเป็นข้อมูลที่สมบูรณ์และคำนวณค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไขซ้ำๆ กัน ${\displaystyle v_{i},i=1,\dots }$

${\displaystyle {\begin{cases}Q(\theta =v_{0};\theta ^{\text{old}}=v_{0}^{\text{old}})&=-\operatorname {E} (\log p(I^{D},\theta =v_{0}\mid v_{1},v_{2},\dots )\mid I^{D},\theta ^{\text{old}})\\&=-\|({\bar {I}}^{\text{old}}-I_{0}\circ \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})^{-1}){\sqrt {\beta ^{\text{old}}}}\|^{2}-\|v_{0}\|_{V}^{2}\end{cases}}}$

• คำนวณเทมเพลตใหม่ที่เพิ่มค่าฟังก์ชัน Q ให้สูงสุด โดยกำหนดค่า

${\displaystyle \theta ^{\text{new}}\doteq v_{0}^{\text{new}}=\arg \max _{\theta =v_{0}}Q(\theta ;\theta ^{\text{old}}=v_{0}^{\text{old}})=-\left\|({\bar {I}}^{\text{old}}-I_{0}\circ \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})^{-1}){\sqrt {\beta ^{\text{old}}}}\right\|^{2}-\|v_{0}\|_{V}^{2}}$

• คำนวณค่าประมาณฐานนิยมสำหรับค่าคาดหวัง โดยปรับปรุงค่าคาดหวังสำหรับค่าฐานนิยม:

${\displaystyle v_{i}^{\text{new}}=\arg \max _{v:{\dot {\varphi }}=v\circ \varphi }-\int _{0}^{1}\|v_{t}\|_{V}^{2}\,dt-\|I^{D_{i}}-I_{0}\circ \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0}^{\text{old}})^{-1}\circ \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v)^{-1}\|^{2}.i=1,2,\dots }$

${\displaystyle \beta ^{\text{new}}(x)=\sum _{i=1}^{n}|D\operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i}^{\text{new}})(x)|,{\text{ with }}{\bar {I}}^{\text{new}}(x)={\frac {\sum _{i=1}^{n}I^{D_{i}}\circ \operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i}^{\text{new}})|D\operatorname {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{i}^{\text{new}})(x)|}{\beta ^{\text{old}}(x)}}}$