ลุดวิก โบลต์ซมันน์
โบลต์ซมันน์ในปี 1902
เกิด	ลุดวิก เอดูอาร์ด โบลต์ซมันน์ ( 20 กุมภาพันธ์ 1844 )20 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2487 เวียนนา ประเทศออสเตรีย
เสียชีวิต	5 กันยายน 1906 (5 กันยายน 1906)(อายุ 62 ปี) ไทไบน์ประเทศออสเตรีย-ฮังการี
สถานที่พักผ่อน	สุสานกลางเวียนนา
การศึกษา	มหาวิทยาลัยเวียนนา ( ปริญญาเอก , 1866; ดร. ฮาบิล , 1869)
เป็นที่รู้จักในด้าน	การแจกแจงแบบโบลต์ซมันน์ (1868) สมการโบลต์ซมันน์ (1872) ขอแนะนำทฤษฎีบทH (1872) สูตรเอนโทรปีของโบลต์ซมันน์ (1875) การขยายทฤษฎีบทการแบ่งส่วนเท่าๆ กัน (1876) การอธิบายกลุ่มแคนอนิเคิล (1884) กฎของสเตฟาน-โบลต์ซมันน์ (1884)
คู่สมรส	เฮนเรียตต์ ฟอน ไอเกนต์เลอร์ ​ ​ ( ม.ค.  1876 )
เด็ก	4
รางวัล	ForMemRS (1899)
เส้นทางอาชีพด้านวิทยาศาสตร์
ฟิลด์	ฟิสิกส์เชิงสถิติ อุณหพลศาสตร์
สถาบันต่างๆ	มหาวิทยาลัยกราซ (ค.ศ. 1869–1873, ค.ศ. 1876–1890) มหาวิทยาลัยเวียนนา(ค.ศ. 1873–1876, 1894–1900, 1902–1906) ลุดวิก-แม็กซิมิเลียนส์-มหาวิทยาลัยมิวนิค (1890–1894) มหาวิทยาลัยไลพ์ซิก (1900–1902)
วิทยานิพนธ์	Über die mechanische Bedeutung des zweiten Hauptsatzes der mechanischen Wärmetheorie  (1866)
อาจารย์ที่ปรึกษาปริญญาเอก	โจเซฟ สเตฟาน
นักศึกษาปริญญาเอก	Ignaz Schütz (1894) [ 1 ] พอล เอห์เรนเฟสต์ (1904) ฟิลิปป์ แฟรงค์ (พ.ศ. 2450) [ 1 ]
นักเรียนที่โดดเด่นคนอื่นๆ	สแวนเต้ อาร์เรเนียส กุสตาฟ เฮอร์กลอตซ์[ 1 ] ลิเซ่ ไมท์เนอร์ วอลเธอร์ เนิร์นสต์ คาร์ล ปริบรัม
ลายเซ็น

Ludwig Eduard Boltzmann ( / ˈ b ɔː l t s ˌ m ɑː n / BAWLTS -mahnหรือ/ ˈ b oʊ l t s m ən / BOHLTS -muhn ; ^{[ 2 ]}ภาษาเยอรมัน: [ˈluːtvɪç ˈeːduaʁt ˈbɔltsman] ; 20 กุมภาพันธ์ 1844 – 5 กันยายน 1906) เป็นนักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์เชิงทฤษฎี ชาวออสเตรีย ความสำเร็จที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของเขาคือการพัฒนากลศาสตร์เชิงสถิติและคำอธิบายเชิงสถิติของกฎข้อที่สองของอุณหพลศาสตร์ในปี 1877 เขาได้ให้คำจำกัดความปัจจุบันของ เอน โทรปีโดยที่ Ω คือจำนวนไมโครสเตตที่มีพลังงานเท่ากับพลังงานของระบบ ซึ่งตีความได้ว่าเป็นการวัดความไม่เป็นระเบียบเชิงสถิติของระบบ^{[ 3 ]}แม็กซ์ พลังค์ตั้งชื่อค่าคงที่k _Bว่าค่าคงที่โบลต์ซมันน์^{[ 4 ]}${\displaystyle S=k_{\rm {B}}\ln \Omega }$

กลศาสตร์เชิงสถิติเป็นหนึ่งในเสาหลักของฟิสิกส์ สมัยใหม่ อธิบายว่า การสังเกต ในระดับมหภาค (เช่นอุณหภูมิและความดัน ) เกี่ยวข้องกับ พารามิเตอร์ ในระดับจุลภาคที่ผันผวนรอบค่าเฉลี่ยอย่างไร เชื่อมโยงปริมาณทางเทอร์โมไดนามิก (เช่นความจุความร้อน ) กับพฤติกรรมในระดับจุลภาค ในขณะที่ในเทอร์โมไดนามิกแบบคลาสสิกตัวเลือกเดียวที่มีอยู่คือการวัดและจัดทำตารางปริมาณดังกล่าวสำหรับวัสดุต่างๆ^{[ 5 ]}

โบลต์ซมันน์เกิดที่เอิร์ดเบิร์ก ชานเมืองเวียนนาในครอบครัวคาทอลิกบิดาของเขา ลุดวิก เกออร์ก โบลต์ซมันน์ เป็นเจ้าหน้าที่จัดเก็บรายได้ ปู่ของเขาซึ่งย้ายจากเบอร์ลินมาเวียนนาเป็นผู้ผลิตนาฬิกา และมารดาของโบลต์ซมันน์ แคทารินา เพาเอิร์นไฟนด์ มีถิ่นกำเนิดจากซาลซ์ บูร์ก โบลต์ซมันน์เรียนที่บ้านจนถึงอายุ 10 ขวบ^{[ 6 ]}จากนั้นจึงเข้าเรียนมัธยมปลายที่ลินซ์อัปเปอร์ออสเตรียเมื่อโบลต์ซมันน์อายุ 15 ปี บิดาของเขาก็เสียชีวิต^{[ 7 ]}

ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2406 Boltzmann ได้ศึกษาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ที่มหาวิทยาลัยเวียนนาเขาได้รับปริญญาเอกในปี พ.ศ. 2409 และvenia legendiในปี พ.ศ. 2402 Boltzmann ทำงานอย่างใกล้ชิดกับJosef Stefanผู้อำนวยการสถาบันฟิสิกส์ Stefan เป็นผู้แนะนำ Boltzmann ให้รู้จักกับผลงานของ James Clerk Maxwell ^{[ 7 ]}

