ปัญหาหลักของการตรวจคลื่นไฟฟ้าหัวใจคือวิธีการคำนวณและทางคณิตศาสตร์เพื่อศึกษาการทำงานของไฟฟ้าของหัวใจผ่านพื้นผิวร่างกาย^{[ 1 ]}จุดประสงค์หลักของการศึกษานี้คือการจำลองคลื่นไฟฟ้าหัวใจ (ECG) ด้วยวิธีการคำนวณ ซึ่งมีความสำคัญทางคลินิกในการวินิจฉัยโรคของหัวใจเช่นภาวะขาดเลือดและกล้ามเนื้อ หัวใจตาย หรือเพื่อทดสอบการรักษาด้วยยาเนื่องจากมีฟังก์ชันการทำงานที่สำคัญและการรุกรานน้อย เทคนิคการ ตรวจคลื่นไฟฟ้าหัวใจจึงถูกนำมาใช้บ่อยครั้งในการวินิจฉัย ทางคลินิก ดังนั้นจึงเป็นเรื่องปกติที่จะดำเนินการจำลอง ECG ด้วยวิธีการคำนวณ ซึ่งหมายถึงการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของพฤติกรรมของหัวใจภายในร่างกาย^{[ 1 ]}

ส่วนประกอบหลักสามส่วนของแบบจำลองการคาดการณ์สำหรับคลื่นไฟฟ้าหัวใจ (ECG) ได้แก่:

• แบบจำลองสำหรับกิจกรรมทางไฟฟ้าของหัวใจ;
• แบบจำลองสำหรับการแพร่กระจายของศักย์ไฟฟ้าภายในลำตัว ซึ่งแสดงถึงบริเวณนอกหัวใจ
• เงื่อนไขการเชื่อมต่อหัวใจ-ลำตัวที่เฉพาะเจาะจงบางประการ^{[ 2 ]}

ดังนั้น เพื่อให้ได้ ECG จะต้องพิจารณาแบบจำลองทางไฟฟ้าของหัวใจทางคณิตศาสตร์ควบคู่ไปกับแบบจำลองการแพร่กระจายในตัวนำแบบพาสซีฟที่อธิบายการแพร่กระจายทางไฟฟ้าภายในลำตัว^{[ 1 ]}

แบบจำลองที่เชื่อมโยงกันมักจะเป็นแบบจำลองสามมิติที่แสดงในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย แบบจำลองดังกล่าวโดยทั่วไปจะได้รับการแก้ไขโดยใช้วิธีองค์ประกอบจำกัดสำหรับการวิวัฒนาการเชิงพื้นที่ของคำตอบและแบบแผนเชิงตัวเลขกึ่งชัดเจนที่เกี่ยวข้องกับความแตกต่างจำกัดสำหรับการวิวัฒนาการเชิงเวลาของคำตอบ อย่างไรก็ตาม ต้นทุนการคำนวณของเทคนิคดังกล่าว โดยเฉพาะอย่างยิ่งกับการจำลองสามมิติ ค่อนข้างสูง ดังนั้นจึงมักพิจารณาแบบจำลองที่ง่ายขึ้น เช่น การแก้ปัญหาการทำงานของไฟฟ้าของหัวใจโดยอิสระจากปัญหาบนลำตัว เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่สมจริง ต้องใช้แบบจำลองสามมิติที่สมจริงทางกายวิภาคของหัวใจและลำตัว^{[ 1 ]}

การลดความซับซ้อนที่เป็นไปได้อีกประการหนึ่งคือแบบจำลองไดนามิกที่ประกอบด้วยสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ สามสม การ^{[ 3 ]}

กิจกรรมทางไฟฟ้าของหัวใจเกิดจากการไหลของไอออนข้ามเยื่อหุ้มเซลล์ระหว่างช่องว่างภายในเซลล์และภายนอกเซลล์ ซึ่งกำหนดคลื่นกระตุ้นไปตามกล้ามเนื้อหัวใจที่ประสานการหดตัวของหัวใจ และด้วยเหตุนี้จึงทำให้เกิดการสูบฉีดของหัวใจที่ช่วยให้หัวใจสามารถดันเลือดผ่านระบบไหลเวียนโลหิตได้ ดังนั้น การสร้างแบบจำลองกิจกรรมทางไฟฟ้าของหัวใจจึงเกี่ยวข้องกับการสร้างแบบจำลองการไหลของไอออนใน ระดับ จุลภาคและการแพร่กระจายของคลื่นกระตุ้นไปตามเส้นใย กล้ามเนื้อ ในระดับมหภาค^{[ 1 ] [ 4 ]}

