แบบจำลองไบโดเมนเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เพื่อกำหนดกิจกรรมทางไฟฟ้าของหัวใจประกอบด้วยแนวทางต่อเนื่อง (ปริมาตรเฉลี่ย) ซึ่งโครงสร้างจุลภาค ของหัวใจ ถูกกำหนดในแง่ของเส้นใยกล้ามเนื้อที่รวมกลุ่มกันเป็นแผ่น ทำให้เกิด โครงสร้าง สามมิติ ที่ซับซ้อน ซึ่งมีคุณสมบัติแบบแอนไอโซโทรปิก จากนั้น เพื่อกำหนดกิจกรรมทางไฟฟ้า จะพิจารณาโดเมนที่ซ้อนทับกันสองโดเมน ซึ่งก็คือโดเมนภายในเซลล์และ โดเมน ภายนอกเซลล์ซึ่งแสดงถึงพื้นที่ภายในเซลล์และบริเวณระหว่างเซลล์ตามลำดับ^{[ 1 ]}

แบบจำลองสองโดเมนได้รับการเสนอครั้งแรกโดยSchmittในปี 1969 ^{[ 2 ]}ก่อนที่จะได้รับการกำหนดสูตรทางคณิตศาสตร์ในช่วงปลายทศวรรษ 1970 ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}

เนื่องจากเป็นแบบจำลองต่อเนื่อง แทนที่จะอธิบายเซลล์แต่ละเซลล์แยกกัน แบบจำลองนี้จึงแสดงถึงคุณสมบัติและพฤติกรรมโดยเฉลี่ยของกลุ่มเซลล์ที่จัดเรียงเป็นโครงสร้างที่ซับซ้อน ดังนั้น แบบจำลองจึงมีความซับซ้อนและสามารถมองได้ว่าเป็นการขยายทฤษฎีเคเบิล ไปยังมิติที่สูงขึ้น และจะกำหนดสม การไบโดเมนที่เรียกว่า^{[ 11 ] [ 12 ]}

คุณสมบัติที่น่าสนใจหลายประการของแบบจำลองไบโดเมนเกิดขึ้นจากเงื่อนไขของอัตราส่วนแอนไอโซโทรปีที่ไม่เท่ากันการนำไฟฟ้าในเนื้อเยื่อแอนไอโซโทรปีไม่ได้มีค่าเดียวในทุกทิศทาง แต่จะแตกต่างกันในทิศทางขนานและตั้งฉากกับเส้นใย ยิ่งไปกว่านั้น ในเนื้อเยื่อที่มีอัตราส่วนแอนไอโซโทรปีที่ไม่เท่ากัน อัตราส่วนของการนำไฟฟ้าในทิศทางขนานและตั้งฉากกับเส้นใยจะแตกต่างกันในช่องว่างภายในเซลล์และภายนอกเซลล์ ตัวอย่างเช่น ในเนื้อเยื่อหัวใจ อัตราส่วนแอนไอโซโทรปีในช่องว่างภายในเซลล์อยู่ที่ประมาณ 10:1 ในขณะที่ในช่องว่างภายนอกเซลล์อยู่ที่ประมาณ 5:2 ^{[ 13 ]} ในทางคณิตศาสตร์ อัตราส่วนแอนไอโซโทรปีที่ไม่เท่ากันหมายความว่าผลของแอนไอโซโทรปีไม่สามารถกำจัดได้ด้วยการเปลี่ยนแปลงขนาดระยะทางในทิศทางเดียว^{[ 14 ]} แต่แอนไอโซโทรปีกลับมีอิทธิพลที่ลึกซึ้งกว่าต่อพฤติกรรมทางไฟฟ้า^{[ 15 ]}

ตัวอย่างสามประการของผลกระทบจากอัตราส่วนแอนไอโซโทรปีที่ไม่เท่ากัน ได้แก่

• การกระจายของศักยภาพข้ามเยื่อหุ้มเซลล์ระหว่างการกระตุ้นขั้วเดียวของแผ่นเนื้อเยื่อหัวใจ^{[ 16 ]}
• สนามแม่เหล็กที่เกิดจาก หน้าคลื่น ศักย์การกระทำที่แพร่กระจายผ่านเนื้อเยื่อหัวใจ^{[ 17 ]}
• ผลของความโค้งของเส้นใยต่อการกระจายศักย์ข้ามเยื่อหุ้มเซลล์ระหว่างการช็อกไฟฟ้า^{[ 18 ]}

