ในทางคณิตศาสตร์กรอบเคลื่อนที่ (moving frame)เป็นการขยายแนวคิดของกรอบพิกัด (coordinate frame ) (ซึ่งเป็นฐานเรียงลำดับของปริภูมิเวกเตอร์ร่วมกับจุดกำเนิด ) ที่มีความยืดหยุ่นกว่า มักใช้ในการศึกษาเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ภายนอกของแมนิโฟลด์เรียบที่ฝังอยู่ในปริภูมิ เอก พันธุ์ (homogeneous space )

ในภาษาชาวบ้านกรอบอ้างอิงคือระบบของไม้บรรทัดวัด ที่ ผู้สังเกตใช้ในการวัดพื้นที่โดยรอบโดยให้พิกัดกรอบเคลื่อนที่ คือ กรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ไปพร้อมกับผู้สังเกตตามวิถี ( เส้นโค้ง ) วิธีการของกรอบเคลื่อนที่ ในตัวอย่างง่ายๆ นี้ มุ่งที่จะสร้างกรอบเคลื่อนที่ "ที่ต้องการ" จาก คุณสมบัติ ทางจลนศาสตร์ของผู้สังเกต ในบริบททางเรขาคณิต ปัญหานี้ได้รับการแก้ไขในช่วงกลางศตวรรษที่ 19 โดยJean Frédéric FrenetและJoseph Alfred Serret [ ^{1 ] กรอบ} Frenet –Serret เป็นกรอบเคลื่อนที่ที่กำหนดบนเส้นโค้งซึ่งสามารถสร้างขึ้นได้จาก ความเร็วและความเร่งของเส้นโค้งเท่านั้น^{[ 2 ]}

กรอบ Frenet–Serret มีบทบาทสำคัญในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ของเส้นโค้งซึ่งในที่สุดนำไปสู่การจำแนกเส้นโค้งเรียบในปริภูมิยุคลิดได้อย่างสมบูรณ์มากหรือน้อยจนถึงความสอดคล้อง [ ^{3 ] สูตร} Frenet –Serretแสดงให้เห็นว่ามีฟังก์ชันคู่หนึ่งที่กำหนดบนเส้นโค้ง คือการบิดและการโค้งซึ่งได้มาจากการหาอนุพันธ์ของกรอบ และอธิบายได้อย่างสมบูรณ์ว่ากรอบมีการเปลี่ยนแปลงตามเวลาไปตามเส้นโค้งอย่างไร คุณลักษณะสำคัญของวิธีการทั่วไปคือ กรอบเคลื่อนที่ที่ต้องการ หากสามารถหาได้ จะให้คำอธิบายทางจลนศาสตร์ที่สมบูรณ์ของเส้นโค้ง

ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 Gaston Darbouxได้ศึกษาปัญหาการสร้างเฟรมเคลื่อนที่ที่ต้องการบนพื้นผิวในปริภูมิยูคลิดแทนที่จะเป็นเส้นโค้ง ซึ่งก็คือเฟรม Darboux (หรือtrièdre mobileตามที่เรียกกันในสมัยนั้น) ปรากฏว่าโดยทั่วไปแล้วเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างเฟรมดังกล่าว และมีเงื่อนไขอินทิกรัลที่ต้องได้รับการตอบสนองก่อน^{[ 1 ]}

ต่อมา Élie Cartan และคนอื่นๆ ได้พัฒนาเฟรมเคลื่อนที่อย่างกว้างขวางในการศึกษาซับแมนิโฟลด์ของปริภูมิเอกพันธุ์ ทั่วไป (เช่นปริภูมิเชิงฉาย ) ในบริบทนี้เฟรมจะนำแนวคิดทางเรขาคณิตของฐานของปริภูมิเวกเตอร์ไปสู่ปริภูมิเรขาคณิตประเภทอื่นๆ ( เรขาคณิตไคลน์ ) ตัวอย่างของเฟรมบางส่วนได้แก่: ^{[ 3 ]}

• กรอบเชิงเส้นคือฐานเรียงลำดับของปริภูมิเวกเตอร์
• กรอบออร์โทนอร์มอลของปริภูมิเวกเตอร์ คือฐานเรียงลำดับที่ประกอบด้วยเวกเตอร์หน่วยตั้งฉากกัน ( ฐานออร์โทนอร์มอล )
• กรอบแอฟฟินของพื้นที่แอฟฟินประกอบด้วยการเลือกจุดกำเนิดพร้อมกับฐานเวกเตอร์เรียงลำดับในพื้นที่ผลต่าง ที่เกี่ยวข้อง ^{[ 4 ]}
• กรอบคาร์ทีเซียนของปริภูมิเชิงเส้นตรงคือการเลือกจุดกำเนิดพร้อมกับฐานเชิงตั้งฉากปกติของปริภูมิผลต่าง
• กรอบเชิงโปรเจกทีฟบนปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟnมิติคือกลุ่ม จุด n + 2 จุดที่เรียงลำดับแล้ว โดยที่เซตย่อยใดๆ ของ จุด n + 1 จุด จะเป็นอิสระเชิงเส้น
• ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป กรอบอ้างอิงคือกรอบอ้างอิงสี่มิติ หรือvierbeinsในภาษาเยอรมัน