ระหว่างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในระดับมหภาคWillem EinthovenและAugustus Wallerได้กำหนด ECG ผ่านแบบจำลองเชิงแนวคิดของไดโพลที่หมุนรอบจุดคงที่ ซึ่งการฉายภาพบน แกน นำจะกำหนดการบันทึกของตัวนำ จากนั้น การสร้างภาพ สองมิติของกิจกรรมหัวใจในระนาบด้านหน้าเป็นไปได้โดยใช้ตัวนำแขนขา I, II และ III ของ Einthoven เป็นพื้นฐานทางทฤษฎี^{[ 5 ]} ต่อมา ไดโพลหัวใจที่หมุนได้ถูกพิจารณาว่าไม่เพียงพอและถูกแทนที่ด้วย แหล่งกำเนิด หลายขั้วที่เคลื่อนที่ภายในโดเมนลำตัวที่จำกัด ข้อเสียหลักของวิธีการที่ใช้ในการวัดปริมาณแหล่งกำเนิดเหล่านี้คือการขาดรายละเอียด ซึ่งอย่างไรก็ตามมีความเกี่ยวข้องอย่างมากกับการจำลองปรากฏการณ์หัวใจอย่างสมจริง^{[ 4 ]}

ในทางกลับกัน แบบจำลองระดับจุลภาคพยายามที่จะแสดงพฤติกรรมของเซลล์เดี่ยวและเชื่อมต่อเซลล์เหล่านั้นโดยพิจารณาคุณสมบัติทางไฟฟ้า^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}แบบจำลองเหล่านี้มีความท้าทายบางประการที่เกี่ยวข้องกับมาตราส่วนที่แตกต่างกันที่ต้องจับภาพ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อพิจารณาว่า โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับปรากฏการณ์ขนาดใหญ่ เช่น การกลับเข้าสู่ชั้นบรรยากาศหรือศักยภาพพื้นผิวร่างกายพฤติกรรมโดยรวมของเซลล์มีความสำคัญมากกว่าพฤติกรรมของเซลล์แต่ละเซลล์^{[ 4 ]}

ตัวเลือกที่สามในการจำลองกิจกรรมทางไฟฟ้าของหัวใจคือการพิจารณาสิ่งที่เรียกว่า "แนวทางจากระดับกลางออกไป" ซึ่งแบบจำลองจะรวมรายละเอียดทั้งระดับต่ำและระดับสูงเข้าด้วยกัน ตัวเลือกนี้จะพิจารณาพฤติกรรมของกลุ่มเซลล์ที่เรียกว่าเซลล์ต่อเนื่อง จึงหลีกเลี่ยงปัญหาเรื่องขนาดและรายละเอียด แบบจำลองที่ได้เรียกว่าแบบจำลองสองโดเมนซึ่งมักถูกแทนที่ด้วยแบบจำลองที่ง่ายกว่าคือแบบจำลองโดเมนเดียว^{[ 4 ]}

ข้อสมมติฐานพื้นฐานของแบบจำลองไบโดเมนคือเนื้อเยื่อหัวใจสามารถแบ่งออกเป็นสองสื่อต่อเนื่องที่นำไฟฟ้าโอห์มิกได้ โดยเชื่อมต่อกันแต่แยกจากกันด้วยเยื่อหุ้มเซลล์ สื่อเหล่านี้เรียกว่าบริเวณภายในเซลล์และภายนอกเซลล์ โดยบริเวณภายในเซลล์แสดงถึงเนื้อเยื่อของเซลล์ และบริเวณภายนอกเซลล์แสดงถึงช่องว่างระหว่างเซลล์^{[ 2 ] [ 1 ]}

สูตรมาตรฐานของแบบจำลองไบโดเมน ซึ่งรวมถึงแบบจำลองไดนามิกสำหรับกระแสไอออนิก มีดังต่อไปนี้^{[ 2 ]} โดยที่และคือศักย์ไฟฟ้าข้ามเยื่อหุ้มเซลล์และศักย์ไฟฟ้าภายนอกเซลล์ตามลำดับ คือกระแสไอออนิก ซึ่งขึ้นอยู่กับตัวแปรควบคุม(ซึ่งอธิบายพฤติกรรมไอออนิกในระดับเซลล์) และคือกระแสภายนอกที่ใช้กับโดเมน ยิ่งไปกว่านั้นและคือเทนเซอร์การนำไฟฟ้าภายในเซลล์และภายนอกเซลล์คืออัตราส่วนพื้นผิวต่อปริมาตรของเยื่อหุ้มเซลล์ และคือความจุของเยื่อหุ้มเซลล์ต่อหน่วยพื้นที่ ในที่นี้ โดเมนแสดงถึงกล้ามเนื้อหัวใจ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla u_{e})=A_{m}\left(C_{m}{\dfrac {\partial V_{m}}{\partial t}}+I_{\text{ion}}(V_{m},w)\right)+I_{\text{app}}&{\text{in }}\Omega _{H}\\\nabla \cdot \left(({\boldsymbol {\sigma }}_{i}+{\boldsymbol {\sigma }}_{e})\nabla u_{e}\right)+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})=0&{\text{in }}\Omega _{H}\\{\frac {\partial w}{\partial {t}}}+g(V_{m},w)=0&{\text{in }}\Omega _{H}\end{cases}}}$$${\displaystyle V_{m}}$${\displaystyle u_{e}}$${\displaystyle I_{\text{ion}}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle I_{\text{app}}}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\sigma }__{i}}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\sigma }__{e}}$${\displaystyle A_{m}}$${\displaystyle C_{m}}$${\displaystyle \Omega _{H}}$

