• ถ้าค่าของเป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่จำนวนจริง ในกรณีนี้ รากทั้งหมดอาจเป็นจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนจริง หรืออาจเป็นจำนวนจริงทั้งหมด ในกรณีหลัง ค่าของก็จะเป็นจำนวนจริงเช่นกัน แม้ว่าจะแสดงในรูปของ นี่คือcasus irreducibilisของฟังก์ชันกำลังสามที่ขยายไปสู่บริบทของกำลังสี่ในปัจจุบัน เราอาจเลือกที่จะแสดงมันในรูปแบบที่เป็นจำนวนจริงล้วนๆ โดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติดังนี้:${\displaystyle \Delta >0,}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle S}$${\displaystyle Q;}$

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}{\sqrt {-{\frac {2}{3}}\ p+{\frac {2}{3a}}{\sqrt {\Delta _{0}}}\cos {\frac {\varphi }{3}}}}}$

ที่ไหน

${\displaystyle \varphi =\arccos \left({\frac {\Delta _{1}}{2{\sqrt {\Delta _{0}^{3}}}}}\right).}$

• ถ้าและเครื่องหมายของ จะต้องถูกเลือกเพื่อให้ได้สิ่งนั้น ควรจะกำหนดให้เป็นการรักษาเครื่องหมายของ${\displaystyle \Delta \neq 0}$${\displaystyle \Delta _{0}=0,}$${\displaystyle {\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}={\sqrt {\Delta _{1}^{2}}}}$${\displaystyle Q\neq 0,}$${\displaystyle {\sqrt {\Delta _{1}^{2}}}}$${\displaystyle \Delta _{1},}$${\displaystyle \Delta _{1}.}$
• ถ้าเช่นนั้น เราต้องเปลี่ยนตัวเลือกของรากที่สามในเพื่อให้ได้สิ่งนี้ ซึ่งเป็นไปได้เสมอ ยกเว้นในกรณีที่สามารถแยกตัวประกอบกำลังสี่ได้เป็นผลลัพธ์ที่ได้จะถูกต้อง แต่ทำให้เข้าใจผิด เพราะมันซ่อนข้อเท็จจริงที่ว่าไม่จำเป็นต้องใช้รากที่สามในกรณีนี้ อันที่จริง กรณีนี้จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อตัวเศษของเป็นศูนย์ ซึ่งในกรณีนี้กำลังสี่ที่ลดลง ที่เกี่ยวข้อง จะเป็นกำลังสองสอง ดังนั้นจึงสามารถแก้ไขได้โดยวิธีที่อธิบายไว้ด้านล่าง${\displaystyle S=0,}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle S\neq 0.}$${\displaystyle \left(x+{\tfrac {b}{4a}}\right)^{4}.}$${\displaystyle q}$
• ถ้าและและดังนั้นอย่างน้อยสามรากเท่ากัน และรากเหล่านั้นเป็นฟังก์ชันตรรกยะของสัมประสิทธิ์ รากสามตัวนั้นเป็นรากร่วมของกำลังสี่และอนุพันธ์อันดับสองของมันดังนั้นจึงเป็นรากเดียวของเศษเหลือจากการหารแบบยุคลิดของกำลังสี่ด้วยอนุพันธ์อันดับสองของมัน ซึ่งเป็นพหุนามเชิงเส้น รากเดี่ยวสามารถอนุมานได้จาก${\displaystyle \Delta =0}$${\displaystyle \Delta _{0}=0,}$${\displaystyle \Delta _{1}=0,}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle 2(6ax^{2}+3bx+c);}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{1}+3x_{0}=-b/a.}$
• ถ้าและนิพจน์ข้างต้นสำหรับรากถูกต้องแต่ทำให้เข้าใจผิด เพราะปกปิดข้อเท็จจริงที่ว่าพหุนามนั้นสามารถแยกตัวประกอบได้และไม่จำเป็นต้องใช้รากที่สามเพื่อแสดงราก${\displaystyle \Delta =0}$${\displaystyle \Delta _{0}\neq 0,}$

