ในทางคณิตศาสตร์วิธีการสมมูลของคาร์ตันเป็นเทคนิคในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์สำหรับการพิจารณาว่าโครงสร้างทางเรขาคณิตสองโครงสร้างเหมือนกันหรือไม่ โดยพิจารณาจาก การแปลง แบบดิฟเฟอเรนเชียลตัวอย่างเช่น ถ้าMและNเป็นแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ สองอัน ที่มีเมตริกgและhตามลำดับ จะมีการแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลเกิดขึ้นเมื่อใด

${\displaystyle \phi :M\rightarrow N}$

โดยที่

${\displaystyle \phi ^{*}h=g}$?

แม้ว่าคำตอบของคำถามเฉพาะนี้จะเป็นที่ทราบกันดีในมิติที่ 2 โดยเกาส์และในมิติที่สูงกว่านั้นคริสโตเฟลและอาจรวม ถึง รีมันน์ด้วย แต่เอลี คาร์ตันและผู้สืบทอดทางปัญญาของเขาได้พัฒนาเทคนิคเพื่อตอบคำถามที่คล้ายกันสำหรับโครงสร้างทางเรขาคณิตที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง (ตัวอย่างเช่น ดูอัลกอริทึมของคาร์ตัน-คาร์ลเฮเด )

คาร์ตันประสบความสำเร็จในการประยุกต์ใช้วิธีสมมูลของเขากับโครงสร้างดังกล่าวหลายประเภท รวมถึงโครงสร้างเชิงโปรเจคที ฟ โครงสร้าง CRและโครงสร้างเชิงซ้อนตลอดจนโครงสร้างที่ดูเหมือนไม่ใช่เชิงเรขาคณิต เช่น ความสมมูลของลากรางเจียนและ สม การเชิงอนุพันธ์สามัญ (เทคนิคของเขาได้รับการพัฒนาอย่างสมบูรณ์ยิ่งขึ้นในภายหลังโดยบุคคลอื่น ๆ อีกมากมาย เช่นดีซี สเปนเซอร์และชิง-เชน เชิร์น )

วิธีการเทียบเท่าเป็น กระบวนการ เชิงอัลกอริทึม พื้นฐาน สำหรับการพิจารณาว่าโครงสร้างทางเรขาคณิตสองโครงสร้างนั้นเหมือนกันหรือไม่ สำหรับคาร์ตัน ข้อมูลทางเรขาคณิตหลักถูกแสดงออกมาในโคเฟรมหรือชุดของโคเฟรมบนแมนิโฟลด์ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ดูวิธีการของเฟรมเคลื่อนที่

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมมติว่าMและNเป็นคู่ของแมนิโฟลด์ ซึ่งแต่ละแมนิโฟลด์มีโครงสร้าง Gสำหรับกลุ่มโครงสร้างGนี่เท่ากับเป็นการให้คลาสพิเศษของโคเฟรมบนMและNวิธีการของคาร์ตันกล่าวถึงคำถามที่ว่ามีดิฟเฟอโอโมฟิซึมเฉพาะที่ φ: M → N อยู่หรือ ไม่ ซึ่งภายใต้ ดิฟเฟอโอโมฟิซึมนี้ โครงสร้าง GบนNจะดึงกลับไปยังโครงสร้างG ที่กำหนดบน Mปัญหาความเท่าเทียมกันได้รับการ"แก้ไข" แล้วหากสามารถให้ชุดของตัวแปรคงที่เชิงโครงสร้างที่สมบูรณ์สำหรับ โครงสร้าง Gได้ นั่นหมายความว่าดิฟเฟอโอโมฟิซึมดังกล่าวมีอยู่ก็ต่อเมื่อตัวแปรคงที่เชิงโครงสร้างทั้งหมดสอดคล้องกันในความหมายที่กำหนดไว้อย่างเหมาะสม

กล่าวคือ ระบบเฉพาะที่ของวันฟอร์ม θ ⁱและ γ ⁱถูกกำหนดไว้บนMและNตามลำดับ ซึ่งครอบคลุมบันเดิลโคแทนเจนต์ที่เกี่ยวข้อง (กล่าวคือ เป็นโคเฟรม ) คำถามคือ มีการแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลเฉพาะที่ φ: M → Nหรือไม่ ที่ทำให้พูลแบ็กของโคเฟรมบนNเป็นไปตามเงื่อนไข

${\displaystyle \phi ^{*}\gamma ^{i}(y)=g_{j}^{i}(x)\theta ^{j}(x),\ (g_{j}^{i})\in G}$ (1)

