ฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์คือการพัฒนา วิธีการ ทางคณิตศาสตร์เพื่อใช้ในฟิสิกส์และการประยุกต์ใช้^{[ 1 ] คำจำกัดความที่กว้างกว่า นั้น}จะรวมถึงการพัฒนาแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่ได้รับแรงบันดาลใจจากฟิสิกส์ ซึ่งเรียกว่าคณิตศาสตร์เชิงฟิสิกส์ [ ^{2 ]}

ฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์มีสาขาที่แตกต่างกันหลายสาขา และสาขาเหล่านี้โดยคร่าวๆ แล้วสอดคล้องกับช่วงเวลาทางประวัติศาสตร์เฉพาะเจาะจงของโลกเรา

การประยุกต์ใช้เทคนิคของฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์กับกลศาสตร์คลาสสิกโดยทั่วไปเกี่ยวข้องกับการปรับปรุงกลศาสตร์ของนิวตันอย่างเข้มงวด เป็นนามธรรม และ ขั้นสูง โดยใช้ กลศาสตร์ของลากรางจ์และกลศาสตร์ของแฮมิลตัน (รวมถึงทั้งสองแนวทางในกรณีที่มีข้อจำกัด) ทั้งสองรูปแบบนี้ปรากฏอยู่ในกลศาสตร์เชิงวิเคราะห์และนำไปสู่ความเข้าใจถึงปฏิสัมพันธ์ที่ลึกซึ้งระหว่างแนวคิดเรื่องสมมาตรและ ปริมาณอนุรักษ์ในระหว่างการวิวัฒนาการเชิงพลวัตของระบบกลไก ดังที่ปรากฏอยู่ใน ทฤษฎีบทของโนเธอร์ในรูปแบบพื้นฐานที่สุดแนวทางและแนวคิดเหล่านี้ได้รับการขยายไปยังสาขาอื่นๆ ของฟิสิกส์ เช่นกลศาสตร์เชิง สถิติ กลศาสตร์ต่อเนื่องทฤษฎีสนามคลาสสิกและทฤษฎีสนามควอนตัมยิ่งไปกว่านั้น ยังได้ให้ตัวอย่างและแนวคิดมากมายในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ (เช่น แนวคิดหลายอย่างในเรขาคณิตเชิงซิมเพล็กติกและกลุ่มเวกเตอร์ )

ในสาขาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย แคลคูลัสเชิง แปรผัน การ วิเคราะห์ฟู ริเยร์ทฤษฎีศักย์และการวิเคราะห์เวกเตอร์อาจมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดที่สุดกับฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ สาขาเหล่านี้ได้รับการพัฒนาอย่างเข้มข้นตั้งแต่ครึ่งหลังของศตวรรษที่ 18 (โดยตัวอย่างเช่นดาเลมแบร์ออยเลอร์และลากรองจ์ ) จนถึงทศวรรษ 1930 การประยุกต์ใช้ทางฟิสิกส์ของการพัฒนาเหล่านี้ ได้แก่อุทกพลศาสตร์กลศาสตร์ท้องฟ้ากลศาสตร์ต่อเนื่องทฤษฎีความยืดหยุ่นเสียงศาสตร์อุณหพลศาสตร์ไฟฟ้าแม่เหล็กและอากาศพลศาสตร์

ทฤษฎีสเปกตรัมอะตอม (และต่อมาคือกลศาสตร์ควอนตัม ) พัฒนาขึ้นเกือบพร้อมๆ กับบางส่วนของสาขาคณิตศาสตร์ เช่นพีชคณิตเชิงเส้นทฤษฎีสเปกตรัมของตัวดำเนินการพีชคณิตตัวดำเนินการและโดยทั่วไปแล้วการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน กลศาสตร์ควอนตัมแบบไม่สัมพัทธภาพนั้นรวมถึง ตัวดำเนินการ ชโรดิงเกอร์และมีความเชื่อมโยงกับฟิสิกส์อะตอมและโมเลกุลทฤษฎี สารสนเทศ ควอนตัมเป็นสาขาย่อยอีกสาขาหนึ่ง

ทฤษฎี สัมพัทธภาพ พิเศษและทั่วไปต้องการคณิตศาสตร์ประเภทที่แตกต่างออกไป นั่นคือทฤษฎีกลุ่มซึ่งมีบทบาทสำคัญทั้งในทฤษฎีสนามควอนตัมและเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์อย่างไรก็ตามทฤษฎีโทโพโลยีและการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน ได้ค่อยๆ เสริมเข้ามา ในการอธิบายทางคณิตศาสตร์ของ ปรากฏการณ์ ทางจักรวาลวิทยาและทฤษฎีสนามควอนตัมในการอธิบายทางคณิตศาสตร์ของสาขาฟิสิกส์เหล่านี้ แนวคิดบางอย่างในพีชคณิตเชิงโฮโมโลยีและทฤษฎีหมวดหมู่^{[ 3 ]}ก็มีความสำคัญเช่นกัน

กลศาสตร์เชิงสถิติเป็นสาขาเฉพาะทางที่รวมถึงทฤษฎีการเปลี่ยนสถานะโดยอาศัยกลศาสตร์แฮมิลตัน (หรือเวอร์ชันควอนตัม) และมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับทฤษฎีเออร์โกดิก เชิงคณิตศาสตร์ และบางส่วนของทฤษฎีความน่าจะเป็นมีการปฏิสัมพันธ์เพิ่มมากขึ้นระหว่างคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงและฟิสิกส์โดยเฉพาะอย่างยิ่งฟิสิกส์เชิงสถิติ

การใช้คำว่า "ฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์" บางครั้งก็มีความเฉพาะตัวบางส่วนของคณิตศาสตร์ที่เกิดขึ้นจากการพัฒนาฟิสิกส์ ในตอนแรกนั้น ในความเป็นจริงแล้วไม่ได้ถูกพิจารณาว่าเป็นส่วนหนึ่งของฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ ในขณะที่สาขาอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกลับถูกพิจารณา ตัวอย่างเช่นสมการเชิงอนุพันธ์สามัญและเรขาคณิตเชิงซิมเพล็กติกโดยทั่วไปถือเป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ล้วน ๆ ในขณะที่ระบบพลวัตและกลศาสตร์แฮมิลตันจัดอยู่ในฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์จอห์น เฮราพาธใช้คำนี้เป็นชื่อหนังสือของเขาในปี ค.ศ. 1847 เรื่อง "หลักการทางคณิตศาสตร์ของปรัชญาธรรมชาติ" ซึ่งขอบเขตในขณะนั้นคือ "สาเหตุของความร้อน ความยืดหยุ่นของก๊าซ แรงโน้มถ่วง และปรากฏการณ์ทางธรรมชาติที่ยิ่งใหญ่อื่น ๆ" ^{[ 4 ]}

บางครั้งคำว่า "ฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์" ถูกใช้เพื่อหมายถึงงานวิจัยที่มุ่งศึกษาและแก้ปัญหาในฟิสิกส์หรือการทดลองทางความคิดภายใน กรอบ ที่เข้มงวด ทางคณิตศาสตร์ ในแง่นี้ ฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ครอบคลุมขอบเขตทางวิชาการที่กว้างมาก โดยมีลักษณะเด่นคือการผสมผสานระหว่างแง่มุมทางคณิตศาสตร์และแง่มุมทางฟิสิกส์เชิงทฤษฎี แม้ว่าจะเกี่ยวข้องกับฟิสิกส์เชิงทฤษฎี^{[ 5 ]}แต่ฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ในแง่นี้เน้นความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์ในลักษณะเดียวกับที่พบในคณิตศาสตร์

ในทางกลับกัน ฟิสิกส์เชิงทฤษฎีเน้นย้ำถึงความเชื่อมโยงกับการสังเกตและฟิสิกส์เชิงทดลองซึ่งมักต้องการให้นักฟิสิกส์เชิงทฤษฎี (และนักฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ในความหมายทั่วไป) ใช้ การโต้แย้ง แบบฮิวริสติก สัญชาตญาณหรือโดยประมาณ^{[ 6 ]}นักคณิตศาสตร์ไม่ถือว่าการโต้แย้งดังกล่าวมีความเข้มงวด

นักฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์เหล่านี้ส่วนใหญ่จะขยายและอธิบายทฤษฎี ทางฟิสิกส์ให้ ชัดเจนยิ่งขึ้น เนื่องจากต้องใช้ความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์ในระดับสูง นักวิจัยเหล่านี้จึงมักจัดการกับคำถามที่นักฟิสิกส์เชิงทฤษฎีคิดว่าได้รับการแก้ไขแล้ว อย่างไรก็ตาม บางครั้งพวกเขาสามารถแสดงให้เห็นว่าคำตอบก่อนหน้านี้ไม่สมบูรณ์ ไม่ถูกต้อง หรือเพียงแค่ไร้เดียงสาเกินไป ตัวอย่างเช่น ประเด็นเกี่ยวกับการพยายามอนุมานกฎข้อที่สองของอุณหพลศาสตร์จากกลศาสตร์เชิงสถิติตัวอย่างอื่นๆ เกี่ยวข้องกับความซับซ้อนของกระบวนการซิงโครไนซ์ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษและทั่วไป ( ปรากฏการณ์ซาญักและการซิงโครไนซ์ของไอน์สไตน์ )

ความพยายามที่จะวางทฤษฎีทางฟิสิกส์บนพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวด ไม่เพียงแต่พัฒนาฟิสิกส์เท่านั้น แต่ยังส่งผลต่อการพัฒนาในบางสาขาของคณิตศาสตร์ด้วย ตัวอย่างเช่น การพัฒนาของกลศาสตร์ควอนตัมและบางแง่มุมของการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันมีความคล้ายคลึงกันในหลาย ๆ ด้าน การศึกษาทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์ควอนตัมทฤษฎีสนามควอนตัมและกลศาสตร์สถิติควอนตัมได้กระตุ้นให้เกิดผลลัพธ์ในพีชคณิตตัวดำเนินการ ความพยายามในการสร้างสูตรทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดของทฤษฎีสนามควอนตัมยังนำมาซึ่งความก้าวหน้าในสาขาต่างๆ เช่นทฤษฎีการแทนค่า

มีประเพณีการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของธรรมชาติที่สืบย้อนไปถึงสมัยกรีกโบราณ ตัวอย่างเช่นยูคลิด ( ทัศนศาสตร์ ) อาร์คิมิดีส ( ว่าด้วยสมดุลของระนาบว่าด้วยวัตถุลอย ) และปโตเลมี ( ทัศนศาสตร์ ฮาร์มอนิก ส์ ) ^{[ 7 ] [ 8 ]}ต่อมา นักวิชาการ อิสลามและไบแซนไทน์ได้ต่อยอดจากผลงานเหล่านี้ และในที่สุดผลงานเหล่านี้ก็ได้รับการนำกลับมาใช้ใหม่หรือเผยแพร่สู่โลกตะวันตกในศตวรรษที่ 12และในยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา

ในทศวรรษแรกของศตวรรษที่ 16 นิโคลาอุส โคเปอร์นิคัส นักดาราศาสตร์สมัครเล่น ได้เสนอทฤษฎีระบบสุริยะจักรวาลแบบศูนย์กลางดวงอาทิตย์และตีพิมพ์ตำราเกี่ยวกับเรื่องนี้ในปี 1543 เขาคงแนวคิดเรื่องวงโคจร ย่อย (epicycles) ของ ปโตเลมี ไว้ และเพียงแต่พยายามทำให้ดาราศาสตร์ง่ายขึ้นโดยการสร้างวงโคจรย่อยที่เรียบง่ายกว่า วงโคจรย่อยประกอบด้วยวงกลมซ้อนกันหลายวง ตาม หลักฟิสิกส์ของอริสโตเติลวงกลมเป็นรูปแบบการเคลื่อนที่ที่สมบูรณ์แบบ และเป็นการเคลื่อนที่ที่แท้จริงของธาตุที่ห้า ของอริสโตเติล ซึ่งก็คือแก่นแท้หรือสาระสำคัญสากลที่รู้จักกันในภาษากรีกว่าอีเธอร์ หรือในภาษาอังกฤษว่าอากาศบริสุทธิ์ซึ่งเป็นสารบริสุทธิ์ที่อยู่เหนือทรงกลมใต้ดวงจันทร์และดังนั้นจึงเป็นองค์ประกอบที่บริสุทธิ์ของวัตถุบนท้องฟ้าโยฮันเนส เคปเลอร์ ชาวเยอรมัน [1571–1630] ผู้ช่วยของ ไทโค บราเฮได้ปรับเปลี่ยนวงโคจรของโคเปอร์นิคัสให้เป็นวงรี และกำหนดเป็นสมการใน กฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเคปเลอร์

กาลิเลโอ กาลิเลอีนักอะตอมนิยมผู้กระตือรือร้นในหนังสือThe Assayer ปี 1623 ของเขา ได้ยืนยันว่า "หนังสือแห่งธรรมชาติเขียนด้วยคณิตศาสตร์" ^{[ 9 ]}หนังสือของเขาในปี 1632 เกี่ยวกับการสังเกตการณ์ด้วยกล้องโทรทรรศน์ของเขาสนับสนุนทฤษฎีสุริยจักรวาล^{[ 10 ]}หลังจากใช้การทดลอง กาลิเลโอได้หักล้างจักรวาลวิทยา แบบโลกเป็น ศูนย์กลางโดยการหักล้างฟิสิกส์ของอริสโตเติลเอง หนังสือDiscourse on Two New Sciences ปี 1638 ของกาลิเลโอ ได้กำหนดกฎการตกอย่างอิสระที่เท่ากัน รวมทั้งหลักการของการเคลื่อนที่แบบเฉื่อย ซึ่งเป็นสองแนวคิดหลักของสิ่งที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อ^{กลศาสตร์}คลาสสิก [ ^{10 ]}ตามกฎความเฉื่อยของ กาลิเลโอ รวมทั้งหลักการ ความไม่ แปรเปลี่ยนของกาลิเลโอหรือที่เรียกว่าสัมพัทธภาพของกาลิเลโอ สำหรับวัตถุใดๆ ที่ประสบกับความเฉื่อย มีเหตุผลเชิงประจักษ์สำหรับการรู้เพียงว่ามันหยุดนิ่งหรือเคลื่อนที่สัมพัทธ์—หยุดนิ่งหรือเคลื่อนที่เมื่อเทียบกับวัตถุอื่น

เรเน่ เดส์การ์ตส์ได้พัฒนาระบบจักรวาลวิทยาแบบเฮลิโอเซนทริกที่สมบูรณ์โดยยึดหลักการเคลื่อนที่แบบวนรอบ ซึ่งเป็นฟิสิกส์ แบบคาร์ทีเซียนการยอมรับอย่างกว้างขวางนี้ช่วยนำไปสู่การล่มสลายของฟิสิกส์แบบอริสโตเติล เดส์การ์ตส์ใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์เป็นแบบจำลองสำหรับวิทยาศาสตร์ และพัฒนาเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ซึ่งในที่สุดทำให้สามารถกำหนดตำแหน่งในพื้นที่ 3 มิติ ( พิกัดคาร์ทีเซียน ) และทำเครื่องหมายความก้าวหน้าตามการไหลของเวลาได้^{[ 11 ]}

Christiaan Huygensนักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ผู้มีความสามารถและเป็นรุ่นพี่ของนิวตัน เป็นคนแรกที่ประสบความสำเร็จในการสร้างแบบจำลองเชิงอุดมคติของปัญหาทางฟิสิกส์โดยใช้ชุดพารามิเตอร์ทางคณิตศาสตร์ในHorologium Oscillatorum (1673) และเป็นคนแรกที่สามารถอธิบายปรากฏการณ์ทางฟิสิกส์ที่ไม่สามารถสังเกตได้ด้วยคณิตศาสตร์อย่างสมบูรณ์ในTraité de la Lumière (1690) ดังนั้นเขาจึงได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้บุกเบิกฟิสิกส์เชิงทฤษฎีและเป็นหนึ่งในผู้ก่อตั้งฟิสิกส์คณิตศาสตร์สมัยใหม่^{[ 12 ] [ 13 ]}

