ในกลศาสตร์เชิงวิเคราะห์พิกัดทั่วไปคือชุดพารามิเตอร์ที่ใช้ในการแสดงการกำหนดค่าของระบบในปริภูมิการกำหนดค่าพารามิเตอร์เหล่านี้ต้องกำหนดการกำหนดค่าของระบบโดยเฉพาะเมื่อเทียบกับการกำหนดค่าอ้างอิง^{[ 1 ]}ความเร็วทั่วไป คือ อนุพันธ์เทียบกับเวลาของพิกัดทั่วไปของระบบ คำคุณศัพท์ "ทั่วไป" ใช้เพื่อแยกความแตกต่างของพารามิเตอร์เหล่านี้จากการใช้คำว่า "พิกัด" แบบดั้งเดิมเพื่ออ้างถึงพิกัดคาร์ทีเซียน

ตัวอย่างของระบบพิกัดทั่วไปคือ การอธิบายตำแหน่งของลูกตุ้มโดยใช้มุมของลูกตุ้มเทียบกับแนวดิ่ง แทนที่จะใช้ค่าพิกัด x และ y ของลูกตุ้ม

แม้ว่าอาจมีตัวเลือกพิกัดทั่วไปที่เป็นไปได้มากมายสำหรับระบบทางกายภาพ แต่โดยทั่วไปจะเลือกพิกัดเหล่านั้นเพื่อลดความซับซ้อนของการคำนวณ เช่น การแก้สมการการเคลื่อนที่ของระบบ หากพิกัดเป็นอิสระต่อกัน จำนวนพิกัดทั่วไปที่เป็นอิสระจะถูกกำหนดโดยจำนวนองศาอิสระของระบบ^{[ 2 ] [ 3 ]}

พิกัดทั่วไปจะถูกจับคู่กับโมเมนตัมทั่วไปเพื่อให้ได้พิกัดมาตรฐานบนปริภูมิเฟส

เปิดทางตรง

เส้นทางโค้งเปิดF ( x , y ) = 0

เส้นทางโค้งปิดC ( x , y ) = 0

พิกัดทั่วไปหนึ่งตัว (หนึ่งองศาอิสระ) บนเส้นทางใน 2 มิติ จำเป็นต้องใช้พิกัดทั่วไปเพียงตัวเดียวเพื่อระบุตำแหน่งบนเส้นโค้งได้อย่างเฉพาะเจาะจง ในตัวอย่างเหล่านี้ ตัวแปรนั้นคือความยาวส่วนโค้งsหรือมุมθ ไม่จำเป็นต้อง มีพิกัดคาร์ทีเซียนทั้งสอง( x , y )เนื่องจากxหรือyสัมพันธ์กันโดยสมการของเส้นโค้ง นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดพารามิเตอร์ได้ด้วยsหรือθ

เส้นทางโค้งเปิดF ( x , y ) = 0มีจุดตัดหลายจุดที่มีรัศมีเท่ากับเส้นทาง

เส้นทางโค้งปิดC ( x , y ) = 0การตัดกันเองของเส้นทาง

ความยาวส่วนโค้งsตามเส้นโค้งเป็นพิกัดทั่วไปที่ถูกต้อง เนื่องจากตำแหน่งถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจง แต่ค่ามุมθไม่ใช่ เนื่องจากมีหลายตำแหน่งสำหรับค่าθ ค่า เดียว

โดยปกติแล้วจะเลือกพิกัดทั่วไปเพื่อให้ได้จำนวนพิกัดอิสระน้อยที่สุดที่กำหนดโครงสร้างของระบบ ซึ่งจะทำให้การกำหนดสมการการ เคลื่อนที่ ของลากรางจ์ ง่ายขึ้น อย่างไรก็ตาม อาจเกิดขึ้นได้เช่นกันที่ชุดพิกัดทั่วไปที่มีประโยชน์อาจมีความสัมพันธ์กัน ซึ่งหมายความว่าพิกัดเหล่านั้นมีความสัมพันธ์กันโดย สมการข้อ จำกัดอย่างน้อยหนึ่งสม การ

