ในกลศาสตร์คลาสสิกทฤษฎีบทของเบอร์ทรานด์กล่าวว่า ในบรรดาศักยภาพแรงศูนย์กลาง ที่มีวงโคจรผูกพัน มีเพียงศักยภาพสเกลาร์แรงศูนย์กลาง (รัศมี) สองประเภทเท่านั้น ที่มีคุณสมบัติว่าวงโคจรผูกพันทั้งหมดเป็นวงโคจรปิดด้วย^{[ 1 ] [ 2 ]}ทฤษฎีบทนี้ตั้งชื่อตามผู้ค้นพบคือโจเซฟ เบอร์ทรานด์ซึ่งตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2416 ^{[ 3 ] [ 4 ]}

ศักยภาพแรกดังกล่าวคือแรงศูนย์กลางผกผันกำลังสองเช่นศักยภาพโน้มถ่วงหรือศักยภาพไฟฟ้าสถิต : ด้วยแรง$${\displaystyle V(r)=-{\frac {k}{r}}}$$$${\displaystyle \mathbf {F} (r)=-\nabla V=-{\frac {k}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}.}$$

ประการที่สองคือศักยภาพของออสซิเลเตอร์ฮาร์มอนิกเชิงรัศมี : ด้วยแรง$${\displaystyle V(r)={\frac {1}{2}}kr^{2}}$$$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=-\nabla V=-kr\,{\hat {\mathbf {r} }}.}$$

แรงดึงดูดเข้าสู่ศูนย์กลางทั้งหมดสามารถสร้าง วง โคจรเป็นวงกลม ได้ ซึ่งโดยธรรมชาติแล้วเป็นวงโคจรปิดข้อกำหนดเพียงอย่างเดียวคือ แรงดึงดูดเข้าสู่ศูนย์กลางต้องเท่ากับแรงสู่ศูนย์กลาง พอดี ซึ่งเป็นตัวกำหนดความเร็วเชิงมุม ที่ต้องการ สำหรับรัศมีวงกลมที่กำหนด แรงที่ไม่ใช่แรงดึงดูดเข้าสู่ศูนย์กลาง (เช่น แรงที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรเชิงมุมรวมถึงรัศมี) จะถูกละเลยในที่นี้ เนื่องจากโดยทั่วไปแล้วจะไม่สร้างวงโคจรเป็นวงกลม

สมการการเคลื่อนที่สำหรับรัศมีของอนุภาคที่มีมวลซึ่งเคลื่อนที่ในศักย์ศูนย์กลางนั้นกำหนดโดยสมการการเคลื่อนที่${\displaystyle r}$${\displaystyle m}$${\displaystyle V(r)}$

$${\displaystyle m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}},}$$

โดยที่และโมเมนตัมเชิงมุมจะถูกอนุรักษ์ไว้ เพื่อเป็นตัวอย่าง พจน์แรกทางด้านซ้ายจะเป็นศูนย์สำหรับวงโคจรแบบวงกลม และแรงที่กระทำเข้าด้านในจะเท่ากับแรงสู่ศูนย์กลางตามที่คาดไว้ ${\displaystyle \omega \equiv {\frac {d\theta }{dt}}}$${\displaystyle L=mr^{2}\โอเมก้า }$${\displaystyle {\frac {dV}{dr}}}$${\displaystyle mr^{2}\omega }$

นิยามของโมเมนตัมเชิงมุมช่วยให้สามารถเปลี่ยนตัวแปรอิสระจากเป็น ได้ดังนี้: ${\displaystyle t}$${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {d}{d\theta }},}$$

ซึ่งให้สมการการเคลื่อนที่ใหม่ที่ไม่ขึ้นกับเวลา:

$${\displaystyle {\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}.}$$

สมการนี้จะกลายเป็นสมการกึ่งเชิงเส้นเมื่อทำการเปลี่ยนตัวแปรและคูณทั้งสองข้างด้วย(ดูสมการของบิเนต์ ด้วย ): ${\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}}$${\displaystyle {\frac {นาย^{2}}{L^{2}}}}$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V{\left({\frac {1}{u}}\right)}.}$$

ดังที่กล่าวมาข้างต้น แรงศูนย์กลางทั้งหมดสามารถสร้างวงโคจรเป็นวงกลม ได้ หากกำหนดความเร็วเริ่มต้นที่เหมาะสม อย่างไรก็ตาม หากมี การเพิ่ม ความเร็วในแนวรัศมีเข้าไป วงโคจรเหล่านี้อาจไม่เสถียร (กล่าวคือ คงอยู่ในวงโคจรอย่างไม่มีกำหนด) หรือปิด (กลับมายังเส้นทางเดิมซ้ำๆ) ในที่นี้ เราจะแสดงให้เห็นว่า เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับวงโคจรที่ไม่เป็นวงกลมที่เสถียรและปิดสนิท คือ แรงผกผันกำลังสอง หรือศักยภาพของตัวสั่นฮาร์มอนิกในแนวรัศมี ในส่วนต่อไปนี้ เราจะแสดงให้เห็นว่ากฎของแรงทั้งสองนี้สร้างวงโคจรที่เสถียรและปิดสนิทได้

