ระบบปฏิกิริยา-การแพร่กระจายคือแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่สอดคล้องกับปรากฏการณ์ทางกายภาพหลายอย่าง ที่พบได้บ่อยที่สุดคือการเปลี่ยนแปลงความเข้มข้นของสารเคมีหนึ่งชนิดหรือมากกว่านั้นในพื้นที่และเวลา: ปฏิกิริยาเคมี เฉพาะ ที่ซึ่งสารต่างๆ เปลี่ยนรูปไปเป็นสารอื่น และการแพร่กระจายซึ่งทำให้สารเหล่านั้นกระจายตัวออกไปบนพื้นผิวในอวกาศ

ระบบปฏิกิริยา-การแพร่กระจาย นั้นถูกนำไปประยุกต์ใช้ในวิชาเคมี อย่าง เป็น ธรรมชาติ อย่างไรก็ตาม ระบบนี้ยังสามารถอธิบายกระบวนการพลวัตที่ไม่ใช่ทางเคมีได้อีกด้วย ตัวอย่างเช่น ในชีววิทยาธรณีวิทยาฟิสิกส์ (ทฤษฎีการแพร่กระจายของนิวตรอน) และนิเวศวิทยาในทางคณิตศาสตร์ ระบบปฏิกิริยา-การแพร่กระจายอยู่ในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบพาราโบลิก กึ่งเชิงเส้น ซึ่งสามารถแสดงได้ในรูปแบบทั่วไปดังนี้

${\displaystyle \partial _{t}\mathbf {q} ={\underline {\underline {\mathbf {D} }}}\,\nabla ^{2}\mathbf {q} +\mathbf {R} (\mathbf {q} ),}$

โดยที่q ( x , t )แทนฟังก์ชันเวกเตอร์ที่ไม่ทราบค่าDคือเมทริกซ์แนวทแยงของสัมประสิทธิ์การแพร่และRแทนปฏิกิริยาเฉพาะที่ทั้งหมด คำตอบของสมการปฏิกิริยา-การแพร่แสดงพฤติกรรมที่หลากหลาย รวมถึงการก่อตัวของคลื่นเดินทางและปรากฏการณ์คล้ายคลื่น ตลอดจนรูปแบบที่จัดระเบียบตัวเอง อื่นๆ เช่น ลายเส้น รูปหกเหลี่ยม หรือโครงสร้างที่ซับซ้อนกว่า เช่นโซลิตอนแบบกระจายพลังงานรูปแบบดังกล่าวถูกเรียกว่า " รูปแบบทัวริง " ^{[ 1 ]}แต่ละฟังก์ชันที่สมการเชิงอนุพันธ์ปฏิกิริยา-การแพร่เป็นจริง แสดงถึงตัวแปรความเข้มข้น

สมการปฏิกิริยา-การแพร่ที่ง่ายที่สุดนั้นอยู่ในมิติเชิงพื้นที่เดียวในเรขาคณิตระนาบ

${\displaystyle \partial _{t}u=D\partial _{x}^{2}u+R(u),}$

เรียกอีกอย่างว่าสมการKolmogorov–Petrovsky–Piskunov ^{[ 2 ]}ถ้าเทอมปฏิกิริยาหายไป สมการจะแสดงถึงกระบวนการแพร่ บริสุทธิ์ สมการ ที่สอดคล้องกันคือกฎข้อที่สองของ Fick การเลือกR ( u ) = u (1 − u )ทำให้ได้สมการของ Fisherซึ่งเดิมใช้เพื่ออธิบายการแพร่กระจายของประชากรชีวภาพ^{[ 3 ]}สมการ^{Newell –} Whitehead-Segel ที่มีR ( u ) = u (1 − u ² )เพื่ออธิบายการพาความร้อนแบบ Rayleigh–Bénard [ ^{4 ] [ 5 ]}สมการ Zeldovich–Frank-Kamenetskiiทั่วไป ที่มีR ( u ) = u (1 − u )e ^{- β (1- u ) และ} 0 < β < ∞ (เลขZeldovich ) ที่เกิดขึ้นในทฤษฎีการเผาไหม้^{[ 6 ]}และกรณีเสื่อมสภาพเฉพาะที่มีR ( u ) = u ² − u ³ซึ่งบางครั้งเรียกว่าสมการ Zeldovich เช่นกัน^{[ 7 ]}