พิจารณาควอติกทั่วไป

${\displaystyle Q(x)=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.}$

สามารถลดรูปได้หากQ ( x ) = R ( x ) × S ( x )โดยที่R ( x )และS ( x )เป็นพหุนามที่ไม่ใช่ค่าคงที่ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ (หรือโดยทั่วไปแล้วมีสัมประสิทธิ์อยู่ในฟิลด์ เดียวกัน กับสัมประสิทธิ์ของQ ( x ) ) การแยกตัวประกอบดังกล่าวจะมีรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งจากสองรูปแบบนี้:

${\displaystyle Q(x)=(x-x_{1})(b_{3}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0})}$

หรือ

${\displaystyle Q(x)=(c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0})(d_{2}x^{2}+d_{1}x+d_{0}).}$

ไม่ว่าในกรณีใด รากของQ ( x )คือรากของตัวประกอบ ซึ่งสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรสำหรับรากของฟังก์ชันกำลังสองหรือฟังก์ชันกำลังสาม

การตรวจจับการมีอยู่ของการแยกตัวประกอบดังกล่าวสามารถทำได้โดยใช้ตัวแก้ลูกบาศก์ของQ ( x )ปรากฏว่า:

• ถ้าเราทำงานอยู่บนR (นั่นคือ ถ้าสัมประสิทธิ์ถูกจำกัดให้เป็นจำนวนจริง) (หรือโดยทั่วไปแล้ว บนฟิลด์ปิดจริง บางฟิลด์ ) ก็จะมีตัวประกอบดังกล่าวอยู่เสมอ
• ถ้าเรากำลังทำงานกับQ (นั่นคือ ถ้าสัมประสิทธิ์ถูกจำกัดให้เป็นจำนวนตรรกยะ) แล้วจะมีอัลกอริทึมที่จะตรวจสอบว่าQ ( x )สามารถลดรูปได้หรือไม่ และถ้าได้ จะแสดงออกมาเป็นผลคูณของพหุนามที่มีดีกรีน้อยกว่าได้อย่างไร

อันที่จริง วิธีการแก้สมการกำลังสี่หลายวิธี ( เช่น วิธีของเฟอร์รารีวิธีของเดส์การ์ตและวิธีของออยเลอร์ ซึ่งใช้ได้ผลน้อยกว่า ) ล้วนอาศัยการหาตัวประกอบดังกล่าวเป็นพื้นฐาน

ถ้าa = a = 0แล้วฟังก์ชัน

${\displaystyle Q(x)=a_{4}x^{4}+a_{2}x^{2}+a_{0}}$

เรียกว่าฟังก์ชันกำลังสอง (biquadratic function ) การกำหนดให้เท่ากับศูนย์จะได้สมการกำลังสอง (biquadratic equation ) ซึ่งสามารถแก้ได้ง่ายดังนี้

ให้ตัวแปรเสริมz = x²แล้วQ ( x ) จะกลายเป็นสมการกำลังสองq ใน z : q ( z ) = a⁴z² ⁺ a²z ⁺ ให้z⁺ z⁻ รากของq ( z )แล้วรากของสมการกำลังสี่Q ( คือ

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=+{\sqrt {z_{+}}},\\x_{2}&=-{\sqrt {z_{+}}},\\x_{3}&=+{\sqrt {z_{-}}},\\x_{4}&=-{\sqrt {z_{-}}}.\end{aligned}}}$

พหุนาม

${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}mx+a_{0}m^{2}}$

เกือบจะเป็นพาลินโดรมเนื่องจากP ( mx ) = ⁠x ⁴/ม^.2⁠ P ( ⁠ม/x) (เป็นพาลินโดรมถ้า m = 1) การเปลี่ยนตัวแปร z = x + ⁠ม/xใน​​พี ( x )/x ²⁠ = 0จะได้สมการกำลังสอง a z ² + a z + a − 2 ma = 0เนื่องจาก x ² − xz + m = 0สมการกำลังสี่ P ( x ) = 0จึงสามารถแก้ได้โดยการใช้สูตรกำลังสองสองครั้ง

เพื่อความสะดวกในการแก้ปัญหา โดยทั่วไปแล้วควรแปลงสมการกำลังสี่ให้เป็นสมการกำลังสี่แบบลดรูปโดยใช้การเปลี่ยนตัวแปรอย่างง่ายดังต่อไปนี้ สูตรทั้งหมดจะง่ายขึ้น และบางวิธีใช้ได้เฉพาะในกรณีนี้เท่านั้น รากของสมการกำลังสี่เดิมสามารถหาได้ง่ายจากรากของสมการกำลังสี่แบบลดรูปโดยการเปลี่ยนตัวแปรย้อนกลับ

