ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตสูตรร่องรอยของ Behrendเป็นการวางนัยทั่วไปของสูตรร่องรอย Grothendieck–Lefschetzไปยังสแต็กพีชคณิตเรียบ เหนือฟิลด์จำกัดที่คาดการณ์ไว้ในปี 1993 ^{[ 1 ]}และพิสูจน์ในปี 2003 ^{[ 2 ]}โดยKai Behrendแตกต่างจากสูตรคลาสสิก สูตรนี้จะนับจุดใน " วิธีสแต็กกี้ " โดยคำนึงถึงการมีอยู่ของออโตมอร์ฟิซึมที่ไม่ธรรมดา

ความต้องการสูตรนี้มาจากข้อเท็จจริงที่ว่ามันใช้ได้กับโมดูลัสสแต็กของบันเดิลหลักบนเส้นโค้งเหนือฟิลด์จำกัด (ในบางกรณีโดยอ้อม ผ่านการแบ่งชั้นของ Harder–Narasimhanเนื่องจากโมดูลัสสแต็กไม่ใช่ประเภทจำกัด^{[ 3 ] [ 4 ]} ) ดูโมดูลัสสแต็กของบันเดิลหลักและเอกสารอ้างอิงในนั้นสำหรับสูตรที่แม่นยำในกรณีนี้

Pierre Deligneพบตัวอย่าง^{[ 5 ]} ที่แสดงให้เห็นว่าสูตรนี้สามารถตีความ ได้ ว่าเป็น สูตรร่องรอย Selbergชนิดหนึ่ง

Shenghao Sun ได้ให้การพิสูจน์สูตรในบริบทของ รูปแบบ การดำเนินการหกอย่างที่พัฒนาโดยYves Laszloและ Martin Olsson ^{[ 6 ] [ 7 ]}

ตามนิยาม ถ้าCเป็นหมวดหมู่ที่แต่ละวัตถุมีออโตมอร์ฟิซึมจำนวนจำกัด จำนวนจุดใน${\displaystyle C}$ถูกกำหนดโดย

${\displaystyle \#C=\sum _{p}{1 \over \#\operatorname {Aut} (p)},}$

โดยผลรวมจะครอบคลุมตัวแทนpของคลาสไอโซมอร์ฟิซึมทั้งหมดในC (โดยทั่วไปอนุกรมอาจลู่เข้าไม่ได้) สูตรระบุว่า: สำหรับสแต็กพีชคณิตเรียบXที่มีชนิดจำกัดเหนือฟิลด์จำกัด${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$และ"เลขคณิต" ของฟรอเบเนียส${\displaystyle \phi ^{-1}:X\to X}$กล่าวคือ ส่วนกลับของเรขาคณิตฟรอเบนิอุสตามปกติ${\displaystyle \phi }$ในสูตรของ Grothendieck ^{[ 8 ] [ 9 ]}

${\displaystyle \#X(\mathbb {F} _{q})=q^{\dim X}\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\operatorname {tr} \left(\phi ^{-1};H^{i}(X,\mathbb {Q} _{l})\right).}$

ในที่นี้ สิ่งสำคัญคือโคฮอโมโลยีของสแต็กต้องสัมพันธ์กับโทโพโลยีแบบเรียบ (ไม่ใช่แบบเอทาล)

เมื่อXเป็นวาไรตี้ โคฮอโมโลจีแบบเรียบจะเหมือนกับโคฮอโมโลจีแบบเอทาล และด้วยทฤษฎีบทคู่ของปวงกาเรทำให้สิ่งนี้เทียบเท่ากับสูตรร่องรอยของโกรเทนดีค (แต่การพิสูจน์สูตรร่องรอยของเบห์เรนด์อาศัยสูตรของโกรเทนดีค ดังนั้นสูตรนี้จึงไม่ครอบคลุมสูตรของโกรเทนดีค)

พิจารณา${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}=[\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{q}/\mathbb {G} _{m}]}$สแต็กจำแนกประเภทของแผนผังกลุ่ม การคูณ (นั่นคือ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}(R)=R^{\times }}$ตามนิยามแล้ว${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}(\mathbb {F} _{q})}$เป็นหมวดหมู่ของหลักการ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$-รวมกลุ่มกัน${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {F} _{q}}$ซึ่งมีคลาสไอโซมอร์ฟิซึมเพียงคลาสเดียว (เนื่องจากบันเดิลดังกล่าวทั้งหมดเป็นแบบไม่สำคัญตามทฤษฎีบทของแลง ) กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของมันคือ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ซึ่งหมายความว่าจำนวนของ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$-ไอโซมอร์ฟิซึมคือ${\displaystyle \#\mathbb {G} _{m}(\mathbb {F} _{q})=\#\mathbb {F} _{q}^{\times }=q-1}$.

ในทางกลับกัน เราอาจคำนวณ โคฮอโมโลยี l -adic ของ${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$โดยตรง เราสังเกตว่าในบริบททางทอพอโลยี เรามี${\displaystyle B\mathbb {C} ^{\times }\cong \mathbb {CP} ^{\infty }}$(ที่ไหน${\displaystyle B\mathbb {C} ^{\times }}$ในที่นี้ หมายถึงปริภูมิจำแนกประเภทปกติของกลุ่มโทโพโลยีซึ่งวงแหวนโคฮอโมโลยีเชิงตรรกะเป็นวงแหวนพหุนามในตัวสร้างตัวเดียว ( ทฤษฎีบทของโบเรล ) แต่เราจะไม่ใช้สิ่งนี้โดยตรง หากเราต้องการอยู่ในโลกของเรขาคณิตเชิงพีชคณิต เราอาจ "ประมาณ" แทน${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$โดยปริภูมิเชิงฉายที่มีมิติใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ ดังนั้นเราจึงพิจารณาแผนที่${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}\to \mathbb {P} ^{N}}$เหนี่ยวนำโดย${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$-ชุดที่สอดคล้องกับ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1).}$แผนที่นี้เหนี่ยวนำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมในโคฮอโมโลยีในระดับสูงสุดถึง2Nดังนั้นจำนวนเบ็ตติคู่ (หรือคี่) ของ${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$คือ 1 (หรือ 0) และ การแสดงแทน Galois l -adic บน กลุ่มโคฮอโมโลยีที่ (2n)คือ กำลังที่ nของอักขระไซโคลโทมิก ส่วนที่สองเป็นผลสืบเนื่องมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าโคฮอโมโลยีของ${\displaystyle \mathbb {P} ^{N}}$ถูกสร้างขึ้นโดยคลาสวัฏจักรพีชคณิต ซึ่งแสดงให้เห็นว่า

${\displaystyle \sum _{i\geq 0}(-1)^{i}\operatorname {tr} \left(\phi ^{-1};H^{i}(B\mathbb {G} _{m},\mathbb {Q} _{l})\right)=1+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{q^{2}}}+\cdots ={\frac {q}{q-1}}.}$

โปรดทราบว่า

${\displaystyle \dim B\mathbb {G} _{m}=\dim \operatorname {Spec} \mathbb {F} _{q}-\dim \mathbb {G} _{m}=-1.}$

การคูณด้วย${\displaystyle q^{-1}}$จึงได้ความเท่าเทียมกันตามที่คาดการณ์ไว้