พลวัตของระบบองค์ประกอบเดียวอยู่ภายใต้ข้อจำกัดบางประการ เนื่องจากสมการวิวัฒนาการสามารถเขียนในรูปแบบแปรผันได้เช่นกัน

${\displaystyle \partial _{t}u=-{\frac {\delta {\mathfrak {L}}}{\delta u}}}$

และด้วยเหตุนี้จึงอธิบายถึงการลดลงอย่างถาวรของ "พลังงานอิสระ"${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$กำหนดโดยฟังก์ชัน

${\displaystyle {\mathfrak {L}}=\int _{-\infty }^{\infty }\left[{\tfrac {D}{2}}\left(\partial _{x}u\right)^{2}-V(u)\right]\,{\text{d}}x}$

โดยมีศักยภาพV ( u )ที่R ( u ) = dV ( u ) / du​​

ในระบบที่มีคำตอบเอกพันธุ์คงที่มากกว่าหนึ่งคำตอบ คำตอบทั่วไปจะแสดงด้วยแนวหน้าเคลื่อนที่ที่เชื่อมต่อสถานะเอกพันธุ์ คำตอบเหล่านี้เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่โดยไม่เปลี่ยนแปลงรูปร่าง และอยู่ในรูปแบบu ( x , t ) = û ( ξ )โดยที่ξ = x − ctโดยที่cคือความเร็วของคลื่นเคลื่อนที่ โปรดทราบว่าในขณะที่คลื่นเคลื่อนที่โดยทั่วไปเป็นโครงสร้างที่มีเสถียรภาพ คำตอบคงที่ที่ไม่เป็นเอกพันธุ์ทั้งหมด (เช่น โดเมนเฉพาะที่ประกอบด้วยคู่แนวหน้า-แนวหลัง) จะไม่มีเสถียรภาพ สำหรับc = 0มีการพิสูจน์ง่ายๆ สำหรับข้อความนี้: ^{[ 8 ]}ถ้าu ( x )เป็นคำตอบคงที่และu = u ( x ) + ũ ( x , t )เป็นคำตอบที่ถูกรบกวนเล็กน้อย การวิเคราะห์ เสถียรภาพเชิงเส้นจะให้สมการ

${\displaystyle \partial _{t}{\tilde {u}}=D\partial _{x}^{2}{\tilde {u}}-U(x){\tilde {u}},\qquad U(x)=-R^{\prime }(u){\Big |}_{u=u_{0}(x)}.}$

ด้วยสมมติฐานũ = ψ ( x )exp(− λt )เราจะได้ปัญหาค่าลักษณะเฉพาะ

${\displaystyle {\hat {H}}\psi =\lambda \psi ,\qquad {\hat {H}}=-D\partial _{x}^{2}+U(x),}$

เป็นแบบ Schrödingerที่ค่าไอเกนลบส่งผลให้คำตอบไม่เสถียร เนื่องจากความไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การเลื่อนตำแหน่งψ = ∂ u ( x )จึงเป็นฟังก์ชันไอเกน ที่เป็นกลาง โดยมีค่าไอเกนλ = 0และฟังก์ชันไอเกนอื่นๆ ทั้งหมดสามารถเรียงลำดับตามจำนวนจุดศูนย์ที่เพิ่มขึ้น โดยขนาดของค่าไอเกนจริงที่สอดคล้องกันจะเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องตามจำนวนจุดศูนย์ ฟังก์ชันไอเกนψ = ∂ u ( x )ควรมีค่าศูนย์อย่างน้อยหนึ่งค่า และสำหรับคำตอบที่เสถียรแบบไม่เป็นไปในทิศทางเดียว ค่าไอเกนλ = 0 ที่สอดคล้องกันนั้น ไม่สามารถเป็นค่าต่ำสุดได้ ซึ่งหมายถึงความไม่เสถียร

ในการหาค่าความเร็วcของแนวเคลื่อนที่ เราอาจเปลี่ยนไปใช้ระบบพิกัดเคลื่อนที่และพิจารณาคำตอบที่อยู่ในสภาวะคงที่:

${\displaystyle D\partial _{\xi }^{2}{\hat {u}}(\xi )+c\partial _{\xi }{\hat {u}}(\xi )+R({\hat {u}}(\xi ))=0.}$