อนุญาต

${\displaystyle a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}$

ให้เป็นสมการกำลังสี่ทั่วไปที่เราต้องการหาคำตอบ

การหารด้วย4จะได้สมการที่เทียบเท่าคือx + bx ³ + cx ² + dx + ^e = 0โดยที่b = ⁠3/4, c = ⁠​2/4, d = ⁠​1/4และ e =​​0/4แทนที่ y −​​ข/4สำหรับ x เมื่อจัดกลุ่มพจน์ใหม่แล้วจะ ได้สมการ y ⁴ + py ² + qy +r= 0โดยที่

${\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {8c-3b^{2}}{8}}={\frac {8a_{2}a_{4}-3{a_{3}}^{2}}{8{a_{4}}^{2}}}\\q&={\frac {b^{3}-4bc+8d}{8}}={\frac {{a_{3}}^{3}-4a_{2}a_{3}a_{4}+8a_{1}{a_{4}}^{2}}{8{a_{4}}^{3}}}\\r&={\frac {-3b^{4}+256e-64bd+16b^{2}c}{256}}={\frac {-3{a_{3}}^{4}+256a_{0}{a_{4}}^{3}-64a_{1}a_{3}{a_{4}}^{2}+16a_{2}{a_{3}}^{2}a_{4}}{256{a_{4}}^{4}}}.\end{aligned}}}$

ถ้าy เป็นรากของสมการกำลังสี่ที่ลดรูปนี้แล้วy − ⁠ข/4(นั่นคือ y − ⁠)3/4 ก)เป็นรากของพหุพจน์กำลังสี่ดั้งเดิม และรากทุกรากของพหุพจน์กำลังสี่ดั้งเดิมสามารถหาได้จากกระบวนการนี้

ดังที่ได้อธิบายไว้ในส่วนก่อนหน้า เราอาจเริ่มต้นด้วยสมการควอติกที่ลดลง

${\displaystyle y^{4}+py^{2}+qy+r=0.}$

สมการกำลังสี่ที่ลดรูปนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีการที่ค้นพบโดยLodovico Ferrariสมการที่ลดรูปนี้สามารถเขียนใหม่ได้ (ซึ่งตรวจสอบได้ง่ายโดยการกระจายกำลังสองและจัดกลุ่มพจน์ทั้งหมดในด้านซ้ายมือใหม่) ดังนี้

${\displaystyle \left(y^{2}+{\frac {p}{2}}\right)^{2}=-qy-r+{\frac {p^{2}}{4}}.}$

จากนั้น เราแนะนำตัวแปรmเข้าไปในตัวประกอบทางด้านซ้ายมือ โดยการเพิ่ม2 y ² m + pm + m ²เข้าไปทั้งสองข้าง หลังจากจัดกลุ่มสัมประสิทธิ์ของกำลังของyทางด้านขวามือใหม่แล้ว จะได้สมการดังนี้

${\displaystyle \left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m\right)^{2}=2my^{2}-qy+m^{2}+mp+{\frac {p^{2}}{4}}-r,}$

1

ซึ่งเทียบเท่ากับสมการเดิม ไม่ว่าค่า mจะเป็นค่าใดก็ตาม

เนื่องจากค่าของmสามารถเลือกได้อย่างอิสระ เราจึงจะเลือกค่า m เพื่อให้ด้านขวามือของสมการสมบูรณ์ ซึ่งหมายความว่าค่า ดิสคริมิแนนต์ในyของสมการกำลังสอง นี้ เป็นศูนย์ นั่นคือmเป็นรากของสมการ

${\displaystyle (-q)^{2}-4(2m)\left(m^{2}+pm+{\frac {p^{2}}{4}}-r\right)=0,\,}$

ซึ่งสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้

${\displaystyle 8m^{3}+8pm^{2}+(2p^{2}-8r)m-q^{2}=0.}$

1ก

นี่คือตัวแก้กำลังสามของสมการกำลังสี่ ค่าของmจึงอาจได้มาจากสูตรของคาร์ดาโนเมื่อmเป็นรากของสมการนี้ ด้านขวามือของสมการ ( 1 ) จะเป็นกำลังสอง