พื้นผิวโค้งเปิดF ( x , y , z ) = 0

พื้นผิวโค้งปิดS ( x , y , z ) = 0

พิกัดทั่วไปสองชุด สององศาอิสระ บนพื้นผิวโค้งในสามมิติจำเป็นต้องใช้ เพียงสองตัวเลข ( u , v ) เพื่อระบุจุดบนเส้นโค้ง โดยแสดงความเป็นไปได้หนึ่งแบบสำหรับแต่ละกรณี ไม่จำเป็นต้องใช้ พิกัดคาร์ทีเซียน ทั้งสาม ( x , y , z )เพราะพิกัดสองชุดใดๆ ก็สามารถกำหนดพิกัดชุดที่สามได้ตามสมการของเส้นโค้ง

สำหรับระบบที่มี อนุภาค Nตัวในปริภูมิพิกัดจริง 3 มิติ เวกเตอร์ตำแหน่งของแต่ละอนุภาคสามารถเขียนได้เป็นทูเปิล 3 ตัว ในพิกัดคาร์ทีเซียน :

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {r} _{1}=(x_{1},y_{1},z_{1}),\\&\mathbf {r} _{2}=(x_{2},y_{2},z_{2}),\\&\qquad \qquad \vdots \\&\mathbf {r} _{N}=(x_{N},y_{N},z_{N})\end{aligned}}}$

เวกเตอร์ตำแหน่งใดๆ สามารถแสดงด้วยr _kโดยที่k = 1, 2, …, Nระบุอนุภาคข้อจำกัดโฮโลโนมิกคือสมการข้อจำกัดในรูปแบบสำหรับอนุภาคk ^{[ 4 ] [ a ]}

${\displaystyle f(\mathbf {r} _{k},t)=0}$

ซึ่งเชื่อมโยงพิกัดเชิงพื้นที่ทั้ง 3 ของอนุภาคนั้นเข้าด้วยกัน ดังนั้นพิกัดเหล่านั้นจึงไม่เป็นอิสระต่อกัน ข้อจำกัดอาจเปลี่ยนแปลงไปตามเวลา ดังนั้นเวลาtจะปรากฏอย่างชัดเจนในสมการข้อจำกัด ณ เวลาใด ๆ พิกัดใดพิกัดหนึ่งจะถูกกำหนดจากพิกัดอื่น ๆ เช่น ถ้าx _kและz _kถูกกำหนดแล้วy _k ก็จะ ถูกกำหนดเช่นกัน สมการข้อจำกัดหนึ่งสมการนับเป็นหนึ่งข้อจำกัด ถ้ามี ข้อจำกัด Cข้อ แต่ละข้อจะมีสมการ ดังนั้นจะมี สมการข้อจำกัด Cข้อ ไม่จำเป็นต้องมีสมการข้อจำกัดหนึ่งสมการสำหรับแต่ละอนุภาค และถ้าไม่มีข้อจำกัดใด ๆ ในระบบ ก็จะไม่มีสมการข้อจำกัด

จนถึงตอนนี้ การกำหนดค่าของระบบถูกกำหนดโดย ปริมาณ 3Nแต่ สามารถตัดพิกัด C ออกได้ โดย ตัดพิกัดหนึ่งตัวจากสมการข้อจำกัดแต่ละสมการ จำนวนพิกัดอิสระคือn = 3N − C (ใน มิติ Dการกำหนดค่าเดิมจะต้องใช้ พิกัด NDและการลดจำนวนพิกัดด้วยข้อจำกัดหมายความว่าn = ND − C ) วิธีที่ดีที่สุดคือการใช้จำนวนพิกัดขั้นต่ำที่จำเป็นในการกำหนดค่าของระบบทั้งหมด ในขณะเดียวกันก็ใช้ประโยชน์จากข้อจำกัดของระบบ ปริมาณเหล่านี้เรียกว่าพิกัดทั่วไปในบริบทนี้ โดยใช้สัญลักษณ์qj ( t )เป็นการสะดวกที่จะรวบรวมพิกัดเหล่านี้ไว้_ใน n - tuple