สมการนี้มีแบบจำลองทางกลที่น่าสนใจคือ การเคลื่อนที่ของมวลDที่มีตำแหน่งûในช่วงเวลาξภายใต้แรงR ที่มีสัมประสิทธิ์การหน่วง c ซึ่งช่วยให้สามารถเข้าถึงการสร้างคำตอบประเภทต่างๆ และการกำหนดค่า cได้อย่างชัดเจน

เมื่อเปลี่ยนจากมิติพื้นที่หนึ่งมิติไปเป็นมิติที่มากกว่านั้น ข้อความจำนวนหนึ่งจากระบบหนึ่งมิติยังคงสามารถนำไปใช้ได้ ระนาบหรือหน้าคลื่นโค้งเป็นโครงสร้างทั่วไป และเกิดปรากฏการณ์ใหม่ขึ้นเมื่อความเร็วเฉพาะที่ของหน้าคลื่นโค้งขึ้นอยู่กับรัศมีความโค้ง เฉพาะที่ (สามารถเห็นได้จากการใช้พิกัดเชิงขั้ว ) ปรากฏการณ์นี้ทำให้เกิดความไม่เสถียรที่เรียกว่าเกิดจากความโค้ง^{[ 9 ]}

ระบบสององค์ประกอบช่วยให้เกิดปรากฏการณ์ที่เป็นไปได้หลากหลายกว่าระบบองค์ประกอบเดียวมาก แนวคิดสำคัญที่เสนอโดยอลัน ทัวริง^เป็น ครั้งแรก คือ สถานะที่เสถียรในระบบท้องถิ่นอาจไม่เสถียรเมื่อมีการแพร่กระจาย^[ 10 ^]

อย่างไรก็ตาม การวิเคราะห์เสถียรภาพเชิงเส้นแสดงให้เห็นว่า เมื่อทำการแปลงระบบสององค์ประกอบทั่วไปให้เป็นเชิงเส้น

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\partial _{t}u\\\partial _{t}v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}D_{u}&0\\0&D_{v}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\partial _{xx}u\\\partial _{xx}v\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}F(u,v)\\G(u,v)\end{pmatrix}}}$

การรบกวนของคลื่นระนาบ

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {q} }}_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} ,t)={\begin{pmatrix}{\tilde {u}}(t)\\{\tilde {v}}(t)\end{pmatrix}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }}$

ของคำตอบเอกพันธุ์คงที่นั้นจะเป็นไปตามเงื่อนไข

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\partial _{t}{\tilde {u}}_{\mathbf {k} }(t)\\\partial _{t}{\tilde {v}}_{\mathbf {k} }(t)\end{pmatrix}}=-k^{2}{\begin{pmatrix}D_{u}{\tilde {u}}_{\mathbf {k} }(t)\\D_{v}{\tilde {v}}_{\mathbf {k} }(t)\end{pmatrix}}+\mathbf {R} ^{\prime }{\begin{pmatrix}{\tilde {u}}_{\mathbf {k} }(t)\\{\tilde {v}}_{\mathbf {k} }(t)\end{pmatrix}}.}$

แนวคิดของทิวริงสามารถเกิดขึ้นได้จริงเฉพาะใน ระบบที่ มีชั้นสมมูล สี่ชั้น ซึ่งมีลักษณะเฉพาะโดยเครื่องหมายของเมทริกซ์จาโคเบียนR ′ของฟังก์ชันปฏิกิริยา โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากเวกเตอร์คลื่น จำกัด kถือเป็นเวกเตอร์ที่ไม่เสถียรที่สุด เมทริกซ์จาโคเบียนจะต้องมีเครื่องหมายดังกล่าว

${\displaystyle {\begin{pmatrix}+&-\\+&-\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}+&+\\-&-\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}-&+\\-&+\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}-&-\\+&+\end{pmatrix}}.}$

ระบบประเภทนี้เรียกว่าระบบตัวกระตุ้น-ตัวยับยั้งตามชื่อตัวแทนแรกของระบบ กล่าวคือ เมื่ออยู่ในสภาวะใกล้พื้นฐาน ส่วนประกอบหนึ่งจะกระตุ้นการผลิตส่วนประกอบทั้งสอง ในขณะที่อีกส่วนประกอบหนึ่งจะยับยั้งการเจริญเติบโตของพวกมัน ตัวแทนที่โดดเด่นที่สุดคือสมการ FitzHugh–Nagumo