สมการไบโดเมนได้มาจากสมการของแม็กซ์เวลล์ของแม่เหล็กไฟฟ้า โดยพิจารณาการลดรูปบางประการ^{[ 12 ]}

ข้อสันนิษฐานแรกคือกระแสไฟฟ้าภายในเซลล์สามารถไหลได้เฉพาะระหว่างบริเวณภายในเซลล์และภายนอกเซลล์เท่านั้น ในขณะที่บริเวณภายในเซลล์และภายนอกกล้ามเนื้อหัวใจสามารถสื่อสารกันได้ ดังนั้นกระแสไฟฟ้าจึงสามารถไหลเข้าและออกจากบริเวณภายนอกกล้ามเนื้อหัวใจได้ แต่เฉพาะในพื้นที่ภายนอกเซลล์เท่านั้น^{[ 12 ]}

โดยใช้กฎของโอห์มและสมมติฐานแบบกึ่งสถิต ความชันของสนามศักย์สเกลาร์${\displaystyle \varphi }$สามารถอธิบายสนามไฟฟ้าได้${\displaystyle \mathbf {E} }$ซึ่งหมายความว่า^{[ 12 ]}$${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi .}$$

แล้วถ้า${\displaystyle J}$แสดงถึงความหนาแน่นกระแสของสนามไฟฟ้า${\displaystyle \mathbf {E} }$สามารถได้สมการสองสมการ^{[ 12 ]}$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}J_{i}&=-\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{i}\\J_{e}&=-\mathbf {\Sigma } _{e}\nabla v_{e}.\end{alignedat}}}$$ โดยที่ตัวห้อย${\displaystyle i}$และ${\displaystyle e}$แสดงถึงปริมาณภายในเซลล์และภายนอกเซลล์ตามลำดับ^{[ 12 ]}

ข้อสมมติฐานที่สองคือ หัวใจถูกแยกออกจากส่วนอื่น ๆ ดังนั้นกระแสไฟฟ้าที่ออกจากบริเวณหนึ่งจะต้องไหลเข้าสู่บริเวณอื่น ในกรณีนี้ ความหนาแน่นของกระแสไฟฟ้าในแต่ละส่วนของเซลล์ภายในและภายนอกเซลล์จะต้องมีขนาดเท่ากันแต่มีเครื่องหมายตรงข้ามกัน และสามารถกำหนดได้ว่าเป็นผลคูณของอัตราส่วนพื้นผิวต่อปริมาตรของเยื่อหุ้มเซลล์และความหนาแน่นของกระแสไอออนที่ไหลผ่านเยื่อหุ้มเซลล์${\displaystyle I_{m}}$ต่อหน่วยพื้นที่ ซึ่งหมายความว่า^{[ 12 ]}$${\displaystyle -\nabla \cdot J_{i}=\nabla \cdot J_{e}=\chi I_{m}.}$$

โดยการรวมสมมติฐานก่อนหน้านี้ จะได้การอนุรักษ์ความหนาแน่นของกระแสไฟฟ้า กล่าวคือ^{[ 12 ]}

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{i})&=\chi I_{m}\\\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{e}\nabla v_{e})&=-\chi I_{m}\end{alignedat}}}$

1

จากนั้นจึงรวมสมการทั้งสอง^{[ 12 ]}

$${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{i})=-\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{e}\nabla v_{e}).}$$

สมการนี้ระบุอย่างชัดเจนว่ากระแสทั้งหมดที่ออกจากโดเมนหนึ่งจะต้องเข้าสู่โดเมนอื่น^{[ 12 ]}

