ในคณิตศาสตร์การเงิน แบบจำลอง Cox –Ingersoll–Ross (CIR)อธิบายวิวัฒนาการของอัตราดอกเบี้ยเป็นแบบจำลองประเภท "ปัจจัยเดียว" (แบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น ) เนื่องจากอธิบายการเคลื่อนไหวของอัตราดอกเบี้ยโดยอาศัยแหล่งความเสี่ยงของตลาด เพียงแหล่งเดียว แบบจำลองนี้สามารถใช้ในการประเมินมูลค่าอนุพันธ์อัตราดอกเบี้ยได้ แบบจำลอง นี้ได้รับการแนะนำในปี 1985 ^{[ 1 ]}โดยJohn C. Cox , Jonathan E. IngersollและStephen A. Rossในฐานะส่วนขยายของแบบจำลอง Vasicekซึ่งเป็นกระบวนการ Ornstein–Uhlenbeck เช่น กัน

แบบจำลอง CIR อธิบายอัตราดอกเบี้ยทันทีด้วยกระบวนการรากที่สองของเฟลเลอร์ ซึ่ง สมการเชิงอนุพันธ์เชิงสุ่มคือ ${\displaystyle r_{t}}$

${\displaystyle dr_{t}=a(b-r_{t})\,dt+\sigma {\sqrt {r_{t}}}\,dW_{t},}$

โดยที่เป็นกระบวนการ Wiener (แบบจำลองปัจจัยความเสี่ยงตลาดแบบสุ่ม) และ, , และเป็นพารามิเตอร์พารามิเตอร์สอดคล้องกับความเร็วในการปรับตัวเข้าสู่ค่าเฉลี่ยและสอดคล้องกับความผันผวน ปัจจัยการเคลื่อนตัว นั้นเหมือนกับในแบบจำลอง Vasicek ทุกประการ ซึ่งช่วยให้มั่นใจได้ว่าอัตราดอกเบี้ยจะกลับ สู่ค่าเฉลี่ยในระยะยาว โดยความเร็วในการปรับตัวถูกควบคุมโดยพารามิเตอร์ ที่เป็นบวกอย่างเคร่งครัด ${\displaystyle W_{t}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \sigma \,}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \sigma \,}$${\displaystyle a(b-r_{t})}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$

ปัจจัยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานช่วยหลีกเลี่ยงความเป็นไปได้ที่อัตราดอกเบี้ยจะเป็นลบสำหรับค่าบวกทั้งหมดของและนอกจากนี้ยังป้องกันอัตราดอกเบี้ยเป็นศูนย์ได้หากเงื่อนไขเป็นไปตามที่กำหนด ${\displaystyle \sigma {\sqrt {r_{t}}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle 2ab\geq \sigma ^{2}\,}$

เป็นไปตามเงื่อนไข โดยทั่วไปแล้ว เมื่ออัตรา ( ) ใกล้เคียงกับศูนย์ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ( ) ก็จะน้อยมากเช่นกัน ซึ่งจะลดผลกระทบของความผันผวนแบบสุ่มต่ออัตรา ดังนั้น เมื่ออัตราเข้าใกล้ศูนย์ การเปลี่ยนแปลงของอัตราจะถูกครอบงำด้วยปัจจัยการเคลื่อนตัว ซึ่งจะผลักดันอัตราให้สูงขึ้น (ไปสู่จุดสมดุล ) ${\displaystyle r_{t}}$${\displaystyle \sigma {\sqrt {r_{t}}}}$

ในกรณีนี้^{[ 2 ]}กระบวนการรากที่สองของ Feller สามารถหาได้จากกำลังสองของกระบวนการ Ornstein–Uhlenbeckมันเป็น กระบวนการ เออร์โกดิกและมีการกระจายแบบคงที่ มันถูกใช้ในแบบจำลอง Hestonเพื่อจำลองความผันผวนแบบสุ่ม ${\displaystyle 4ab=\sigma ^{2}\,}$

• การแจกจ่ายในอนาคต

การกระจายค่าในอนาคตของกระบวนการ CIR สามารถคำนวณได้ในรูปแบบปิด:

${\displaystyle r_{t+T}={\frac {Y}{2c}},}$

โดยที่และYคือการแจกแจงไคกำลังสองแบบไม่ศูนย์กลางที่มีองศาอิสระ และพารามิเตอร์ไม่ศูนย์กลางในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นคือ:${\displaystyle c={\frac {2a}{(1-e^{-aT})\sigma ^{2}}}}$${\displaystyle {\frac {4ab}{\sigma ^{2}}}}$${\displaystyle 2cr_{t}e^{-aT}}$