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}u&=d_{u}^{2}\,\nabla ^{2}u+f(u)-\sigma v,\\\tau \partial _{t}v&=d_{v}^{2}\,\nabla ^{2}v+u-v\end{aligned}}}$

โดยที่f ( u ) = λu − u ³ − κซึ่งอธิบายว่าศักยภาพการกระทำเดินทางผ่านเส้นประสาทอย่างไร[ 11 ] ^{[ 12 ] ในที่นี้} du , dv τ σ และ λ เป็นค่าคงที่บวก

เมื่อระบบตัวกระตุ้น-ตัวยับยั้งมีการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์ เราอาจเปลี่ยนจากสภาวะที่สถานะพื้นฐานที่เป็นเนื้อเดียวกันมีเสถียรภาพ ไปสู่สภาวะที่สถานะพื้นฐานนั้นไม่เสถียรเชิงเส้นการแตกแขนง ที่สอดคล้องกัน อาจเป็นการแตกแขนงแบบฮอปฟ์ไปยังสถานะที่เป็นเนื้อเดียวกันที่แกว่งไปมาทั่วโลกโดยมีเลขคลื่นเด่นk = 0หรือการแตกแขนงแบบทัวริงไปยังสถานะที่มีรูปแบบทั่วโลกโดยมีเลขคลื่นจำกัดเด่น ซึ่งแบบหลังในสองมิติเชิงพื้นที่มักนำไปสู่รูปแบบลายเส้นหรือรูปหกเหลี่ยม

• การแยกสาขาแบบทัวริงวิกฤตย่อย: การก่อตัวของรูปแบบหกเหลี่ยมจากเงื่อนไขเริ่มต้นที่มีสัญญาณรบกวนในระบบปฏิกิริยา-การแพร่กระจายแบบสององค์ประกอบข้างต้นของประเภทฟิตซ์ฮิวจ์-นากูโม
• 
  เงื่อนไขเริ่มต้นที่มีสัญญาณรบกวน ณ เวลาt  =  0
• 
  สถานะของระบบ ณ เวลาt  =  10
• 
  สถานะเกือบบรรจบกันแล้วที่t  =  100

สำหรับตัวอย่าง Fitzhugh–Nagumo เส้นโค้งเสถียรภาพที่เป็นกลางซึ่งทำเครื่องหมายขอบเขตของบริเวณที่มีเสถียรภาพเชิงเส้นสำหรับการแยกสาขา Turing และ Hopf นั้นกำหนดโดย

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{\text{n}}^{H}(k):&{}\quad {\frac {1}{\tau }}+\left(d_{u}^{2}+{\frac {1}{\tau }}d_{v}^{2}\right)k^{2}&=f^{\prime }(u_{h}),\\[6pt]q_{\text{n}}^{T}(k):&{}\quad {\frac {\kappa }{1+d_{v}^{2}k^{2}}}+d_{u}^{2}k^{2}&=f^{\prime }(u_{h}).\end{aligned}}}$

หากการแยกสาขาเป็นแบบต่ำกว่าวิกฤต มักจะสามารถสังเกต โครงสร้างเฉพาะที่ ( โซลิตอนแบบกระจายพลังงาน ) ได้ในบริเวณ ฮิสเทอเรซิสซึ่งรูปแบบจะอยู่ร่วมกับสถานะพื้นฐาน โครงสร้างอื่นๆ ที่พบได้บ่อย ได้แก่ ชุดพัลส์ (เรียกอีกอย่างว่าคลื่นเดินทางเป็นคาบ ) คลื่นเกลียว และรูปแบบเป้าหมาย โซลูชันทั้งสามประเภทนี้ยังเป็นคุณลักษณะทั่วไปของสมการปฏิกิริยา-การแพร่กระจายแบบสององค์ประกอบ (หรือมากกว่า) ซึ่งพลวัตเฉพาะที่นั้นมีวงจรจำกัด ที่เสถียร ^{[ 13 ]}