ในปี พ.ศ. 2412 เมื่ออายุ 25 ปี ด้วยจดหมายแนะนำ^ที่เขียนโดยJosef Stefan [ ^{8 ]} Boltzmann ได้รับการแต่งตั้งเป็นศาสตราจารย์เต็มขั้นสาขาฟิสิกส์คณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัย GrazในจังหวัดStyriaในปี พ.ศ. 2412 เขาใช้เวลาหลายเดือนในไฮเดลเบิร์กทำงานร่วมกับRobert BunsenและLeo Königsbergerและในปี พ.ศ. 2414 ทำงานร่วมกับGustav KirchhoffและHermann von Helmholtzในเบอร์ลิน ในปี พ.ศ. 2416 Boltzmann เข้าร่วมมหาวิทยาลัยเวียนนาในฐานะศาสตราจารย์ด้านคณิตศาสตร์ และอยู่ที่นั่นจนถึงปี พ.ศ. 2419

ในปี ค.ศ. 1872 นานก่อนที่ผู้หญิงจะได้รับอนุญาตให้เข้าศึกษาในมหาวิทยาลัยของออสเตรีย เขาได้พบกับเฮนเรียตต์ ฟอน ไอเกนต์เลอร์ ผู้ใฝ่ฝันอยากเป็นครูสอนคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ในเมืองกราซ หลานสาวของเธอคือจิตรกรชาวสโลวีเนียอาวกุสตา ซานเทลและเฮนริกา ซานเทล เฮนเรียตต์ถูกปฏิเสธไม่ให้เข้าฟังการบรรยายอย่างไม่เป็นทางการ โบลต์ซมันน์สนับสนุนการตัดสินใจของเธอที่จะยื่นอุทธรณ์ ซึ่งประสบความสำเร็จ ในวันที่ 17 กรกฎาคม ค.ศ. 1876 ลุดวิก โบลต์ซมันน์แต่งงานกับเฮนเรียตต์ พวกเขามีลูกสาวสามคนคือ เฮนเรียตต์ (ค.ศ. 1880) ไอดา (ค.ศ. 1884) และเอลเซ (ค.ศ. 1891) และลูกชายหนึ่งคนคือ อาร์เธอร์ ลุดวิก (ค.ศ. 1881) ^{[ 9 ]}โบลต์ซมันน์กลับไปที่กราซเพื่อรับตำแหน่งศาสตราจารย์ด้านฟิสิกส์เชิงทดลอง ในบรรดานักศึกษาของเขาในกราซ ได้แก่สแวนเต อาร์เรเนียสและวอลเทอร์ เนิร์นสต์^{[ 10 ] [ 11 ]}เขาใช้เวลา 14 ปีอย่างมีความสุขในเมืองกราซ และที่นั่นเองที่เขาได้พัฒนาแนวคิดทางสถิติเกี่ยวกับธรรมชาติ

ในปี ค.ศ. 1890 โบลต์ซมันน์ได้รับการแต่งตั้งให้ดำรงตำแหน่งศาสตราจารย์ด้านฟิสิกส์ทฤษฎีที่มหาวิทยาลัยลุดวิก-แม็กซิมิเลียนแห่งมิวนิกใน แคว้น บาวาเรีย ประเทศเยอรมนี

ในปี พ.ศ. 2337 โบลต์ซมันน์ได้สืบทอดตำแหน่งต่อจากอาจารย์ของเขาโจเซฟ สเตฟานในฐานะศาสตราจารย์ด้านฟิสิกส์เชิงทฤษฎีที่มหาวิทยาลัยเวียนนา^{[ 12 ]}

ในช่วงปีสุดท้ายของชีวิต โบลต์ซมันน์ทุ่มเทความพยายามอย่างมากในการปกป้องทฤษฎีของเขา^{[ 13 ]}เขาไม่ได้เข้ากันได้ดีกับเพื่อนร่วมงานบางคนในเวียนนา โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เอิร์นสต์ มาคซึ่งต่อมาได้เป็นศาสตราจารย์ด้านปรัชญาและประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์ในปี 1895 ในปีเดียวกันนั้นเกออร์ก เฮล์มและวิลเฮล์ม ออสท์วาลด์ได้นำเสนอจุดยืนของพวกเขาเกี่ยวกับพลังงานในการประชุมที่ลือเบ็คพวกเขามองว่าพลังงาน ไม่ใช่สสาร เป็นองค์ประกอบหลักของจักรวาล จุดยืนของโบลต์ซมันน์ได้รับชัยชนะในหมู่นักฟิสิกส์คนอื่นๆ ที่สนับสนุนทฤษฎีอะตอมของเขาในการอภิปราย^{[ 14 ]}ในปี 1900 โบลต์ซมันน์ได้ไปที่มหาวิทยาลัยไลป์ซิกตามคำเชิญของวิลเฮล์ม ออสท์วาลด์ ออสท์วาลด์เสนอตำแหน่งศาสตราจารย์ด้านฟิสิกส์ให้กับโบลต์ซมันน์ ซึ่งว่างลงเมื่อกุสตาฟ ไฮน์ริช วีเดมันน์เสียชีวิต

หลังจากที่ Mach เกษียณอายุเนื่องจากปัญหาสุขภาพ ในปี 1902 Boltzmann ก็ได้กลับมาเวียนนา^{[ 13 ] : 29} นอกจากการบรรยายวิชาฟิสิกส์แล้ว ในปี 1903 Boltzmann ยังเริ่มสอนวิชาปรัชญา (ซึ่งก่อนหน้านี้ Mach เป็นผู้สอน) การบรรยายวิชาปรัชญาธรรมชาติ ของ Boltzmann ได้รับความนิยมอย่างมากและได้รับความสนใจอย่างล้นหลาม การบรรยายครั้งแรกของเขาประสบความสำเร็จอย่างล้นหลาม ผู้คนยืนกันจนสุดบันไดด้านนอกห้องบรรยายที่ใหญ่ที่สุดที่มีอยู่ และจักรพรรดิได้เชิญเขาไปร่วมงานเลี้ยงรับรอง^{[ 15 ] [ 13 ] : 30} ในปี 1903 เช่นกัน Boltzmann ร่วมกับGustav von EscherichและEmil Müllerก่อตั้งสมาคมคณิตศาสตร์ออสเตรียนักศึกษาของเขารวมถึงKarl Přibram , Paul EhrenfestและLise Meitner ^{[ 13 ]}

ในปี พ.ศ. 2448 เขาได้รับเชิญให้บรรยายหลักสูตรในช่วงฤดูร้อนที่มหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย เบิร์กลีย์ซึ่งเขาได้บรรยายไว้ในบทความยอดนิยมเรื่อง"การเดินทางของศาสตราจารย์ชาวเยอรมันไปยังเอลโดราโด " ^{[ 16 ]}