เงื่อนไขขอบเขตสำหรับโมเดลแบบสองโดเมนเวอร์ชันนี้ได้มาจากการสมมติว่าไม่มีการไหลของศักยภาพภายในเซลล์ภายนอกหัวใจ ซึ่งหมายความว่า โดยที่แสดงถึงขอบเขตของโดเมนหัวใจ และคือเวกเตอร์หน่วยปกติภายนอกของ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m}\cdot \mathbf {n} +{\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} =0\quad \quad {\text{on }}\Sigma }$$${\displaystyle \Sigma =\partial \Omega _{H}}$${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle \Sigma }$

แบบจำลองโมโนโดเมนเป็นการลดทอนแบบจำลองไบโดเมน ซึ่งแม้จะมีสมมติฐานที่ไม่เป็นไปตามสรีรวิทยาอยู่บ้าง แต่ก็สามารถแสดงปรากฏการณ์ทางไฟฟ้าสรีรวิทยาที่สมจริงได้ อย่างน้อยก็ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับศักยภาพข้ามเยื่อหุ้มเซลล์^{[ 2 ] [ 1 ]}${\displaystyle V_{m}}$

สูตรมาตรฐานคือสมการอนุพันธ์ย่อยต่อไปนี้ ซึ่งตัวแปรที่ไม่ทราบค่าเพียงอย่างเดียวคือศักย์ข้ามเยื่อหุ้มเซลล์: โดยที่เป็นพารามิเตอร์ที่เชื่อมโยงเทนเซอร์การนำไฟฟ้าภายในเซลล์และภายนอกเซลล์^{[ 2 ]}${\displaystyle V_{m}}$$${\displaystyle \chi C_{m}{\frac {\partial V_{m}}{\partial t}}-\nabla \cdot \left({\boldsymbol {\sigma }}_{i}{\frac {\lambda }{1+\lambda }}\nabla V_{m}\right)+\chi I_{\text{ion}}=I_{\text{app}}\quad \quad {\text{in }}\Omega _{H}}$$${\displaystyle \lambda }$

เงื่อนไขขอบเขตที่ใช้สำหรับแบบจำลองนี้คือ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \left({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m}\right)\cdot \mathbf {n} =0\quad \quad {\text{on }}\partial \Omega _{H}.}$$

ในปัญหาไปข้างหน้าของการตรวจคลื่นไฟฟ้าหัวใจ ลำตัวถือเป็นตัวนำแบบพาสซีฟ และแบบจำลองของลำตัวสามารถสร้างขึ้นจากสมการของแม็กซ์เวลล์ภายใต้สมมติฐานกึ่งสถิต^{[ 1 ] [ 2 ]}

สูตรมาตรฐานประกอบด้วยสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่มีฟิลด์สเกลาร์ที่ไม่ทราบค่าหนึ่งฟิลด์ คือ ศักยภาพของลำตัวโดยพื้นฐานแล้ว แบบจำลองลำตัวคือสมการลาปลาส ทั่วไปดังต่อไปนี้ โดยที่คือเทนเซอร์การนำไฟฟ้า และคือโดเมนที่ล้อมรอบหัวใจ กล่าวคือลำตัวของมนุษย์^{[ 2 ]}${\displaystyle u_{T}}$$${\displaystyle \nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})=0\quad \quad {\text{in }}\Omega _{T},}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{T}}$${\displaystyle \Omega _{T}}$

สำหรับแบบจำลองสองโดเมน แบบจำลองลำตัวสามารถได้มาจากสมการของแม็กซ์เวลล์และสมการความต่อเนื่องหลังจากสมมติฐานบางประการ ประการแรก เนื่องจากกิจกรรมทางไฟฟ้าและแม่เหล็กภายในร่างกายเกิดขึ้นในระดับต่ำ จึงสามารถพิจารณาสมมติฐานแบบกึ่งคงที่ได้ ดังนั้น ร่างกายจึงสามารถมองได้ว่าเป็นตัวนำแบบพาสซีฟ ซึ่งหมายความว่าผลกระทบจากความจุ การเหนี่ยวนำ และการแพร่กระจายสามารถละเลยได้^{[ 1 ]}

ภายใต้สมมติฐานกึ่งสถิต สมการของแม็กซ์เวลล์คือ^{[ 1 ]} และสมการความต่อเนื่องคือ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot \mathbf {E} &={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\\\nabla \times \mathbf {E} &=0\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\mathbf {J} \end{cases}}}$$$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} =0.}$$

เนื่องจากเคิร์ลเป็นศูนย์ สนามไฟฟ้าจึงสามารถแสดงได้ด้วยเกรเดียนต์ของสนาม ศักย์สเกลาร์ ซึ่ง ก็คือศักย์ทอร์โซ

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla u_{T}}$

1

โดยที่เครื่องหมายลบหมายความว่ากระแสไฟฟ้าไหลจากบริเวณที่มีศักยภาพสูงกว่าไปยังบริเวณที่มีศักยภาพต่ำกว่า^{[ 1 ]}