• รูปแบบอื่นๆ ที่พบในระบบปฏิกิริยา-การแพร่กระจายแบบสององค์ประกอบข้างต้นของประเภท Fitzhugh–Nagumo
• 
  เกลียวหมุน.
• 
  รูปแบบเป้าหมาย
• 
  คลื่นพัลส์เฉพาะที่แบบอยู่กับที่ (โซลิตอนแบบกระจายพลังงาน)

สำหรับระบบต่างๆ สมการปฏิกิริยา-การแพร่กระจายที่มีมากกว่าสององค์ประกอบได้รับการเสนอ เช่น^{ปฏิกิริยา} Belousov–Zhabotinsky [ ^{14 ] สำหรับ}การแข็งตัวของเลือด [ ^{15 ]}คลื่นฟิสชัน^{[ 16 ]}หรือระบบการปล่อยก๊าซ แบบระนาบ ^{[ 17 ]}

เป็นที่ทราบกันดีว่าระบบที่มีส่วนประกอบมากกว่านั้นช่วยให้เกิดปรากฏการณ์ต่างๆ ที่ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ในระบบที่มีส่วนประกอบเพียงหนึ่งหรือสองส่วน (เช่น พัลส์การทำงานที่เสถียรในมิติเชิงพื้นที่มากกว่าหนึ่งมิติโดยไม่มีการป้อนกลับทั่วโลก) ^{[ 18 ]}บทนำและภาพรวมอย่างเป็นระบบของปรากฏการณ์ที่เป็นไปได้ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของระบบพื้นฐานมีอยู่ใน^{[ 19 ]}

ในปัจจุบัน ระบบปฏิกิริยา-การแพร่กระจายได้รับความสนใจอย่างมากในฐานะแบบจำลองต้นแบบสำหรับการก่อตัวของรูปแบบ [ ^{20 ] รูป}แบบที่กล่าวถึงข้างต้น (แนวหน้า เกลียว เป้าหมาย หกเหลี่ยม ลายเส้น และโซลิตอนแบบกระจาย) สามารถพบได้ในระบบปฏิกิริยา-การแพร่กระจายประเภทต่างๆ แม้ว่าจะมีความแตกต่างกันมาก เช่น ในเงื่อนไขปฏิกิริยาเฉพาะที่ นอกจากนี้ยังมีการโต้แย้งว่ากระบวนการปฏิกิริยา-การแพร่กระจายเป็นพื้นฐานที่สำคัญสำหรับกระบวนการที่เกี่ยวข้องกับการสร้างรูปร่างในทางชีววิทยา^{[ 21 ] [ 22 ]}และอาจเกี่ยวข้องกับขนของสัตว์และการสร้างเม็ดสีผิวด้วย^{[ 23 ] [ 24 ]}การประยุกต์ใช้สมการปฏิกิริยา-การแพร่กระจายอื่นๆ ได้แก่ การรุกรานทางนิเวศวิทยา^{[ 25 ]}การแพร่ระบาดของโรค^{[ 26 ]}การเติบโตของเนื้องอก^{[ 27 ] [ 28 ] [ 29 ]}พลวัตของคลื่นฟิชชัน^{[ 30 ]}การรักษาบาดแผล^{[ 31 ]}และภาพหลอนทางสายตา^{[ 32 ]}อีกเหตุผลหนึ่งที่ทำให้เกิดความสนใจในระบบปฏิกิริยา-การแพร่กระจายก็คือ แม้ว่าจะเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่ไม่เป็นเชิงเส้น แต่ก็มักจะมีโอกาสสำหรับการวิเคราะห์เชิงวิเคราะห์^{[ 8 ] [ 9 ] [ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 20 ]}

การทดลองที่ควบคุมได้ดีในระบบปฏิกิริยาเคมี-การแพร่กระจายนั้น สามารถทำได้ในสามวิธี วิธีแรกคือการใช้ เครื่องปฏิกรณ์เจล ^{[ 36 ]}หรือหลอดแคปิลลารีที่บรรจุ^{[ 37 ]} วิธีที่สอง คือ การศึกษา พัลส์ อุณหภูมิบนพื้นผิวตัวเร่งปฏิกิริยา^{[ 38 ] [ 39 ]}วิธีที่สามคือ การจำลองการแพร่กระจายของพัลส์ประสาทที่วิ่งโดยใช้ระบบปฏิกิริยา-การแพร่กระจาย^{[ 11 ] [ 40 ]}

