ในคณิตศาสตร์ประยุกต์แผนการหาผลต่างส่วนกลางเป็นวิธีการหาผลต่างจำกัดที่ปรับค่าประมาณสำหรับตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ในโหนดกลางของแพทช์ที่พิจารณาและให้คำตอบเชิงตัวเลขสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์^{[ 1 ]}เป็นหนึ่งในแผนการที่ใช้ในการแก้สมการการพาความร้อน-การแพร่กระจาย แบบบูรณาการ และคำนวณคุณสมบัติที่ขนส่ง Φ ที่หน้า e และ w โดยที่eและwย่อมาจากทิศตะวันออกและ ทิศ ตะวันตก (โดยทั่วไปจะใช้ทิศทางเข็มทิศเพื่อระบุทิศทางบนตารางคำนวณ) ข้อดีของวิธีนี้คือเข้าใจและนำไปใช้ได้ง่าย อย่างน้อยก็สำหรับความสัมพันธ์ของวัสดุที่เรียบง่าย และอัตราการล convergence ของมันเร็วกว่าวิธีการหาผลต่างจำกัดอื่นๆ เช่น การหาผลต่างไปข้างหน้าและย้อนกลับ ด้านขวาของสมการการพาความร้อน-การแพร่กระจาย ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วเน้นที่เทอมการแพร่กระจาย สามารถแสดงได้โดยใช้การประมาณผลต่างส่วนกลาง เพื่อลดความซับซ้อนของวิธีแก้ปัญหาและการวิเคราะห์ สามารถใช้การแทรกสอดเชิงเส้นเพื่อคำนวณค่าพื้นผิวเซลล์สำหรับด้านซ้ายของสมการนี้ ซึ่งก็คือเทอมการพาความร้อนนั่นเอง ดังนั้น ค่าพื้นผิวเซลล์ของคุณสมบัติสำหรับกริดสม่ำเสมอสามารถเขียนได้ดังนี้: ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle \Phi _{e}={\tfrac {1}{2}}(\Phi _{P}+\Phi _{E})}$$$${\displaystyle \Phi _{w}={\tfrac {1}{2}}(\Phi _{W}+\Phi _{P})}$$

สมการ การพาความร้อน-การแพร่กระจายเป็นการแสดงแบบรวมของสมการการแพร่กระจายและการพาความร้อน และอธิบายหรือชี้แจงปรากฏการณ์ทางกายภาพทุกอย่างที่เกี่ยวข้องกับการพาความร้อนและการแพร่กระจายในการถ่ายโอนอนุภาค พลังงาน และปริมาณทางกายภาพอื่นๆ ภายในระบบทางกายภาพ: ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle \operatorname {div} (\rho u\varphi )=\operatorname {div} (\Gamma \nabla \varphi )+S_{\varphi };\,}$$ โดยที่Г คือสัมประสิทธิ์การแพร่และΦคือคุณสมบัติ

การอินทิเก รต อย่างเป็นทางการของสมการการพาความร้อน-การแพร่กระจายในสภาวะคงที่เหนือปริมาตรควบคุมให้ผลลัพธ์ดังนี้

$${\displaystyle \int _{A}\,n\cdot (\rho u\varphi )\,dA=\int _{A}\,n\cdot (\Gamma \nabla \varphi )\,dA+\int _{CV}\,S_{\varphi }\,dV}$$

สมการที่1

สมการนี้แสดงถึงสมดุลของฟลักซ์ในปริมาตรควบคุม ด้านซ้ายแสดงถึงฟลักซ์การพาความร้อนสุทธิ และด้านขวาแสดงถึงฟลักซ์การแพร่สุทธิ และการเกิดหรือการทำลายคุณสมบัติภายในปริมาตรควบคุม

ในกรณีที่ไม่มีสมการเทอมแหล่งกำเนิด จะกลายเป็น

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\rho u\varphi )={\frac {d}{dx}}\left({\frac {d\varphi }{dx}}\right)}$$

สมการที่2

สมการความต่อเนื่อง :

$${\displaystyle {d \over dx}(\rho u)=0}$$

สมการที่3

เมื่อกำหนดปริมาตรควบคุมและทำการอินทิเกรตสมการที่ 2 เหนือปริมาตรควบคุมจะได้:

$${\displaystyle (\rho u\varphi A)_{e}-(\rho u\varphi A)_{w}=(\Gamma Ad\varphi /dx)_{e}-(\Gamma Ad\varphi /dx)_{w}}$$

สมการการพาความร้อนและการแพร่กระจายแบบบูรณาการ

การอินทิเกรตสมการที่ 3 จะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

$${\displaystyle (\rho uA)_{e}-(\rho uA)_{w}=0}$$

สมการความต่อเนื่องแบบบูรณาการ

ตัวอย่างเช่น การกำหนดตัวแปรสองตัวเพื่อแทนฟลัก ซ์มวล แบบพาความร้อน ต่อหน่วยพื้นที่และค่าการนำความร้อนแบบแพร่ที่หน้าเซลล์นั้น สะดวกกว่า :$${\displaystyle F=\rho u}$$$${\displaystyle D=\Gamma /\delta x}$$