${\displaystyle \mathbf {q} (t)=(q_{1}(t),\ q_{2}(t),\ \ldots ,\ q_{n}(t))}$

ซึ่งเป็นจุดในปริภูมิการกำหนดค่าของระบบ จุดเหล่านี้ทั้งหมดเป็นอิสระต่อกัน และแต่ละจุดเป็นฟังก์ชันของเวลา ในทางเรขาคณิต จุดเหล่านี้อาจเป็นความยาวตามเส้นตรง หรือความยาวส่วนโค้งตามเส้นโค้ง หรือมุม ไม่จำเป็นต้องเป็นพิกัดคาร์ทีเซียนหรือพิกัดเชิงตั้งฉาก มาตรฐานอื่นๆ มีหนึ่งจุดสำหรับแต่ละองศาอิสระดังนั้นจำนวนพิกัดทั่วไปจึงเท่ากับจำนวนองศาอิสระnองศาอิสระสอดคล้องกับปริมาณหนึ่งที่เปลี่ยนแปลงการกำหนดค่าของระบบ ตัวอย่างเช่น มุมของลูกตุ้ม หรือความยาวส่วนโค้งที่ลูกปัดเคลื่อนที่ไปตามลวด

หากสามารถค้นหาตัวแปรอิสระได้มากเท่ากับจำนวนองศาอิสระจากข้อจำกัด ก็สามารถใช้ตัวแปรเหล่านี้เป็นพิกัดทั่วไปได้^{[ 5 ]}เวกเตอร์ตำแหน่งr _kของอนุภาคkเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไปทั้งnตัว (และผ่านพิกัดเหล่านั้น เป็นเวลา) ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 5 ] [ nb 1 ]}

${\displaystyle \mathbf {r} _{k}=\mathbf {r} _{k}(\mathbf {q} (t))\,,}$

และพิกัดทั่วไปสามารถมองได้ว่าเป็นพารามิเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับข้อจำกัดนั้น

อนุพันธ์ของq เทียบกับเวลาที่สอดคล้องกัน คือความเร็วทั่วไป

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {d\mathbf {q} }{dt}}=({\dot {q}}_{1}(t),\ {\dot {q}}_{2}(t),\ \ldots ,\ {\dot {q}}_{n}(t))}$

(จุดแต่ละจุดเหนือปริมาณแสดงถึงอนุพันธ์เทียบกับเวลา หนึ่งค่า ) เวกเตอร์ความเร็วv _kคืออนุพันธ์รวมของr _kเทียบกับเวลา

${\displaystyle \mathbf {v} _{k}={\dot {\mathbf {r} }}_{k}={\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}\,.}$

ดังนั้นโดยทั่วไปจึงขึ้นอยู่กับความเร็วและพิกัดทั่วไป เนื่องจากเราสามารถกำหนดค่าเริ่มต้นของพิกัดและความเร็วทั่วไปแยกกันได้ พิกัดทั่วไปq _jและความเร็วdq _j / dtจึงสามารถถือได้ว่าเป็นตัวแปรอิสระ

ระบบเชิงกลสามารถมีข้อจำกัดทั้งในพิกัดทั่วไปและอนุพันธ์ของพิกัดเหล่านั้นได้ ข้อจำกัดประเภทนี้เรียกว่าข้อจำกัดแบบไม่โฮโลโนมิก ข้อจำกัดแบบไม่โฮโลโนมิกอันดับแรกมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle g(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)=0\,,}$

ตัวอย่างของข้อจำกัดดังกล่าว ได้แก่ ล้อกลิ้งหรือคมมีดที่จำกัดทิศทางของเวกเตอร์ความเร็ว ข้อจำกัดที่ไม่เป็นไปตามหลักโฮโลโนมิกยังอาจเกี่ยวข้องกับอนุพันธ์อันดับถัดไป เช่น ความเร่งทั่วไปได้อีกด้วย

พลังงานจลน์รวมของระบบคือพลังงานของการเคลื่อนที่ของระบบ ซึ่งกำหนดไว้ดังนี้^{[ 9 ]}

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\dot {\mathbf {r} }}_{k}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{k}\,,}$

โดยที่ · คือผลคูณดอท พลังงานจลน์เป็นฟังก์ชันของความเร็วv _k เท่านั้น ไม่ใช่พิกัดr _kเอง ในทางตรงกันข้าม ข้อสังเกตที่สำคัญคือ^{[ 10 ]}

${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}_{k}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{k}=\sum _{i,j=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\right){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j},}$

ซึ่งแสดงให้เห็นว่าพลังงานจลน์โดยทั่วไปเป็นฟังก์ชันของความเร็วทั่วไป พิกัด และเวลา หากข้อจำกัดเปลี่ยนแปลงไปตามเวลาด้วยดังนั้น T = T ( q , d q / dt , t )