${\displaystyle f(r_{t+T};r_{t},a,b,\sigma )=c\,e^{-uv}\left({\frac {v}{u}}\right)^{q/2}I_{q}(2{\sqrt {uv}}),}$

โดยที่, , , และเป็นฟังก์ชันเบสเซลแบบดัดแปลงชนิดแรกอันดับ${\displaystyle q={\frac {2ab}{\sigma ^{2}}}-1}$${\displaystyle u=cr_{t}e^{-aT}}$${\displaystyle v=cr_{t+T}}$${\displaystyle I_{q}(2{\sqrt {uv}})}$${\displaystyle q}$

• การกระจายเชิงเส้นกำกับ

เนื่องจากการกลับสู่ค่าเฉลี่ย เมื่อเวลาผ่านไปนานขึ้น การกระจายตัวของจะเข้าใกล้การกระจายแบบแกมมาโดยมีความหนาแน่นของความน่าจะเป็นดังนี้: ${\displaystyle r_{\infty }}$

${\displaystyle f(r_{\infty };a,b,\sigma )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}r_{\infty }^{\alpha -1}e^{-\beta r_{\infty }},}$

ที่ไหนและ.${\displaystyle \beta =2a/\sigma ^{2}}$${\displaystyle \alpha =2ab/\sigma ^{2}}$

• การกลับสู่ ค่าเฉลี่ย
• ความผันผวนที่ขึ้นอยู่กับระดับ ( )${\displaystyle \sigma {\sqrt {r_{t}}}}$
• สำหรับค่าบวกที่กำหนดกระบวนการจะไม่แตะศูนย์เลย หาก; มิฉะนั้น อาจแตะจุดศูนย์ได้เป็นครั้งคราว${\displaystyle r_{0}}$${\displaystyle 2ab\geq \sigma ^{2}}$
• ${\displaystyle \operatorname {E} [r_{t}\mid r_{0}]=r_{0}e^{-at}+b(1-e^{-at})}$ดังนั้นค่าเฉลี่ยระยะยาวคือ${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle \operatorname {Var} [r_{t}\mid r_{0}]=r_{0}{\frac {\sigma ^{2}}{a}}(e^{-at}-e^{-2at})+{\frac {b\sigma ^{2}}{2a}}(1-e^{-at})^{2}.}$

• กำลังสองน้อยที่สุดแบบธรรมดา

สมการอนุพันธ์เชิงสุ่มแบบต่อเนื่องสามารถแปลงเป็นแบบไม่ต่อเนื่องได้ดังนี้

${\displaystyle r_{t+\Delta t}-r_{t}=a(b-r_{t})\,\Delta t+\sigma \,{\sqrt {r_{t}\Delta t}}\varepsilon _{t},}$

ซึ่งเทียบเท่ากับ

${\displaystyle {\frac {r_{t+\Delta t}-r_{t}}{{\sqrt {r}}_{t}}}={\frac {ab\Delta t}{{\sqrt {r}}_{t}}}-a{\sqrt {r}}_{t}\Delta t+\sigma \,{\sqrt {\Delta t}}\varepsilon _{t},}$

กำหนดให้เป็น niid (0,1) สมการนี้สามารถใช้สำหรับการวิเคราะห์การถดถอยเชิงเส้นได้${\displaystyle \varepsilon _{t}}$

• การประมาณค่าแบบมาร์ติงเกล
• การประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุด

การจำลองแบบสุ่มของกระบวนการ CIR สามารถทำได้โดยใช้สองวิธีดังนี้:

• การแบ่งส่วนย่อย
• ที่แน่นอน

ภายใต้สมมติฐานว่าไม่มีการเก็งกำไรราคาของพันธบัตรอาจถูกกำหนดโดยใช้กระบวนการอัตราดอกเบี้ยนี้ ราคาของพันธบัตรมีความสัมพันธ์แบบเอกซ์โปเนนเชียลเชิงเส้นกับอัตราดอกเบี้ย:

${\displaystyle P(t,T)=A(t,T)e^{-B(t,T)r_{t}}\!}$

ที่ไหน

${\displaystyle A(t,T)=\left({\frac {2he^{(a+h)(T-t)/2}}{2h+(a+h)(e^{h(T-t)}-1)}}\right)^{2ab/\sigma ^{2}}}$