ในแต่ละตัวอย่างเหล่านี้ ชุดของเฟรมทั้งหมดมีความเป็นเนื้อเดียวกันในแง่หนึ่ง เช่น ในกรณีของเฟรมเชิงเส้น เฟรมสองเฟรมใดๆ ก็มีความสัมพันธ์กันโดยองค์ประกอบของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป ส่วน เฟรมเชิงฉายมีความสัมพันธ์กันโดยกลุ่มเชิงเส้นเชิงฉายความเป็นเนื้อเดียวกันหรือสมมาตรของกลุ่มเฟรมนี้ แสดงให้เห็นถึงลักษณะทางเรขาคณิตของภูมิทัศน์เชิงเส้น เชิงเส้นตรง เชิงเส้นยุคลิด หรือเชิงฉาย เฟรมที่เคลื่อนที่ได้ในสถานการณ์เหล่านี้ ก็คือเฟรมที่เปลี่ยนแปลงไปในแต่ละจุดนั่นเอง

ตามหลักการแล้ว เฟรมบนพื้นที่เอกพันธุ์G / Hประกอบด้วยจุดในบันเดิลสัจนิรันดร์G → G / Hเฟรมเคลื่อนที่คือส่วนตัดของบันเดิลนี้ มันเคลื่อนที่ในแง่ที่ว่าเมื่อจุดฐานเปลี่ยนแปลง เฟรมในไฟเบอร์จะเปลี่ยนแปลงโดยองค์ประกอบของกลุ่มสมมาตรGเฟรมเคลื่อนที่บนซับแมนิโฟลด์MของG / Hคือส่วนตัดของการดึงกลับของบันเดิลสัจนิรันดร์ไปยังMโดยเนื้อแท้^{[ 5 ]}เฟรมเคลื่อนที่สามารถกำหนดได้บนบันเดิลหลักPเหนือแมนิโฟลด์ ในกรณีนี้ เฟรมเคลื่อนที่กำหนดโดย การแมป G -equivariant φ : P → Gดังนั้นจึงสร้างเฟรม แมนิโฟล ด์ โดยองค์ประกอบของกลุ่ม Lie G

เราสามารถขยายแนวคิดของเฟรมไปยังกรณีทั่วไปได้มากขึ้น กล่าวคือ เราสามารถ " เชื่อม " กลุ่มใยแก้วเข้ากับแมนิโฟลด์เรียบได้ในลักษณะที่ใยแก้วเหล่านั้นมีพฤติกรรมราวกับว่ามันสัมผัสกัน เมื่อกลุ่มใยแก้วเป็นปริภูมิเอกพันธุ์ สิ่งนี้จะลดลงเหลือเพียงเฟรมฟิลด์ที่อธิบายไว้ข้างต้น เมื่อปริภูมิเอกพันธุ์เป็นผลหารของกลุ่มเชิงตั้งฉากพิเศษสิ่งนี้จะลดลงเหลือเพียงแนวคิดมาตรฐานของเวียร์ไบน์

แม้ว่าจะมีความแตกต่างอย่างเป็นทางการที่สำคัญระหว่างเฟรมเคลื่อนที่ภายนอกและภายใน แต่ทั้งสองก็คล้ายคลึงกันในแง่ที่ว่าเฟรมเคลื่อนที่นั้นกำหนดโดยการแมปไปยังG เสมอ กลยุทธ์ในวิธีการของเฟรมเคลื่อนที่ ของ Cartan ดังที่สรุปไว้โดยย่อในวิธีการเทียบเท่าของ Cartanคือการค้นหาเฟรมเคลื่อนที่ตามธรรมชาติบนแมนิโฟลด์ จากนั้นจึงหาอนุพันธ์ Darboux ของเฟรมนั้น กล่าวอีกนัยหนึ่งคือดึงรูปแบบ Maurer-CartanของG กลับ ไปยังM (หรือP ) และด้วยเหตุนี้จึงได้รับชุดตัวแปรโครงสร้างที่สมบูรณ์สำหรับแมนิโฟลด์^{[ 3 ]}