จากนั้น ความหนาแน่นกระแสรวมสามารถแสดงได้ในรูปของกระแสการนำไฟฟ้าและกระแสประยุกต์ที่แตกต่างกันอื่นๆ ดังนั้นจากสมการความต่อเนื่อง^{[ 1 ]}

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} =\nabla \cdot (\mathbf {J} _{\text{app}}+{\boldsymbol {\sigma }}_{T}\mathbf {E} )=0}$

2

จากนั้น แทนที่ ( 1 ) ใน ( 2 ) $${\displaystyle \nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})=\nabla \cdot \mathbf {J} _{\text{app}}=I_{v}}$$

ซึ่งก็คือกระแสไฟฟ้าต่อหน่วยปริมาตร^{[ 1 ]}${\displaystyle I_{v}}$

สุดท้าย เนื่องจากนอกจากหัวใจแล้วไม่มีแหล่งกำเนิดกระแสไฟฟ้าภายในลำตัว กระแสไฟฟ้าต่อหน่วยปริมาตรจึงสามารถกำหนดให้เป็นศูนย์ได้ ซึ่งให้สมการลาปลาสทั่วไป ซึ่งแสดงถึงสูตรมาตรฐานของปัญหาการแพร่กระจายภายในลำตัว^{[ 1 ]}$${\displaystyle \nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})=0\quad \quad {\text{in }}\Omega _{T}.}$$

เงื่อนไขขอบเขตจะพิจารณาคุณสมบัติของสื่อที่อยู่รอบลำตัว กล่าวคือ อากาศรอบตัว โดยทั่วไป อากาศมีค่าการนำไฟฟ้าเป็นศูนย์ ซึ่งหมายความว่ากระแสไฟฟ้าไม่สามารถไหลออกนอกลำตัวได้ สิ่งนี้ถูกแปลเป็นสมการต่อไปนี้^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T}\cdot \mathbf {n} _{T}=0\quad \quad {\text{on }}\Gamma _{T}}$$

โดยที่เวกเตอร์ปกติภายนอกของลำตัวและขอบเขตของลำตัวหมายถึงพื้นผิวของลำตัว^{[ 1 ] [ 2 ]}${\displaystyle \mathbf {n} _{T}}$${\displaystyle \Gamma _{T}}$

โดยทั่วไป ลำตัวถือว่ามีการนำไฟฟ้าแบบไอโซโทรปิก ซึ่งหมายความว่ากระแสไฟฟ้าไหลไปในทิศทางเดียวกันในทุกทิศทาง อย่างไรก็ตาม ลำตัวไม่ใช่ซองที่ว่างเปล่าหรือเป็นเนื้อเดียวกัน แต่ประกอบด้วยอวัยวะต่างๆ ที่มีค่าสัมประสิทธิ์การนำไฟฟ้าแตกต่างกัน ซึ่งสามารถหาได้จากการทดลอง ตัวอย่างง่ายๆ ของพารามิเตอร์การนำไฟฟ้าในลำตัวที่พิจารณากระดูกและปอดแสดงไว้ในตารางต่อไปนี้^{[ 2 ]}

ค่าการนำไฟฟ้าของลำตัว^{[ 2 ]}

${\displaystyle \sigma _{T}^{\text{lungs}}}$	${\displaystyle \sigma _{T}^{\text{bones}}}$	${\displaystyle \sigma _{T}^{\text{remaining regions}}}$
(วินาที/ซม.)	(วินาที/ซม.)	(วินาที/ซม.)
${\displaystyle 2.4\times 10^{-4}}$	${\displaystyle 4\times 10^{-5}}$	${\displaystyle 6\times 10^{-4}}$

การเชื่อมต่อระหว่างแบบจำลองกิจกรรมทางไฟฟ้าและแบบจำลองลำตัวทำได้โดยใช้เงื่อนไขขอบเขตที่เหมาะสมที่เยื่อหุ้มหัวใจชั้นนอก กล่าวคือที่พื้นผิวส่วนต่อประสานระหว่างหัวใจและลำตัว^{[ 1 ] [ 2 ]}

แบบจำลองหัวใจ-ลำตัวสามารถเชื่อมโยงกันได้อย่างสมบูรณ์ หากพิจารณาการส่งผ่านไฟฟ้าที่สมบูรณ์แบบระหว่างสองโดเมน หรือสามารถแยกออกจากกันได้ หากแบบจำลองไฟฟ้าของหัวใจและแบบจำลองลำตัวได้รับการแก้ไขแยกกัน โดยมีการแลกเปลี่ยนข้อมูลที่จำกัดหรือไม่สมบูรณ์ระหว่างกัน^{[ 2 ]}