สมมติว่าเราสามารถเขียนสมการการพาความร้อน-การแพร่กระจายแบบบูรณาการได้ดังนี้: ${\displaystyle A_{e}=A_{w}}$$${\displaystyle F_{e}\varphi _{e}-F_{w}\varphi _{w}=D_{e}(\varphi _{E}-\varphi _{P})-D_{w}(\varphi _{P}-\varphi _{W})}$$

และสมการความต่อเนื่องแบบบูรณาการมีดังนี้: $${\displaystyle F_{e}-F_{w}=0}$$

ในวิธีการหาผลต่างแบบศูนย์กลาง เราพยายามใช้การประมาณค่าเชิงเส้นเพื่อคำนวณค่าพื้นผิวเซลล์สำหรับพจน์การพาความร้อน

สำหรับตารางแบบสม่ำเสมอ เราสามารถเขียนค่าคุณสมบัติΦ ของหน้าเซลล์ ได้ดังนี้ $${\displaystyle \varphi _{e}={\tfrac {1}{2}}(\varphi _{E}+\varphi _{P}),\quad \varphi _{w}={\tfrac {1}{2}}(\varphi _{P}+\varphi _{W})}$$

เมื่อแทนค่านี้ลงในสมการการพาความร้อนและการแพร่กระจายแบบบูรณาการ เราจะได้: $${\displaystyle F_{e}{\frac {\varphi _{E}+\varphi _{P}}{2}}-F_{w}{\frac {\varphi _{W}+\varphi _{P}}{2}}=D_{e}(\varphi _{E}-\varphi _{P})-D_{w}(\varphi _{P}-\varphi _{W})}$$

และเกี่ยวกับการจัดเรียงใหม่: $${\displaystyle \left[\left(D_{w}+{\frac {F_{w}}{2}}\right)+\left(D_{e}-{\frac {F_{e}}{2}}\right)+(F_{e}-F_{w})\right]\varphi _{P}=\left(D_{w}+{\frac {F_{w}}{2}}\right)\varphi _{W}+\left(D_{e}-{\frac {F_{e}}{2}}\right)\varphi _{E}}$$$${\displaystyle a_{P}\varphi _{P}=a_{W}\varphi _{W}+a_{E}\varphi _{E}}$$

การอนุรักษ์พลังงานเกิดขึ้นได้ในระบบการหาผลต่างส่วนกลาง เนื่องจากสมดุลของฟลักซ์โดยรวมได้มาจากการรวมฟลักซ์สุทธิที่ผ่านปริมาตรควบคุมแต่ละส่วน โดยคำนึงถึงฟลักซ์ที่ขอบเขตสำหรับปริมาตรควบคุมรอบโหนด 1 และ 4 ด้วย

ฟลักซ์ขอบเขตสำหรับปริมาตรควบคุมรอบโหนด 1 และ 4 เนื่องจาก$${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[{\frac {\Gamma _{e_{1}}(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{\delta x}}-q_{A}\right]+\left[{\frac {\Gamma _{e_{2}}(\varphi _{3}-\varphi _{2})}{\delta x}}-{\frac {\Gamma _{w_{2}}(\varphi _{2}-\varphi _{1})}{\delta x}}\right]\\[10pt]+{}&\left[{\frac {\Gamma _{e_{3}}(\varphi _{4}-\varphi _{3})}{\delta x}}-{\frac {\Gamma _{w_{3}}(\varphi _{3}-\varphi _{2})}{\delta x}}\right]+\left[q_{B}-{\frac {\Gamma _{w_{4}}(\varphi _{4}-\varphi _{3})}{\delta x}}\right]=q_{B}-q_{A}\end{aligned}}}$$${\displaystyle \Gamma _{e_{1}}=\Gamma _{w_{2}},\Gamma _{e_{2}}=\Gamma _{w_{3}},\Gamma _{e_{3}}=\Gamma _{w_{4}}}$

วิธีการหาผลต่างส่วนกลางตรงตามเงื่อนไขแรกของการมีขอบเขตจำกัด

เนื่องจากจากสมการความต่อเนื่อง ดังนั้น;${\displaystyle F_{e}-F_{w}=0}$${\displaystyle a_{P}\varphi _{P}=a_{W}\varphi _{W}+a_{E}\varphi _{E}}$

