สูตรที่ง่ายที่สุดของ Beer อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างการลดทอนแสงของวัสดุทางกายภาพที่ประกอบด้วยสารลดทอนแสงชนิดเดียวที่มีความเข้มข้นสม่ำเสมอ กับความยาวของเส้นทางแสงที่ผ่านตัวอย่างและความสามารถในการดูดกลืนแสงของสารนั้น โดยมีสูตรดังนี้:$${\displaystyle \log _{10}(I_{0}/I)=A=\varepsilon \ell c}$$ปริมาณที่เท่ากันดังกล่าวจะถูกกำหนดให้เป็นค่าการดูดกลืนแสงAซึ่งขึ้นอยู่กับฐานลอการิทึม ค่าการดูดกลืนแสงแบบเนเปเรียน τ จะกำหนดโดยτ = ln(10) Aและเป็นไปตามเงื่อนไข$${\displaystyle \ln(I_{0}/I)=\tau =\sigma \ell n.}$$

หากมีหลายสปีชีส์ในวัสดุที่ทำปฏิกิริยากับรังสี การดูดกลืนของพวกมันจะรวมกัน ดังนั้นสูตรทั่วไปที่กว้างกว่าเล็กน้อยคือ^{[ 14 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\tau &=\ell \sum _{i}\sigma _{i}n_{i},\\[4pt]A&=\ell \sum _{i}\varepsilon _{i}c_{i},\end{aligned}}}$$โดยผลรวมนั้นครอบคลุมทุกชนิดที่สามารถมีปฏิสัมพันธ์กับรังสีได้ ("โปร่งแสง") และiเป็นดัชนีของชนิดเหล่านั้น

ในกรณีที่ความยาวอาจแตกต่างกันอย่างมาก บางครั้งค่าการดูดกลืนแสงจะถูกสรุปในรูปของสัมประสิทธิ์การลดทอน$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mu _{10}&={\frac {A}{l}}&&=\epsilon c\\\mu &={\frac {\tau }{l}}&&=\sigma n.\end{alignedat}}}$$

ในวิทยาศาสตร์บรรยากาศและ การประยุกต์ใช้ ในการป้องกันรังสีค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนอาจแตกต่างกันอย่างมากในวัสดุที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน ในสถานการณ์เหล่านั้น กฎของเบียร์-แลมเบิร์ตในรูปแบบทั่วไปที่สุดระบุว่า การลดทอนทั้งหมดสามารถหาได้โดยการอินทิเกรตค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนเหนือส่วนเล็กๆdzของลำแสง:$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}A&=\int {\mu _{10}(z)\,dz}&&=\int {\sum _{i}{\epsilon _{i}(z)c_{i}(z)}\,dz},\\\tau &=\int {\mu (z)\,dz}&&=\int {\sum _{i}{\sigma _{i}(z)n_{i}(z)}\,dz}.\end{alignedat}}}$$สูตรเหล่านี้จะลดรูปไปเป็นรูปแบบที่ง่ายกว่าเมื่อมีสารออกฤทธิ์เพียงชนิดเดียวและค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนคงที่

ภายใต้เงื่อนไขบางประการ กฎของ Beer–Lambert ไม่สามารถรักษาความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างการลดทอนและความเข้มข้นของสารวิเคราะห์ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่ความเข้มข้นสูงซึ่งการกระเจิงและความขุ่นกลายเป็นสิ่งสำคัญ^{[ 16 ] [ 17 ]}

ความคลาดเคลื่อนเหล่านี้สามารถจำแนกออกเป็นสามประเภท:

1. ความคลาดเคลื่อนที่แท้จริง—ความคลาดเคลื่อนพื้นฐานอันเนื่องมาจากข้อจำกัดของกฎหมายเอง
2. ความผิดปกติทางเคมี—พบความคลาดเคลื่อนเนื่องจากชนิดของสารเคมีเฉพาะในตัวอย่างที่กำลังวิเคราะห์
3. ความคลาดเคลื่อนที่เกิดจากเครื่องมือวัด—ซึ่งเกิดขึ้นเนื่องจากวิธีการวัดค่าการลดทอนสัญญาณ