โดยที่สัมประสิทธิ์gเป็นฟังก์ชันบนMที่รับค่าในกลุ่ม Lie Gตัวอย่างเช่น ถ้าMและNเป็นแมนิโฟลด์แบบรีมันน์แล้วG = O ( n ) คือกลุ่มออร์โธโกนอล และ θ ⁱและ γ ⁱคือ โคเฟรมออ ร์โทนอร์มอลของMและNตามลำดับ คำถามที่ว่าแมนิโฟลด์แบบรีมันน์สองอันเป็นไอโซเมตริกกันหรือไม่นั้น จึงเป็นคำถามว่ามีดิฟเฟโอโมฟิซึม φ ที่สอดคล้องกับ (1) หรือไม่

ขั้นตอนแรกในวิธีการของคาร์ตันคือการแสดงความสัมพันธ์การดึงกลับ (1) ในรูปแบบที่ไม่เปลี่ยนแปลงมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้โดยใช้ " การขยาย " วิธีที่ประหยัดที่สุดในการทำเช่นนี้คือการใช้G -subbundle PMของบันเดิลหลักของโคเฟรมเชิงเส้นLMแม้ว่าวิธีการนี้อาจนำไปสู่ความซับซ้อนที่ไม่จำเป็นเมื่อทำการคำนวณจริง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง บทความนี้จะใช้วิธีการที่แตกต่างออกไปในภายหลัง แต่เพื่อจุดประสงค์ในการสรุปภาพรวม จึงสะดวกที่จะยึดมุมมองของบันเดิลหลัก

ขั้นตอนที่สองคือการใช้ความไม่แปรเปลี่ยนของการแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลของอนุพันธ์ภายนอกเพื่อพยายามแยกตัวแปรคงที่ลำดับสูงกว่าอื่นๆ ของ โครงสร้าง Gออกมา โดยพื้นฐานแล้วจะได้การเชื่อมต่อในบันเดิลหลักPMที่มีแรงบิดบางอย่าง ส่วนประกอบของการเชื่อมต่อและแรงบิดถือเป็นตัวแปรคงที่ของปัญหา

ขั้นตอนที่สามคือ หากสัมประสิทธิ์การบิดที่เหลืออยู่ไม่คงที่ในเส้นใยของกลุ่มหลักPMมักจะเป็นไปได้ (แม้บางครั้งจะยาก) ที่จะ ทำให้เป็นค่า ปกติโดยการกำหนดให้เท่ากับค่าคงที่ที่เหมาะสม แล้วแก้สมการการทำให้เป็นค่าปกติเหล่านี้ ซึ่งจะช่วยลดมิติประสิทธิผลของกลุ่มลีGลง หากเกิดเช่นนี้ เราจะกลับไปที่ขั้นตอนแรก โดยตอนนี้เรามีกลุ่มลีที่มีมิติต่ำกว่าหนึ่งระดับให้ใช้งานแล้ว

จุดประสงค์หลักของสามขั้นตอนแรกคือการลดกลุ่มโครงสร้างให้น้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ สมมติว่าปัญหาความเท่าเทียมกันได้ผ่านกระบวนการวนซ้ำมากพอแล้วจนไม่สามารถลดขนาดลงได้อีก ในจุดนี้ วิธีการหาความเท่าเทียมกันสามารถนำไปสู่ทิศทางต่างๆ ได้หลายทิศทาง สำหรับปัญหาความเท่าเทียมกันส่วนใหญ่ มีเพียงสี่กรณีเท่านั้น ได้แก่ การลดขนาดอย่างสมบูรณ์ การผกผัน การขยาย และความเสื่อม

การลดรูปอย่างสมบูรณ์ ในที่นี้กลุ่มโครงสร้างได้ถูกลดรูปอย่างสมบูรณ์จนเหลือเพียงกลุ่มที่ไม่สำคัญปัญหาจึงสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีการต่างๆ เช่นทฤษฎีบทของฟรอเบนิอุสกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ อัลกอริทึมได้สิ้นสุดลงอย่างประสบความสำเร็จแล้ว

ในทางกลับกัน เป็นไปได้ว่าสัมประสิทธิ์การบิดตัวจะคงที่บนเส้นใยของPMหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ สัมประสิทธิ์เหล่านั้นจะไม่ขึ้นอยู่กับกลุ่ม Lie G อีกต่อไป เนื่องจากไม่มีอะไรให้ปรับค่ามาตรฐานอีกแล้ว แม้ว่าอาจจะยังคงมีการบิดตัวอยู่บ้างก็ตาม กรณีที่เหลืออีกสามกรณีนั้นถือว่าเป็นไปตามนี้