ในเดือนพฤษภาคม พ.ศ. 2449 สภาพจิตใจที่ย่ำแย่ลงของโบลต์ซมันน์ (ซึ่งคณบดีได้บรรยายไว้ในจดหมายว่าเป็น " โรคประสาทอ่อน ชนิดรุนแรง ") ทำให้เขาต้องลาออกจากตำแหน่ง^{[ 13 ] : 35} อาการของเขาบ่งชี้ว่าเขาประสบกับสิ่งที่ในปัจจุบันอาจได้รับการวินิจฉัยว่าเป็นโรคอารมณ์สองขั้ว [ ^{17 ] สี่}เดือนต่อมา เขาเสียชีวิตจากการฆ่าตัวตายในวันที่ 5 กันยายน พ.ศ. 2449 โดยการแขวนคอตัวเองขณะพักผ่อนกับภรรยาและลูกสาวในดูอิโนใกล้กับตรีเอสเต (ในขณะนั้นเป็นส่วนหนึ่งของออสเตรีย) ^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 17 ]}เขาถูกฝังอยู่ที่สุสานกลาง เวียนนา บนหลุม ฝังศพของเขามีจารึกสูตรเอนโทรปีของโบลต์ซมันน์ : . ^{[ 13 ] : 17, 18} ${\displaystyle S=k\cdot \log W}$

ทฤษฎีจลน์ของก๊าซของโบลต์ซมันน์ดูเหมือนจะตั้งสมมติฐานถึงความเป็นจริงของอะตอมและโมเลกุลแต่ เหล่านักปรัชญา และนักวิทยาศาสตร์ชาวเยอรมัน หลายคน เช่น เอิร์นส์ มาคและนักเคมีฟิสิกส์วิลเฮล์ม ออสท์วาลด์ไม่เชื่อในความมีอยู่ของพวกมัน^{[ 21 ]}โบลต์ซมันน์ได้รับรู้ถึงทฤษฎีโมเลกุลจาก บทความของ เจมส์ คลาร์ก แม็กซ์เวลล์เรื่อง "ภาพประกอบของทฤษฎีพลวัตของก๊าซ" ซึ่งอธิบายว่าอุณหภูมิขึ้นอยู่กับความเร็วของโมเลกุล สิ่งนี้เป็นแรงบันดาลใจให้โบลต์ซมันน์ยอมรับทฤษฎีอะตอม โดยนำสถิติมาใช้ในฟิสิกส์และขยายทฤษฎี^{[ 22 ]}

โบลต์ซมันน์เขียนตำราปรัชญา เช่น "เกี่ยวกับคำถามเรื่องการดำรงอยู่ที่เป็นวัตถุวิสัยของกระบวนการในธรรมชาติที่ไม่มีชีวิต" (1897) เขาเป็นนักสัจนิยม^{[ 13 ] : 170–177} ในงานของเขา "เกี่ยวกับวิทยานิพนธ์ของชอเพนฮาวเออร์" โบลต์ซมันน์อ้างถึงปรัชญาของเขาว่าเป็นวัตถุนิยมและกล่าวเพิ่มเติมว่า: "อุดมคตินิยมยืนยันว่ามีเพียงอัตตาเท่านั้นที่มีอยู่ ความคิดต่างๆ และพยายามอธิบายสสารจากสิ่งเหล่านั้น วัตถุนิยมเริ่มต้นจากการดำรงอยู่ของสสารและพยายามอธิบายความรู้สึกจากมัน" ^{[ 23 ]}

ผลงานทางวิทยาศาสตร์ที่สำคัญที่สุดของโบลต์ซมันน์คือทฤษฎีจลน์ของก๊าซโดยอิงตามกฎข้อที่สองของอุณหพลศาสตร์สิ่งนี้สำคัญเพราะกลศาสตร์ของนิวตันไม่ได้แยกความแตกต่างระหว่างการเคลื่อนที่ ในอดีตและอนาคต แต่ การคิดค้นเอนโทรปีของ รูดอล์ฟ คลอเซียสเพื่ออธิบายกฎข้อที่สองนั้นอิงจากการแยกตัวหรือการกระจายตัวในระดับโมเลกุล ดังนั้นอนาคตจึงเป็นไปในทิศทางเดียว โบลต์ซมันน์มีอายุ 25 ปีเมื่อเขาได้พบกับ งานของ เจมส์ คลาร์ก แม็กซ์เวลล์เกี่ยวกับทฤษฎีจลน์ของก๊าซซึ่งตั้งสมมติฐานว่าอุณหภูมิเกิดจากการชนกันของโมเลกุล แม็กซ์เวลล์ใช้สถิติเพื่อสร้างเส้นโค้งของการกระจายพลังงานจลน์ของโมเลกุล จากนั้นโบลต์ซมันน์ได้ชี้แจงและพัฒนาแนวคิดของทฤษฎีจลน์และเอนโทรปีโดยอิงจากทฤษฎีอะตอมเชิงสถิติ สร้างการกระจายของแม็กซ์เวลล์-โบลต์ซมันน์เพื่ออธิบายความเร็วของโมเลกุลในก๊าซ^{[ 24 ]}โบลต์ซมันน์เป็นผู้ที่ได้สมการแรกเพื่อจำลองวิวัฒนาการแบบไดนามิกของการกระจายความน่าจะเป็นที่แม็กซ์เวลล์และเขาได้สร้างขึ้น^{[ 25 ]}ความเข้าใจที่สำคัญของโบลต์ซมันน์คือ การกระจายตัวเกิดขึ้นเนื่องจากความน่าจะเป็นทางสถิติของ "สถานะ" โมเลกุลที่เพิ่มขึ้น โบลต์ซมันน์ก้าวไปไกลกว่าแม็กซ์เวลล์โดยการประยุกต์ใช้สมการการกระจายตัวของเขาไม่เพียงแต่กับก๊าซเท่านั้น แต่ยังรวมถึงของเหลวและของแข็งด้วย โบลต์ซมันน์ยังขยายทฤษฎีของเขาในบทความปี 1877 ไปไกลกว่าคาร์โนต์ รูดอล์ฟ คลอเซียสเจมส์ คลาร์ก แม็กซ์เวลล์และลอร์ด เคลวินโดยแสดงให้เห็นว่าเอนโทรปีเกิดจากความร้อน การแยกตัวในอวกาศ และการแผ่รังสี^{[ 26 ]}สถิติของแม็กซ์เวลล์-โบลต์ซมันน์และ การกระจายตัวของโบลต์ซมันน์ยังคงเป็นศูนย์กลางในรากฐานของกลศาสตร์สถิติแบบคลาสสิก นอกจากนี้ยังสามารถนำไปใช้กับ ปรากฏการณ์ อื่นๆ ที่ไม่ต้องการสถิติควอนตัมและให้ความเข้าใจเกี่ยวกับความหมายของอุณหภูมิ

เขาพยายามอธิบายกฎข้อที่สองของเทอร์โมไดนามิกส์หลายครั้ง โดยความพยายามนั้นครอบคลุมหลายด้าน เขาพยายามใช้แบบจำลองโมโนไซเคิลของHelmholtz ^{[ 27 ] [ 28 ]}วิธีการแบบกลุ่มบริสุทธิ์เช่นของ Gibbs วิธีการเชิงกลบริสุทธิ์เช่นทฤษฎีเออร์โกดิก การโต้แย้งเชิงการจัดเรียงStoßzahlansatzเป็นต้น^{[ 29 ]}