กฎหมาย Beer–Lambert จะมีผลบังคับใช้ได้นั้น ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขอย่างน้อยหกประการ ดังนี้:

1. อุปกรณ์ลดทอนสัญญาณต้องทำงานแยกจากกันโดยอิสระ
2. ตัวกลางลดทอนจะต้องเป็นเนื้อเดียวกันตลอดปริมาตรการปฏิสัมพันธ์
3. ตัวกลางที่ลดทอนรังสีต้องไม่กระจายรังสี—ต้องไม่มีความขุ่น — เว้นแต่จะมีการคำนึงถึงเรื่องนี้ไว้แล้ว เช่นในDOAS
4. รังสีที่ตกกระทบจะต้องประกอบด้วยรังสีขนาน โดยแต่ละรังสีต้องเคลื่อนที่ผ่านตัวกลางดูดซับในระยะทางเท่ากัน
5. รังสีที่ตกกระทบควรเป็นรังสีเอกรงค์หรืออย่างน้อยที่สุดควรมีความกว้างของช่วงคลื่นที่แคบกว่าช่วงคลื่นที่ลดทอนลง มิฉะนั้น จะต้องใช้สเปกโทรเมตรเป็นตัวตรวจจับกำลังแทนโฟโตไดโอด ซึ่งไม่สามารถแยกแยะความยาวคลื่นได้
6. ฟลักซ์แสงที่ตกกระทบต้องไม่ส่งผลกระทบต่ออะตอมหรือโมเลกุล แต่ควรทำหน้าที่เป็นเพียงเครื่องมือตรวจสอบแบบไม่รบกวนต่อชนิดของสารที่กำลังศึกษา โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หมายความว่าแสงไม่ควรทำให้เกิดการอิ่มตัวทางแสงหรือการกระตุ้นทางแสง เนื่องจากผลกระทบดังกล่าวจะทำให้ระดับพลังงานต่ำลดลงและอาจทำให้เกิดการปล่อยแสงแบบกระตุ้นได้

หากเงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่งเหล่านี้ไม่ครบถ้วน จะทำให้เกิดความเบี่ยงเบนจากกฎของเบียร์-แลมเบิร์ต

กฎนี้มักจะใช้ไม่ได้ผลที่ความเข้มข้นสูงมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากวัสดุนั้นมีการกระเจิง สูง ค่าการดูดกลืนแสงในช่วง 0.2 ถึง 0.5 ถือว่าเหมาะสมที่สุดเพื่อรักษาความเป็นเส้นตรงในกฎของเบียร์-แลมเบิร์ต หากรังสีมีความเข้มสูงเป็นพิเศษ กระบวนการ ทางแสงแบบไม่เชิงเส้นก็อาจทำให้เกิดความแปรปรวนได้เช่นกัน อย่างไรก็ตาม เหตุผลหลักคือโดยทั่วไปแล้วการพึ่งพาความเข้มข้นนั้นไม่เป็นเชิงเส้น และกฎของเบียร์ใช้ได้เฉพาะภายใต้เงื่อนไขบางประการดังที่แสดงโดยการพิสูจน์ด้านล่าง สำหรับออสซิลเลเตอร์ที่แรงและที่ความเข้มข้นสูง ความเบี่ยงเบนจะรุนแรงมากขึ้น หากโมเลกุลอยู่ใกล้กันมากขึ้น อาจเกิดปฏิกิริยาขึ้นได้ ปฏิกิริยาเหล่านี้สามารถแบ่งออกได้คร่าวๆ เป็นปฏิกิริยาทางกายภาพและปฏิกิริยาทางเคมี ปฏิกิริยาทางกายภาพจะไม่เปลี่ยนแปลงสภาพการเป็นขั้วของโมเลกุลตราบใดที่ปฏิกิริยาไม่รุนแรงมากจนแสงและสถานะควอนตัมของโมเลกุลผสมกัน (การเชื่อมต่อที่แข็งแกร่ง) แต่จะทำให้พื้นที่หน้าตัดการลดทอนไม่สามารถบวกกันได้ผ่านการเชื่อมต่อทางแม่เหล็กไฟฟ้า ในทางตรงกันข้าม ปฏิกิริยาทางเคมีจะเปลี่ยนสภาพการเป็นขั้วและดังนั้นจึงเปลี่ยนการดูดกลืนแสง