${\displaystyle \left({\sqrt {2m}}y-{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)^{2}.}$

อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ทำให้เกิดการหารด้วยศูนย์หากm = 0ซึ่งหมายความว่าq = 0และดังนั้นสมการที่ลดรูปจึงเป็นสมการกำลังสองสองตัวแปร และอาจแก้ได้ด้วยวิธีที่ง่ายกว่า (ดูด้านบน) นี่ไม่ใช่ปัญหาในสมัยของเฟอร์รารี เมื่อมีการแก้สมการที่กำหนดให้ชัดเจนพร้อมสัมประสิทธิ์ตัวเลขเท่านั้น สำหรับสูตรทั่วไปที่เป็นจริงเสมอ จึงจำเป็นต้องเลือกรากของสมการกำลังสามที่m ≠ 0ซึ่งเป็นไปได้เสมอ ยกเว้นสมการที่ลดรูปy ⁴ = 0

ถ้าmเป็นรากของสมการกำลังสามโดยที่m ≠ 0สมการ ( 1 ) จะกลายเป็น

${\displaystyle \left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m\right)^{2}=\left(y{\sqrt {2m}}-{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)^{2}.}$

สมการนี้อยู่ในรูปแบบM ² = N ²ซึ่งสามารถจัดเรียงใหม่ได้เป็นM ² − N ² = 0หรือ( M + N )( M − N ) = 0ดังนั้น สมการ ( 1 ) อาจเขียนใหม่ได้เป็น

${\displaystyle \left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m+{\sqrt {2m}}y-{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)\left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m-{\sqrt {2m}}y+{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)=0.}$

สมการนี้สามารถแก้ได้ง่ายๆ โดยใช้ สูตรกำลังสองกับแต่ละตัวประกอบเมื่อแก้สมการแล้ว เราสามารถเขียนรากทั้งสี่ได้ดังนี้

${\displaystyle y={\pm _{1}{\sqrt {2m}}\pm _{2}{\sqrt {-\left(2p+2m\pm _{1}{{\sqrt {2}}q \over {\sqrt {m}}}\right)}} \over 2},}$

โดยที่± และ± หมายถึง+หรือ− เนื่องจาก ± ทั้งสองครั้งต้องหมายถึงเครื่องหมายเดียวกัน จึงเหลือความเป็นไปได้สี่แบบ หนึ่งแบบสำหรับแต่ละราก

ดังนั้น คำตอบของสมการกำลังสี่ดั้งเดิมคือ

${\displaystyle x=-{a_{3} \over 4a_{4}}+{\pm _{1}{\sqrt {2m}}\pm _{2}{\sqrt {-\left(2p+2m\pm _{1}{{\sqrt {2}}q \over {\sqrt {m}}}\right)}} \over 2}.}$

เมื่อเปรียบเทียบกับสูตรทั่วไป ข้างต้น จะเห็นได้ว่า√ 2 m = 2 S

เดส์การ์ต^{[ 14 ]}ได้นำเสนอวิธีการหารากของพหุนามกำลังสี่โดยการแยกตัวประกอบเป็นพหุนามกำลังสองสองตัวในปี พ.ศ. 2380 ให้

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e&=(x^{2}+sx+t)(x^{2}+ux+v)\\&=x^{4}+(s+u)x^{3}+(t+v+su)x^{2}+(sv+tu)x+tv\end{aligned}}}$

เมื่อเทียบสัมประสิทธิ์แล้ว จะได้ระบบสมการดังต่อไปนี้:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}b=s+u\\c=t+v+su\\d=sv+tu\\e=tv\end{array}}\right.}$

สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้โดยเริ่มต้นใหม่ด้วยกำลังสี่ที่ลดลงy ⁴ + py ² + qy + rซึ่งสามารถหาได้โดยการแทนที่xด้วยy − b /4เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของy ³คือ0เราจึงได้s = − uและ: 

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}p+u^{2}=t+v\\q=u(t-v)\\r=tv\end{array}}\right.}$

ตอนนี้เราสามารถกำจัดทั้งtและv ได้ โดยทำดังต่อไปนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}(p+u^{2})^{2}-q^{2}&=u^{2}(t+v)^{2}-u^{2}(t-v)^{2}\\&=u^{2}[(t+v+(t-v))(t+v-(t-v))]\\&=u^{2}(2t)(2v)\\&=4u^{2}tv\\&=4u^{2}r\end{aligned}}}$