ในกรณีที่ข้อจำกัดของอนุภาคไม่ขึ้นกับเวลา อนุพันธ์ย่อยทั้งหมดเทียบกับเวลาจะเป็นศูนย์ และพลังงานจลน์จะเป็นฟังก์ชันเอกพันธุ์ดีกรี 2 ในความเร็วทั่วไป

สำหรับกรณีที่ไม่ขึ้นกับเวลา นิพจน์นี้เทียบเท่ากับการนำ ค่ากำลังสองของ องค์ประกอบเส้นของวิถีการเคลื่อนที่ของอนุภาคkมา ใช้

${\displaystyle ds_{k}^{2}=d\mathbf {r} _{k}\cdot d\mathbf {r} _{k}=\sum _{i,j=1}^{n}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\right)dq_{i}dq_{j}\,,}$

และหารด้วยกำลังสองของอนุพันธ์ในเวลาdt²เพื่อให้ได้กำลังสองของความเร็วของอนุภาคkดังนั้นสำหรับข้อจำกัดที่ไม่ขึ้นกับเวลา การรู้องค์ประกอบเส้นตรงก็เพียงพอที่จะได้พลังงานจลน์ของอนุภาคอย่างรวดเร็ว และด้วยเหตุนี้จึงได้^ลากรางเจียน^{[ 11 ]}

การพิจารณากรณีต่างๆ ของพิกัดเชิงขั้วใน 2 มิติและ 3 มิติเป็นสิ่งที่มีประโยชน์ เนื่องจากมีการปรากฏบ่อยครั้ง ในพิกัดเชิงขั้ว 2 มิติ ( r , θ ) ,

${\displaystyle \left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}={\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\,,}$

ในระบบพิกัดทรงกระบอก 3 มิติ ( r , θ , z ) ,

${\displaystyle \left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}={\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\dot {z}}^{2}\,,}$

ในพิกัดทรงกลม 3 มิติ ( r , θ , φ ) ,

${\displaystyle \left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}={\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }}^{2}\,.}$

โมเมนตัมทั่วไปที่ " สัมพันธ์เชิงแคนอนิกกับ" พิกัดq _iถูกกำหนดโดย

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.}$

ถ้าลากรางเจียนLไม่ขึ้นอยู่กับพิกัดq _i ใดๆ แล้ว จากสมการออยเลอร์-ลากรางจ์ จะได้ว่าโมเมนตัมทั่วไปที่สอดคล้องกันจะเป็นปริมาณอนุรักษ์เนื่องจากอนุพันธ์เทียบกับเวลาเป็นศูนย์ ซึ่งหมายความว่าโมเมนตัมเป็นค่าคงที่ของการเคลื่อนที่

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\dot {p}}_{i}=0\,.}$

สำหรับลูกปัดที่เลื่อนบนลวดที่ไม่มีแรงเสียดทานและอยู่ภายใต้แรงโน้มถ่วงเพียงอย่างเดียวในพื้นที่ 2 มิติ ข้อจำกัดของลูกปัดสามารถระบุได้ในรูปแบบf ( r ) = 0โดยที่ตำแหน่งของลูกปัดสามารถเขียนได้เป็นr = ( x ( s ), y ( s ))ซึ่งsเป็นพารามิเตอร์ความยาวส่วนโค้งsตามเส้นโค้งจากจุดใดจุดหนึ่งบนลวด นี่เป็นตัวเลือกพิกัดทั่วไปที่เหมาะสมสำหรับระบบนี้ เราต้องการเพียง พิกัด เดียวแทนที่จะเป็นสองพิกัด เพราะตำแหน่งของลูกปัดสามารถกำหนดเป็นพารามิเตอร์ได้ด้วยตัวเลขเดียวคือsและสมการข้อจำกัดเชื่อมต่อพิกัดxและy เข้าด้วยกัน โดยพิกัดใดพิกัดหนึ่งจะถูกกำหนดจากอีกพิกัดหนึ่ง แรงข้อจำกัดคือแรงปฏิกิริยาที่ลวดกระทำต่อลูกปัดเพื่อให้มันอยู่บนลวด และแรงที่ไม่มีข้อจำกัดคือแรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อลูกปัด