กรอบความคิดหลักของวิทยาศาสตร์ในศตวรรษที่ 16 และต้นศตวรรษที่ 17 นั้นยืมมาจากคณิตศาสตร์กรีกโบราณโดยใช้รูปทรงเรขาคณิตเป็นพื้นฐานในการอธิบายและคิดเกี่ยวกับพื้นที่ และเวลาถูกมองว่าเป็นสิ่งที่มีอยู่แยกต่างหาก เมื่อมีการนำพีชคณิตมาใช้ในเรขาคณิต และแนวคิดเรื่องระบบพิกัด ทำให้เวลาและพื้นที่สามารถถูกมองว่าเป็นแกนที่อยู่ในระนาบเดียวกันได้ กรอบความคิดทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญนี้เป็นรากฐานของฟิสิกส์สมัยใหม่ทั้งหมด และถูกนำไปใช้ในกรอบความคิดทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ที่พัฒนาขึ้นในศตวรรษต่อๆ มา

ในช่วงกลางศตวรรษที่ 17 แนวคิดสำคัญๆ เช่นทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส (พิสูจน์ในปี 1668 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวสก็อต เจมส์ เกรกอรี ) และการหาค่าสุดขีดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชันโดยการหาอนุพันธ์โดยใช้ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ (โดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ ) เป็นที่รู้จักกันมาก่อนไลบ์นิซและนิวตันแล้ว^{[ 14 ]}ไอแซค นิวตัน (1642–1727) พัฒนาแคลคูลัส (แม้ว่าก็อตต์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซจะพัฒนาแนวคิดที่คล้ายกันนอกบริบทของฟิสิกส์) และวิธีการของนิวตันเพื่อแก้ปัญหาในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ เขาประสบความสำเร็จอย่างมากในการประยุกต์ใช้แคลคูลัสและวิธีการอื่นๆ ในการศึกษาการเคลื่อนที่ ทฤษฎีการเคลื่อนที่ของนิวตัน ซึ่งสรุปได้ในหนังสือPhilosophiæ Naturalis Principia Mathematica ( หลักการทางคณิตศาสตร์ของปรัชญาธรรมชาติ ) ในปี ค.ศ. 1687 ได้จำลองกฎการเคลื่อนที่ของกาลิเลโอ 3 ข้อ พร้อมกับกฎแรงโน้มถ่วงสากล ของนิวตัน บนกรอบของพื้นที่สัมบูรณ์ซึ่งนิวตันตั้งสมมติฐานว่าเป็นสิ่งที่มีอยู่จริงทางกายภาพที่มีโครงสร้างทางเรขาคณิตแบบยุคลิดที่ขยายออกไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุดในทุกทิศทาง โดยสันนิษฐานถึงเวลาสัมบูรณ์ซึ่งเชื่อกันว่าเป็นการพิสูจน์ความรู้เกี่ยวกับการเคลื่อนที่สัมบูรณ์ การเคลื่อนที่ของวัตถุเมื่อเทียบกับพื้นที่สัมบูรณ์^{[ 15 ]}หลักการของความไม่แปรเปลี่ยน/สัมพัทธภาพของกาลิเลโอเป็นเพียงสิ่งที่แฝงอยู่ในทฤษฎีการเคลื่อนที่ของนิวตัน เมื่อลดกฎของเคปเลอร์และกฎการเคลื่อนที่บนโลกของกาลิเลโอให้เหลือเพียงแรงที่รวมกัน นิวตันจึงบรรลุความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์อย่างมาก แต่มีความหย่อนยานทางทฤษฎี^{[ 16 ]}

ในศตวรรษที่ 18 แดเนียล แบร์นูลลี (ค.ศ. 1700–1782) ชาวสวิส ได้สร้างคุณูปการในด้านพลศาสตร์ของไหลและสายสั่นเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (ค.ศ. 1707–1783) ชาว สวิสอีกคนหนึ่ง ได้ทำการวิจัยพิเศษในด้าน แคลคูลัสเชิงแปรผันพลศาสตร์ พลศาสตร์ของไหล และสาขาอื่นๆโจเซฟ-หลุยส์ ลากรองจ์ (ค.ศ. 1736–1813) ชาวอิตาลี ก็มีความสำคัญเช่นกันในด้านกลศาสตร์เชิงวิเคราะห์โดยเขาได้กำหนดกลศาสตร์แบบลากรองจ์และวิธีการเชิงแปรผันวิลเลียม โรวัน แฮมิลตัน (ค.ศ. 1805–1865) นักฟิสิกส์ นักดาราศาสตร์ และนักคณิตศาสตร์ชาวไอริช ก็ได้ มีส่วนสำคัญในการกำหนดกลศาสตร์เชิงวิเคราะห์ที่เรียกว่าพลศาสตร์ แบบแฮมิลตัน พลศาสตร์แบบแฮมิลตันมีบทบาทสำคัญในการกำหนดทฤษฎีสมัยใหม่ในฟิสิกส์ รวมถึงทฤษฎีสนามและกลศาสตร์ควอนตัมโจเซฟ ฟูริเยร์ (ค.ศ. 1768 – 1830) นักฟิสิกส์คณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสได้นำเสนอแนวคิดของอนุกรมฟูริเยร์เพื่อแก้สมการความร้อนซึ่งก่อให้เกิดแนวทางใหม่ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยโดยใช้การแปลงอินทิกรัล

ในช่วงต้นศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์ในฝรั่งเศส เยอรมนี และอังกฤษ ได้มีส่วนร่วมในสาขาฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ปิแอร์-ซีมง ลาปลาซ (Pierre-Simon Laplace ) ชาวฝรั่งเศส (ค.ศ. 1749–1827) มีส่วนสำคัญอย่างยิ่งต่อดาราศาสตร์ เชิงคณิตศาสตร์ และทฤษฎีศักย์ซีเมออน เดนิส ปัวซง (Siméon Denis Poisson ) (ค.ศ. 1781–1840) ทำงานในด้านกลศาสตร์เชิง วิเคราะห์ และ ทฤษฎี ศักย์ในเยอรมนีคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ (Carl Friedrich Gauss) (ค.ศ. 1777–1855) มีส่วนสำคัญในการวางรากฐานทางทฤษฎีของไฟฟ้าแม่เหล็กกลศาสตร์และพลศาสตร์ของไหลในอังกฤษจอร์จ กรีน (George Green ) (ค.ศ. 1793–1841) ตีพิมพ์หนังสือเรื่อง "เรียงความเกี่ยวกับการประยุกต์ใช้การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์กับทฤษฎีไฟฟ้าและแม่เหล็ก"ในปี ค.ศ. 1828 ซึ่งนอกจากจะมีส่วนสำคัญต่อคณิตศาสตร์แล้ว ยังเป็นความก้าวหน้าในช่วงเริ่มต้นในการวางรากฐานทางคณิตศาสตร์ของไฟฟ้าและแม่เหล็กอีกด้วย