นักเคมีส่วนใหญ่นับตั้งแต่การค้นพบของจอห์น ดาลตันในปี 1808 และเจมส์ คลาร์ก แม็กซ์เวลล์ในสกอตแลนด์ และโจไซอาห์ วิลลาร์ด กิบบ์สในสหรัฐอเมริกา ต่างเชื่อในอะตอมและโมเลกุล เช่นเดียวกับโบลต์ซมันน์ แต่แวดวงฟิสิกส์ ส่วนใหญ่ ไม่ได้เชื่อเช่นนั้นจนกระทั่งหลายทศวรรษต่อมา โบลต์ซมันน์มีข้อพิพาทกับบรรณาธิการวารสารฟิสิกส์ชั้นนำของเยอรมันในยุคนั้นมาอย่างยาวนาน ซึ่งปฏิเสธที่จะให้โบลต์ซมันน์กล่าวถึงอะตอมและโมเลกุลในฐานะอื่นใดนอกจาก โครงสร้าง ทางทฤษฎี ที่สะดวกต่อการนำไปใช้ เพียงไม่กี่ปีหลังจากที่โบลต์ซมันน์เสียชีวิตการศึกษาเรื่อง สารแขวนลอย คอลลอยด์ ของ เพอร์ริน (1908–1909) ซึ่งอิงจากการศึกษาทางทฤษฎีของไอน์สไตน์ในปี 1905 ได้ยืนยันค่าคงที่ของอะโวกาโดและ ค่า คงที่ของโบลต์ซมันน์ทำให้โลกเชื่อว่าอนุภาคขนาดเล็กเหล่านั้นมี อยู่จริง

อ้างอิงจากPlanck “ ความสัมพันธ์ เชิงลอการิทึมระหว่างเอนโทรปีและความน่าจะเป็นได้รับการกล่าวถึงครั้งแรกโดย L. Boltzmann ในทฤษฎีจลน์ของก๊าซ ของเขา ” ^{[ 30 ]}สูตรที่มีชื่อเสียงสำหรับเอนโทรปีSคือ^{[ 31 ]} โดยที่k _Bคือค่าคงที่ของ Boltzmannและ ln คือลอการิทึมธรรมชาติW (สำหรับWahrscheinlichkeitซึ่งเป็นคำภาษาเยอรมันที่หมายถึง “ ความน่าจะเป็น ”) คือความน่าจะเป็นของการเกิดสถานะมหภาค^{[ 32 ]}หรือกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือจำนวนสถานะจุลภาค ที่เป็นไปได้ ที่สอดคล้องกับสถานะมหภาคของระบบ – จำนวน “วิธี” (ที่สังเกตไม่ได้) ใน สถานะทาง เทอร์โมไดนามิก (ที่สังเกตได้) ของระบบที่สามารถเกิดขึ้นได้โดยการกำหนดตำแหน่งและโมเมนตัม ที่แตกต่างกัน ให้กับโมเลกุลต่างๆแบบจำลอง ของ Boltzmann คือก๊าซในอุดมคติของ อนุภาค ที่เหมือนกันNอนุภาค โดยที่N _iอยู่ใน เงื่อนไขจุลภาคที่ i (ช่วง) ของตำแหน่งและโมเมนตัมW  สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรสำหรับการเรียงสับเปลี่ยน โดยที่iครอบคลุมเงื่อนไขโมเลกุลที่เป็นไปได้ทั้งหมด และหมายถึงแฟกทอเรียล "การแก้ไข" ในตัวส่วนนั้นคำนึงถึง อนุภาค ที่ไม่สามารถแยกแยะได้ในเงื่อนไขเดียวกัน $${\displaystyle S=k_{\mathrm {B} }\ln W}$$$${\displaystyle W=N!\prod _{i}{\frac {1}{N_{i}!}}}$$${\displaystyle !}$

Boltzmann อาจถือได้ว่าเป็นหนึ่งในผู้บุกเบิกกลศาสตร์ควอนตัมเนื่องจากข้อเสนอแนะของเขาในปี พ.ศ. 2420 ที่ว่าระดับพลังงานของระบบทางกายภาพอาจเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง แม้ว่า Boltzmann จะใช้สิ่งนี้เป็นอุปกรณ์ทางคณิตศาสตร์ที่ไม่มีความหมายทางกายภาพก็ตาม^{[ 33 ]}

ทางเลือกอื่นนอกเหนือจากสูตรเอนโทรปีของโบลต์ซมันน์ข้างต้น คือ นิยาม เอนโทรปีสารสนเทศ ที่ Claude Shannonนำเสนอในปี 1948 ^{[ 34 ]}นิยามของ Shannon มีจุดประสงค์เพื่อใช้ในทฤษฎีการสื่อสาร แต่สามารถนำไปใช้ได้ในทุกสาขา โดยจะลดรูปเป็นนิพจน์ของโบลต์ซมันน์เมื่อความน่าจะเป็นทั้งหมดเท่ากัน แต่แน่นอนว่าสามารถใช้ได้เมื่อความน่าจะเป็นไม่เท่ากัน ข้อดีของมันคือให้ผลลัพธ์ทันทีโดยไม่ต้องใช้แฟกทอเรียลหรือการประมาณของ Stirlingอย่างไรก็ตาม พบสูตรที่คล้ายกันนี้มาตั้งแต่ผลงานของโบลต์ซมันน์ และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในGibbs (ดูอ้างอิง)

สมการโบลต์ซมันน์ถูกพัฒนาขึ้นเพื่ออธิบายพลศาสตร์ของก๊าซอุดมคติ โดยที่ƒแทนฟังก์ชันการกระจายของตำแหน่งและโมเมนตัมของอนุภาคเดี่ยว ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง (ดูการกระจายของแม็กซ์เวลล์-โบลต์ซมันน์ ) Fคือแรงmคือมวลของอนุภาคtคือเวลา และvคือความเร็วเฉลี่ยของอนุภาค $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+v{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {F}{m}}{\frac {\partial f}{\partial v}}={\frac {\partial f}{\partial t}}\left.{\!\!{\frac {}{}}}\right|_{\mathrm {collision} }}$$

สมการนี้อธิบายถึง การเปลี่ยนแปลง ตามเวลาและพื้นที่ของฟังก์ชันความน่าจะเป็นสำหรับตำแหน่งและโมเมนตัมของการกระจายความหนาแน่นของกลุ่มจุดในปริภูมิเฟสของ อนุภาคเดี่ยว (ดูกลศาสตร์แฮมิลตัน ) พจน์แรกทางด้านซ้ายมือแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงตามเวลาอย่างชัดเจนของฟังก์ชันการกระจาย ในขณะที่พจน์ที่สองแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงตามพื้นที่ และพจน์ที่สามอธิบายถึงผลกระทบของแรงใดๆ ที่กระทำต่ออนุภาค ด้านขวามือของสมการแสดงถึงผลกระทบของการชนกัน