สมมติว่าลวดเปลี่ยนรูปทรงไปตามเวลาโดยการงอ ดังนั้นสมการข้อจำกัดและตำแหน่งของอนุภาคจะเป็นดังนี้ตามลำดับ

${\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)=0\,,\quad \mathbf {r} =(x(s,t),y(s,t))}$

ซึ่งตอนนี้ทั้งสองอย่างขึ้นอยู่กับเวลาtเนื่องจากพิกัดที่เปลี่ยนแปลงไปเมื่อรูปร่างของลวดเปลี่ยนไป สังเกตว่าเวลาปรากฏขึ้นโดยปริยายผ่านทางพิกัดและปรากฏอย่างชัดเจนในสมการข้อจำกัด

ความสัมพันธ์ระหว่างการใช้พิกัดทั่วไปและพิกัดคาร์ทีเซียนในการกำหนดลักษณะการเคลื่อนที่ของระบบกลไกสามารถแสดงให้เห็นได้โดยการพิจารณาพลศาสตร์ที่ถูกจำกัดของลูกตุ้มอย่างง่าย^{[ 12 ] [ 13 ]}

ลูกตุ้มอย่างง่ายประกอบด้วยมวลMที่แขวนจากจุดหมุน โดยถูกจำกัดให้เคลื่อนที่บนวงกลมรัศมีLตำแหน่งของมวลถูกกำหนดโดยเวกเตอร์พิกัดr = ( x , y )ซึ่งวัดในระนาบของวงกลม โดยที่yอยู่ในทิศทางแนวตั้ง พิกัดxและyมีความสัมพันธ์กันโดยสมการของวงกลม

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-L^{2}=0,}$

สมการนี้ จำกัดการเคลื่อนที่ของMและยังให้ข้อจำกัดเกี่ยวกับส่วนประกอบของความเร็วด้วย

${\displaystyle {\dot {f}}(x,y)=2x{\dot {x}}+2y{\dot {y}}=0.}$

ต่อไปนี้จะแนะนำพารามิเตอร์θซึ่งกำหนดตำแหน่งเชิงมุมของMจากทิศทางแนวตั้ง สามารถใช้กำหนดพิกัดxและyได้ดังนี้

${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y)=(L\sin \theta ,-L\cos \theta ).}$

การใช้θในการกำหนดโครงสร้างของระบบนี้ช่วยหลีกเลี่ยงข้อจำกัดที่เกิดจากสมการของวงกลม

โปรดสังเกตว่าแรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อมวลmนั้นถูกกำหนดไว้ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนตามปกติ

${\displaystyle \mathbf {F} =(0,-mg),}$

โดยที่gคือความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง

งานเสมือนของแรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อมวลmขณะเคลื่อนที่ตามวิถีrนั้นกำหนดโดย

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} .}$

ค่าความแปรผันδ rสามารถคำนวณได้โดยใช้พิกัดxและyหรือโดยใช้พารามิเตอร์ θ

${\displaystyle \delta \mathbf {r} =(\delta x,\delta y)=(L\cos \theta ,L\sin \theta )\delta \theta .}$

ดังนั้น งานเสมือนจึงกำหนดโดย

${\displaystyle \delta W=-mg\delta y=-mgL\sin(\theta )\delta \theta .}$

โปรดสังเกตว่าสัมประสิทธิ์ของδyคือ ส่วนประกอบ y ของแรงที่กระทำ ในทำนองเดียวกัน สัมประสิทธิ์ของδθเรียกว่าแรงทั่วไป ตาม พิกัดทั่วไปθ ​​ซึ่งกำหนดโดย

${\displaystyle F_{\theta }=-mgL\sin \theta .}$

เพื่อให้การวิเคราะห์เสร็จสมบูรณ์ ให้พิจารณาพลังงานจลน์Tของมวล โดยใช้ความเร็ว

${\displaystyle \mathbf {v} =({\dot {x}},{\dot {y}})=(L\cos \theta ,L\sin \theta ){\dot {\theta }},}$

ดังนั้น,

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})={\frac {1}{2}}mL^{2}{\dot {\theta }}^{2}.}$

หลักการงานเสมือนของดาล็องแบร์สำหรับลูกตุ้มในรูปพิกัดxและyนั้นกำหนดโดย

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}}}-{\frac {\partial T}{\partial x}}=F_{x}+\lambda {\frac {\partial f}{\partial x}},\quad {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {y}}}}-{\frac {\partial T}{\partial y}}=F_{y}+\lambda {\frac {\partial f}{\partial y}}.}$