กำหนดให้เป็น ${\displaystyle J(u)}$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=J(u)\equiv -{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V{\left({\frac {1}{u}}\right)}=-{\frac {m}{L^{2}u^{2}}}f{\left({\frac {1}{u}}\right)},}$$

โดยที่แทนแรงในแนวรัศมี เกณฑ์สำหรับ การเคลื่อนที่ แบบวงกลม สมบูรณ์ ที่รัศมีคือ พจน์แรกทางด้านซ้ายต้องเป็นศูนย์: ${\displaystyle f}$${\displaystyle r_{0}}$

$${\displaystyle u_{0}=J(u_{0})=-{\frac {m}{L^{2}u_{0}^{2}}}f{\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)},}$$

1

ที่ไหน. ${\displaystyle u_{0}\equiv 1/r_{0}}$

ขั้นตอนต่อไปคือการพิจารณาสมการภายใต้การรบกวนเล็กน้อยจากวงโคจรวงกลมที่สมบูรณ์แบบ ทางด้านขวาฟังก์ชันสามารถขยายได้ในอนุกรมเทย์เลอร์ มาตรฐาน : ${\displaystyle u}$${\displaystyle \eta \equiv u-u_{0}}$${\displaystyle J}$

$${\displaystyle J(u)\approx J(u_{0})+\eta J'(u_{0})+{\frac {1}{2}}\eta ^{2}J''(u_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J'''(u_{0})+\cdots }$$

เมื่อแทนการกระจายนี้ลงในสมการสำหรับและลบค่าคงที่ออก จะได้ ${\displaystyle u}$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2}}}+\eta =\eta J'(u_{0})+{\frac {1}{2}}\eta ^{2}J''(u_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J'''(u_{0})+\cdots ,}$$

ซึ่งสามารถเขียนได้ดังนี้

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2}}}+\beta ^{2}\eta ={\frac {1}{2}}\eta ^{2}J''(u_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J'''(u_{0})+\cdots ,}$$

2

โดยที่เป็นค่าคงที่ต้องไม่เป็นค่าลบ มิฉะนั้น รัศมีของวงโคจรจะแปรผันแบบเอกซ์โปเนนเชียลห่างจากรัศมีเริ่มต้น (คำตอบที่ได้จะสอดคล้องกับวงโคจรที่เป็นวงกลมสมบูรณ์) หากสามารถละเลยด้านขวาได้ (เช่น สำหรับการรบกวนเล็กน้อย) คำตอบจะเป็นดังนี้ ${\displaystyle \beta ^{2}\equiv 1-J'(u_{0})}$${\displaystyle \beta ^{2}}$${\displaystyle \beta =0}$

$${\displaystyle \eta (\theta )=h_{1}\cos(\beta \theta ),}$$

โดยที่แอมพลิจูดเป็นค่าคงที่ของการอินทิเกรตเพื่อให้วงโคจรปิดต้องเป็นจำนวนตรรกยะยิ่งไปกว่านั้น ต้องเป็นจำนวนตรรกยะเดียวกัน สำหรับรัศมีทั้งหมด เนื่องจาก ไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้อย่างต่อเนื่องจำนวนตรรกยะ เหล่านี้ จึงไม่เกี่ยวข้องกันโดยสิ้นเชิง โดยใช้คำนิยามของร่วมกับ สมการ ที่ 1${\displaystyle h_{1}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle J}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}J'(u_{0})&={\frac {2}{u_{0}}}\left[{\frac {m}{L^{2}u_{0}^{2}}}f{\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)}\right]-\left[{\frac {m}{L^{2}u_{0}^{2}}}f{\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)}\right]{\frac {1}{f{\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)}}}{\frac {d}{du_{0}}}f{\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)}\\[1ex]&=-2+{\frac {u_{0}}{f{\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)}}}{\frac {d}{du_{0}}}f{\left({\frac {1}{u_{0}}}\right)}=1-\beta ^{2}.\end{aligned}}}$$