จากตรงนี้ เราสามารถหาสมการที่สองของแบบจำลองไบโดเมนได้ง่ายๆ โดยการลบสมการแรกออก${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e})}$จากทั้งสองฝ่าย ในความเป็นจริง^{[ 12 ]}$${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{i})-\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e})=-\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{e}\nabla v_{e})-\nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e})}$$ และทราบว่าศักย์ไฟฟ้าข้ามเยื่อหุ้มเซลล์ถูกกำหนดไว้ดังนี้${\displaystyle v=v_{i}-v_{e}}$^{[ 12 ]}$${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v)=-\nabla \cdot ((\mathbf {\Sigma } _{i}+\mathbf {\Sigma } _{e})\nabla v_{e}).}$$ จากนั้น เมื่อทราบศักย์ไฟฟ้าข้ามเยื่อหุ้มเซลล์แล้ว ก็สามารถคำนวณหาศักย์ไฟฟ้าภายนอกเซลล์ได้

จากนั้น กระแสที่ไหลผ่านเยื่อหุ้มเซลล์สามารถจำลองได้ด้วย^สมการเคเบิล [ ^{12 ]}

${\displaystyle I_{m}=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{\text{ion}}\right),}$

2

การรวมสมการ ( 1 ) และ ( 2 ) จะได้^{[ 12 ]}$${\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{i}\right)=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{ion}\right).}$$ สุดท้ายนี้ การบวกและการลบ${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e})}$ทางด้านซ้ายและจัดเรียงใหม่${\displaystyle v=v_{i}-v_{e}}$สมการแรกของแบบจำลองสองโดเมน^{[ 12 ]}$${\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)+\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e}\right)=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{\mathrm {ion} }\right),}$$ ซึ่งอธิบายถึงวิวัฒนาการของศักย์ไฟฟ้าข้ามเยื่อหุ้มเซลล์เมื่อเวลาผ่านไป

สูตรสุดท้ายที่อธิบายไว้ใน ส่วน สูตรมาตรฐานนั้นได้มาจากการสรุปโดยทั่วไป โดยพิจารณาถึงสิ่งกระตุ้นภายนอกที่เป็นไปได้ซึ่งสามารถให้ได้ผ่านกระแสไฟฟ้าที่ป้อนจากภายนอก${\displaystyle I_{s_{1}}}$และ${\displaystyle I_{s_{2}}}$[ ^{12 ]​}

เพื่อแก้ปัญหาแบบจำลอง จำเป็นต้องมีเงื่อนไขขอบเขต เงื่อนไขขอบเขตแบบคลาสสิกมากกว่าคือเงื่อนไขต่อไปนี้ ซึ่งกำหนดโดย Tung ^{[ 6 ]}

ประการแรก ดังที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ใน ส่วน อนุพันธ์จะไม่มีการไหลของกระแสไฟฟ้าระหว่างโดเมนภายในเซลล์และภายนอกกล้ามเนื้อหัวใจ ซึ่งสามารถอธิบายทางคณิตศาสตร์ได้ดังนี้^{[ 12 ]}$${\displaystyle (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{i})\cdot \mathbf {n} =0\quad \mathbf {x} \in \partial \mathbb {H} }$$ ที่ไหน${\displaystyle \mathbf {n} }$คือเวกเตอร์ที่แสดงถึงหน่วยตั้งฉากภายนอกกับพื้นผิวกล้ามเนื้อหัวใจ เนื่องจากศักยภาพภายในเซลล์ไม่ได้แสดงไว้อย่างชัดเจนในสูตรแบบสองโดเมน สภาวะนี้จึงมักถูกอธิบายในแง่ของศักยภาพข้ามเยื่อหุ้มเซลล์และศักยภาพภายนอกเซลล์ โดยทราบว่า${\displaystyle v=v_{i}-v_{e}}$กล่าวคือ^{[ 12 ]}$${\displaystyle (\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v)\cdot \mathbf {n} =-(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e})\cdot \mathbf {n} \quad \mathbf {x} \in \partial \mathbb {H} .}$$

สำหรับศักยภาพภายนอกเซลล์ หากมีการนำเสนอบริเวณกล้ามเนื้อหัวใจ จะถือว่าสมดุลในการไหลระหว่างบริเวณภายนอกเซลล์และบริเวณนอกกล้ามเนื้อหัวใจ^{[ 12 ]}$${\displaystyle \left(\mathbf {\Sigma } _{e}\nabla v_{e}\right)\cdot \mathbf {n} _{e}=-\left(\mathbf {\Sigma } _{0}\nabla v_{0}\right)\cdot \mathbf {n} _{0}\quad \mathbf {x} \in \partial \mathbb {H} .}$$ ในที่นี้จะพิจารณาเวกเตอร์ปกติจากมุมมองของทั้งสองโดเมน ดังนั้นจึงจำเป็นต้องใช้เครื่องหมายลบ นอกจากนี้ จำเป็นต้องมีการส่งผ่านศักยภาพอย่างสมบูรณ์บนขอบเขตหัวใจ ซึ่งทำให้^{[ 12 ]}$${\displaystyle v_{e}=v_{0}\quad \mathbf {x} \in \partial \mathbb {H} .}$$