ถ้าเรากำหนดให้^U = u² การแก้สมการนี้จะกลายเป็นการหาคำตอบของสมการกำลังสามของตัวแก้ไข

${\displaystyle U^{3}+2pU^{2}+(p^{2}-4r)U-q^{2},}$

2

ซึ่งทำที่อื่นลูกบาศก์ตัวแก้ไขนี้เทียบเท่ากับลูกบาศก์ตัวแก้ไขที่ให้ไว้ข้างต้น (สมการ (1a)) ดังที่เห็นได้จากการแทนค่า U = 2m

ถ้าuเป็นรากที่สองของรากที่ไม่เป็นศูนย์ของตัวผกผันนี้ (รากที่ไม่เป็นศูนย์ดังกล่าวมีอยู่ ยกเว้นรากกำลังสี่^x⁴ ซึ่งแยกตัวประกอบได้ง่าย)

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}s=-u\\2t=p+u^{2}+q/u\\2v=p+u^{2}-q/u\end{array}}\right.}$

ความสมมาตรในวิธีแก้ปัญหานี้มีดังต่อไปนี้ มีรากที่สามของจำนวนกำลังสาม ซึ่งสอดคล้องกับสามวิธีที่จำนวนกำลังสี่สามารถแยกตัวประกอบเป็นจำนวนกำลังสองสองตัว และการเลือกค่าบวกหรือลบของuสำหรับรากที่สองของUเพียงแค่สลับจำนวนกำลังสองทั้งสองนั้นเข้าด้วยกัน

วิธีแก้ปัญหาข้างต้นแสดงให้เห็นว่าพหุนามกำลังสี่ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะและสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์ในพจน์กำลังสามสามารถแยกตัวประกอบเป็นพหุนามกำลังสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะได้ก็ต่อเมื่อตัวแก้กำลังสาม ( 2 ) มีรากที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งเป็นกำลังสองของจำนวนตรรกยะ หรือp ² − 4 rเป็นกำลังสองของจำนวนตรรกยะและq = 0ซึ่งสามารถตรวจสอบได้ง่ายโดยใช้การทดสอบรากตรรกยะ^{[ 15 ]}

รูปแบบหนึ่งของวิธีข้างต้นเกิดจากออยเลอร์ [ ^{16 ] [ 17 ] แตก}ต่างจากวิธีข้างต้นซึ่งทั้งสองวิธีใช้ ราก บางส่วนของตัวแก้ลูกบาศก์ วิธีของออยเลอร์ใช้รากทั้งหมด พิจารณาควอติกที่ลดลงx ⁴ + px ² + qx + rสังเกตว่า ถ้า

• x ⁴ + px ² + qx + r = ( x ² + sx + t )( x ² − sx + v ) ,
• r และ r คือรากของสมการ x ² + sx + t
• r และ r เป็นรากของ x ² − sx + v ,

แล้ว

• รากของx ⁴ + px ² + qx + rคือr , r , r และr
• r + r = − s ,
• r + r = s .

ดังนั้น( r + r )( r + r ) = − s ²กล่าวอีกนัยหนึ่ง−( r + r )( r + r )เป็นหนึ่งในรากของสมการกำลังสามตัวผกผัน ( 2 ) และสิ่งนี้ชี้ให้เห็นว่ารากของสมการกำลังสามนั้นเท่ากับ−( r + r )( r + r ) , −( r + r )( r + r )และ−( r + r )( r + r )ซึ่งเป็นความจริงและเป็นไปตามสูตรของ Vieta นอกจากนี้ จากสูตรของ Vieta ประกอบกับข้อเท็จจริงที่ว่าเรากำลังทำงานกับกำลังสี่ที่ลดลง จะได้ว่าr + r + r + r = 0 (แน่นอนว่า สิ่งนี้ยังเป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าr + r + r + r = − s + sด้วย) ดังนั้น ถ้าα , βและγเป็นรากของกำลังสามที่แก้ไขแล้ว ตัวเลขr , r , r และr จะเป็นเช่นนั้น