เนื่องจากเงื่อนไขนี้ต้องเป็นจริงสำหรับค่าใดๆของ ${\displaystyle u_{0}}$

$${\displaystyle {\frac {df}{dr}}=\left(\beta ^{2}-3\right){\frac {f}{r}},}$$

ซึ่งหมายความว่าแรงนั้นต้องเป็นไปตามกฎกำลัง

$${\displaystyle f(r)=-{\frac {k}{r^{3-\beta ^{2}}}}.}$$

ดังนั้น จึงต้องมีรูปแบบทั่วไป ${\displaystyle J}$

$${\displaystyle J(u)={\frac {mk}{L^{2}}}u^{1-\beta ^{2}}.}$$

3

สำหรับการเบี่ยงเบนจากความเป็นวงกลมโดยทั่วไป (เช่น เมื่อเราไม่สามารถละเลยพจน์ลำดับสูงกว่าในการกระจายเทย์เลอร์ของ) อาจขยายเป็นอนุกรมฟูริเยร์ได้ เช่น ${\displaystyle J}$${\displaystyle \eta }$

$${\displaystyle \eta (\theta )=h_{0}+h_{1}\cos \beta \theta +h_{2}\cos 2\beta \theta +h_{3}\cos 3\beta \theta +\cdots }$$

เราแทนค่านี้ลงในสมการที่ 2และเทียบสัมประสิทธิ์ที่อยู่ในความถี่เดียวกัน โดยคงไว้เฉพาะพจน์ลำดับต่ำสุดเท่านั้น ดังที่เราจะแสดงด้านล่างและมีค่าน้อยกว่าโดยมีลำดับและสัมประสิทธิ์อื่นๆ ทั้งหมด มีลำดับอย่างน้อยซึ่งสมเหตุสมผล เนื่องจากจะต้องหายไปเร็วกว่าเมื่อเข้าใกล้วงโคจรวงกลม ${\displaystyle h_{0}}$${\displaystyle h_{2}}$${\displaystyle h_{1}}$${\displaystyle h_{1}^{2}}$${\displaystyle h_{3}}$${\displaystyle h_{1}^{3}}$${\displaystyle h_{0},h_{2},h_{3},\ldots }$${\displaystyle h_{1}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}h_{0}&=h_{1}^{2}{\frac {J''(u_{0})}{4\beta ^{2}}},\\h_{2}&=-h_{1}^{2}{\frac {J''(u_{0})}{12\beta ^{2}}},\\h_{3}&=-{\frac {1}{8\beta ^{2}}}\left[h_{1}h_{2}{\frac {J''(u_{0})}{2}}+h_{1}^{3}{\frac {J'''(u_{0})}{24}}\right].\end{aligned}}}$$

จากคำศัพท์นั้น เราจะได้ ${\displaystyle \cos \beta \theta }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left(2h_{1}h_{0}+h_{1}h_{2}\right){\frac {J''(u_{0})}{2}}+h_{1}^{3}{\frac {J'''(u_{0})}{8}}\\&={\frac {h_{1}^{3}}{24\beta ^{2}}}\left(3\beta ^{2}J'''(u_{0})+5J''(u_{0})^{2}\right),\end{aligned}}}$$

โดยในขั้นตอนสุดท้าย เราได้แทนค่าของและลงไป ${\displaystyle h_{0}}$${\displaystyle h_{2}}$

โดยใช้สมการ ( 3 ) และ ( 1 ) เราสามารถคำนวณอนุพันธ์อันดับสองและสามของค่าที่ประเมินที่: ${\displaystyle J}$${\displaystyle u_{0}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}J''(u_{0})&=-{\frac {\beta ^{2}\left(1-\beta ^{2}\right)}{u_{0}}},\\J'''(u_{0})&={\frac {\beta ^{2}\left(1-\beta ^{2}\right)\left(1+\beta ^{2}\right)}{u_{0}^{2}}}.\end{aligned}}}$$

เมื่อแทนค่าเหล่านี้ลงในสมการสุดท้าย จะได้ผลลัพธ์หลักของทฤษฎีบทของแบร์ทรองด์ :

$${\displaystyle \beta ^{2}\left(1-\beta ^{2}\right)\left(4-\beta ^{2}\right)=0.}$$

ดังนั้นศักยภาพ เพียงอย่างเดียว ที่สามารถสร้างวงโคจรปิดที่ไม่เป็นวงกลมที่เสถียรได้คือ กฎแรงผกผันกำลังสอง ( ) และศักยภาพของตัวสั่นฮาร์มอนิกเชิงรัศมี ( ) คำตอบจะสอดคล้องกับวงโคจรที่เป็นวงกลมอย่างสมบูรณ์ ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น ${\displaystyle \beta =1}$${\displaystyle \beta =2}$${\displaystyle \beta =0}$

สำหรับกฎแรงผกผันกำลังสอง เช่นศักย์โน้มถ่วงหรือศักย์ไฟฟ้าสถิตศักย์นั้นสามารถเขียนได้ดังนี้

$${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {-k}{r}}=-ku.}$$

วงโคจรu ( θ ) สามารถหาได้จากสมการทั่วไป

$${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V{\left({\frac {1}{u}}\right)}={\frac {km}{L^{2}}},}$$