ในทางกลับกัน หากพิจารณาหัวใจแยกออกจากกัน ซึ่งหมายความว่าไม่มีบริเวณกล้ามเนื้อหัวใจปรากฏอยู่ เงื่อนไขขอบเขตที่เป็นไปได้สำหรับปัญหาภายนอกเซลล์คือ^{[ 12 ]}$${\displaystyle \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)\cdot \mathbf {n} =-\left((\mathbf {\Sigma } _{i}+\mathbf {\Sigma } _{e})\nabla v_{e}\right)\cdot \mathbf {n} \quad \mathbf {x} \in \partial \mathbb {H} .}$$

โดยสมมติว่าอัตราส่วนแอนไอโซโทรปีของโดเมนภายในและภายนอกเซลล์เท่ากัน กล่าวคือ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{i}=\lambda \mathbf {\Sigma } _{e}}$สำหรับสเกลาร์บางตัว${\displaystyle \lambda }$แบบจำลองนี้สามารถลดทอนให้เหลือเพียงสมการเดียว เรียกว่าสมการโมโนโดเมน$${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {\Sigma } \nabla v)=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{\mathrm {ion} }\right)-I_{s}}$$ โดยตัวแปรเดียวในตอนนี้คือศักย์ข้ามเยื่อหุ้มเซลล์และเทนเซอร์การนำไฟฟ้า${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$เป็นการผสมผสานของ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{i}}$และ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{e}.}$^{[ 12 ]}

หากพิจารณาหัวใจเป็นเนื้อเยื่อที่แยกตัว ซึ่งหมายความว่าไม่มีกระแสไฟฟ้าไหลผ่านภายนอกได้ สูตรสุดท้ายที่มีเงื่อนไขขอบเขตจะเป็นดังนี้^{[ 12 ]}$${\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)+\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e}\right)=\chi \left(C_{m}{\dfrac {\partial v}{\partial t}}+I_{\mathrm {ion} }\right)-I_{s_{1}}&\mathbf {x} \in \mathbb {H} \\[1ex]\nabla \cdot \left(\left(\mathbf {\Sigma } _{i}+\mathbf {\Sigma } _{e}\right)\nabla v_{e}\right)=-\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)+I_{s_{2}}&\mathbf {x} \in \mathbb {H} \\[1ex]\mathbf {\Sigma } _{i}(\nabla v+\nabla v_{e})\cdot \mathbf {n} =0&\mathbf {x} \in \partial \mathbb {H} \\[1ex]\left[\mathbf {\Sigma } _{i}(\nabla v+\nabla v_{e})+\mathbf {\Sigma } _{e}\nabla v_{e}\right]\cdot \mathbf {n} =0&\mathbf {x} \in \partial \mathbb {H} \end{cases}}}$$

มีเทคนิคต่างๆ ที่เป็นไปได้ในการแก้สมการแบบสองโดเมน ในบรรดาเทคนิคเหล่านั้น สามารถพบได้ทั้งแบบแผนผลต่างจำกัดแบบแผนองค์ประกอบจำกัดและแบบแผนปริมาตรจำกัดการพิจารณาเป็นพิเศษสามารถทำได้สำหรับการแก้สมการเหล่านี้ด้วยวิธีเชิงตัวเลข เนื่องจากความละเอียดของเวลาและพื้นที่สูงที่จำเป็นสำหรับการลู่เข้าเชิงตัวเลข^{[ 20 ] [ 21 ]}

• แบบจำลองโมโนโดเมน
• ปัญหาที่ก้าวหน้าของการตรวจคลื่นไฟฟ้าหัวใจ

• บทความ Scholarpedia เกี่ยวกับแบบจำลองสองโดเมน