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}=0\\(r_{1}+r_{2})(r_{3}+r_{4})=-\alpha \\(r_{1}+r_{3})(r_{2}+r_{4})=-\beta \\(r_{1}+r_{4})(r_{2}+r_{3})=-\gamma {\text{.}}\end{array}}\right.}$

เป็นผลสืบเนื่องมาจากสมการสองสมการแรกที่ว่าr + r เป็นรากที่สองของαและr + r เป็นรากที่สองอีกตัวหนึ่งของαด้วยเหตุผลเดียวกันนี้

• r + r คือรากที่สองของ β
• r + r คือรากที่สองอีกตัวหนึ่งของ β
• r + r คือรากที่สองของ γ ,
• r + r คือรากที่สองอีกตัวหนึ่งของ γ

ดังนั้น ตัวเลขr , r , r และr จึงเป็นไปตามเงื่อนไขดังต่อไปนี้

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}=0\\r_{1}+r_{2}={\sqrt {\alpha }}\\r_{1}+r_{3}={\sqrt {\beta }}\\r_{1}+r_{4}={\sqrt {\gamma }}{\text{;}}\end{array}}\right.}$

เครื่องหมายของรากที่สองจะกล่าวถึงในส่วนถัดไป คำตอบเดียวของระบบสมการนี้คือ:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}r_{1}={\frac {{\sqrt {\alpha }}+{\sqrt {\beta }}+{\sqrt {\gamma }}}{2}}\\[2mm]r_{2}={\frac {{\sqrt {\alpha }}-{\sqrt {\beta }}-{\sqrt {\gamma }}}{2}}\\[2mm]r_{3}={\frac {-{\sqrt {\alpha }}+{\sqrt {\beta }}-{\sqrt {\gamma }}}{2}}\\[2mm]r_{4}={\frac {-{\sqrt {\alpha }}-{\sqrt {\beta }}+{\sqrt {\gamma }}}{2}}{\text{.}}\end{array}}\right.}$

เนื่องจากโดยทั่วไปแล้ว รากที่สองแต่ละตัวจะ มีสองตัวเลือก จึงอาจดูเหมือนว่ามีตัวเลือก (= 2³ ⁾ตัวเลือกสำหรับเซต{ r₁ r₂ , , r₄ แต่ในความเป็นจริงแล้ว มีตัวเลือกไม่เกิน2 ตัวเลือกเท่านั้น เพราะผลที่ตามมา รากที่สองก็ คือ เซต{ r₁ , r₂ , , r₄ } กลาย เป็นเซต{ −r₁ , −r₂ , −r₄

เพื่อกำหนดเครื่องหมายที่ถูกต้องของรากที่สอง เราเพียงแค่เลือกรากที่สองบางค่าสำหรับแต่ละจำนวนα , βและγแล้วใช้รากที่สองเหล่านั้นในการคำนวณจำนวนr , r , r และr จากสมการก่อนหน้า จากนั้น เราคำนวณจำนวน√ α √ β √ γเนื่องจากα , βและγเป็นรากของ ( 2 ) จึงเป็นผลสืบเนื่องมาจากสูตรของ Vieta ว่าผลคูณของพวกมันเท่ากับq ²และดังนั้น√ α √ β √ γ = ± qแต่การคำนวณโดยตรงแสดงให้เห็นว่า

√ α √ β √ γ = r r r + r r r + r r r + r r r .

ถ้าจำนวนนี้คือ−q แสดง การเลือกค่ารากที่สองนั้นถูกต้องแล้ว (โดยอ้างอิงจากสูตรของเวียตา) มิเช่นนั้น ค่ารากของพหุนามจะเป็น−r₁ , , −r₃ และ −r₄ซึ่งจำนวนที่หากแทนที่ รากที่ สองตัวใด ตัวหนึ่งด้วยรากที่ สองสมมาตร (หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ หากแทนที่รากที่สองทั้งสามตัวด้วยรากที่สองสมมาตร)

ข้อโต้แย้งนี้ชี้ให้เห็นถึงอีกวิธีหนึ่งในการเลือกรากที่สอง:

• เลือกค่ารากที่สอง√αใดๆของαและค่ารากที่สอง√βใดๆของβ ;
• กำหนด√ γเป็น.${\displaystyle -{\frac {q}{{\sqrt {\alpha }}{\sqrt {\beta }}}}}$