ซึ่งจะได้สมการทั้งสามสมการ

${\displaystyle m{\ddot {x}}=\lambda (2x),\quad m{\ddot {y}}=-mg+\lambda (2y),\quad x^{2}+y^{2}-L^{2}=0,}$

ในตัวแปรที่ไม่ทราบค่าสามตัวได้แก่ x , yและλ

เมื่อใช้พารามิเตอร์θสมการเหล่านั้นจะมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {\theta }}}}-{\frac {\partial T}{\partial \theta }}=F_{\theta },}$

ซึ่งกลายเป็น

${\displaystyle mL^{2}{\ddot {\theta }}=-mgL\sin \theta ,}$

หรือ

${\displaystyle {\ddot {\theta }}+{\frac {g}{L}}\sin \theta =0.}$

สูตรนี้จะให้สมการเดียวเนื่องจากมีพารามิเตอร์เพียงตัวเดียวและไม่มีสมการข้อจำกัด

สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าพารามิเตอร์θเป็นพิกัดทั่วไปที่สามารถนำมาใช้ในลักษณะเดียวกับพิกัดคาร์ทีเซียนxและyในการวิเคราะห์ลูกตุ้มได้

ประโยชน์ของพิกัดทั่วไปจะปรากฏชัดเจนเมื่อวิเคราะห์ลูกตุ้มคู่สำหรับมวลสองก้อนm _i ( i = 1, 2)ให้r _i = ( x _i , y _i ), i = 1, 2กำหนดวิถีการเคลื่อนที่ของมวลทั้งสอง เวกเตอร์เหล่านี้สอดคล้องกับสมการข้อจำกัดสองสมการ

${\displaystyle f_{1}(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2})=\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {r} _{1}-L_{1}^{2}=0}$

และ

${\displaystyle f_{2}(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2})=(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})\cdot (\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})-L_{2}^{2}=0.}$

การกำหนดสมการของลากรางจ์สำหรับระบบนี้จะให้สมการหกสมการในพิกัดคาร์ทีเซียนสี่พิกัดx _i , y _i ( i = 1, 2)และตัวคูณลากรางจ์สองตัวλ _i ( i = 1, 2)ที่ได้มาจากสมการข้อจำกัดสองสมการ

ต่อไปนี้จะแนะนำพิกัดทั่วไปθ _​​i ( i = 1, 2)ที่กำหนดตำแหน่งเชิงมุมของมวลแต่ละก้อนของลูกตุ้มคู่จากทิศทางแนวตั้ง ในกรณีนี้ เรามี

${\displaystyle \mathbf {r} _{1}=(L_{1}\sin \theta _{1},-L_{1}\cos \theta _{1}),\quad \mathbf {r} _{2}=(L_{1}\sin \theta _{1},-L_{1}\cos \theta _{1})+(L_{2}\sin \theta _{2},-L_{2}\cos \theta _{2}).}$

แรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อมวลนั้นกำหนดโดยสูตรต่อไปนี้

${\displaystyle \mathbf {F} _{1}=(0,-m_{1}g),\quad \mathbf {F} _{2}=(0,-m_{2}g)}$

โดยที่gคือความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง ดังนั้น งานเสมือนของแรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อมวลทั้งสองขณะเคลื่อนที่ตามวิถีr _i ( i = 1, 2)จะได้จาก

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \delta \mathbf {r} _{1}+\mathbf {F} _{2}\cdot \delta \mathbf {r} _{2}.}$

สามารถคำนวณค่า ความแปรผันδ r _i ( i = 1, 2) ได้ดังนี้

${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{1}=(L_{1}\cos \theta _{1},L_{1}\sin \theta _{1})\delta \theta _{1},\quad \delta \mathbf {r} _{2}=(L_{1}\cos \theta _{1},L_{1}\sin \theta _{1})\delta \theta _{1}+(L_{2}\cos \theta _{2},L_{2}\sin \theta _{2})\delta \theta _{2}}$

ดังนั้น งานเสมือนจึงกำหนดโดย

${\displaystyle \delta W=-(m_{1}+m_{2})gL_{1}\sin \theta _{1}\delta \theta _{1}-m_{2}gL_{2}\sin \theta _{2}\delta \theta _{2},}$