คาร์ตัน (1937)ได้กำหนดนิยามทั่วไปของเฟรมเคลื่อนที่และวิธีการของเฟรมเคลื่อนที่ ซึ่งได้รับการขยายความโดยไวล์ (1938)องค์ประกอบของทฤษฎีมีดังนี้

• กลุ่ม โกหกG​
• ปริภูมิไคลน์Xซึ่งมีกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมเชิงเรขาคณิตคือG
• แมนิโฟลด์เรียบ Σ ซึ่งทำหน้าที่เป็นพื้นที่ของพิกัด (ทั่วไป) สำหรับX
• ชุดของเฟรม ƒ แต่ละเฟรมกำหนดฟังก์ชันพิกัดจากXไปยัง Σ (ลักษณะที่แท้จริงของเฟรมนั้นถูกละไว้อย่างคลุมเครือในการกำหนดสัจพจน์ทั่วไป)

จึงถือว่าสัจพจน์ต่อไปนี้เป็นจริงระหว่างองค์ประกอบเหล่านี้:

• มี การกระทำ ของกลุ่มG ที่เป็นอิสระและถ่ายทอดได้ บนคอลเลกชันของเฟรม: นั่นคือปริภูมิเอกพันธุ์หลักสำหรับGโดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับเฟรมคู่ใด ๆ ƒ และ ƒ′ จะมีการเปลี่ยนเฟรม (ƒ→ƒ′) ที่ไม่ซ้ำกันในGซึ่งกำหนดโดยเงื่อนไข (ƒ→ƒ′)ƒ = ƒ′
• กำหนดให้เฟรม ƒ และจุดA  ∈  Xแล้ว จะมีจุดx  = ( A ,ƒ) ที่เกี่ยวข้องซึ่งอยู่ใน Σ การแมปที่กำหนดโดยเฟรม ƒ นี้เป็นการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงจากจุดต่างๆ ใน​​Xไปยังจุดต่างๆ ใน ​​Σ การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงนี้สอดคล้องกับกฎการประกอบเฟรมในแง่ที่ว่าพิกัดx ′ ของจุดAในเฟรม ƒ′ ที่แตกต่างกันนั้นเกิดขึ้นจาก ( A ,ƒ) โดยการประยุกต์ใช้การแปลง (ƒ→ƒ′) นั่นคือ$${\displaystyle (A,f')=(f\to f')\circ (A,f).}$$

วิธีการนี้สนใจส่วนย่อยของX ที่มีการกำหนดพารามิเตอร์ การพิจารณาส่วนใหญ่เป็นแบบเฉพาะที่ ดังนั้นโดเมนของพารามิเตอร์จึงถือเป็นเซตเปิดของR ^λเทคนิคที่ใช้จะแตกต่างกันเล็กน้อย ขึ้นอยู่กับว่าเราสนใจส่วนย่อยพร้อมกับการกำหนดพารามิเตอร์ หรือส่วนย่อยจนถึงการกำหนดพารามิเตอร์ใหม่

กรณีที่พบได้บ่อยที่สุดของเฟรมเคลื่อนที่คือ บันเดิลของเฟรมสัมผัส (หรือเรียกว่าบันเดิลเฟรม ) ของแมนิโฟลด์ ในกรณีนี้ เฟรมสัมผัสเคลื่อนที่บนแมนิโฟลด์M ประกอบด้วยชุดของฟิลด์เวกเตอร์e ₁ , e ₂ , …, e _nซึ่งก่อตัวเป็นฐานของปริภูมิสัมผัสณ แต่ละจุดของเซตเปิดU ⊂ M

ถ้าเป็นระบบพิกัดบนUแล้ว เวกเตอร์ฟิลด์e _j แต่ละตัว สามารถแสดงได้ในรูปผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ฟิลด์พิกัดโดยที่แต่ละตัวเป็นฟังก์ชันบนUสิ่งเหล่านี้สามารถมองได้ว่าเป็นส่วนประกอบของเมทริกซ์เมทริกซ์นี้มีประโยชน์สำหรับการหาการแสดงพิกัดของโคเฟรมคู่ ดังที่อธิบายไว้ในส่วนถัดไป ${\displaystyle (x^{1},x^{2},\dots ,x^{n})}$${\textstyle {\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$$${\displaystyle e_{j}=\sum _{i=1}^{n}A_{j}^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}},}$$${\displaystyle A_{j}^{i}}$${\displaystyle A}$