โดยหลักการแล้ว สมการข้างต้นอธิบายพลวัตของกลุ่มอนุภาคก๊าซได้อย่างสมบูรณ์ เมื่อกำหนดเงื่อนไขขอบเขต ที่เหมาะสม สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งนี้มีลักษณะที่ดูเรียบง่ายอย่างน่าประหลาดใจ เนื่องจากf สามารถแทน ฟังก์ชันการกระจายตัวของอนุภาคเดี่ยวใดๆก็ได้ นอกจากนี้แรงที่กระทำต่ออนุภาคยังขึ้นอยู่กับฟังก์ชันการกระจายความเร็ว  f โดยตรง สมการโบลต์ซมันน์เป็นที่รู้กันว่ายากต่อการอิน ทิเกร ตเดวิด ฮิลเบิร์ตใช้เวลาหลายปีในการพยายามแก้สมการนี้โดยไม่ประสบความสำเร็จอย่างแท้จริง

รูปแบบของพจน์การชนที่โบลต์ซมันน์สมมติขึ้นนั้นเป็นเพียงค่าประมาณ อย่างไรก็ตาม สำหรับก๊าซในอุดมคติแล้ว วิธีแก้สมการโบลต์ซมันน์แบบมาตรฐาน ของ แชปแมน-เอนสโกกนั้นมีความแม่นยำสูง คาดว่าจะให้ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องสำหรับก๊าซในอุดมคติเฉพาะในสภาวะ คลื่นกระแทก เท่านั้น

โบลต์ซมันน์พยายาม "พิสูจน์" กฎข้อที่สองของอุณหพลศาสตร์โดยใช้สมการพลศาสตร์ของแก๊สของเขา ซึ่งก็คือทฤษฎีบท H อันโด่งดังของเขา เป็นเวลาหลายปี อย่างไรก็ตาม ข้อสมมติสำคัญที่เขาใช้ในการกำหนดเงื่อนไขการชนกันคือ " ความโกลาหลระดับโมเลกุล " ซึ่งเป็นข้อสมมติที่ทำลายสมมาตรการย้อนกลับของเวลาซึ่งจำเป็นสำหรับสิ่งใดก็ตามที่อาจบ่งชี้ถึงกฎข้อที่สอง ความสำเร็จที่ปรากฏของโบลต์ซมันน์นั้นมาจากข้อสมมติเชิงความน่าจะเป็นเพียงอย่างเดียว ดังนั้นข้อพิพาทอันยาวนานของเขากับโลชมิดท์และคนอื่นๆ เกี่ยวกับปริศนาของโลชมิดท์จึงจบลงด้วยความล้มเหลวของเขาในที่สุด

สุดท้ายนี้ ในช่วงทศวรรษ 1970 อีจีดี โคเฮนและ เจ.อาร์. ดอร์ฟแมน ได้พิสูจน์ว่าการขยายสมการโบลต์ซมันน์อย่างเป็นระบบ (อนุกรมกำลัง) ไปสู่ความหนาแน่นสูงนั้นเป็นไปไม่ได้ทางคณิตศาสตร์ ดังนั้นกลศาสตร์สถิติแบบไม่สมดุลสำหรับก๊าซและของเหลวที่มีความหนาแน่นสูงจึงมุ่งเน้นไปที่ความสัมพันธ์ของกรีน-คูโบ ทฤษฎี บทความผันผวนและวิธีการอื่นๆ แทน

แนวคิดที่ว่ากฎข้อที่สองของอุณหพลศาสตร์หรือ "กฎเอนโทรปี" เป็นกฎแห่งความไร้ระเบียบ (หรือว่าสถานะที่มีระเบียบแบบพลวัตนั้น "ไม่น่าจะเกิดขึ้นอย่างไม่มีที่สิ้นสุด") มาจากมุมมองของโบลต์ซมันน์เกี่ยวกับกฎข้อที่สองของอุณหพลศาสตร์

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความพยายามของโบลต์ซมันน์คือการลดทอนให้เหลือเพียง ฟังก์ชันการชน แบบสุ่มหรือกฎความน่าจะเป็นที่สืบเนื่องมาจากการชนแบบสุ่มของอนุภาคเชิงกล ตามแบบของแม็กซ์เวลล์^{[ 35 ]}โบลต์ซมันน์จำลองโมเลกุลของก๊าซเป็นลูกบิลเลียดที่ชนกันในกล่อง โดยสังเกตว่าในการชนแต่ละครั้ง การกระจายความเร็วที่ไม่สมดุล (กลุ่มของโมเลกุลที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วเท่ากันและในทิศทางเดียวกัน) จะมีความไม่เป็นระเบียบมากขึ้นเรื่อยๆ จนนำไปสู่สถานะสุดท้ายของความสม่ำเสมอในระดับมหภาคและความไม่เป็นระเบียบในระดับจุลภาคสูงสุด หรือสถานะของเอนโทรปีสูงสุด (ซึ่งความสม่ำเสมอในระดับมหภาคสอดคล้องกับการลบล้างศักยภาพสนามหรือเกรเดียนต์ทั้งหมด) ^{[ 36 ]}เขาโต้แย้งว่ากฎข้อที่สองจึงเป็นเพียงผลลัพธ์ของข้อเท็จจริงที่ว่าในโลกของอนุภาคเชิงกลที่ชนกัน สถานะที่ไม่เป็นระเบียบมีความน่าจะเป็นมากที่สุด เนื่องจากมีสถานะที่ไม่เป็นระเบียบที่เป็นไปได้มากกว่าสถานะที่เป็นระเบียบ ระบบจึงมักจะอยู่ในสถานะที่ไม่เป็นระเบียบสูงสุด ซึ่งเป็นสถานะมหภาคที่มีสถานะจุลภาคที่เข้าถึงได้มากที่สุด เช่น ก๊าซในกล่องที่อยู่ในสภาวะสมดุล หรือกำลังเคลื่อนที่เข้าหาสถานะดังกล่าว โบลต์ซมันน์สรุปว่า สถานะที่เป็นระเบียบแบบไดนามิก ซึ่งมีโมเลกุลเคลื่อนที่ "ด้วยความเร็วและทิศทางเดียวกัน" จึงเป็น "กรณีที่ไม่น่าจะเป็นไปได้มากที่สุดเท่าที่จะนึกภาพออก...การกำหนดค่าพลังงานที่ไม่น่าจะเป็นไปได้อย่างไม่มีที่สิ้นสุด" ^{[ 37 ]}