ในของแข็ง การลดทอนมักจะเป็นผลรวมของสัมประสิทธิ์การดูดกลืน${\displaystyle \alpha }$(การสร้างคู่อิเล็กตรอน-โฮล) หรือการกระเจิง (เช่นการกระเจิงแบบเรย์ลีหากศูนย์กลางการกระเจิงมีขนาดเล็กกว่าความยาวคลื่นตกกระทบมาก) ^{[ 18 ]}โปรดทราบด้วยว่าสำหรับบางระบบ เราสามารถใส่${\displaystyle 1/\lambda }$(1 หารด้วยระยะทางอิสระเฉลี่ยที่ไม่ยืดหยุ่น) แทนที่${\displaystyle \mu }$[ ^{19 ]​}

เช่นเดียวกับสารละลาย กฎของเบียร์-แลมเบิร์ตสามารถนำไปใช้กับพลาสมาได้เช่นกัน โดยทั่วไปแล้ว ค่าสัมประสิทธิ์การดูดกลืนจะแสดงเป็น${\displaystyle \alpha (\lambda )=n\sigma (\lambda )}$ที่ไหน${\displaystyle n}$คือความหนาแน่นเชิงจำนวนของชนิดที่ดูดซับ และ${\displaystyle \sigma (\lambda )}$คือค่าภาคตัดขวางการดูดกลืนที่ขึ้นอยู่กับความยาวคลื่น^{[ 20 ]}การแทนที่ลงในกฎของเบียร์-แลมเบิร์ตจะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

${\displaystyle \ln(I_{0}/I)=\int n(s)\sigma (\lambda )\operatorname {d} \!s}$

ซึ่งเชื่อมโยงการลดทอนที่วัดได้กับความหนาแน่นของจำนวนที่รวมตามเส้นตามเส้นทางแสง^{[ 20 ] [ 21 ]}สูตรนี้เป็นพื้นฐานของเทคนิคสเปกโทรสโกปีการดูดกลืนแสงเลเซอร์หลายอย่าง รวมถึงสเปกโทรสโกปีการดูดกลืนแสงเลเซอร์ไดโอดแบบปรับได้และเลเซอร์ควอนตัมแคสเคด ซึ่งสามารถใช้เพื่อกำหนดความหนาแน่นสัมบูรณ์ อุณหภูมิ และความเร็วการไหลโดยรวมในพลาสมาในห้องปฏิบัติการ อุตสาหกรรม และฟิวชัน^{[ 20 ] [ 22 ]}

ในพลาสมาที่ร้อนหรือหนาแน่นกว่า เช่น ในชั้นบรรยากาศของดาวฤกษ์ อนุภาคอะตอมและไอออนจำนวนมากมีส่วนร่วมพร้อมกัน โดยมักจะมีสถานะการแตกตัวเป็นไอออนหลายสถานะอยู่ร่วมกัน ดังนั้น การพิจารณาการดูดกลืนแสงเป็นผลรวมของพื้นที่หน้าตัดของอนุภาคแต่ละตัวจึงทำได้ยาก ในทางกลับกัน กฎของเบียร์-แลมเบิร์ตมักเขียนในรูปของความทึบแสงที่มีประสิทธิภาพ${\displaystyle \kappa _{\nu }}$ซึ่งครอบคลุมกระบวนการระดับจุลภาคทั้งหมดที่ความถี่ที่กำหนด: ^{[ 22 ]}

${\displaystyle I_{\nu }=I_{\nu ,0}\exp \!\left(-\int \kappa _{\nu }\rho \,\mathrm {d} s\right)}$

ที่ไหน${\displaystyle I_{\nu ,0}}$และ${\displaystyle I_{\nu }}$คือความเข้มสเปกตรัมของแสงตกกระทบและแสงที่ส่งผ่าน${\displaystyle \rho }$คือความหนาแน่นมวล และอินทิกรัลจะถูกคำนวณตามแนวสายตา ซึ่งแสดงถึงขีดจำกัดการดูดซับเพียงอย่างเดียวของสมการการถ่ายโอนรังสี^{[ 21 ] [ 22 ]}แม้ว่ากฎของ Beer-Lambert จะมีความแม่นยำที่สุดสำหรับพลาสมาที่โปร่งแสงหรือดูดซับปานกลาง แต่ก็ยังคงเป็นการประมาณพื้นฐานสำหรับการตีความการวัดการดูดซับในการวินิจฉัยพลาสมา^{[ 20 ]}