และแรงทั่วไปคือ

${\displaystyle F_{\theta _{1}}=-(m_{1}+m_{2})gL_{1}\sin \theta _{1},\quad F_{\theta _{2}}=-m_{2}gL_{2}\sin \theta _{2}.}$

คำนวณพลังงานจลน์ของระบบนี้ได้ดังนี้

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m_{1}\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}+{\frac {1}{2}}m_{2}\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {v} _{2}={\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2})L_{1}^{2}{\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}L_{2}^{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}+m_{2}L_{1}L_{2}\cos(\theta _{2}-\theta _{1}){\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}.}$

สมการออยเลอร์-ลากรางจ์ให้สมการสองสมการในพิกัดทั่วไปที่ไม่ทราบค่าθ _i ( i = 1, 2)ที่กำหนดโดย^{[ 14 ]}

${\displaystyle (m_{1}+m_{2})L_{1}^{2}{\ddot {\theta }}_{1}+m_{2}L_{1}L_{2}{\ddot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{2}-\theta _{1})+m_{2}L_{1}L_{2}{\dot {\theta _{2}}}^{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})=-(m_{1}+m_{2})gL_{1}\sin \theta _{1},}$

และ

${\displaystyle m_{2}L_{2}^{2}{\ddot {\theta }}_{2}+m_{2}L_{1}L_{2}{\ddot {\theta }}_{1}\cos(\theta _{2}-\theta _{1})+m_{2}L_{1}L_{2}{\dot {\theta _{1}}}^{2}\sin(\theta _{2}-\theta _{1})=-m_{2}gL_{2}\sin \theta _{2}.}$

การใช้พิกัดทั่วไปθ _​​i ( i = 1, 2)เป็นทางเลือกอื่นนอกเหนือจากการกำหนดพลศาสตร์ของลูกตุ้มคู่ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

สำหรับตัวอย่างสามมิติลูกตุ้มทรงกลมที่มีความยาวคงที่lสามารถแกว่งได้อย่างอิสระในทิศทางเชิงมุมใดๆ ภายใต้แรงโน้มถ่วง ข้อจำกัดของลูกตุ้มสามารถระบุได้ในรูปแบบ

${\displaystyle f(\mathbf {r} )=x^{2}+y^{2}+z^{2}-l^{2}=0\,,}$

ซึ่งสามารถเขียนตำแหน่งของลูกตุ้มได้

${\displaystyle \mathbf {r} =(x(\theta ,\phi ),y(\theta ,\phi ),z(\theta ,\phi ))\,,}$

โดยที่( θ , φ )คือมุมเชิงทรงกลมเนื่องจากลูกตุ้มเคลื่อนที่บนพื้นผิวของทรงกลม ตำแหน่งrวัดจากจุดแขวนไปยังลูกตุ้ม ซึ่งในที่นี้ถือว่าเป็นอนุภาคจุด การเลือกพิกัดทั่วไปที่เหมาะสมเพื่ออธิบายการเคลื่อนที่คือมุม( θ , φ )จำเป็นต้องใช้เพียงสองพิกัดแทนที่จะเป็นสามพิกัด เนื่องจากตำแหน่งของลูกตุ้มสามารถกำหนดพารามิเตอร์ได้ด้วยตัวเลขสองตัว และสมการข้อจำกัดเชื่อมโยงพิกัดทั้งสาม( x , y , z )ดังนั้นพิกัดใดพิกัดหนึ่งจึงถูกกำหนดจากอีกสองพิกัด

หลักการของงานเสมือนระบุว่า หากระบบอยู่ในสมดุลสถิต งานเสมือนของแรงที่ใช้จะเป็นศูนย์สำหรับการเคลื่อนที่เสมือนทั้งหมดของระบบจากสถานะนี้ นั่นคือδ W = 0สำหรับการเปลี่ยนแปลงδ r ใดๆ ^{[ 15} ] เมื่อกำหนดเป็นพิกัดทั่วไป สิ่งนี้เทียบเท่ากับข้อกำหนดที่ว่าแรงทั่วไปสำหรับการกระจัดเสมือนใดๆ จะเป็นศูนย์ นั่น^คือ F _i = 0