นอกเหนือจากตัวอย่างทั่วไปเหล่านี้แล้ว ปรากฏว่าภายใต้สถานการณ์ที่เหมาะสม ระบบขนส่งไฟฟ้า เช่น พลาสมา^{[ 41 ]}หรือเซมิคอนดักเตอร์^{[ 42 ]}สามารถอธิบายได้ด้วยแนวทางปฏิกิริยา-การแพร่กระจาย สำหรับระบบเหล่านี้ ได้มีการทดลองต่างๆ เกี่ยวกับการสร้างรูปแบบ

ระบบปฏิกิริยา-การแพร่กระจายสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์เชิงตัวเลขมีวิธีการคำนวณเชิงตัวเลขหลายวิธีในเอกสารวิจัย^{[ 43 ] [ 20 ] [ 44 ]}นอกจากนี้ยังมีการเสนอวิธีการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขสำหรับรูปทรงเรขาคณิต ที่ซับซ้อน ^{[ 45 ] [ 46 ]}ระบบปฏิกิริยา-การแพร่กระจายได้รับการอธิบายในรายละเอียดสูงสุดด้วยเครื่องมือจำลองแบบอนุภาค เช่น SRSim หรือ ReaDDy ^{[ 47 ]}ซึ่งใช้พลวัตปฏิกิริยาของอนุภาคที่โต้ตอบแบบย้อนกลับได้^{[ 48 ]}

• ออโต้เวฟ– คลื่นไม่เชิงเส้นแบบพึ่งพาตนเองในตัวกลางแอคทีฟ 
• ปฏิกิริยาที่ควบคุมโดยการแพร่– อัตราการเกิดปฏิกิริยาเท่ากับอัตราการขนส่ง 
• จลนศาสตร์เคมี– การศึกษาอัตราการเกิดปฏิกิริยาเคมี 
• วิธีการพื้นที่เฟส
• ปฏิกิริยาแบบเร่งปฏิกิริยาด้วยตนเองและการสร้างระเบียบ– ปฏิกิริยาเคมีที่ผลิตภัณฑ์เป็นตัวเร่งปฏิกิริยาด้วยหน้าเว็บที่แสดงคำอธิบายสั้น ๆ ของเป้าหมายการเปลี่ยนเส้นทาง 
• การก่อตัวของรูปแบบ– การศึกษาเกี่ยวกับการก่อตัวของรูปแบบโดยกระบวนการจัดระเบียบตนเองในธรรมชาติ 
• รูปแบบในธรรมชาติ– ความสม่ำเสมอที่มองเห็นได้ของรูปทรงที่พบได้ในโลกธรรมชาติ 
• คลื่นเดินทางเป็นคาบ– กลุ่มคลื่นที่มีความเร็วคงที่ 
• คำตอบที่คล้ายคลึงกันในตัวเอง– แนวคิดในสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย 
• สมการการแพร่– สมการที่อธิบายการเปลี่ยนแปลงความหนาแน่นของวัสดุที่แพร่ในตัวกลาง 
• เรขาคณิตเชิงสุ่ม– การศึกษาเกี่ยวกับรูปแบบเชิงพื้นที่แบบสุ่ม 
• เอ็มซีโคลน
• พื้นฐานทางเคมีของการเกิดรูปร่าง– บทความวิชาการปี 1952 โดยอลัน ทัวริง 
• รูปแบบทัวริง– แนวคิดจากชีววิทยาเชิงวิวัฒนาการ 
• การสร้างแบบจำลองหลายสถานะของโมเลกุลชีวภาพ

• สมการของฟิชเชอร์
• สมการ Zeldovich–Frank-Kamenetskii
• แบบจำลอง FitzHugh–Nagumo
• สีทาย่น

• ปฏิกิริยา-การแพร่ตามแบบจำลอง Gray–Scott: การกำหนดพารามิเตอร์ของ Pearson แผนภาพแสดงพื้นที่พารามิเตอร์ของปฏิกิริยา-การแพร่ตามแบบจำลอง Gray–Scott
• วิทยานิพนธ์เกี่ยวกับรูปแบบปฏิกิริยา-การแพร่กระจาย พร้อมภาพรวมของสาขานี้
• RD Tool: แอปพลิเคชันบนเว็บแบบโต้ตอบสำหรับการจำลองปฏิกิริยาและการแพร่กระจาย