${\displaystyle B(t,T)={\frac {2(e^{h(T-t)}-1)}{2h+(a+h)(e^{h(T-t)}-1)}}}$

${\displaystyle h={\sqrt {a^{2}+2\sigma ^{2}}}}$

แบบจำลอง CIR ใช้กรณีพิเศษของการแพร่กระจายแบบกระโดดเชิงเส้นพื้นฐานซึ่งยังคงอนุญาตให้มีการแสดงออกในรูปแบบปิดสำหรับราคาพันธบัตร ฟังก์ชันที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาซึ่งแทนที่สัมประสิทธิ์สามารถนำมาใช้ในแบบจำลองเพื่อให้สอดคล้องกับโครงสร้างระยะเวลาของอัตราดอกเบี้ยที่กำหนดไว้ล่วงหน้าและอาจรวมถึงความผันผวนด้วย แนวทางทั่วไปที่สุดอยู่ใน Maghsoodi (1996) ^{[ 3 ]}แนวทางที่จัดการได้ง่ายกว่าอยู่ใน Brigo และ Mercurio (2001b) ^{[ 4 ]}ซึ่งมีการเพิ่มการเปลี่ยนแปลงภายนอกที่ขึ้นอยู่กับเวลาลงในแบบจำลองเพื่อให้สอดคล้องกับโครงสร้างระยะเวลาของอัตราป้อนเข้า

การขยายแบบจำลอง CIR อย่างมีนัยสำคัญสำหรับกรณีของค่าเฉลี่ยสุ่มและความผันผวนสุ่มนั้นเสนอโดยLin Chen (1996) และเป็นที่รู้จักในชื่อแบบจำลอง Chenการขยายที่ใหม่กว่าสำหรับการจัดการความผันผวนแบบคลัสเตอร์ อัตราดอกเบี้ยติดลบ และการกระจายที่แตกต่างกัน คือสิ่งที่เรียกว่า "CIR #" โดย Orlando, Mininni และ Bufalo (2018, ^{[ 5 ]} 2019, ^{[ 6 ] [ 7 ]} 2020, ^{[ 8 ]} 2021, ^{[ 9 ]} 2023 ^{[ 10 ]} ) และการขยายที่ง่ายกว่าที่เน้นอัตราดอกเบี้ยติดลบได้รับการเสนอโดย Di Francesco และ Kamm (2021, ^{[ 11 ]} 2022 ^{[ 12 ]} ) ซึ่งเรียกว่าแบบจำลอง CIR- และ CIR--

• แบบจำลองฮัลล์-ไวท์
• แบบจำลองวาซิเช็ก
• แบบจำลองเฉิน

• ฮัลล์, จอห์น ซี. (2003). ออปชั่น ฟิวเจอร์ส และอนุพันธ์อื่นๆ . อัปเปอร์ แซดเดิล ริเวอร์, นิวเจอร์ซีย์: เพรนทิส ฮอลล์ . ISBN 0-13-009056-5.
• Cox, JC ; Ingersoll, JE ; Ross, SA (1985). "ทฤษฎีโครงสร้างระยะเวลาของอัตราดอกเบี้ย" Econometrica . 53 (2): 385– 407. doi : 10.2307/1911242 . JSTOR  1911242 .
• Maghsoodi, Y. (1996). "การแก้ปัญหาโครงสร้างระยะเวลา CIR ที่ขยายและการประเมินมูลค่าออปชั่นพันธบัตร" การเงินคณิตศาสตร์6 (6): 89– 109. doi : 10.1111/j.1467-9965.1996.tb00113.x .
• Damiano Brigo; Fabio Mercurio (2001). แบบจำลองอัตราดอกเบี้ย — ทฤษฎีและการปฏิบัติ พร้อมด้วย Smile, เงินเฟ้อ และสินเชื่อ (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2 ปี 2006). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4.
• Brigo, Damiano; Fabio Mercurio (2001b). "การขยายการเปลี่ยนแปลงเชิงกำหนดของแบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้นที่วิเคราะห์ได้และเป็นเนื้อเดียวกันตามเวลา" Finance & Stochastics . 5 (3): 369– 388. doi : 10.1007/PL00013541 . S2CID  35316609 .
• ไลบรารีโอเพนซอร์สที่ใช้กระบวนการ CIR ในภาษา Python
• Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa Maria; Bufalo, Michele (2020). "การพยากรณ์อัตราดอกเบี้ยผ่านแบบจำลอง Vasicek และ CIR: แนวทางการแบ่งส่วน". Journal of Forecasting . 39 (4): 569– 579. arXiv : 1901.02246 . doi : 10.1002/for.2642 . ISSN  1099-131X . S2CID  126507446 .