ข้อกำหนดที่สำคัญอีกประการหนึ่งสำหรับความมีขอบเขตคือ สัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการแบบไม่ต่อเนื่องจะต้องมีเครื่องหมายเดียวกัน (โดยปกติจะเป็นบวกทั้งหมด) แต่เงื่อนไขนี้จะเป็นจริงได้ก็ต่อเมื่อ ( เลขเพคเล็ต ) เพราะสำหรับการไหลแบบทิศทางเดียว ( ) จะเป็นบวกเสมอถ้า${\displaystyle F_{e}/D_{e}<2}$${\displaystyle F_{e}>0,F_{w}>0}$${\displaystyle a_{E}=(D_{e}-F_{e}/2)}$${\displaystyle D_{e}>F_{e}/2}$

จำเป็นต้องให้ค่าการถ่ายเทความร้อนเปลี่ยนแปลงไปตามขนาดของเลขเพคเล็ต กล่าวคือ เมื่อเพคเล็ตเป็นศูนย์ ความร้อนจะกระจายไปทุกทิศทางอย่างเท่าเทียมกัน และเมื่อเพคเล็ตเพิ่มขึ้น (การพาความร้อน > การแพร่) ค่าความร้อน ณ จุดใดจุดหนึ่งจะขึ้นอยู่กับค่าต้นน้ำเป็นส่วนใหญ่ และขึ้นอยู่กับค่าปลายน้ำน้อยลง แต่แผนการคำนวณแบบผลต่างส่วนกลางไม่มีค่าการถ่ายเทความร้อนที่ค่าเพคเล็ตสูงๆ เนื่องจากค่าความร้อน ณ จุดใดจุดหนึ่งเป็นค่าเฉลี่ยของค่าความร้อนจากจุดใกล้เคียงสำหรับทุกค่าเพคเล็ต ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$

ข้อผิดพลาดจากการตัด ทอนอนุกรมเทย์เลอร์ของวิธีการหาผลต่างส่วนกลางเป็นอันดับสอง วิธีการหาผลต่างส่วนกลางจะมีความแม่นยำก็ต่อเมื่อ Pe < 2 เท่านั้น ด้วยข้อจำกัดนี้ วิธีการหาผลต่างส่วนกลางจึงไม่เหมาะสมที่จะใช้เป็นวิธีการแบ่งส่วนย่อยสำหรับการคำนวณการไหลทั่วไป

• ปัจจุบันมีการนำวิธีการเหล่านี้มาใช้เป็นประจำในการแก้สมการออยเลอร์และสมการนาเวียร์-สโตกส์
• ผลลัพธ์ที่ได้จากการใช้การประมาณค่าความแตกต่างแบบศูนย์กลางแสดงให้เห็นถึงการปรับปรุงความแม่นยำที่เห็นได้ชัดในบริเวณที่เรียบเนียน
• การแสดง คลื่นกระแทกและ การกำหนด ขอบเขตชั้นสามารถปรับปรุงได้บนตาข่ายหยาบ^{[ 3 ]}

• เขียนโปรแกรมได้ง่ายกว่า ใช้เวลาในการประมวลผลต่อขั้นตอนน้อยกว่า และทำงานได้ดีกับเทคนิคการเร่งความเร็ว แบบมัลติกริด
• มีพารามิเตอร์อิสระที่ใช้ร่วมกับการกระจายความแตกต่างลำดับที่สี่ ซึ่งจำเป็นต่อการเข้าสู่สภาวะสมดุล
• แม่นยำกว่า แบบแผน upwindอันดับแรกหากเลข Pecletน้อยกว่า 2 ^{[ 3 ]}

• ค่อนข้างจะสลายตัวได้มากกว่า
• ส่งผลให้เกิดการแกว่งในคำตอบหรือการล divergence หากเลข Peclet ในพื้นที่มากกว่า 2 ^{[ 4 ]}

• วิธีผลต่างจำกัด
• ผลต่างจำกัด
• ซีรี่ส์เทย์เลอร์
• ทฤษฎีบทเทย์เลอร์
• สมการการพาความร้อน-การแพร่กระจาย
• การแพร่กระจาย
• การพาความร้อน
• หมายเลขเพคเลต์
• การประมาณค่าเชิงเส้น
• อนุพันธ์สมมาตร
• แผนการหาผลต่างทิศทางลมสำหรับการพาความร้อน

• พลศาสตร์ของไหลเชิงคำนวณ: พื้นฐานพร้อมการประยุกต์ใช้ – จอห์น ดี. แอนเดอร์สัน, ISBN 0-07-001685-2
• พลศาสตร์ของไหลเชิงคำนวณเล่ม 1 – เคลาส์ เอ. ฮอฟฟ์แมน, สตีฟ ที. เชียง, ISBN 0-9623731-0-9

• การพาความร้อนและการแพร่กระจายแบบสภาวะคงที่ในมิติเดียว #แบบจำลองความแตกต่างส่วนกลาง
• ความแตกต่างจำกัด
• วิธีการหาผลต่างกลาง (Central Difference Methods) ถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 5 พฤศจิกายน 2013 ที่Wayback Machine
• แผนการหาผลต่างจำกัดแบบอนุรักษ์สำหรับสมการปัวซง-เนิร์นสต์-พลังค์