ซึ่งคำตอบคือค่าคงที่บวกกับฟังก์ชันไซน์อย่างง่าย: ${\displaystyle {\frac {km}{L^{2}}}}$

$${\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}={\frac {km}{L^{2}}}[1+e\cos(\theta -\theta _{0})],}$$

โดยที่e (ค่าความเยื้องศูนย์ ) และ θ ( ค่าชดเชยเฟส ) เป็นค่าคงที่ของการอินทิเกรต

นี่คือสูตรทั่วไปสำหรับภาคตัดกรวยที่มีจุดโฟกัสจุดเดียวอยู่ที่จุดกำเนิด โดยที่e = 0 สอดคล้องกับวงกลม , 0 < e < 1 สอดคล้องกับวงรี, e = 1 สอดคล้องกับพาราโบลาและe > 1 สอดคล้องกับไฮเปอร์โบลา ค่าความเยื้องศูนย์eเกี่ยวข้องกับพลังงาน รวม E (ดูเวกเตอร์ Laplace–Runge–Lenz ):

$${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {2EL^{2}}{k^{2}m}}}}.}$$

เมื่อเปรียบเทียบสูตรเหล่านี้ จะเห็นได้ว่าE < 0 สอดคล้องกับวงรี, E = 0 สอดคล้องกับพาราโบลาและE > 0 สอดคล้องกับไฮเปอร์โบลาโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับวงโคจร ที่เป็นวงกลม สมบูรณ์${\displaystyle E=-{\frac {k^{2}m}{2L^{2}}}}$

ในการหาค่าวงโคจรภายใต้ ศักยภาพ แบบฮาร์มอนิกออสซิลเลเตอร์เชิงรัศมีวิธีที่ง่ายกว่าคือการใช้ส่วนประกอบr = ( x , y , z ) ศักยภาพสามารถเขียนได้ดังนี้

$${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {1}{2}}kr^{2}={\frac {1}{2}}k(x^{2}+y^{2}+z^{2}).}$$

สมการการเคลื่อนที่ของอนุภาคที่มีมวลmกำหนดโดยสมการออยเลอร์ อิสระสามสมการดังนี้ :

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}x&=0,\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}y&=0,\\{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}z&=0,\end{aligned}}}$$

โดยที่ค่าคงที่ต้องเป็นค่าบวก (เช่นk > 0) เพื่อให้แน่ใจว่าวงโคจรมีขอบเขตและปิดสนิท มิเช่นนั้นอนุภาคจะพุ่งออกไปสู่ระยะอนันต์คำตอบของ สมการ การสั่นแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย เหล่านี้ ล้วนคล้ายคลึงกัน: ${\displaystyle \omega _{0}^{2}\equiv {\frac {k}{m}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=A_{x}\cos(\omega _{0}t+\phi _{x}),\\y&=A_{y}\cos(\omega _{0}t+\phi _{y}),\\z&=A_{z}\cos(\omega _{0}t+\phi _{z}),\end{aligned}}}$$

โดยที่ค่าคงที่บวกA , A และA แทนแอมพลิจูดของการสั่น และมุม φ , φ และ φ แทนเฟส ของ การสั่น วงโคจรที่ได้r ( t ) = [ x ( t ), y ( y ), z ( t )] เป็นวงโคจรปิด เนื่องจากมันจะวนซ้ำอย่างแม่นยำหลังจากหนึ่งคาบ

$${\displaystyle T\equiv {\frac {2\pi }{\omega _{0}}}.}$$

ระบบนี้มีความเสถียรเช่นกัน เนื่องจากความปั่นป่วนเล็กน้อยในแอมพลิจูดและเฟสจะทำให้วงโคจรโดยรวมเปลี่ยนแปลงไปเล็กน้อยตามไปด้วย

• โกลด์สไตน์, เอช. (1980). กลศาสตร์คลาสสิก (ฉบับที่ 2). แอดดิสัน-เวสลีย์. ISBN 978-0-201-02918-5.
• Santos, FC; Soares, V.; Tort, AC (2011). "การแปลทฤษฎีบทของ Bertrand เป็นภาษาอังกฤษ". Latin American Journal of Physics Education . 5 (4): 694– 696. arXiv : 0704.2396 . Bibcode : 2007arXiv0704.2396S .
• Leenheer, Patrick De; Musgrove, John; Schimleck, Tyler (2023). "การพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Bertrand อย่างครอบคลุม" . SIAM Review . 65 (2): 563– 588. doi : 10.1137/21M1436658 . ISSN  0036-1445 . S2CID  258585586 .