มีความสัมพันธ์ระหว่างพื้นผิวฝังตัว ที่ มีความโค้งคงที่ -1 ซึ่งเรียกว่าทรงกลมเทียม (pseudospheres) กับคำตอบของสมการไซน์-กอร์ดอน (sine-Gordon equation) ความสัมพันธ์นี้สามารถสร้างขึ้นได้โดยเริ่มจากตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของทรงกลมเทียม นั่นคือ แทร็กทรอยด์ ( tractroid ) ในชุดพิกัดพิเศษที่เรียกว่าพิกัดเชิงอะซิมโทติก (asymptotic coordinates) สมการเกาส์-โคดัซซี (Gauss–Codazzi equations)ซึ่งเป็นสมการความสอดคล้องที่กำหนดว่าเมื่อใดที่พื้นผิวที่มี รูปแบบพื้นฐาน แรกและที่สอง ที่กำหนดไว้ สามารถฝังตัวลงในปริภูมิสามมิติ ที่มี เมตริกแบบแบนได้จะลดลงเหลือสมการไซน์-กอร์ดอน

ในความสัมพันธ์ดังกล่าว แทร็กทรอยด์สอดคล้องกับคำตอบโซลิตอนเดี่ยวแบบสถิตของคำตอบไซน์-กอร์ดอน เนื่องจากการไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงลอเรน ซ์ของไซน์-กอร์ดอน จึงสามารถใช้ การแปลงลอเรนซ์แบบพารามิเตอร์เดียวกับคำตอบแบบสถิตเพื่อหาคำตอบใหม่ได้ ซึ่งในด้านของทรงกลมเสมือน คำตอบเหล่านี้เรียกว่าการแปลงลีซึ่งจะเปลี่ยนรูปแทร็กทรอยด์ไปเป็นพื้นผิวแบบพารามิเตอร์เดียวที่เรียกว่าพื้นผิวของดีนี

วิธีการแปลงแบ็กคลุนด์ช่วยให้สามารถสร้างคำตอบที่แตกต่างกันจำนวนมากสำหรับสมการไซน์-กอร์ดอน ซึ่งก็คือคำตอบแบบมัลติโซลิตอน ตัวอย่างเช่น 2-โซลิตอนสอดคล้องกับพื้นผิวคูเอ็นอย่างไรก็ตาม แม้ว่าวิธีนี้จะสร้างชุดคำตอบที่ไม่มีที่สิ้นสุด แต่คำตอบแบบเบรธเตอร์นั้นไม่ได้อยู่ในกลุ่มนั้น

โซลูชันการหายใจได้มาจากวิธีการกระเจิงผกผันสำหรับสมการไซน์-กอร์ดอน^{[ 2 ]} โซลูชัน เหล่านี้มีตำแหน่งอยู่ในพื้นที่แต่มีการแกว่งไปมาตามเวลา

แต่ละคำตอบของสมการไซน์-กอร์ดอนจะให้รูปแบบพื้นฐานอันดับแรกและอันดับสองซึ่งสอดคล้องกับสมการเกาส์-โคดัซซี ทฤษฎีบทพื้นฐานของทฤษฎีพื้นผิวจึงรับประกันว่ามีพื้นผิวแบบพารามิเตอร์ที่สามารถกู้คืนรูปแบบพื้นฐานอันดับแรกและอันดับสองที่กำหนดไว้ได้ ในระดับท้องถิ่น การกำหนดพารามิเตอร์นั้นมีพฤติกรรมที่ดี แต่หากขยายออกไปอย่างไม่จำกัด พื้นผิวที่ได้อาจมีจุดตัดกันเองและจุดแหลมคม อันที่จริง ทฤษฎีบทของฮิลเบิร์ตกล่าวว่าทรงกลมเทียมใดๆ ก็ไม่สามารถฝังลงในพื้นผิวได้อย่างสม่ำเสมอ (โดยประมาณ หมายความว่าไม่มีจุดแหลมคม)${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

การกำหนดพารามิเตอร์${\displaystyle \sigma$ :\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{3};(u,v)\mapsto (x,y,z)} พร้อมพารามิเตอร์${\displaystyle 0<a<1}$ได้รับจาก

${\displaystyle {\begin{aligned}x&{}=-u+{\frac {2\left(1-a^{2}\right)\cosh(au)\sinh(au)}{w}}\\\\y&{}={\frac {2{\sqrt {1-a^{2}}}\cosh(au)\left(-{\sqrt {1-a^{2}}}\cos(v)\cos \left({\sqrt {1-a^{2}}}v\right)-\sin(v)\sin \left({\sqrt {1-a^{2}}}v\right)\right)}{w}}\\\\z&{}={\frac {2{\sqrt {1-a^{2}}}\cosh(au)\left(-{\sqrt {1-a^{2}}}\sin(v)\cos \left({\sqrt {1-a^{2}}}v\right)+\cos(v)\sin \left({\sqrt {1-a^{2}}}v\right)\right)}{w}}\end{aligned}}}$

ที่ไหน

${\displaystyle w={a\left(\left(1-a^{2}\right)\cosh ^{2}(au)+a^{2}\,\sin ^{2}\left({\sqrt {1-a^{2}}}v\right)\right)}}$

• พื้นผิวของดินี
• พื้นผิวคูเอ็น

• Xah Lee Web - Surface Gallery
• พื้นผิวระบายอากาศในพิพิธภัณฑ์คณิตศาสตร์เสมือนจริง