ก่อนที่นิวตันจะตีพิมพ์ทฤษฎีอนุภาคของแสงประมาณสองทศวรรษคริสเตียน ฮุยเกนส์ (Christiaan Huygens ) ชาวดัตช์ (ค.ศ. 1629–1695) ได้พัฒนาทฤษฎีคลื่นของแสงและตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1690 ต่อมาในปี ค.ศ. 1804 การทดลองช่องคู่ของ โทมัส ยัง (Thomas Young)เผยให้เห็นรูปแบบการแทรกสอดราวกับว่าแสงเป็นคลื่น ดังนั้นทฤษฎีคลื่นของแสงของฮุยเกนส์ รวมถึงข้อสรุปของฮุยเกนส์ที่ว่าคลื่นแสงเป็นการสั่นสะเทือนของอีเธอร์ที่นำพาแสง จึงได้รับการยอมรับ ฌอง-ออกัสติ น เฟรสเนล (Jean-Augustin Fresnel)ได้สร้างแบบจำลองพฤติกรรมสมมติของอีเธอร์ นักฟิสิกส์ชาวอังกฤษไมเคิล ฟาราเดย์ (Michael Faraday ) ได้นำเสนอแนวคิดเชิงทฤษฎีของสนาม—ไม่ใช่การกระทำจากระยะไกล ในช่วงกลางศตวรรษที่ 19 เจมส์ คลาร์ก แม็กซ์เวลล์ (James Clerk Maxwell ) ชาวสกอตแลนด์ (ค.ศ. 1831–1879) ได้ลดทอนไฟฟ้าและแม่เหล็กให้เหลือเพียงทฤษฎีสนามแม่เหล็กไฟฟ้าของแม็กซ์เวลล์ ซึ่งต่อมาได้รับการปรับลดโดยผู้อื่นให้เหลือสมการสี่สมการของแม็กซ์เวลล์ในตอนแรก ทัศนศาสตร์ถูกค้นพบว่าเป็นผลสืบเนื่องมาจากสนามของแม็กซ์เวลล์ ต่อมา รังสีและสเปกตรัมแม่เหล็กไฟฟ้า ที่เรารู้จักในปัจจุบัน ก็ถูกค้นพบว่าเป็นผลมาจากสนามแม่เหล็กไฟฟ้านี้เช่นกัน

ลอร์ด เรย์ลีย์ (Lord Rayleigh) นักฟิสิกส์ชาวอังกฤษ(ค.ศ. 1842–1919) ทำงานเกี่ยวกับเสียงวิลเลียม โรวัน แฮมิลตัน (William Rowan Hamilton ) (ค.ศ. 1805–1865), จอร์จ กาเบรียล สโตกส์ (George Gabriel Stokes ) (ค.ศ. 1819–1903) และลอร์ด เคลวิน (Lord Kelvin ) (ค.ศ. 1824–1907) ชาวไอริช ได้สร้างผลงานสำคัญหลายชิ้น: สโตกส์เป็นผู้นำในด้านทัศนศาสตร์และพลศาสตร์ของไหล; เคลวินค้นพบสิ่งสำคัญในด้านอุณหพลศาสตร์ ; แฮมิลตันทำงานที่โดดเด่นในด้านกลศาสตร์เชิงวิเคราะห์โดยค้นพบวิธีการใหม่และทรงพลังที่รู้จักกันในปัจจุบันว่ากลศาสตร์แฮมิลตันผลงานที่สำคัญมากในแนวทางนี้มาจากคาร์ล กุสตาฟ จาโคบี (Carl Gustav Jacobi ) นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน (ค.ศ. 1804–1851) โดยเฉพาะอย่างยิ่งการอ้างอิงถึงการแปลงเชิงแคนอ นิก เฮอร์มันน์ ฟอน เฮล์มโฮลทซ์ (Hermann von Helmholtz ) ชาวเยอรมัน ( ค.ศ. 1821–1894) ได้สร้างผลงานสำคัญในด้านแม่เหล็กไฟฟ้าคลื่นของไหลและเสียง ในสหรัฐอเมริกา ผลงานบุกเบิกของโจไซอาห์ วิลลาร์ด กิบบ์ส (ค.ศ. 1839–1903) กลายเป็นพื้นฐานของกลศาสตร์เชิงสถิติส่วนผลลัพธ์ทางทฤษฎีพื้นฐานในสาขานี้ได้มาจากลุดวิก โบลต์ซมันน์ (ค.ศ. 1844–1906) ชาวเยอรมัน บุคคลทั้งสองนี้ได้วางรากฐานของทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้า พลศาสตร์ของไหล และกลศาสตร์เชิงสถิติ

ในช่วงทศวรรษ 1880 มีความขัดแย้งที่โดดเด่นอย่างหนึ่งคือ ผู้สังเกตการณ์ภายในสนามแม่เหล็กไฟฟ้าของแม็กซ์เวลล์วัดความเร็วของสนามนั้นได้คงที่โดยประมาณ ไม่ว่าความเร็วของผู้สังเกตการณ์จะสัมพันธ์กับวัตถุอื่น ๆ ภายในสนามแม่เหล็กไฟฟ้าอย่างไรก็ตาม ดังนั้น แม้ว่าความเร็วของผู้สังเกตการณ์จะลดลงอย่างต่อเนื่องเมื่อเทียบกับสนามแม่เหล็กไฟฟ้า แต่ความเร็วของผู้สังเกตการณ์จะคงที่เมื่อเทียบกับวัตถุอื่น ๆในสนามแม่เหล็กไฟฟ้า และถึงกระนั้นก็ไม่พบ การละเมิด ความไม่แปรเปลี่ยนแบบกาลิเลียน ในการปฏิสัมพันธ์ทางกายภาพระหว่างวัตถุ เนื่องจากสนามแม่เหล็กไฟฟ้าของแม็กซ์เวลล์ถูกจำลองเป็นความผันผวนของ อี เธอร์ นักฟิสิกส์จึงสรุปว่าการเคลื่อนที่ภายในอีเธอร์ส่งผลให้เกิดการเคลื่อนตัวของอีเธอร์ ทำให้ สนามแม่เหล็กไฟฟ้าเปลี่ยนไป ซึ่งอธิบายถึงความเร็วที่หายไปของผู้สังเกตการณ์เมื่อเทียบกับสนามนั้นการแปลงแบบกาลิเลียนเป็นกระบวนการทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในการแปลงตำแหน่งในกรอบอ้างอิงหนึ่งไปเป็นการคาดการณ์ตำแหน่งในกรอบอ้างอิงอื่น โดยทั้งหมดแสดงบนพิกัดคาร์ทีเซียนแต่กระบวนการนี้ถูกแทนที่ด้วยการแปลงแบบลอเรนซ์ ซึ่งจำลองโดยเฮ นดริก ลอเรนซ์ชาวดัตช์ ในปี พ.ศ. 2451 เฮอร์มันน์ มินคอฟสกีอดีตศาสตราจารย์คณิตศาสตร์ของไอน์สไตน์ได้นำพีชคณิตเชิงเส้น มา ใช้สร้างแบบจำลองพื้นที่ 3 มิติร่วมกับแกนเวลา 1 มิติ โดยถือว่าแกนเวลาเป็นมิติเชิงพื้นที่ที่สี่ ซึ่งรวมเป็นปริภูมิเวลา 4 มิติ และประกาศว่าการแยกพื้นที่และเวลากำลังจะสิ้นสุดลงในไม่ช้า^{[ 17 ]}

ในปี ค.ศ. 1887 นักทดลองอย่างมิเชลสันและมอร์ลีย์ไม่สามารถตรวจจับการเคลื่อนที่ของอีเธอร์ได้ อย่างไรก็ตาม มีการตั้งสมมติฐานว่าการเคลื่อนที่เข้าไปในอีเธอร์ทำให้เกิดการหดตัวของอีเธอร์ด้วยเช่นกัน ดังที่จำลองไว้ในปรากฏการณ์การหดตัวของลอเรนซ์จึงตั้งสมมติฐานว่าอีเธอร์จึงรักษาแนวสนามแม่เหล็กไฟฟ้าของแม็กซ์เวลล์ให้สอดคล้องกับหลักการไม่เปลี่ยนแปลงของกาลิเลโอในทุกกรอบอ้างอิงเฉื่อยในขณะที่ทฤษฎีการเคลื่อนที่ของนิวตันยังคงไม่ได้รับผลกระทบ