โบลต์ซมันน์ประสบความสำเร็จในการแสดงให้เห็นว่ากฎข้อที่สองของเทอร์โมไดนามิกส์เป็นเพียงข้อเท็จจริงทางสถิติเท่านั้น ความไม่เป็นระเบียบของพลังงานที่ค่อยเป็นค่อยไปนั้นคล้ายคลึงกับความไม่เป็นระเบียบของสำรับไพ่ ที่เรียงลำดับไว้แต่แรก ภายใต้การสับไพ่ซ้ำๆ และเช่นเดียวกับที่ไพ่จะกลับคืนสู่ลำดับเดิมในที่สุดหากสับไพ่เป็นจำนวนมหาศาล จักรวาลทั้งหมดก็จะต้องกลับคืนสู่สถานะเดิมในสักวันหนึ่งโดยบังเอิญ (บทสรุปในแง่ดีเกี่ยวกับแนวคิดเรื่องจักรวาลที่กำลังจะตายนี้จะดูจางลงเมื่อพยายามประมาณไทม์ไลน์ที่น่าจะผ่านไปก่อนที่จะเกิดขึ้นเอง) ^{[ 38 ]}แนวโน้มของการเพิ่มขึ้นของเอนโทรปีดูเหมือนจะทำให้ผู้เริ่มต้นในเทอร์โมไดนามิกส์เข้าใจยาก แต่เข้าใจได้ง่ายจากมุมมองของทฤษฎีความน่าจะเป็น ลองพิจารณาลูกเต๋า ธรรมดา 2 ลูก โดยที่เลข 6 ทั้งสองลูกหงายขึ้น หลังจากเขย่าลูกเต๋าแล้ว โอกาสที่จะพบเลข 6 ทั้งสองลูกหงายขึ้นนั้นมีน้อย (1 ใน 36) ดังนั้นจึงอาจกล่าวได้ว่าการเคลื่อนที่แบบสุ่ม (การสั่นสะเทือน) ของลูกเต๋า เช่นเดียวกับการชนกันอย่างอลหม่านของโมเลกุลเนื่องจากพลังงานความร้อน ทำให้สถานะที่มีโอกาสน้อยกว่าเปลี่ยนไปเป็นสถานะที่มีโอกาสมากกว่า ด้วยลูกเต๋านับล้านลูก เช่นเดียวกับอะตอมนับล้านที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณทางเทอร์โมไดนามิก ความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าทั้งหมดจะเป็นเลขหกนั้นน้อยมากจนระบบต้องเคลื่อนไปยังสถานะที่มีโอกาสมากกว่า^{[ 39 ]}

ผลงานของลุดวิก โบลต์ซมันน์ในด้านฟิสิกส์และปรัชญาได้ทิ้งผลกระทบที่ยั่งยืนต่อวิทยาศาสตร์สมัยใหม่ งานบุกเบิกของเขาในกลศาสตร์เชิงสถิติและอุณหพลศาสตร์ได้วางรากฐานสำหรับแนวคิดพื้นฐานที่สุดบางประการในฟิสิกส์ ตัวอย่างเช่นแม็กซ์ พลังค์ในการควอนตัมเรโซเนเตอร์ในทฤษฎีการแผ่รังสีของวัตถุดำ ของเขาได้ใช้ ค่าคงที่ของโบลต์ซมันน์เพื่ออธิบายเอนโทรปีของระบบจนได้มาซึ่งสูตรของเขาในปี 1900 ^{[ 40 ]}อย่างไรก็ตาม งานของโบลต์ซมันน์ไม่ได้ได้รับการยอมรับอย่างง่ายดายเสมอไปในช่วงชีวิตของเขา และเขาต้องเผชิญกับการต่อต้านจากคนร่วมสมัยบางคน โดยเฉพาะอย่างยิ่งในเรื่องการมีอยู่ของอะตอมและโมเลกุล ถึงกระนั้น ความถูกต้องและความสำคัญของแนวคิดของเขาก็ได้รับการยอมรับในที่สุด และตั้งแต่นั้นมาก็กลายเป็นรากฐานของฟิสิกส์สมัยใหม่ ในที่นี้ เราจะเจาะลึกถึงบางแง่มุมของมรดกของโบลต์ซมันน์และอิทธิพลของเขาในด้านต่างๆ ของวิทยาศาสตร์

ทฤษฎีจลน์ของแก๊สของโบลต์ซมันน์เป็นหนึ่งในความพยายามแรกๆ ที่จะอธิบายคุณสมบัติระดับมหภาค เช่น ความดันและอุณหภูมิ ในแง่ของพฤติกรรมของอะตอมและโมเลกุลแต่ละตัว แม้ว่านักเคมีหลายคนจะยอมรับการมีอยู่ของอะตอมและโมเลกุลแล้ว แต่ชุมชนฟิสิกส์ในวงกว้างก็ใช้เวลาพอสมควรในการยอมรับมุมมองนี้ ข้อพิพาทที่ยืดเยื้อระหว่างโบลต์ซมันน์กับบรรณาธิการวารสารฟิสิกส์ชื่อดังของเยอรมันเกี่ยวกับการยอมรับอะตอมและโมเลกุลนั้นเน้นย้ำถึงการต่อต้านแนวคิดนี้ในระยะเริ่มต้น

หลังจากที่การทดลอง (รวมถึง การศึกษาเรื่องสารแขวนลอยคอลลอยด์ของ ฌอง แปร์แร็ง ) ยืนยันค่าคงที่ของอะโวกาโดและค่าคงที่ของโบลต์ซมันน์แล้ว การมีอยู่ของอะตอมและโมเลกุลจึงได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางมากขึ้น ทฤษฎีจลน์ของโบลต์ซมันน์มีบทบาทสำคัญในการแสดงให้เห็นถึงความเป็นจริงของอะตอมและโมเลกุล และอธิบายปรากฏการณ์ต่างๆ ในก๊าซ ของเหลว และของแข็ง

กลศาสตร์เชิงสถิติ ซึ่งโบลต์ซมันน์เป็นผู้บุกเบิก เชื่อมโยงการสังเกตในระดับมหภาคกับพฤติกรรมในระดับจุลภาค คำอธิบายเชิงสถิติของกฎข้อที่สองของอุณหพลศาสตร์ของเขาถือเป็นความสำเร็จที่สำคัญ และเขายังได้ให้นิยามปัจจุบันของเอนโทรปี ( ) โดยที่k _Bคือค่าคงที่ของโบลต์ซมันน์ และ Ω คือจำนวนสถานะจุลภาคที่สอดคล้องกับสถานะมหภาคที่กำหนด ${\displaystyle S=k_{\rm {B}}\ln \Omega }$