แน่นอนว่าสิ่งนี้จะไม่มีความหมายหากαหรือβเท่ากับ0แต่0เป็นรากของ ( 2 ) ก็ต่อเมื่อq = 0 เท่านั้น นั่นคือ เฉพาะเมื่อเรากำลังจัดการกับสมการกำลังสองซึ่งในกรณีนี้จะมีวิธีการที่ง่ายกว่ามาก

กลุ่มสมมาตรS บนสี่องค์ประกอบมีกลุ่มไคลน์สี่เป็นกลุ่มย่อยปกติสิ่งนี้ชี้ให้เห็นว่าควรใช้ตัวแก้ปัญหาลูกบาศก์ซึ่งรากอาจอธิบายได้หลายวิธี เช่นการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องหรือเมทริกซ์ฮาดามาร์ดของราก ดูตัวแก้ปัญหาของลากรางจ์สำหรับวิธีการทั่วไป กำหนดให้ x สำหรับ iตั้งแต่0ถึง3แทนรากทั้งสี่ของ x ⁴ + bx ³ + cx ² + dx + eถ้าเรากำหนด  

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}),\\[4pt]s_{1}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}-x_{1}+x_{2}-x_{3}),\\[4pt]s_{2}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}+x_{1}-x_{2}-x_{3}),\\[4pt]s_{3}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}-x_{1}-x_{2}+x_{3}),\end{aligned}}}$

เนื่องจากการแปลงเป็นการผกผันเราจึงสามารถแสดงรากในรูปของs ทั้งสี่ตัว ได้ในลักษณะเดียวกัน เนื่องจากเรารู้ค่าs = − ⁠ข/2เราต้องการเพียงค่าของ s , s และ s เท่านั้น ค่าเหล่านี้คือรากของพหุนาม

${\displaystyle (s^{2}-{s_{1}}^{2})(s^{2}-{s_{2}}^{2})(s^{2}-{s_{3}}^{2}).}$

เมื่อแทนค่าs ด้วยค่าของมันในรูปของx แล้ว พหุนามนี้สามารถขยายเป็นพหุนามในs ได้ โดย ที่สัมประสิทธิ์ของพหุนามเหล่านี้เป็นพหุนามสมมาตรในx ตามทฤษฎีบทพื้นฐานของพหุนามสมมาตร สัมประสิทธิ์เหล่านี้สามารถแสดงเป็นพหุนามในสัมประสิทธิ์ของกำลังสี่แบบเอกลักษณ์ได้ ถ้าหากเพื่อความง่าย เราสมมติว่ากำลังสี่นั้นถูกลดทอน นั่นคือb = 0ผลลัพธ์ที่ได้คือพหุนาม

${\displaystyle s^{6}+2cs^{4}+(c^{2}-4e)s^{2}-d^{2}}$

3

พหุนามนี้มีดีกรีหก แต่มีดีกรีสามในs² ^{เท่านั้น}ดังนั้นสมการที่เกี่ยวข้องจึงสามารถหาคำตอบได้ด้วยวิธีการที่อธิบายไว้ในบทความเกี่ยวกับฟังก์ชันกำลังสามโดยการแทนค่ารากในนิพจน์ของxᵢในรูปของsᵢ จะได้นิพจน์สำหรับราก ในความเป็นจริง เราจะได้นิพจน์หลายแบบ ขึ้นอยู่กับการกำหนดหมายเลขของรากของพหุนามกำลังสามและเครื่องหมายที่กำหนดให้กับรากที่สองของพวกมัน นิพจน์ที่แตกต่างกันทั้งหมดเหล่านี้สามารถอนุมานได้จากนิพจน์ใดนิพจน์หนึ่งโดยการเปลี่ยน xᵢเท่านั้น

นิพจน์เหล่านี้มีความซับซ้อนโดยไม่จำเป็น โดยเกี่ยวข้องกับรากที่สามของเอกภาพซึ่งสามารถหลีกเลี่ยงได้ดังต่อไปนี้ ถ้าsเป็นรากที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ ของ ( 3 ) และถ้าเรากำหนด

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(x)&=x^{2}+sx+{\frac {c}{2}}+{\frac {s^{2}}{2}}-{\frac {d}{2s}}\\F_{2}(x)&=x^{2}-sx+{\frac {c}{2}}+{\frac {s^{2}}{2}}+{\frac {d}{2s}}\end{aligned}}}$