เฟรมเคลื่อนที่กำหนดเฟรมคู่หรือโคเฟรมของกลุ่มโคแทนเจนต์เหนือUซึ่งบางครั้งก็เรียกว่าเฟรมเคลื่อนที่เช่นกัน นี่คือn -tuple ของ1-ฟอร์ม เรียบ

θ ¹ , θ ² , …, θ ⁿ

ซึ่งเป็นอิสระเชิงเส้นที่แต่ละจุดqในUในทางกลับกัน เมื่อกำหนดโคเฟรมดังกล่าว จะมีเฟรมเคลื่อนที่e ₁ , e ₂ , …, e _n ที่ไม่ ซ้ำกันซึ่งเป็นคู่กัน กล่าวคือ สอดคล้องกับความสัมพันธ์แบบคู่กันθ ⁱ ( e _j ) = δ ⁱ _jโดยที่δ ⁱ _jคือ ฟังก์ชัน เดลต้าของโครเนกเกอร์ บนU

ถ้าเป็นระบบพิกัดบนUดังในส่วนก่อนหน้าแล้ว ฟิลด์โคเวกเตอร์θi แต่ละตัว สามารถแสดงได้ในรูปผลรวมเชิงเส้นของฟิลด์โคเวกเตอร์พิกัดโดยที่แต่ละตัว^เป็นฟังก์ชันบนUเนื่องจากนิพจน์พิกัดทั้งสองข้างต้นรวมกันได้เป็นในแง่ของเมทริกซ์ นี่หมายความว่าและเป็นเมทริกซ์ผกผันซึ่งกันและกัน ${\displaystyle (x^{1},x^{2},\dots ,x^{n})}$${\displaystyle dx^{i}}$$${\displaystyle \theta ^{i}=\sum _{j=1}^{n}B_{j}^{i}dx^{j},}$$${\displaystyle B_{j}^{i}}$${\textstyle dx^{i}\left({\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right)=\delta _{j}^{i}}$${\textstyle \sum _{k=1}^{n}B_{k}^{i}A_{j}^{k}=\delta _{j}^{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

ในบริบทของกลศาสตร์คลาสสิกเมื่อทำงานกับพิกัดเชิงแคนอนิก เฟรม ร่วมเชิง แคนอนิกจะกำหนดโดยฟอร์มวันเชิงสัจพจน์โดยสัญชาตญาณแล้ว มันเชื่อมโยงความเร็วของระบบกลศาสตร์ (กำหนดโดยสนามเวกเตอร์บนมัดสัมผัสของพิกัด) กับโมเมนตัมที่สอดคล้องกันของระบบ (กำหนดโดยสนามเวกเตอร์ในมัดโคแทนเจนต์ กล่าวคือ กำหนดโดยฟอร์ม) ฟอร์มวันเชิงสัจพจน์เป็นกรณีพิเศษของฟอร์มบัดกรี ทั่วไป ซึ่งให้สนามเฟรมร่วมบนมัดไฟเบอร์ทั่วไป

กรอบอ้างอิงเคลื่อนที่นั้นมีความสำคัญในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปเนื่องจากไม่มีวิธีใดวิธีหนึ่งที่ได้เปรียบในการขยายการเลือกกรอบอ้างอิง ณ จุดp (จุดในปริภูมิเวลาซึ่งเป็นแมนิโฟลด์มิติสี่) ไปยังจุดใกล้เคียง ดังนั้นจึงต้องมีการเลือกกรอบอ้างอิง ในทางตรงกันข้าม ใน ทฤษฎีสั มพัทธภาพพิเศษMถือว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์V (มิติสี่) ในกรณีนั้น กรอบอ้างอิง ณ จุดpสามารถแปลจากp ไปยังจุด qใดๆ ได้ด้วยวิธีที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน โดยทั่วไปแล้ว กรอบอ้างอิงเคลื่อนที่จะสอดคล้องกับผู้สังเกตการณ์ และกรอบอ้างอิงที่แตกต่างกันในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษนั้นแสดงถึง ผู้ สังเกตการณ์ เฉื่อย

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพและเรขาคณิตแบบรีมันน์ กรอบเคลื่อนที่ที่มีประโยชน์มากที่สุดคือ กรอบ ตั้งฉากและกรอบตั้งฉากปกตินั่นคือกรอบที่ประกอบด้วยเวกเตอร์ตั้งฉาก (หน่วย) ณ แต่ละจุด ณ จุดp ที่กำหนด กรอบทั่วไปสามารถทำให้เป็นกรอบตั้งฉากปกติได้โดยการ ทำให้เป็นกรอบ ตั้งฉากปกติ อันที่จริงแล้ว การทำเช่นนี้สามารถทำได้อย่างราบรื่น ดังนั้นการมีอยู่ของกรอบเคลื่อนที่จึงหมายถึงการมีอยู่ของกรอบตั้งฉากปกติที่เคลื่อนที่ด้วย