การเชื่อมต่อที่สมบูรณ์ระหว่างหัวใจและลำตัวเกิดขึ้นจากการกำหนดเงื่อนไขการส่งผ่านไฟฟ้าที่สมบูรณ์แบบระหว่างหัวใจและลำตัว โดยพิจารณาสมการสองสมการต่อไปนี้ ซึ่งสร้างความสัมพันธ์ระหว่างศักยภาพภายนอกเซลล์และศักยภาพของลำตัว^{[ 2 ]} สมการเหล่านี้รับประกันความต่อเนื่องของทั้งศักยภาพและกระแสไฟฟ้าผ่านเยื่อหุ้มหัวใจชั้นนอก^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{e}&=u_{T}&{\text{on }}\Sigma \\({\boldsymbol {\sigma }}_{e}\nabla u_{e})\cdot \mathbf {n} _{e}&=-({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})\cdot \mathbf {n} _{T}\quad &{\text{on }}\Sigma .\end{aligned}}}$$

การใช้เงื่อนไขขอบเขตเหล่านี้ทำให้สามารถสร้างแบบจำลองหัวใจ-ลำตัวที่เชื่อมโยงกันอย่างสมบูรณ์ได้ 2 แบบ โดยพิจารณาแบบจำลองแบบสองโดเมนหรือแบบโดเมนเดียวสำหรับกิจกรรมทางไฟฟ้าของหัวใจ จากมุมมองเชิงตัวเลข แบบจำลองทั้งสองมีค่าใช้จ่ายในการคำนวณสูงมากและมีต้นทุนการคำนวณที่คล้ายคลึงกัน^{[ 2 ]}

เงื่อนไขขอบเขตที่แสดงถึงการเชื่อมต่อทางไฟฟ้าที่สมบูรณ์แบบระหว่างหัวใจและลำตัวเป็นเงื่อนไขที่ใช้กันมากที่สุดและเป็นเงื่อนไขแบบคลาสสิก อย่างไรก็ตาม ระหว่างหัวใจและลำตัวมีเยื่อหุ้มหัวใจซึ่งเป็นถุงที่มีผนังสองชั้นที่บรรจุของเหลวใสซึ่งมีผลเฉพาะต่อการส่งผ่านไฟฟ้า เมื่อพิจารณาถึงความจุ และ ผลกระทบ ของความต้านทานที่เยื่อหุ้มหัวใจมี เงื่อนไขขอบเขตทางเลือกที่คำนึงถึงผลกระทบนี้สามารถกำหนดได้ดังต่อไปนี้^{[ 10 ]}${\displaystyle C_{p}}$${\displaystyle R_{p}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{p}{\boldsymbol {\sigma }}_{e}\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} &=R_{p}C_{p}{\frac {\partial (u_{T}-u_{e})}{\partial t}}+(u_{T}-u_{e})\quad \quad &{\text{on }}\Sigma \\{\boldsymbol {\sigma }}_{e}\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} &={\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T}\cdot \mathbf {n} \quad \quad &{\text{on }}\Sigma \end{aligned}}}$$

แบบจำลองหัวใจ-ลำตัวที่เชื่อมโยงกันอย่างสมบูรณ์ โดยพิจารณาแบบจำลองไบโดเมนสำหรับกิจกรรมทางไฟฟ้าของหัวใจ ในรูปแบบที่สมบูรณ์คือ^{[ 2 ]} โดยสมการสี่สมการแรกเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่แสดงถึงแบบจำลองไบโดเมน แบบจำลองไอออนิก และแบบจำลองลำตัว ในขณะที่สมการที่เหลือแสดงถึงเงื่อนไขขอบเขตสำหรับแบบจำลองไบโดเมนและแบบจำลองลำตัว และเงื่อนไขการเชื่อมโยงระหว่างกัน^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla u_{e})=A_{m}\left(C_{m}{\dfrac {\partial V_{m}}{\partial t}}+I_{\text{ion}}(V_{m},w)\right)+I_{\text{app}}&{\text{in }}\Omega _{H}\\[1ex]\nabla \cdot \left(({\boldsymbol {\sigma }}_{i}+{\boldsymbol {\sigma }}_{e})\nabla u_{e}\right)+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})=0&{\text{in }}\Omega _{H}\\[1ex]{\dfrac {\partial w}{\partial {t}}}+g(V_{m},w)=0&{\text{in }}\Omega _{H}\\[1ex]\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})=0&{\text{in }}\Omega _{T}\\[1ex]({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})\cdot \mathbf {n} +({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla u_{e})\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Sigma \\[1ex]u_{e}=u_{T}&{\text{on }}\Sigma \\[1ex]({\boldsymbol {\sigma }}_{e}\nabla u_{e})\cdot \mathbf {n} =({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})\cdot \mathbf {n} &{\text{on }}\Sigma \\[1ex]({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Gamma _{T}\end{cases}}}$$

แบบจำลองหัวใจ-ลำตัวที่เชื่อมโยงกันอย่างสมบูรณ์โดยพิจารณาแบบจำลองโมโนโดเมนสำหรับกิจกรรมทางไฟฟ้าของหัวใจนั้นซับซ้อนกว่าปัญหาไบโดเมน อันที่จริง เงื่อนไขการเชื่อมโยงจะเชื่อมโยงศักยภาพของลำตัวกับศักยภาพภายนอกเซลล์ ซึ่งไม่ได้คำนวณโดยแบบจำลองโมโนโดเมน ดังนั้นจึงจำเป็นต้องใช้สมการที่สองของแบบจำลองไบโดเมน ด้วย (ภายใต้สมมติฐานเดียวกันกับที่แบบจำลองโมโนโดเมนได้มา) ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ดังนี้: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \nabla \cdot \left(({\boldsymbol {\sigma }}_{i}+{\boldsymbol {\sigma }}_{e})\nabla u_{e}\right)+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})=0\quad \quad {\text{in }}\Omega _{H}.}$$