แล้ว

${\displaystyle F_{1}(x)\times F_{2}(x)=x^{4}+cx^{2}+dx+e.}$

ดังนั้น เราจึงสามารถแก้สมการกำลังสี่ได้โดยการแก้หาค่าsแล้วจึงแก้หาค่ารากของตัวประกอบทั้งสองโดยใช้สูตรกำลังสอง

วิธีนี้ให้สูตรสำหรับรากที่เหมือนกับวิธีของเดส์การ์ตทุก ประการ

มีวิธีแก้ปัญหาทางเลือกโดยใช้เรขาคณิตเชิงพีชคณิต^{[ 18 ]}โดยสรุปคือ ตีความรากเป็นจุดตัดของเส้นโค้งกำลังสองสองเส้น จากนั้นจึงหาเส้นโค้งกำลังสองที่ลดรูปได้ สาม เส้น (คู่ของเส้นตรง) ที่ผ่านจุดเหล่านี้ (ซึ่งสอดคล้องกับตัวแก้กำลังสาม โดยคู่ของเส้นตรงเป็นตัวแก้ของลากรางจ์) จากนั้นจึงใช้สมการเชิงเส้นเหล่านี้เพื่อแก้สมการกำลังสอง

ราก ทั้งสี่ของสมการกำลังสี่x⁴ + px² + ^qx + r = 0อาจแสดงได้ในรูป^{พิกัด} xของจุดตัดของสมการกำลังสองสองสมการy² + py + qx + r = 0และy − x² = 0กล่าวคือ การใช้การแทนที่y = ^{x² แสดง ให้}เห็น ว่าสมการกำลังสองสอง ^สม การตัดกันที่สี่จุด ซึ่งเป็นตัวอย่างหนึ่งของทฤษฎีบทของเบซูต์โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จุดทั้งสี่คือPᵢ ( xᵢ xᵢ² ⁾สำหรับรากทั้งสี่xᵢ การกำลังสี่

จุดทั้งสี่นี้ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน เพราะจุดเหล่านี้อยู่บนเส้นกำลังสองที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้^y = x² ดังนั้นจึงมีกลุ่มของฟังก์ชันกำลังสองที่มีพารามิเตอร์เดียว ( กลุ่มของเส้นโค้ง ) ที่ผ่านจุดเหล่านี้ การเขียนฟังก์ชันกำลังสองทั้งสองในรูปของฟังก์ชันกำลัง สองที่มี ตัวแปรสามตัว:

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(X,Y,Z)&:=Y^{2}+pYZ+qXZ+rZ^{2},\\F_{2}(X,Y,Z)&:=YZ-X^{2}\end{aligned}}}$

ดินสอจะกำหนดโดยรูปแบบλF + μF สำหรับจุดใดๆ[ λ , μ ]บนเส้นเชิงโปรเจกทีฟ — กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เมื่อλและμไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน และการคูณรูปแบบกำลังสองด้วยค่าคงที่จะไม่เปลี่ยนแปลงเส้นโค้งกำลังสองของศูนย์

ดินสอนี้ประกอบด้วยสมการกำลังสองที่สามารถลดรูปได้สามสมการ แต่ละสมการสอดคล้องกับเส้นตรงสองเส้น โดยแต่ละเส้นผ่านจุดสองจุดจากสี่จุด ซึ่งสามารถทำได้6วิธีที่แตกต่างกัน กำหนดให้Q 1 L 12 L 34 Q 2 L 13 L 24 Q 3 L 14 L 23 กำหนดเส้นตรงสองเส้นใดๆ จุดตัดของเส้นตรงทั้งสองจะมีจุดสี่จุดพอดี${\displaystyle \textstyle {\binom {4}{2}}}$  

ในทางกลับกัน สามารถกำหนดกำลังสองที่ลดรูปได้โดยการแสดงรูปแบบกำลังสองλF + μF ใน รูปเมทริกซ์ 3×3  : กำลังสองที่ลดรูปได้สอดคล้องกับเมทริกซ์เอกฐานนี้ ซึ่งเทียบเท่ากับดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์ และดีเทอร์มิแนนต์เป็นพหุนามเอกพันธุ์ดีกรีสามในλและμและสอดคล้องกับตัวแก้กำลังสาม