การผกผัน ปัญหาความเท่าเทียมกันจะเรียกว่าเป็นการผกผัน (หรืออยู่ในการผกผัน ) หากผ่านการทดสอบของคาร์ตันโดยพื้นฐานแล้วนี่คือเงื่อนไขอันดับของการเชื่อมต่อที่ได้มาในสามขั้นตอนแรกของกระบวนการ การทดสอบของคาร์ตันเป็นการขยายทฤษฎีบทของโฟรเบนิอุสเกี่ยวกับการหาคำตอบของระบบสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้นอันดับหนึ่ง หากโคเฟรมบนMและN (ที่ได้จากการประยุกต์ใช้สามขั้นตอนแรกของอัลกอริทึมอย่างละเอียด) สอดคล้องกันและเป็นไปตามการทดสอบของคาร์ตัน โครงสร้าง G ทั้งสอง จะเทียบเท่ากัน (อันที่จริง เท่าที่ผู้เขียนทราบ โคเฟรมจะต้องเป็นเชิงวิเคราะห์จริงเพื่อให้สิ่งนี้เป็นจริง เพราะทฤษฎีบทคาร์ตัน-เคห์เลอร์ต้องการความเป็นเชิงวิเคราะห์)

การขยาย (Prolongation) นี่คือกรณีที่ซับซ้อนที่สุด อันที่จริงมีกรณีย่อยสองกรณี ในกรณีย่อยแรก แรงบิดทั้งหมดสามารถถูกดูดซับเข้าไปในรูปแบบการเชื่อมต่อได้อย่างไม่ซ้ำกัน (เช่น แมนิโฟลด์แบบรีมันน์ เนื่องจากตัวเชื่อมต่อ Levi-Civita ดูดซับแรงบิดทั้งหมด) สัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อและอนุพันธ์ไม่แปรเปลี่ยนของพวกมันก่อให้เกิดชุดค่าคงที่ที่สมบูรณ์ของโครงสร้าง และปัญหาความเท่าเทียมกันก็ได้รับการแก้ไขแล้ว อย่างไรก็ตาม ในกรณีที่ย่อยที่สอง เป็นไปไม่ได้ที่จะดูดซับแรงบิดทั้งหมด หรือมีความกำกวมบางอย่าง (เช่นเดียวกับที่มักเกิดขึ้นในการกำจัดแบบเกาส์เซียน) ในที่นี้ เช่นเดียวกับการกำจัดแบบเกาส์เซียน มีพารามิเตอร์เพิ่มเติมที่ปรากฏขึ้นเมื่อพยายามดูดซับแรงบิด พารามิเตอร์เหล่านี้เองกลายเป็นค่าคงที่เพิ่มเติมของปัญหา ดังนั้นกลุ่มโครงสร้างGจะต้องถูกขยายออกไปเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มเจ็ท เมื่อทำเช่นนี้เสร็จแล้ว จะได้โคเฟรมใหม่บนพื้นที่ที่ขยายออกไป และต้องกลับไปที่ขั้นตอนแรกของวิธีการเทียบเท่า (ดูเพิ่มเติมที่การขยายโครงสร้าง G )

ความเสื่อมถอย เนื่องจากเงื่อนไขลำดับที่ไม่สม่ำเสมอ วิธีการสมมูลจึงไม่สามารถจัดการกับปัญหาสมมูลเฉพาะนี้ได้สำเร็จ ตัวอย่างเช่น พิจารณาปัญหาสมมูลของการแมปแมนิโฟลด์Mที่มีวันฟอร์มเดียว θ ไปยังแมนิโฟลด์อื่นที่มีวันฟอร์มเดียว γ โดยที่ φ*γ=θ จำเป็นต้องคำนึงถึงศูนย์ของวันฟอร์มเหล่านี้ รวมถึงลำดับของอนุพันธ์ภายนอกที่แต่ละจุด วิธีการสมมูลสามารถจัดการกับปัญหาดังกล่าวได้หากลำดับทั้งหมดสม่ำเสมอ แต่จะไม่เหมาะสมเสมอไปหากลำดับเปลี่ยนแปลงไป แน่นอนว่า ขึ้นอยู่กับการใช้งานเฉพาะด้าน ข้อมูลจำนวนมากยังคงสามารถได้รับจากวิธีการสมมูลได้