เอิร์นส์มาคนักฟิสิกส์ทฤษฎีและนักปรัชญาชาวออสเตรีย วิพากษ์วิจารณ์ แนวคิดเรื่องพื้นที่สัมบูรณ์ที่นิวตันตั้งสมมติฐานไว้จูลส์-อองรี ปวงกาเร นักคณิตศาสตร์ (ค.ศ. 1854–1912) ตั้งคำถามแม้กระทั่งเรื่องเวลาสัมบูรณ์ ในปี ค.ศ. 1905 ปิแอร์ ดูเฮม ได้ตีพิมพ์บทวิจารณ์ที่รุนแรงเกี่ยวกับพื้นฐานของทฤษฎีการเคลื่อนที่ของนิวตัน ^{[ 16 ]}ในปีเดียวกันนั้นอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ ได้ตีพิมพ์ ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษของเขาซึ่งอธิบายความไม่แปรเปลี่ยนของสนามแม่เหล็กไฟฟ้าและความไม่แปรเปลี่ยนแบบกาลิเลียนได้ใหม่ โดยการละทิ้งสมมติฐานทั้งหมดเกี่ยวกับอีเธอร์ รวมถึงการมีอยู่ของอีเธอร์เองด้วย การหักล้างกรอบของทฤษฎีของนิวตัน— พื้นที่สัมบูรณ์และเวลาสัมบูรณ์ —ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษอ้างถึงพื้นที่สัมพัทธ์และเวลาสัมพัทธ์โดยที่ความยาวจะหดตัวและเวลาจะขยายตัวตามเส้นทางการเคลื่อนที่ของวัตถุ

พิกัดคาร์ทีเซียนใช้พิกัดเชิงเส้นตรงโดยพลการ คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ได้รับแรงบันดาลใจจากงานของเดส์การ์ต จึงได้นำเสนอเรขาคณิตโค้ง โดยแทนที่แกนเชิงเส้นตรงด้วยแกนโค้ง เกาส์ยังได้นำเสนอเครื่องมือสำคัญอีกอย่างหนึ่งของฟิสิกส์สมัยใหม่ นั่นคือ ความโค้ง อย่างไรก็ตาม งานของเกาส์จำกัดอยู่เพียงสองมิติ การขยายไปสู่สามมิติหรือมากกว่านั้นทำให้เกิดความซับซ้อนอย่างมาก และจำเป็นต้องใช้เทนเซอร์ (ซึ่งยังไม่ถูกคิดค้นในขณะนั้น) เบอร์นาร์ด รีมันน์ เป็นผู้ที่ขยายเรขาคณิตโค้งไปสู่ ​​N มิติด้วยเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อเรขาคณิตรีมันน์

^{ในตอนแรก ไอน์สไตน์เรียกสิ่งนี้ ว่า} "ความรู้ที่เกินความจำเป็น" แต่ต่อมาได้ใช้ปริภูมิเวลาของมินคอฟสกีเป็นปริภูมิสัมผัส ใน ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปของเขา[ ^{18 ]}ขยายความไม่แปรเปลี่ยนไปยังกรอบอ้างอิงทั้งหมด ไม่ว่าจะรับรู้ว่าเป็นแบบเฉื่อยหรือแบบเร่งความเร็ว และให้เครดิตสิ่งนี้แก่มินคอฟสกี ซึ่งเสียชีวิตไปแล้ว ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปแทนที่พิกัดคาร์ทีเซียนด้วยพิกัดเกาส์เซียนและแทนที่ปริภูมิที่ว่างเปล่าแต่เป็นแบบยุคลิดที่นิวตันอ้างว่าเคลื่อนที่ผ่านได้ทันทีโดยเวกเตอร์แรงโน้มถ่วงสมมุติของนิวตัน ซึ่งเป็นการกระทำทันทีในระยะไกล ด้วย สนาม โน้มถ่วง สนาม โน้มถ่วงนั้นคือ ปริภูมิ เวลาของมินคอฟสกีเอง ซึ่งเป็น โทโพโลยี 4 มิติ ของอีเธอร์ของไอน์สไตน์ที่จำลองบนแมนิโฟลด์ลอเรนซ์ที่ "โค้ง" ทางเรขาคณิต ตามเทนเซอร์ความโค้งของรีมันน์แนวคิดเรื่องแรงโน้มถ่วงของนิวตันที่ว่า "มวลสองก้อนดึงดูดกัน" ถูกแทนที่ด้วยข้อโต้แย้งทางเรขาคณิตที่ว่า "มวลเปลี่ยนแปลงความโค้งของกาลอวกาศและอนุภาคที่มีมวลซึ่งตกลงมาอย่างอิสระจะเคลื่อนที่ไปตามเส้นโค้งจีโอเดสิกในกาลอวกาศ" นวัตกรรมในเรขาคณิตได้รับการคาดการณ์ไว้ล่วงหน้าโดยเรขาคณิตนอกยุคลิดและการสำรวจความโค้งโดยซีเอฟ เกาส์ แม้แต่พลังงานที่ไม่มีมวลก็ยังส่งผลต่อแรงโน้มถ่วงโดยที่ มวลที่เทียบเท่า กัน ของมัน"ทำให้โค้งงอ" ในระดับท้องถิ่นในเรขาคณิตของมิติทั้งสี่ที่รวมเป็นหนึ่งเดียวของกาลอวกาศ

พัฒนาการที่ปฏิวัติวงการอีกอย่างหนึ่งของศตวรรษที่ 20 คือทฤษฎีควอนตัมซึ่งเกิดขึ้นจากผลงานสำคัญของแม็กซ์ พลังค์ (1856–1947) (เกี่ยวกับการแผ่รังสีของวัตถุดำ ) และงานของไอน์สไตน์เกี่ยวกับปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กทริกในปี 1912 นักคณิตศาสตร์อองรี ปวงกาเรได้ตีพิมพ์Sur la théorie des quanta [ ^{19 ] [ 20 ] เขา}ได้นำเสนอนิยามแรกของการควอนตัมที่ไม่ใช่แบบง่ายๆ ในเอกสารนี้ การพัฒนาฟิสิกส์ควอนตัมในยุคแรกเริ่มนั้นเป็นไปตามกรอบแนวคิดเชิงอนุมานที่คิดค้นโดยอาร์โนลด์ ซอมเมอร์เฟลด์ (1868–1951) และนีลส์ โบห์ร (1885–1962) แต่ในไม่ช้ากรอบแนวคิดนี้ก็ถูกแทนที่ด้วยกลศาสตร์ควอนตัมที่พัฒนาโดยแม็กซ์ บอร์น (1882–1970), หลุยส์ เดอ บรอกลี (1892–1987), เวอร์เนอร์ ไฮเซนเบิร์ก (1901–1976), พอล ดิแรก (1902–1984), เออร์วิน ชโรดิงเกอร์ (1887–1961), สัตเยนทรา นาถ โบส (1894–1974) และโวล์ฟกัง พอลี (1900–1958)

กรอบทฤษฎีปฏิวัติวงการนี้ตั้งอยู่บนพื้นฐานการตีความสถานะเชิงความน่าจะเป็น วิวัฒนาการ และการวัดในแง่ของตัวดำเนินการสมมาตรในปริภูมิเวกเตอร์อนันต์มิติ ซึ่งเรียกว่าปริภูมิฮิลเบิร์ต (แนะนำโดยนักคณิตศาสตร์เดวิด ฮิลเบิร์ต (1862–1943), เออร์ฮาร์ด ชมิดต์ (1876–1959) และฟริกเยส รีสซ์ (1880–1956) ในการค้นหาการวางนัยทั่วไปของปริภูมิยุคลิดและการศึกษาเกี่ยวกับสมการเชิงอินทิกรัล) และได้รับการกำหนดอย่างเข้มงวดภายในเวอร์ชันสมัยใหม่เชิงสัจพจน์โดยจอห์น ฟอน นอยมันน์ในหนังสือที่มีชื่อเสียงของเขาเรื่อง พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์ควอนตัมซึ่งเขาได้สร้างส่วนสำคัญของการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันสมัยใหม่บนปริภูมิฮิลเบิร์ต โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทฤษฎีสเปกตรัม (แนะนำโดยเดวิด ฮิลเบิร์ตผู้ซึ่งศึกษาแบบฟอร์มกำลังสองที่มีตัวแปรอนันต์จำนวนมาก หลายปีต่อมาได้มีการเปิดเผยว่าทฤษฎีสเปกตรัมของเขามีความเกี่ยวข้องกับสเปกตรัมของอะตอมไฮโดรเจน เขาประหลาดใจกับการประยุกต์ใช้ดังกล่าว) พอล ดิแรก ใช้การสร้างทางพีชคณิตเพื่อสร้างแบบจำลองสัมพัทธภาพสำหรับอิเล็กตรอนโดยทำนายถึงโมเมนต์แม่เหล็กและการมีอยู่ของอนุภาคปฏิปักษ์ของอิเล็กตรอนคือ โพซิตรอน