ให้แรงที่กระทำต่อระบบคือF _j ( j = 1, 2, …, m ) โดยแรง เหล่านั้นกระทำต่อจุดที่มีพิกัดคาร์ทีเซียนr _j ( j = 1, 2, …, m )แล้วงานเสมือนที่เกิดจากการกระจัดเสมือนจากตำแหน่งสมดุลจะกำหนดโดย

${\displaystyle \delta W=\sum _{j=1}^{m}\mathbf {F} _{j}\cdot \delta \mathbf {r} _{j}.}$

โดยที่δ r _j ( j = 1, 2, …, m )แทนการกระจัดเสมือนของแต่ละจุดในตัววัตถุ

สมมติว่าแต่ละδ r _jขึ้นอยู่กับพิกัดทั่วไปq _i ( i = 1, 2, …, n )แล้ว

${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{j}={\frac {\partial \mathbf {r} _{j}}{\partial q_{1}}}\delta {q}_{1}+\ldots +{\frac {\partial \mathbf {r} _{j}}{\partial q_{n}}}\delta {q}_{n},}$

และ

${\displaystyle \delta W=\left(\sum _{j=1}^{m}\mathbf {F} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{j}}{\partial q_{1}}}\right)\delta {q}_{1}+\ldots +\left(\sum _{j=1}^{m}\mathbf {F} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{j}}{\partial q_{n}}}\right)\delta {q}_{n}.}$

เงื่อนไขn​

${\displaystyle F_{i}=\sum _{j=1}^{m}\mathbf {F} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{j}}{\partial q_{i}}},\quad i=1,\ldots ,n,}$

แรงทั่วไปที่กระทำต่อระบบ Kane ^{[ 16 ]}แสดงให้เห็นว่าแรงทั่วไปเหล่านี้สามารถกำหนดได้ในรูปของอัตราส่วนของอนุพันธ์เทียบกับเวลา

${\displaystyle F_{i}=\sum _{j=1}^{m}\mathbf {F} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{j}}{\partial {\dot {q}}_{i}}},\quad i=1,\ldots ,n,}$

โดย ที่v _jคือความเร็ว ณ จุดที่แรงF _{j กระทำ}

เพื่อให้งานเสมือนเป็นศูนย์สำหรับการกระจัดเสมือนใดๆ แรงทั่วไปแต่ละแรงจะต้องเป็นศูนย์ นั่นคือ

${\displaystyle \delta W=0\quad \Rightarrow \quad F_{i}=0,i=1,\ldots ,n.}$

Wikiquote มีคำคมที่เกี่ยวข้องกับพิกัดทั่วไป

• พิกัดแคนอนิก
• กลศาสตร์แฮมิลตัน
• งานเสมือนจริง
• พิกัดเชิงตั้งฉาก
• พิกัดโค้ง
• เมทริกซ์มวล
• เมทริกซ์ความแข็ง
• แรงทั่วไป

• กินส์เบิร์ก, เจอร์รี เอช. (2008). พลศาสตร์วิศวกรรม (ฉบับที่ 3). เคมบริดจ์ สหราชอาณาจักร: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ ISBN 978-0-521-88303-0.
• โกลด์สไตน์, เฮอร์เบิร์ต ; พูล, ชาร์ลส์ ; ซาฟโก, จอห์น (2002). กลศาสตร์คลาสสิก (ฉบับที่ 3). ซานฟรานซิสโก, แคลิฟอร์เนีย: แอดดิสัน เวสลีย์. ISBN 0-201-65702-3.
• แฮนด์, หลุยส์ เอ็น.; ฟินช์, เจเน็ต ดี. (1998). กลศาสตร์เชิงวิเคราะห์ . เคมบริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN 978-0521575720.
• Kibble, TWB ; Berkshire, FH (2004). กลศาสตร์คลาสสิก (ฉบับที่ 5). River Edge NJ: Imperial College Press . ISBN 1860944248.
• Landau, LD; Lifshitz, EM (1976). กลศาสตร์ (ฉบับที่ 3). อ็อกซ์ฟอร์ด. ISBN 978-0750628969.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• ทอร์บี, บรูซ (1984). "วิธีการทางพลังงาน" พลศาสตร์ขั้นสูงสำหรับวิศวกรชุด HRW ในสาขาวิศวกรรมเครื่องกล สหรัฐอเมริกา: สำนักพิมพ์ CBS College ISBN 0-03-063366-4.