ต่อมาแม็กซ์ พลังค์ ได้ตั้งชื่อค่าคงที่k _Bว่า ค่าคงที่โบลต์ซมันน์ เพื่อเป็นเกียรติแก่ผลงานของโบลต์ซมันน์ในด้านกลศาสตร์เชิงสถิติ ปัจจุบัน ค่าคงที่โบลต์ซมันน์เป็นค่าคงที่พื้นฐานในวิชาฟิสิกส์และสาขาวิทยาศาสตร์อื่นๆ อีกมากมาย

เนื่องจากสมการของ Boltzmannมีประโยชน์ในการแก้ปัญหาในก๊าซที่เบาบางหรือเจือจาง จึงถูกนำไปใช้ในหลากหลายสาขาเทคโนโลยี มีการนำไปใช้ในการคำนวณการกลับเข้าสู่ชั้นบรรยากาศของกระสวยอวกาศ[ ^{41 ] นอกจาก}นี้ยังเป็นพื้นฐานของ ทฤษฎี การขนส่งนิวตรอนและการขนส่งไอออนในสารกึ่งตัวนำ^{[ 42 ] [ 43 ]}

งานของโบลต์ซมันน์ในกลศาสตร์เชิงสถิติได้วางรากฐานสำหรับการทำความเข้าใจพฤติกรรมเชิงสถิติของอนุภาคในระบบที่มีจำนวนองศาอิสระจำนวนมาก บทความของเขาในปี 1877 เกี่ยวกับทฤษฎีจลน์ของความร้อนใช้ระดับพลังงานที่ไม่ต่อเนื่องของระบบทางกายภาพเป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ และแสดงให้เห็นต่อไปว่าวิธีการเดียวกันนี้สามารถนำไปใช้กับระบบต่อเนื่องได้ นี่อาจถือได้ว่าเป็นต้นแบบของการพัฒนากลศาสตร์ควอนตัม^{[ 44 ]}นักเขียนชีวประวัติคนหนึ่งของโบลต์ซมันน์กล่าวว่าวิธีการของโบลต์ซมันน์ “ปูทางให้กับพลังค์” ^{[ 45 ]}

การควอนตัมของระดับพลังงานกลายเป็นสมมติฐานพื้นฐานในกลศาสตร์ควอนตัม นำไปสู่ทฤษฎีที่สำคัญอย่างเช่นควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์และทฤษฎีสนามควอนตัมดังนั้น ความเข้าใจเบื้องต้นของโบลต์ซมันน์เกี่ยวกับการควอนตัมของระดับพลังงานจึงมีอิทธิพลอย่างมากต่อการพัฒนาฟิสิกส์ควอนตัม

ในปี พ.ศ. 2428 เขาได้เป็นสมาชิกของสถาบันวิทยาศาสตร์แห่งจักรวรรดิออสเตรียและในปี พ.ศ. 2430 เขาได้ดำรงตำแหน่งอธิการบดีของมหาวิทยาลัยกราซเขาได้รับเลือกเป็นสมาชิกของราชบัณฑิตยสถานวิทยาศาสตร์แห่งสวีเดนในปี พ.ศ. 2431 และเป็นสมาชิกต่างชาติของราชสมาคม (ForMemRS)ในปี พ.ศ. 2442 ^{[ 46 ]}เขาได้รับรางวัลสมาชิกกิตติมศักดิ์ของสมาคมวรรณกรรมและปรัชญาแมนเชสเตอร์ในปี พ.ศ. 2435 ^{[ 47 ]} มี สิ่งต่างๆ มากมายที่ตั้งชื่อเพื่อเป็นเกียรติแก่เขา

• Verhältniss zur Fernwirkungstheorie, Specielle Fälle der Elektrostatik, stationären Strömung und Induction (ภาษาเยอรมัน) ฉบับที่ 2. ไลป์ซิก: โยฮันน์ อัมโบรซิอุส บาร์ธ พ.ศ. 2436
• ทฤษฎี ฟาน เดอร์ วาลส์, Gase mit zusamngesetzten Molekülen, Gasdissociation, Schlussbemerkungen (ภาษาเยอรมัน) ฉบับที่ 2. ไลป์ซิก: โยฮันน์ อัมโบรซิอุส บาร์ธ พ.ศ. 2439
• Theorie der Gase mit einatomigen Molekülen, deren Dimensionen gegen die mittlere Weglänge verschwinden (ในภาษาเยอรมัน) ฉบับที่ 1. ไลป์ซิก: โยฮันน์ แอมโบรซิอุส บาร์ธ พ.ศ. 2439
• Abteilung der Grundgleichungen für ruhende, โฮโมจีน, ไอโซโทรป คอร์เปอร์ (ในภาษาเยอรมัน) ฉบับที่ 1. ไลป์ซิก: โยฮันน์ แอมโบรซิอุส บาร์ธ 2451.
• Vorlesungen über Gastheorie (ภาษาฝรั่งเศส) ปารีส: Gauthier-Villars. 2465.

• 
  เล่ม I และ II ของVorlesungen über Gastheorie (1896-1898)
• 
  หน้าชื่อเรื่องของเล่ม I และ II ของVorlesungen über Gastheorie (1896-1898)
• 
  สารบัญเล่ม I และ II ของVorlesungen über Gastheorie (1896-1898)
• 
  ข้อมูลเบื้องต้นเกี่ยวกับเล่ม I และ II ของVorlesungen über Gastheorie (1896-1898)