กฎนี้ยังเกิดขึ้นเป็นคำตอบของสมการ BGKอีก ด้วย

กฎของเบียร์-แลมเบิร์ตสามารถนำไปใช้กับการวิเคราะห์สารผสมโดยใช้สเปกโทรโฟโตเมตรีได้ โดยไม่จำเป็นต้องมีการเตรียมตัวอย่างล่วงหน้าอย่างละเอียด ตัวอย่างเช่น การหาปริมาณบิลิรูบินในตัวอย่างพลาสมาในเลือด สเปกตรัมของบิลิรูบินบริสุทธิ์เป็นที่ทราบกันดี ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนโมลาร์εจึงเป็นที่ทราบกันดี การวัดค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนทศนิยมμ จะทำที่ความยาวคลื่นλ หนึ่งค่า ซึ่งเกือบจะเป็นเอกลักษณ์สำหรับบิลิรูบิน และที่ความยาวคลื่นที่สองเพื่อแก้ไขการรบกวนที่อาจเกิดขึ้น จากนั้นความเข้มข้นของปริมาณcจะคำนวณได้จากสูตร $${\displaystyle c={\frac {\mu _{10}(\lambda )}{\varepsilon (\lambda )}}.}$$

สำหรับตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านี้ ลองพิจารณาสารละลายผสมที่มีสารสองชนิดในความเข้มข้นc และc ค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนแบบทศวรรษที่ความยาวคลื่นλ ใดๆ จะกำหนดโดย $${\displaystyle \mu _{10}(\lambda )=\varepsilon _{1}(\lambda )c_{1}+\varepsilon _{2}(\lambda )c_{2}.}$$

ดังนั้น การวัดที่ความยาวคลื่นสองค่าจะให้สมการสองสมการในสองตัวแปรที่ไม่ทราบค่า และเพียงพอที่จะกำหนดความเข้มข้นของปริมาณc และc ได้ ตราบใดที่ทราบค่าสัมประสิทธิ์การลดทอนโมลาร์ของส่วนประกอบทั้งสองε และε ที่ความยาวคลื่นทั้งสอง สมการสองระบบนี้สามารถแก้ได้โดยใช้กฎของเครเมอร์ ในทางปฏิบัติ การใช้วิธี การกำลังสองน้อยที่สุดเชิงเส้นจะเหมาะสมกว่าในการกำหนดความเข้มข้นของปริมาณทั้งสองจากผลการวัดที่ความยาวคลื่นมากกว่าสองค่า

สารผสมที่มีส่วนประกอบมากกว่าสองชนิดสามารถวิเคราะห์ได้ด้วยวิธีเดียวกัน โดยใช้ความยาวคลื่นอย่างน้อยmสำหรับสารผสมที่มี ส่วนประกอบ nชนิด ดังนั้นโดยทั่วไปแล้ว:

${\displaystyle A_{\lambda _{i}}=\sum _{j=1}^{n}\epsilon _{j,\lambda _{i}}c_{j}l}$

ที่ไหน${\displaystyle A_{\lambda _{i}}}$คือค่าการดูดกลืนแสงที่ความยาวคลื่น${\displaystyle \lambda _{i}}$,${\displaystyle \epsilon _{j,\lambda _{i}}}$คือค่าการดูดกลืนแสงโมลาร์ของส่วนประกอบ${\displaystyle j}$ที่${\displaystyle \lambda _{i}}$,${\displaystyle c_{j}}$คือความเข้มข้นของส่วนประกอบ${\displaystyle j}$, และ${\displaystyle l}$คือความยาวของเส้นทาง