บุคคลสำคัญที่สร้างคุณูปการอย่างมากต่อฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 20 ได้แก่ (เรียงตามวันเกิด):

• วิลเลียม ทอมสัน (ลอร์ด เคลวิน) (ค.ศ. 1824–1907)
• โอลิเวอร์ เฮฟวิไซด์ (1850–1925)
• จูลส์ อองรี ปัวน์กาเร (1854–1912)
• เดวิด ฮิลเบิร์ต (ค.ศ. 1862–1943)
• อาร์โนลด์ ซอมเมอร์เฟลด์ (1868–1951)
• คอนสแตนติน คาราเธโอโดรี (1873–1950)
• อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ (1879–1955)
• เอมมี โนเธอร์ (1882–1935)
• แม็กซ์ บอร์น (1882–1970)
• จอร์จ เดวิด เบิร์คฮอฟฟ์ (1884–1944)
• เฮอร์มันน์ เวย์ล (1885–1955)
• สัตเยนดรา นาถ โบส (1894–1974)
• หลุยส์ เดอ บรอกลี (1892–1987)
• นอร์เบิร์ต วีนเนอร์ (1894–1964)
• จอห์น ไลท์ตัน ซิงจ์ (1897–1995)
• มาริโอ เชนแบร์ก (1914–1990)
• โวล์ฟกัง พอลี (ค.ศ. 1900–1958)
• พอล ดิแรก (1902–1984)
• ยูจีน วิกเนอร์ (1902–1995)
• อันเดรย์ โคลโมโกรอฟ (1903–1987)
• ลาร์ส ออนซาเกอร์ (ค.ศ. 1903–1976)
• จอห์น ฟอน นอยมันน์ (1903–1957)
• ซิน-อิติโร โทโมนากะ (1906–1979)
• ฮิเดกิ ยูกาวะ (1907–1981)
• นิโคไล นิโคลาเยวิช โบโกลิโบฟ (1909–1992)
• สุพรหมันยัน จันทรเศขาร (พ.ศ. 2453–2538)
• มาร์ค แคค (1914–1984)
• จูเลียน ชวิงเงอร์ (1918–1994)
• ริชาร์ด ฟิลลิปส์ ไฟน์แมน (1918–1988)
• เออร์วิง เอซรา ซีกัล (1918–1998)
• เรียวโกะ คูโบ (1920–1995)
• อาร์เธอร์ สตรอง ไวท์แมน (1922–2013)
• เฉินหนิง หยาง (1922–2025)
• รูดอล์ฟ ฮาก (1922–2016)
• ฟรีแมน จอห์น ไดสัน (1923–2020)
• มาร์ติน กุตซ์วิลเลอร์ (1925–2014)
• อับดุส ซาลาม (ค.ศ. 1926–1996)
• เยอร์เกน โมเซอร์ (1928–1999)
• ไมเคิล ฟรานซิส อาติยาห์ (1929–2019)
• โจเอล หลุยส์ เลโบวิตซ์ (1930–)
• โรเจอร์ เพนโรส (1931–)
• เอลเลียต เฮอร์เชล ลีบ (1932–)
• ยาคีร์ อาฮาโรนอฟ (1932–)
• เชลดอน แกลชอว์ (1932–)
• สตีเวน ไวน์เบิร์ก (1933–2021)
• ลุดวิก ดมิตรีเยวิช ฟัดเดเยฟ (1934–2017)
• เดวิด รูเอลล์ (1935–)
• ยาคอฟ กริโกเรวิช ซินาย (1935–)
• วลาดิเมียร์ อิโกเรวิช อาร์โนลด์ (1937–2010)
• อาร์เธอร์ ไมเคิล จาฟเฟ (1937–)
• โรมัน วลาดิมีร์ แจ็กกิว (1939–)
• ลีโอนาร์ด ซัสส์คินด์ (1940–)
• ร็อดนีย์ เจมส์ แบ็กซ์เตอร์ (1940–)
• ไมเคิล วิคเตอร์ เบอร์รี (1941–)
• โจวันนี กัลลาโวตติ (1941–)
• สตีเฟน วิลเลียม ฮอว์คิง (1942–2018)
• เจอร์โรลด์ เอลดอน มาร์สเดน (1942–2010)
• ไมเคิล ซี. รีด (1942–)
• จอห์น ไมเคิล คอสเตอร์ลิทซ์ (1943–)
• อิสราเอล มิเชล ซีกัล (1945–)
• อเล็กซานเดอร์ มาร์โควิช โปลยาคอฟ (1945–)
• แบร์รี ไซมอน (1946–)
• เฮอร์เบิร์ต สปอน (1946–)
• จอห์น ลอว์เรนซ์ คาร์ดี้ (1947–)
• จอร์โจ ปาริซี (1948-)
• อับฮาย อัชเตการ์ (1949-)
• เอ็ดเวิร์ด วิทเทน (1951–)
• เอฟ. ดันแคน ฮัลเดน (1951–)
• อโศก เซน (1956–)
• ฮวน มาร์ติน มัลดาเซนา (1968–)

• ทฤษฎีเกจ (คณิตศาสตร์)
• สมาคมฟิสิกส์คณิตศาสตร์นานาชาติ
• ผลงานตีพิมพ์ที่โดดเด่นในสาขาฟิสิกส์คณิตศาสตร์
• รายชื่อวารสารฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์
• แบบจำลองทางคณิตศาสตร์
• ความสัมพันธ์ระหว่างคณิตศาสตร์และฟิสิกส์
• ฟิสิกส์เชิงทฤษฎีฟิสิกส์เชิงคำนวณและฟิสิกส์เชิงปรัชญา

• อัลเลน, จอนต์ (2020), คำเชิญชวนสู่ฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์และประวัติศาสตร์ของมัน , สปริงเกอร์, รหัสบรรณานุกรม : 2020imph.book.....A , ISBN 978-3-030-53758-6
• Courant, Richard ; Hilbert, David (1989), Methods of Mathematical Physics , Vol 1–2, Interscience Publishers, Bibcode : 1989mmp..book.....C
• ฟรองซัวส์, ฌอง พี.; นาเบอร์, เกรกอรี แอล.; Tsun, Tsou S. (2006), สารานุกรมฟิสิกส์คณิตศาสตร์ , Elsevier, ISBN 978-0-1251-2660-1
• Joos, Georg ; Freeman, Ira M. (1987), ฟิสิกส์เชิงทฤษฎี (ฉบับที่ 3), สำนักพิมพ์ Dover, ISBN 0-486-65227-0
• Kato, Tosio (1995), ทฤษฎีการรบกวนสำหรับตัวดำเนินการเชิงเส้น (ฉบับที่ 2), Springer-Verlag, ISBN 3-540-58661-X
• มาร์เกอเนา, เฮนรี ; เมอร์ฟี, จอร์จ เอ็ม. (2009), คณิตศาสตร์ของฟิสิกส์และเคมี (ฉบับที่ 2), สำนักพิมพ์ยังเพรส, ISBN 978-1444627473
• มาซานิ, เปซี อาร์. (1976–1986), นอร์เบิร์ต ไวเนอร์ : ผลงานรวมพร้อมคำอธิบายเล่ม 1–4, สำนักพิมพ์เดอะ MIT
• Morse, Philip M. ; Feshbach, Herman (1999), วิธีการทางฟิสิกส์เชิงทฤษฎีเล่ม 1–2, McGraw Hill, ISBN 0-07-043316-X
• Thirring, Walter E. (1978–1983), หลักสูตรฟิสิกส์คณิตศาสตร์เล่ม 1–4, Springer-Verlag
• ทิโคมิรอฟ, วลาดิมีร์ เอ็ม. (1991–1993), ผลงานคัดสรรของเอ.เอ็น. โคลโมโกโรฟเล่ม 1–3, สำนักพิมพ์คลูเวอร์ อคาเดมิก พับลิชเชอร์ส
• ทิทช์มาร์ช, เอ็ดเวิร์ด ซี. (1985), ทฤษฎีของฟังก์ชัน (ฉบับที่ 2), สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด

• Arfken, George B. ; Weber, Hans J.; Harris, Frank E. (2013), วิธีการทางคณิตศาสตร์สำหรับนักฟิสิกส์: คู่มือฉบับสมบูรณ์ (ฉบับที่ 7), Academic Press, ISBN 978-0-12-384654-9( วิธีการทางคณิตศาสตร์สำหรับนักฟิสิกส์ , เฉลยสำหรับวิธีการทางคณิตศาสตร์สำหรับนักฟิสิกส์ (ฉบับที่ 7) , archive.org)
• Bayın, Selçuk Ş. (2018), วิธีการทางคณิตศาสตร์ในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์ (ฉบับที่ 2), Wiley, ISBN 9781119425397
• Boas, Mary L. (2006), วิธีการทางคณิตศาสตร์ในวิทยาศาสตร์กายภาพ (ฉบับที่ 3), Wiley, ISBN 978-0-471-19826-0
• บัตคอฟ, ยูจีน (1968), ฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ , แอดดิสัน-เวสลีย์
• Hassani, Sadri (2009), วิธีการทางคณิตศาสตร์สำหรับนักศึกษาฟิสิกส์และสาขาที่เกี่ยวข้อง (ฉบับที่ 2), นิวยอร์ก, Springer, eISBN 978-0-387-09504-2
• เจฟฟรีย์ส, ฮาโรลด์ ; สวิร์ลส์ เจฟฟรีย์ส, เบอร์ธา (1956), วิธีการทางฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ (ฉบับที่ 3), สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์
• Marsh, Adam (2018), "คณิตศาสตร์สำหรับฟิสิกส์: คู่มือภาพประกอบ", Contemporary Physics , เล่มที่ 59, World Scientific, หน้า 329, Bibcode : 2018ConPh..59..329N , doi : 10.1080/00107514.2018.1501430 , ISBN 978-981-3233-91-1
• Mathews, Jon ; Walker, Robert L. (1970), วิธีการทางคณิตศาสตร์ของฟิสิกส์ (ฉบับที่ 2), WA Benjamin, รหัสบรรณานุกรม : 1970mmp..book.....M , ISBN 0-8053-7002-1
• เมนเซล, โดนัลด์ เอช. (1961), ฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ , สำนักพิมพ์โดเวอร์, ISBN 0-486-60056-4{{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help)
• ไรลีย์, เคน เอฟ. ; ฮอบสัน, ไมเคิล พี. ; เบนซ์, สตีเฟน เจ. (2006), วิธีการทางคณิตศาสตร์สำหรับฟิสิกส์และวิศวกรรม (ฉบับที่ 3), สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, ISBN 978-0-521-86153-3
• Stakgold, Ivar (2000), ปัญหาค่าขอบเขตของฟิสิกส์คณิตศาสตร์เล่ม 1-2, สมาคมคณิตศาสตร์อุตสาหกรรมและประยุกต์, ISBN 0-89871-456-7
• Starkovich, Steven P. (2021), โครงสร้างของฟิสิกส์คณิตศาสตร์: บทนำ , Springer, Bibcode : 2021smpa.book.....S , ISBN 978-3-030-73448-0

• Blanchard, Philippe ; Brüning, Erwin (2015), วิธีการทางคณิตศาสตร์ในฟิสิกส์: การกระจายตัว ตัวดำเนินการในปริภูมิฮิลเบิร์ต วิธีการแปรผัน และการประยุกต์ใช้ในฟิสิกส์ควอนตัม (ฉบับที่ 2), Springer, Bibcode : 2015mmpd.book.....B , ISBN 978-3-319-14044-5
• Cahill, Kevin (2019), คณิตศาสตร์เชิงฟิสิกส์ (ฉบับที่ 2), สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, ISBN 978-1-108-47003-2
• Geroch, Robert (1985), ฟิสิกส์คณิตศาสตร์ , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยชิคาโก, ISBN 0-226-28862-5
• Hassani, Sadri (2013), ฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์: บทนำสมัยใหม่เกี่ยวกับพื้นฐาน (ฉบับที่ 2), Springer-Verlag, Bibcode : 2013mpmi.book.....H , ISBN 978-3-319-01194-3
• Marathe, Kishore (2010), หัวข้อในคณิตศาสตร์เชิงฟิสิกส์ , Springer-Verlag, ISBN 978-1-84882-938-1
• Milstein, Grigori N. ; Tretyakov, Michael V. (2021), Stochastic Numerics for Mathematical Physics (ฉบับที่ 2), Springer, ISBN 978-3-030-82039-8
• รีด, ไมเคิล ซี. ; ไซมอน, แบร์รี (1972–1981), วิธีการของฟิสิกส์คณิตศาสตร์สมัยใหม่เล่ม 1-4, สำนักพิมพ์ Academic Press
• ริชท์ไมเออร์, โรเบิร์ต ดี. (1978–1981), หลักการของฟิสิกส์คณิตศาสตร์ขั้นสูง , เล่ม 1-2, สำนักพิมพ์สปริงเกอร์-เวอร์แลก
• รูดอล์ฟ, เกิร์ด; ชมิดท์, มัทธิอัส (2013–2017), เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และฟิสิกส์คณิตศาสตร์ , เล่ม 1-2, สปริงเกอร์
• Serov, Valery (2017), อนุกรมฟูริเยร์ การแปลงฟูริเยร์ และการประยุกต์ใช้ในฟิสิกส์คณิตศาสตร์ , Springer, ISBN 978-3-319-65261-0
• ไซมอน, แบร์รี (2015), หลักสูตรวิเคราะห์เชิงลึกเล่ม 1-5, สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน
• Stakgold, Ivar ; Holst, Michael (2011), ฟังก์ชันกรีนและปัญหาค่าขอบเขต (ฉบับที่ 3), Wiley, ISBN 978-0-470-60970-5
• สโตน, ไมเคิล; โกลด์บาร์ต, พอล (2009), "คณิตศาสตร์สำหรับฟิสิกส์: คู่มือสำหรับนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษา", Physics Today , เล่มที่ 62, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, หน้า 57, รหัสบรรณานุกรม : 2009PhT....62j..57S , doi : 10.1063/1.3248483 , ISBN 978-0-521-85403-0
• Szekeres, Peter (2004), หลักสูตรฟิสิกส์คณิตศาสตร์สมัยใหม่: กลุ่ม ปริภูมิฮิลเบิร์ต และเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ISBN 978-0-521-53645-5
• Taylor, Michael E. (2011), สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย , เล่ม 1-3 (ฉบับที่ 2), Springer.
• Whittaker, Edmund T. ; Watson, George N. (1950), หลักสูตรการวิเคราะห์สมัยใหม่: บทนำสู่ทฤษฎีทั่วไปของกระบวนการอนันต์และฟังก์ชันวิเคราะห์ พร้อมด้วยคำอธิบายเกี่ยวกับฟังก์ชันอดิศัยหลัก (ฉบับที่ 4), สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์

• Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. (2008), พื้นฐานของกลศาสตร์: การอธิบายทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์คลาสสิกพร้อมบทนำสู่ทฤษฎีเชิงคุณภาพของระบบพลวัต (ฉบับที่ 2), สำนักพิมพ์ AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-4438-0
• อดัม, จอห์น เอ. (2017), รังสี คลื่น และการกระเจิง: หัวข้อในฟิสิกส์คณิตศาสตร์คลาสสิก , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน, ISBN 978-0-691-14837-3
• Arnold, Vladimir I. (1997), วิธีการทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์คลาสสิก (ฉบับที่ 2), Springer-Verlag, ISBN 0-387-96890-3
• บลูม, เฟรเดอริค (1993), ปัญหาทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าแบบไม่เชิงเส้นคลาสสิก , สำนักพิมพ์ CRC, ISBN 0-582-21021-6
• Boyer, Franck; Fabrie, Pierre (2013), เครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับการศึกษาสมการ Navier-Stokes ที่อัดไม่ได้และแบบจำลองที่เกี่ยวข้อง , Springer, ISBN 978-1-4614-5974-3
• Colton, David; Kress, Rainer (2013), วิธีสมการเชิงอินทิกรัลในทฤษฎีการกระเจิง , สมาคมคณิตศาสตร์อุตสาหกรรมและประยุกต์, ISBN 978-1-611973-15-0
• Ciarlet, Philippe G. (1988–2000), ความยืดหยุ่นทางคณิตศาสตร์ , เล่ม 1–3, Elsevier
• Galdi, Giovanni P. (2011), บทนำสู่ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของสมการนาเวียร์-สโตกส์: ปัญหาภาวะคงที่ (ฉบับที่ 2), Springer, ISBN 978-0-387-09619-3
• Hanson, George W.; Yakovlev, Alexander B. (2002), ทฤษฎีตัวดำเนินการสำหรับแม่เหล็กไฟฟ้า: บทนำ , Springer, ISBN 978-1-4419-2934-1
• Kirsch, Andreas; Hettlich, Frank (2015), ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของสมการแม็กซ์เวลล์แบบฮาร์มอนิกเวลา: วิธีการขยาย การอินทิกรัล และการแปรผัน , Springer, Bibcode : 2015mttm.book.....K , ISBN 978-3-319-11085-1
• คนาฟ, อันเดรียส (2018), ฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์: กลศาสตร์คลาสสิก , สปริงเกอร์, รหัสบรรณานุกรม : 2018mpcm.book.....K , ISBN 978-3-662-55772-3
• เลชเนอร์, เคิร์ต (2018), อิเล็กโทรไดนามิกส์แบบคลาสสิก: มุมมองสมัยใหม่ , สปริงเกอร์, ISBN 978-3-319-91808-2
• Marsden, Jerrold E. ; Ratiu, Tudor S. (1999), บทนำสู่กลศาสตร์และสมมาตร: การอธิบายพื้นฐานของระบบกลศาสตร์คลาสสิก (ฉบับที่ 2), Springer, ISBN 978-1-4419-3143-6
• มุลเลอร์, เคลาส์ (1969), พื้นฐานของทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า , สปริงเกอร์-เวอร์แลก, ISBN 978-3-662-11775-0
• Ramm, Alexander G. (2018), การกระเจิงโดยสิ่งกีดขวางและศักยภาพ , World Scientific, ISBN 9789813220966
• Roach, Gary F.; Stratis, Ioannis G.; Yannacopoulos, Athanasios N. (2012), การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของปัญหาเชิงกำหนดและเชิงสุ่มในสื่อแม่เหล็กไฟฟ้าที่ซับซ้อน , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน, รหัสบรรณานุกรม : 2012mads.book.....R , ISBN 978-0-691-14217-3

• Baez, John C. ; Muniain, Javier P. (1994), Gauge Fields, Knots, and Gravity , World Scientific, ISBN 981-02-2034-0
• ว่างเปล่า, จิริ; เอ็กซ์เนอร์, พาเวล ; Havlíček, Miloslav (2008), Hilbert Space Operators in Quantum Physics (2nd ed.), Springer, Bibcode : 2008hsoq.book.....B , ISBN 978-1-4020-8869-8
• Engel, Eberhard; Dreizler, Reiner M. (2011), ทฤษฎีฟังก์ชันความหนาแน่น: หลักสูตรขั้นสูง , Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-14089-1
• Glimm, James ; Jaffe, Arthur (1987), ฟิสิกส์ควอนตัม: มุมมองเชิงฟังก์ชันและปริพันธ์ (ฉบับที่ 2), Springer-Verlag, ISBN 0-387-96477-0
• Haag, Rudolf (1996), ฟิสิกส์ควอนตัมท้องถิ่น: สนาม, อนุภาค, พีชคณิต (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2), Springer-Verlag, ISBN 3-540-61049-9
• ฮอลล์, ไบรอัน ซี. (2013), ทฤษฎีควอนตัมสำหรับนักคณิตศาสตร์ , สปริงเกอร์, รหัสบรรณานุกรม : 2013qtm..book.....H , ISBN 978-1-4614-7115-8
• Hamilton, Mark JD (2017), ทฤษฎีเกจทางคณิตศาสตร์: พร้อมการประยุกต์ใช้กับแบบจำลองมาตรฐานของฟิสิกส์อนุภาค , Springer, Bibcode : 2017mgta.book.....H , ISBN 978-3-319-68438-3
• ฮอว์คิง, สตีเฟน ดับเบิลยู. ; เอลลิส, จอร์จ เอฟอาร์ (1973), โครงสร้างขนาดใหญ่ของกาลอวกาศ , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, ISBN 0-521-20016-4
• แจ็คกิว, โรมัน (1995), หัวข้อหลากหลายในฟิสิกส์เชิงทฤษฎีและคณิตศาสตร์ , เวิลด์ ไซเอนซ์, ISBN 9810216963
• แลนด์สแมน, คลาส (2017), พื้นฐานของทฤษฎีควอนตัม: จากแนวคิดคลาสสิกสู่พีชคณิตตัวดำเนินการ , สปริงเกอร์, รหัสบรรณานุกรม : 2017fqtf.book.....L , ISBN 978-3-319-51776-6
• Moretti, Valter (2017), ทฤษฎีสเปกตรัมและกลศาสตร์ควอนตัม: พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีควอนตัม สมมาตร และบทนำสู่การกำหนดสูตรเชิงพีชคณิต , Unitext, เล่มที่ 110 (ฉบับที่ 2), Springer, Bibcode : 2017stqm.book.....M , doi : 10.1007/978-3-319-70706-8 , ISBN 978-3-319-70705-1, S2CID  125121522
• Robert, Didier; Combescure, Monique (2021), สถานะโคherent และการประยุกต์ใช้ในฟิสิกส์คณิตศาสตร์ (ฉบับที่ 2), Springer, Bibcode : 2021csam.book.....R , ISBN 978-3-030-70844-3
• ทาซากิ, ฮาล (2020), ฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ของระบบควอนตัมหลายอนุภาค , สปริงเกอร์, ISBN 978-3-030-41265-4, OCLC  1154567924
• Teschl, Gerald (2009), วิธีการทางคณิตศาสตร์ในกลศาสตร์ควอนตัม: พร้อมการประยุกต์ใช้กับตัวดำเนินการชโรดิงเกอร์ , สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน, ISBN 978-0-8218-4660-5
• Thirring, Walter E. (2002), ฟิสิกส์คณิตศาสตร์ควอนตัม: อะตอม โมเลกุล และระบบขนาดใหญ่ (ฉบับที่ 2), Springer-Verlag, Bibcode : 2002qmpa.book.....T , ISBN 978-3-642-07711-1
• ฟอน นอยมันน์, จอห์น (2018), พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์ควอนตัม , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน, ISBN 978-0-691-17856-1
• เวย์ล, เฮอร์มันน์ (2014), ทฤษฎีกลุ่มและกลศาสตร์ควอนตัม , สำนักพิมพ์มาร์ติโน ไฟน์ บุ๊คส์, ISBN 978-1614275800
• Ynduráin, Francisco J. (2006), ทฤษฎีปฏิสัมพันธ์ของควาร์กและกลูออน (ฉบับที่ 4), Springer, Bibcode : 2006tqgi.book.....Y , ISBN 978-3642069741
• Zeidler, Eberhard (2006–2011), ทฤษฎีสนามควอนตัม: สะพานเชื่อมระหว่างนักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ , เล่ม 1-3, Springer

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ในวิกิมีเดียคอมมอนส์