• Roman Sexl และ John Blackmore (บรรณาธิการ), "Ludwig Boltzmann – Ausgewahlte Abhandlungen", (Ludwig Boltzmann Gesamtausgabe, Band 8), Vieweg, Braunschweig, 1982
• John Blackmore (บรรณาธิการ), "Ludwig Boltzmann – His Late Life and Philosophy, 1900–1906, Book One: A Documentary History", Kluwer, 1995. ISBN 978-0-7923-3231-2
• จอห์น แบล็กมอร์, "ลุดวิก โบลต์ซมันน์ – ชีวิตช่วงหลังและปรัชญาของเขา, 1900–1906, เล่มสอง: นักปรัชญา", คลูเวอร์, ดอร์เดรชท์, เนเธอร์แลนด์, 1995. ISBN 978-0-7923-3464-4
• John Blackmore (บรรณาธิการ), "Ludwig Boltzmann – Troubled Genius as Philosopher", ใน Synthese, เล่มที่ 119, ฉบับที่ 1 และ 2, 1999, หน้า 1–232
• บลันเดลล์, สตีเฟน; บลันเดลล์, แคทเธอรีน เอ็ม. (2006). แนวคิดในฟิสิกส์ความร้อน . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด. หน้า 29. ISBN 978-0-19-856769-1.
• Boltzmann, Ludwig Boltzmann – Leben und Briefe , ed., Walter Hoeflechner, Akademische Druck-u. แวร์ลักซานสตัลท์. กราซ, ออสเตอร์ไรช์, 1994
• Brush, Stephen G. (บรรณาธิการและผู้แปล), Boltzmann, Lectures on Gas Theory , Berkeley, California: U. of California Press, 1964
• Brush, Stephen G. (บรรณาธิการ), ทฤษฎีจลน์ , นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์ Pergamon, 1965
• Brush, Stephen G. (1970). "Boltzmann"ใน Charles Coulston Gillispie (บรรณาธิการ). Dictionary of Scientific Biography . นิวยอร์ก: Scribner. ISBN 978-0-684-16962-0.
• Brush, Stephen G. (1986). การเคลื่อนที่แบบที่เราเรียกว่าความร้อน: ประวัติของทฤษฎีจลน์ของก๊าซ . อัมสเตอร์ดัม: North-Holland. ISBN 978-0-7204-0370-1.
• Cercignani, Carlo (1998). Ludwig Boltzmann: The Man Who Trusted Atoms . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด. ISBN 978-0-19-850154-1.
• ดาร์ริโกล, โอลิวิเยร์ (2018). อะตอม กลศาสตร์ และความน่าจะเป็น: สถิติเชิงกลของลุดวิก โบลต์ซมันน์สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ดISBN 978-0-19-881617-1.
• Ehrenfest, P. & Ehrenfest, T. (1911) "Begriffliche Grundlagen der statistischen Auffassung in der Mechanik" ในEncyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendungen Band IV, 2. Teil (F. Klein และ C. Müller (บรรณาธิการ) ไลพ์ซิก: Teubner, หน้า 3–90 แปลเป็นรากฐานแนวคิดของแนวทางทางสถิติในกลศาสตร์นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยคอร์เนล, 1959 0-486-49504-3
• เอเวอร์เดลล์, วิลเลียม อาร์ (1988). "ปัญหาของความต่อเนื่องและต้นกำเนิดของลัทธิสมัยใหม่: 1870–1913" ประวัติศาสตร์ความคิดของยุโรป 9 ( 5): 531– 552. doi : 10.1016/0191-6599(88)90001-0 .
• เอเวอร์เดลล์, วิลเลียม อาร์ (1997). ยุคสมัยใหม่ตอนต้น . ชิคาโก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยชิคาโก. ISBN 9780226224800.
• Gibbs, Josiah Willard (1902). หลักการพื้นฐานในกลศาสตร์เชิงสถิติ พัฒนาขึ้นโดยอ้างอิงถึงรากฐานเชิงเหตุผลของอุณหพลศาสตร์เป็นพิเศษนิวยอร์ก: Charles Scribner's Sons.
• จอห์นสัน, เอริค (2018).ความวิตกกังวลและสมการ: ทำความเข้าใจเอนโทรปีของโบลต์ซมันน์สำนักพิมพ์ MIT. ISBN 978-0-262-03861-4.
• Klein, Martin J. (1973). "การพัฒนาแนวคิดทางสถิติของโบลต์ซมันน์" ในEGD Cohen ; W. Thirring (บรรณาธิการ). สมการโบลต์ซมันน์: ทฤษฎีและการประยุกต์ใช้ Acta physica Austriaca Suppl. 10. เวียนนา: Springer. หน้า  53 –106. ISBN 978-0-387-81137-6.
• ลินด์ลีย์, เดวิด (2001). อะตอมของโบลต์ซมันน์: การถกเถียงครั้งยิ่งใหญ่ที่ก่อให้เกิดการปฏิวัติในวิชาฟิสิกส์ . นิวยอร์ก: ฟรีเพรส. ISBN 978-0-684-85186-0.
• Lotka, AJ (1922). "การมีส่วนร่วมต่อพลังงานของวิวัฒนาการ" . Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 8 (6): 147– 51. Bibcode : 1922PNAS....8..147L . doi : 10.1073/pnas.8.6.147 . PMC  1085052 . PMID  16576642 .
• เมเยอร์, ​​สเตฟาน (1904) Festschrift Ludwig Boltzmann gewidmet zum sechzigsten Geburtstage 20 กุมภาพันธ์ 1904 (ภาษาเยอรมัน) เจ.เอ. บาร์ธ.
• พลังค์, แม็กซ์ (1914). ทฤษฎีการแผ่รังสีความร้อน . พี. แบลคิสตัน ซัน แอนด์ โค.แปลเป็นภาษาอังกฤษโดย Morton Masius จากฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2 ของหนังสือWaermestrahlungพิมพ์ซ้ำโดย Dover (1959) และ (1991) ISBN 0-486-66811-8
• Sharp, Kim (2019). เอนโทรปีและเต๋าแห่งการนับ: บทนำโดยสังเขปเกี่ยวกับกลศาสตร์เชิงสถิติและกฎข้อที่สองของอุณหพลศาสตร์ (SpringerBriefs in Physics). Springer Nature. ISBN 978-3030354596
• Tolman, Richard C. (1938). หลักการของกลศาสตร์สถิติ . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด. รหัสบรรณานุกรม : 1938psm..book.....T .พิมพ์ซ้ำ: โดเวอร์ (1979) ISBN 0-486-63896-0

• Uffink, Jos (2004). "ผลงานของโบลต์ซมันน์ในฟิสิกส์เชิงสถิติ" . สารานุกรมปรัชญาแห่งมหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด . สืบค้นเมื่อ11 มิถุนายน 2007 .
• ลุดวิก โบลต์ซมันน์ - อัจฉริยะแห่งความไร้ระเบียบ (ยูทูบ)
• โอคอนเนอร์, จอห์น เจ.; โรเบิร์ตสัน, เอ็ดมุนด์ เอฟ. , "ลุดวิก โบลต์ซมันน์" , คลังเอกสารประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ MacTutor , มหาวิทยาลัยเซนต์แอนดรูว์ส
• Ruth Lewin Sime , Lise Meitner: A Life in Physics บทที่หนึ่ง: วัยเด็กในเวียนนานำเสนอเรื่องราวจากมุมมองของLise Meitner เกี่ยวกับการสอนและอาชีพของ Boltzmann
• เอฟเตคารี, อาลี, " ลุดวิก โบลต์ซมันน์ (1844–1906) " อภิปรายความคิดเห็นทางปรัชญาของโบลต์ซมันน์ พร้อมยกคำพูดอ้างอิงจำนวนมาก
• ราชเซการ์ ส.; น.อ.อรธาวัน (7 กันยายน 2549). "ลุดวิก เอ็ดเวิร์ด โบลต์ซมันน์" arXiv : ฟิสิกส์/0609047 .
• ลุดวิก โบลต์ซมันน์ในโครงการลำดับวงศ์ตระกูลทางคณิตศาสตร์
• ไวส์สไตน์, เอริก โวล์ฟกัง (เอ็ด) "โบลต์ซมันน์, ลุดวิก (1844–1906)" . วิทยาศาสตร์โลก .