กฎนี้ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในสเปกโทรสโกปีอินฟราเรดและสเปกโทรสโกปีอินฟราเรดใกล้สำหรับการวิเคราะห์การเสื่อมสภาพและการออกซิเดชัน ของพอลิเมอร์ (รวมถึงในเนื้อเยื่อทางชีวภาพ) ตลอดจนการวัดความเข้มข้นของสารประกอบต่างๆ ในตัวอย่างอาหาร หลายชนิด การลดลง ของกลุ่มคาร์บอนิลที่ประมาณ 6 ไมโครเมตรสามารถตรวจจับได้ค่อนข้างง่าย และสามารถคำนวณ ระดับการออกซิเดชันของ พอลิเมอร์ ได้

กฎของบูเกอร์-แลมเบิร์ตสามารถนำมาใช้อธิบายการลดทอนของรังสีจากดวงอาทิตย์หรือดาวฤกษ์ขณะเดินทางผ่านชั้นบรรยากาศ ในกรณีนี้ จะมีการกระเจิงของรังสีเช่นเดียวกับการดูดกลืน ความหนาแน่นเชิงแสงสำหรับเส้นทางเอียงคือτ ′ = mτโดยที่τหมายถึงเส้นทางแนวตั้งmเรียกว่ามวลอากาศสัมพัทธ์และสำหรับชั้นบรรยากาศแบบระนาบขนาน จะกำหนดได้จากm = sec θโดยที่θคือมุมเงยที่สอดคล้องกับเส้นทางที่กำหนด กฎของบูเกอร์-แลมเบิร์ตสำหรับชั้นบรรยากาศมักเขียนได้ดังนี้ $${\displaystyle T=\exp {\big (}-m(\tau _{\mathrm {a} }+\tau _{\mathrm {g} }+\tau _{\mathrm {RS} }+\tau _{\mathrm {NO_{2}} }+\tau _{\mathrm {w} }+\tau _{\mathrm {O_{3}} }+\tau _{\mathrm {r} }+\cdots ){\bigr )},}$$โดยที่ τ แต่ละค่าคือความลึกเชิงแสง ซึ่งตัวห้อยจะระบุแหล่งที่มาของการดูดกลืนหรือการกระเจิงที่อธิบาย:

• aหมายถึงละอองลอย (ที่ดูดซับและกระจายแสง)
• gคือก๊าซผสมที่สม่ำเสมอ (ส่วนใหญ่ประกอบด้วยคาร์บอนไดออกไซด์ (CO2 และออกซิเจน โมเลกุล (O2 ซึ่งดูดซับได้เท่านั้น)
• NO คือไนโตรเจนไดออกไซด์ซึ่งส่วนใหญ่เกิดจากมลพิษในเมือง (ดูดซับเท่านั้น)
• RSคือปรากฏการณ์ที่เกิดจากการกระเจิงแบบรามานในชั้นบรรยากาศ
• wคือการดูดซับไอน้ำ ;
• O คือโอโซน (ดูดซับเท่านั้น);
• rคือการกระเจิงแบบเรย์ลีจากโมเลกุลออกซิเจน ( O₂ และไนโตรเจน ( N₂ (ซึ่งเป็นสาเหตุของสีฟ้าของท้องฟ้า)
• การเลือกสารลดทอนที่ต้องพิจารณาขึ้นอยู่กับช่วงความยาวคลื่น และอาจรวมถึงสารประกอบอื่นๆ อีกหลายชนิด เช่นเตตระออกซิเจน , HONO , ฟอร์มาลดีไฮด์ , ไกลออกซาล , สารประกอบฮาโลเจนหลายชนิด และอื่นๆ

mคือค่ามวลเชิงแสงหรือปัจจัยมวลอากาศซึ่งเป็นค่าโดยประมาณเท่ากับ (สำหรับค่าθ ที่เล็กและปานกลาง ) ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{\cos \theta }},}$โดยที่ θ คือ มุมเงยของวัตถุที่สังเกต(มุมที่วัดจากทิศทางตั้งฉากกับพื้นผิวโลก ณ จุดสังเกต) สมการนี้สามารถใช้เพื่อหาค่า τa เป็นความหนาแน่นเชิงแสงของละอองลอยซึ่งจำเป็นสำหรับการแก้ไขภาพถ่ายดาวเทียม และยังมีความสำคัญในการพิจารณาบทบาทของละอองลอยในสภาพภูมิอากาศด้วย