ด้วยวิธีนี้ เงื่อนไขการเชื่อมต่อไม่จำเป็นต้องเปลี่ยนแปลง และแบบจำลองหัวใจ-ลำตัวที่สมบูรณ์ประกอบด้วยบล็อกที่แตกต่างกันสองบล็อก: ^{[ 2 ]}

• ขั้นแรก ต้องแก้แบบจำลองโมโนโดเมนที่มีเงื่อนไขขอบเขตตามปกติก่อน:$${\displaystyle {\begin{cases}\chi C_{m}{\dfrac {\partial V_{m}}{\partial t}}-\nabla \cdot \left({\boldsymbol {\sigma }}_{i}{\dfrac {\lambda }{1+\lambda }}\nabla V_{m}\right)+\chi I_{\text{ion}}=I_{\text{app}}&{\text{in }}\Omega _{H}\\[1ex]\left({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m}\right)\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\partial \Omega _{H}.\end{cases}}}$$
• จากนั้น จะต้องแก้แบบจำลองที่เชื่อมโยงกัน ซึ่งรวมถึงการคำนวณศักยภาพภายนอกเซลล์ แบบจำลองลำตัว และเงื่อนไขการเชื่อมโยง:$${\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot \left(({\boldsymbol {\sigma }}_{i}+{\boldsymbol {\sigma }}_{e})\nabla u_{e}\right)+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})=0&{\text{in }}\Omega _{H}\\\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})=0&{\text{in }}\Omega _{T}\\{\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T}\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Gamma _{T}\\u_{e}=u_{T}&{\text{on }}\Sigma \\({\boldsymbol {\sigma }}_{e}\nabla u_{e})\cdot \mathbf {n} =({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})\cdot \mathbf {n} &{\text{on }}\Sigma \end{cases}}}$$

แบบจำลองหัวใจ-ลำตัวที่เชื่อมต่อกันอย่างสมบูรณ์เป็นแบบจำลองที่มีรายละเอียดมาก แต่ก็ต้องใช้การคำนวณที่ซับซ้อนในการแก้ปัญหาเช่นกัน^{[ 2 ]}การลดความซับซ้อนที่เป็นไปได้สามารถทำได้โดยใช้สมมติฐานที่เรียกว่าไม่เชื่อมต่อกัน ซึ่งถือว่าหัวใจแยกออกจากกันทางไฟฟ้าโดยสมบูรณ์^{[ 2 ]}ในทางคณิตศาสตร์ ทำได้โดยการกำหนดให้กระแสไฟฟ้าไม่สามารถไหลผ่านเยื่อหุ้มหัวใจชั้นนอก จากหัวใจไปยังลำตัวได้ กล่าวคือ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{e}\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} =0\quad \quad {\text{on }}\Sigma .}$$

เมื่อนำสมการนี้ไปใช้กับเงื่อนไขขอบเขตของแบบจำลองที่เชื่อมโยงกันอย่างสมบูรณ์ จะสามารถได้แบบจำลองหัวใจ-ลำตัวที่ไม่เชื่อมโยงกันสองแบบ ซึ่งแบบจำลองทางไฟฟ้าสามารถแก้ไขได้แยกต่างหากจากแบบจำลองลำตัว ทำให้ลดต้นทุนการคำนวณลง^{[ 2 ]}

เวอร์ชันที่ไม่เชื่อมโยงกันของแบบจำลองหัวใจ-ลำตัวที่เชื่อมโยงกันอย่างสมบูรณ์ซึ่งใช้โดเมนคู่เพื่อแสดงกิจกรรมทางไฟฟ้าของหัวใจประกอบด้วยสองส่วนที่แยกจากกัน: ^{[ 2 ]}

• แบบจำลองสองโดเมนในรูปแบบแยกเดี่ยว$${\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla u_{e})=A_{m}\left(C_{m}{\dfrac {\partial V_{m}}{\partial t}}+I_{\text{ion}}(V_{m},w)\right)+I_{\text{app}}&{\text{in }}\Omega _{H}\\\nabla \cdot \left(({\boldsymbol {\sigma }}_{i}+{\boldsymbol {\sigma }}_{e})\nabla u_{e}\right)+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})=0&{\text{in }}\Omega _{H}\\{\dfrac {\partial w}{\partial {t}}}+g(V_{m},w)=0&{\text{in }}\Omega _{H}\\({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})\cdot \mathbf {n} +({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla u_{e})\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Sigma \\{\boldsymbol {\sigma }}_{e}\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Sigma .\end{cases}}}$$
• แบบจำลองการแพร่กระจายของลำตัวในรูปแบบมาตรฐาน พร้อมเงื่อนไขความต่อเนื่องที่เป็นไปได้$${\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})=0&{\text{in }}\Omega _{T}\\{\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T}\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Gamma _{T}\\u_{T}=u_{e}&{\text{on }}\Sigma \\\end{cases}}}$$