กรอบอ้างอิงเคลื่อนที่มักมีอยู่เสมอในระดับท้องถิ่น กล่าวคือ ในบริเวณใกล้เคียงUของจุดp ใดๆ ในMอย่างไรก็ตาม การมีอยู่ของกรอบอ้างอิงเคลื่อนที่ในระดับสากลบนM นั้น ต้อง อาศัยเงื่อนไข ทางโทโพโลยีตัวอย่างเช่น เมื่อMเป็นวงกลมหรือโดยทั่วไปแล้วเป็นทอรัสกรอบอ้างอิงดังกล่าวจะมีอยู่ แต่ไม่มีเมื่อMเป็นทรงกลม 2 มิติแมนิโฟลด์ที่มีกรอบอ้างอิงเคลื่อนที่ในระดับสากลเรียกว่าแมนิโฟลด์ที่สามารถทำให้ขนานกันได้โปรดสังเกตตัวอย่างเช่น ทิศทางหน่วยของละติจูดและลองจิจูดบนพื้นผิวโลกนั้นแตกออกเป็นกรอบอ้างอิงเคลื่อนที่ที่ขั้วโลกเหนือและขั้วโลกใต้

วิธีการของเฟรมเคลื่อนที่ของÉlie Cartanนั้นอาศัยการเลือกเฟรมเคลื่อนที่ที่ปรับให้เข้ากับปัญหาเฉพาะที่กำลังศึกษาอยู่ ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดเส้นโค้งในปริภูมิ เวกเตอร์อนุพันธ์สามตัวแรกของเส้นโค้งนั้นโดยทั่วไปสามารถกำหนดเฟรมที่จุดใดจุดหนึ่งบนเส้นโค้งได้ (ดูเทนเซอร์ทอร์ชั่นสำหรับการอธิบายเชิงปริมาณ – ในที่นี้ถือว่าทอร์ชั่นไม่เป็นศูนย์) ในความเป็นจริง ในวิธีการของเฟรมเคลื่อนที่นั้น มักจะทำงานกับโคเฟรมมากกว่าเฟรม โดยทั่วไปแล้ว เฟรมเคลื่อนที่อาจมองได้ว่าเป็นส่วนตัดของบันเดิลหลักเหนือเซตเปิดUวิธีการทั่วไปของ Cartan ใช้ประโยชน์จากนามธรรมนี้โดยใช้แนวคิดของ การเชื่อมต่อ แบบ Cartan

ในหลายกรณี เป็นไปไม่ได้ที่จะกำหนดกรอบอ้างอิงเดียวที่ใช้ได้ทั่วโลก เพื่อแก้ไขปัญหานี้ จึงมักมีการนำกรอบอ้างอิงต่างๆ มาประกอบกันเป็นแผนที่ทำให้เกิดแนวคิดเรื่องกรอบอ้างอิงเฉพาะที่นอกจากนี้ มักเป็นที่พึงปรารถนาที่จะกำหนดโครงสร้างที่เรียบเนียน ให้กับแผนที่เหล่านี้ เพื่อให้ฟิลด์กรอบอ้างอิงที่ได้นั้นสามารถหาอนุพันธ์ได้

แม้ว่าบทความนี้จะสร้างฟิลด์เฟรมเป็นระบบพิกัดบนมัดสัมผัสของแมนิโฟลด์แต่แนวคิดทั่วไปสามารถนำไปใช้กับแนวคิดของมัดเวกเตอร์ ได้อย่างง่ายดาย ซึ่งก็คือแมนิโฟลด์ที่มีปริภูมิเวกเตอร์ ณ แต่ละจุด โดยปริภูมิเวกเตอร์นั้นเป็นปริภูมิเวกเตอร์ใดๆ ก็ได้ และโดยทั่วไปแล้วไม่เกี่ยวข้องกับมัดสัมผัส

กรอบอ้างอิงที่ยึดติดกับตัวเครื่องบินถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในกลศาสตร์ของวัตถุแข็งเกร็ง การเคลื่อนที่ ของ เครื่องบินสามารถแสดงได้ในรูปของกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ ( แกนหลักของเครื่องบิน ) เมื่อนักบินเป็นผู้บรรยาย

• เฟรม Darboux
• สูตร Frenet–Serret
• กราฟิกเต่า
• การหมุนรอบแกนตั้ง การหมุนรอบแกนแนวนอน และการหมุนรอบแกนตามยาว
• กรอบอ้างอิงแบบหมุน