เช่นเดียวกับกรณีของแบบจำลองหัวใจ-ลำตัวที่เชื่อมต่อกันอย่างสมบูรณ์ซึ่งใช้แบบจำลองโมโนโดเมน ในแบบจำลองที่ไม่เชื่อมต่อกันที่สอดคล้องกันนั้น จำเป็นต้องคำนวณศักยภาพภายนอกเซลล์ ในกรณีนี้ จะต้องแก้ปัญหาที่แตกต่างกันและเป็นอิสระสามประการ: ^{[ 2 ]}

• แบบจำลองโมโนโดเมนพร้อมเงื่อนไขขอบเขตปกติ:$${\displaystyle {\begin{cases}\chi C_{m}{\dfrac {\partial V_{m}}{\partial t}}-\nabla \cdot \left({\boldsymbol {\sigma }}_{i}{\dfrac {\lambda }{1+\lambda }}\nabla V_{m}\right)+\chi I_{\text{ion}}=I_{\text{app}}&{\text{in }}\Omega _{H}\\[1ex]\left({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m}\right)\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\partial \Omega _{H}.\end{cases}}}$$
• ปัญหาในการคำนวณศักย์ไฟฟ้าภายนอกเซลล์ โดยมีเงื่อนไขขอบเขตบนเยื่อหุ้มหัวใจที่กำหนดว่าไม่มีกระแสไฟฟ้าไหลภายในเซลล์:$${\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot \left(({\boldsymbol {\sigma }}_{i}+{\boldsymbol {\sigma }}_{e})\nabla u_{e}\right)+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})=0&{\text{in }}\Omega _{H}\\[1ex]({\boldsymbol {\sigma }}_{i}+{\boldsymbol {\sigma }}_{e})\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} =-({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})\cdot \mathbf {n} &{\text{on }}\Sigma \end{cases}}}$$
• แบบจำลองการแพร่กระจายของลำตัวโดยมีเงื่อนไขขอบเขตความต่อเนื่องที่เป็นไปได้ที่เยื่อหุ้มหัวใจชั้นนอก:$${\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})=0&{\text{in }}\Omega _{T}\\{\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T}\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Gamma _{T}\\u_{T}=u_{e}&{\text{on }}\Sigma \\\end{cases}}}$$

การแก้ปัญหาแบบจำลองหัวใจ-ลำตัวที่เชื่อมต่อกันอย่างสมบูรณ์หรือแบบไม่เชื่อมต่อกันทำให้สามารถหาศักยภาพทางไฟฟ้าที่เกิดจากหัวใจในทุกจุดของลำตัวมนุษย์ และโดยเฉพาะอย่างยิ่งบนพื้นผิวทั้งหมดของลำตัว การกำหนดตำแหน่งของอิเล็กโทรดบนลำตัวทำให้สามารถหาการเปลี่ยนแปลงของศักยภาพตามเวลา ณ จุดเหล่านั้นได้ จากนั้นจึง สามารถคำนวณ คลื่นไฟฟ้าหัวใจได้ ตัวอย่างเช่น ตามลีดมาตรฐาน 12 ลีด โดยพิจารณาสูตรต่อไปนี้^{[ 2 ]} โดยที่และคือตำแหน่งมาตรฐานของอิเล็กโทรด^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{cases}\mathrm {I} &=u_{T}(L)-u_{T}(R)\\\mathrm {II} &=u_{T}(F)-u_{T}(R)\\\mathrm {III} &=u_{T}(F)-u_{T}(L)\\\mathrm {aVR} &={\frac {3}{2}}(u_{T}(R)-u_{w})\\\mathrm {aVL} &={\frac {3}{2}}(u_{T}(L)-u_{w})\\\mathrm {aVF} &={\frac {3}{2}}(u_{T}(F)-u_{w})\\\mathrm {V} _{i}&=u_{T}(V_{i})-u_{w}\quad i=1,\dots ,6\end{cases}}}$$${\displaystyle u_{W}=(u_{T}(L)+u_{T}(R)+u_{T}(F))/3}$${\displaystyle L,R,F,\{V_{i}\}_{i=1}^{6}}$

แบบจำลองหัวใจ-ลำตัวแสดงออกมาในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยซึ่งตัวแปรที่ไม่ทราบค่าเป็นฟังก์ชันของทั้งพื้นที่และเวลา แบบจำลองเหล่านี้เชื่อมโยงกับแบบจำลองไอออนิกซึ่งโดยทั่วไปจะแสดงออกมาในรูปของระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญสามารถใช้แผนการเชิงตัวเลขที่หลากหลายในการแก้ปัญหาเหล่านี้ได้ โดยทั่วไปแล้ววิธีไฟไนต์เอเลเมนต์จะถูกนำมาใช้สำหรับการแบ่งส่วนพื้นที่ และแผนการไฟไนต์ดิฟเฟอเรนซ์แบบกึ่งชัดเจนจะถูกใช้สำหรับการแบ่งส่วนเวลา^{[ 1 ] [ 2 ]}

แบบจำลองหัวใจ-ลำตัวที่ไม่เชื่อมต่อกันนั้นง่ายต่อการจัดการเชิงตัวเลขที่สุด เนื่องจากแบบจำลองไฟฟ้าของหัวใจสามารถแก้ไขได้แยกต่างหากจากแบบจำลองของลำตัว ดังนั้นจึงสามารถใช้วิธีการเชิงตัวเลขแบบคลาสสิกในการแก้ปัญหาแต่ละส่วนได้ ซึ่งหมายความว่าแบบจำลองแบบสองโดเมนและแบบโดเมนเดียวสามารถแก้ไขได้โดย ใช้ สูตรการหาอนุพันธ์ย้อนกลับสำหรับการแบ่งช่วงเวลา ในขณะที่ปัญหาในการคำนวณศักยภาพภายนอกเซลล์และศักยภาพของลำตัวสามารถแก้ไขได้ง่ายโดยใช้วิธีไฟไนต์เอเลเมนต์เท่านั้น เนื่องจากไม่ขึ้นกับเวลา^{[ 1 ] [ 2 ]}

ในทางกลับกัน โมเดลหัวใจ-ลำตัวที่เชื่อมโยงกันอย่างสมบูรณ์นั้นมีความซับซ้อนกว่าและต้องการโมเดลเชิงตัวเลขที่ซับซ้อนกว่า ตัวอย่างเช่น โมเดลหัวใจ-ลำตัวแบบสมบูรณ์ที่ใช้โมเดลแบบไบโดเมนสำหรับการจำลองทางไฟฟ้าของพฤติกรรมหัวใจสามารถแก้ไขได้โดยพิจารณา เทคนิค การแบ่งโดเมนเช่น การแบ่งโดเมนแบบ Dirichlet-Neumann ^{[ 2 ] [ 11 ]}

ในการจำลองคลื่นไฟฟ้าหัวใจโดยใช้แบบจำลองที่เชื่อมต่ออย่างสมบูรณ์หรือแบบไม่เชื่อมต่อ จำเป็นต้องมีการสร้างภาพสามมิติของลำตัวมนุษย์ขึ้นใหม่ ปัจจุบัน เทคนิคการถ่ายภาพวินิจฉัย เช่นMRIและCTสามารถให้ภาพที่แม่นยำเพียงพอที่จะสร้างส่วนต่างๆ ของร่างกายมนุษย์ขึ้นใหม่ได้อย่างละเอียด และด้วยเหตุนี้จึงได้รูปทรงเรขาคณิตของลำตัวที่เหมาะสม ตัวอย่างเช่น Visible Human Data ^{[ 13 ]}เป็นชุดข้อมูลที่มีประโยชน์ในการสร้างแบบจำลองลำตัวสามมิติโดยละเอียดพร้อมอวัยวะภายใน รวมถึงโครงสร้างกระดูกและกล้ามเนื้อ^{[ 1 ]}

แม้ว่าผลลัพธ์จะค่อนข้างละเอียด แต่การแก้แบบจำลองสามมิติมักจะมีค่าใช้จ่ายค่อนข้างสูง การลดความซับซ้อนที่เป็นไปได้คือแบบจำลองไดนามิกที่อิงตามสมการเชิงอนุพันธ์สามัญที่เชื่อมโยงกันสามสมการ^{[ 3 ]}

ความเป็นคาบกึ่งของการเต้นของหัวใจถูกสร้างขึ้นใหม่โดยวิถีสามมิติรอบวงจรจำกัด ที่ดึงดูด ในระนาบ ยอดหลักของ ECG ซึ่งก็คือ P, Q, R, S และ T จะถูกอธิบายที่มุมคงที่ซึ่งให้ ODE สามตัวต่อไปนี้^{[ 3 ]}${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle \theta _{P},\theta _{Q},\theta _{R},\theta _{S}{\text{ and }}\theta _{T}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=\alpha z-\omega y\\[1ex]y'&=\alpha y+\omega x\\[1ex]z'&=\textstyle -\sum _{i\in \{P,Q,R,S,T\}}a_{i}\Delta \theta _{i}{\text{exp}}\left(-{\Delta \theta _{i}^{2}}/{2b_{i}^{2}}\right)-(z-z_{0})\end{aligned}}}$$ กับ, ,${\textstyle \alpha =1-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$${\displaystyle \Delta \theta _{i}=(\theta -\theta _{i}){\bmod {(}}2\pi )}$${\displaystyle \theta ={\text{atan}}2(y,x)}$

สมการเหล่านี้สามารถแก้ไขได้ง่ายด้วยอัลกอริธึมเชิงตัวเลขแบบคลาสสิก เช่นวิธี Runge-Kuttaสำหรับ ODE ^{[ 3 ]}

• แบบจำลองโมโนโดเมน
• แบบจำลองไบโดเมน
• การตรวจคลื่นไฟฟ้าหัวใจ