ในเรขาคณิตแบบยุคลิดทฤษฎีบทของเซเวียนเป็นทฤษฎีบทเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมกำหนดให้รูปสามเหลี่ยม△ ABC ลากเส้นตรง AO, BO, COจากจุดยอดทั้งสามไปยังจุดร่วมO (ซึ่งไม่อยู่บนด้านใดด้านหนึ่งของ△ ABC ) โดยให้เส้นตรงเหล่านี้ ตัด กับด้านตรงข้ามที่จุดD, E, Fตามลำดับ (ส่วนของเส้นตรงAD , BE , CFเรียกว่า ส่วนของ เส้นตรงเซเวียน ) จากนั้น โดยใช้ ความยาวของส่วนของเส้น ตรง ที่มีเครื่องหมาย

${\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=1.}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความยาวXYจะมีค่าเป็นบวกหรือลบขึ้นอยู่กับว่าXอยู่ทางซ้ายหรือขวาของYในทิศทางที่กำหนดไว้ของเส้นตรง ตัวอย่างเช่นAF / FBจะมีค่าเป็นบวกเมื่อFอยู่ระหว่างAและBและมีค่าเป็นลบในกรณีอื่น ๆ

ทฤษฎีบทของเซวาเป็นทฤษฎีบทในเรขาคณิตเชิงเส้นตรงในแง่ที่ว่าสามารถกล่าวและพิสูจน์ได้โดยไม่ต้องใช้แนวคิดเรื่องมุม พื้นที่ และความยาว (ยกเว้นอัตราส่วนของความยาวของส่วนของเส้นตรงสองส่วนที่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ) ดังนั้นจึงเป็นจริงสำหรับรูปสามเหลี่ยมในระนาบเชิงเส้นตรง ใดๆ บนฟิลด์ ใด ๆ

บทกลับที่ปรับเปลี่ยนเล็กน้อยก็เป็นจริงเช่นกัน: ถ้าเลือก จุด D, E, F บน BC, AC, ABตามลำดับ โดยที่

${\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=1,}$

ดังนั้นAD, BE, CFจึงตัดกันที่จุดเดียวกันหรือทั้งสามเส้นขนานกันส่วนบทกลับมักรวมอยู่ในทฤษฎีบทด้วย

ทฤษฎีบทนี้มักถูกยกให้เป็นผลงานของGiovanni Cevaซึ่งตีพิมพ์ในผลงานDe lineis rectis ในปี 1678 แต่ได้รับการพิสูจน์มาก่อนหน้านั้นโดยYusuf Al-Mu'taman ibn Hűd กษัตริย์แห่ง ซาราโกซาในศตวรรษที่ 11 ^{[ 1 ] [ 2 ]}อย่างไรก็ตาม ผลงานของ Ibn Hűd ได้ถูกลืมเลือนไป และเพิ่งถูกค้นพบอีกครั้งในปี 1985

รูปทรงเหล่านี้เกี่ยวข้องกับคำศัพท์หลายคำที่มาจากชื่อของ Ceva ได้แก่cevian (เส้นAD, BE, CFคือ cevian ของO ), cevian triangle (สามเหลี่ยม△ DEFคือ cevian triangle ของO ); cevian nest, anticevian triangle, Ceva conjugate ( Cevaออกเสียงว่า ชายวา; cevianออกเสียงว่า เชฟเวียน)

ทฤษฎีบทนี้คล้ายคลึงกับทฤษฎีบทของเมเนเลาส์ มาก ตรงที่สมการของทั้งสองแตกต่างกันเพียงแค่เครื่องหมายเท่านั้น เมื่อเขียนแต่ละทฤษฎีบทใหม่ในรูปของอัตราส่วนไขว้ทฤษฎีบททั้งสองอาจมองได้ว่าเป็นคู่กันเชิงโปรเจคทีฟ^{[ ​​3 ]}

มีการสร้างบทพิสูจน์ทฤษฎีบทหลายฉบับ^{[ 4 ] [ 5 ]} บทพิสูจน์สองฉบับมีดังต่อไปนี้

วิธีแรกเป็นพื้นฐานมาก โดยใช้เพียงคุณสมบัติพื้นฐานของพื้นที่สามเหลี่ยม^{[ 4 ]}อย่างไรก็ตาม ต้องพิจารณากรณีต่างๆ หลายกรณี ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุด O

การพิสูจน์ข้อที่สองใช้พิกัดและเวกเตอร์ แบบแบรีเซนทริก แต่ไม่ขึ้นอยู่กับกรณีใดๆ นอกจากนี้ยังใช้ได้กับระนาบเชิงเส้น ใดๆ บนฟิลด์ ใดๆ ด้วย

ประการแรก เครื่องหมายของด้านซ้ายมือเป็นบวก เนื่องจากอัตราส่วนทั้งสามเป็นบวกทั้งหมด ซึ่งเป็นกรณีที่Oอยู่ภายในสามเหลี่ยม (แผนภาพด้านบน) หรืออัตราส่วนหนึ่งเป็นบวกและอีกสองอัตราส่วนเป็นลบ ซึ่งเป็นกรณีที่Oอยู่ภายนอกสามเหลี่ยม (แผนภาพด้านล่างแสดงกรณีหนึ่ง)

เพื่อตรวจสอบขนาด ให้สังเกตว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีความสูงที่กำหนดจะแปรผันตรงกับฐาน ดังนั้น

${\displaystyle {\frac {|\triangle BOD|}{|\triangle COD|}}={\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}={\frac {|\triangle BAD|}{|\triangle CAD|}}.}$

ดังนั้น,

${\displaystyle {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}={\frac {|\triangle BAD|-|\triangle BOD|}{|\triangle CAD|-|\triangle COD|}}={\frac {|\triangle ABO|}{|\triangle CAO|}}.}$

(เปลี่ยนเครื่องหมายลบเป็นเครื่องหมายบวก ถ้าAและOอยู่คนละฝั่งของBC ) ในทำนองเดียวกัน

${\displaystyle {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}={\frac {|\triangle BCO|}{|\triangle ABO|}},}$

และ

${\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}={\frac {|\triangle CAO|}{|\triangle BCO|}}.}$

เมื่อคูณสมการทั้งสามนี้เข้าด้วยกันจะได้

${\displaystyle \left|{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}\right|=1,}$

ตามความจำเป็น

ทฤษฎีบทนี้สามารถพิสูจน์ได้ง่ายโดยใช้ทฤษฎีบท ของเมเนเลาส์ [ ^{6 ] จาก} BOE แนวขวางของสามเหลี่ยม△ ACF

${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {BF}}}\cdot {\frac {\overline {FO}}{\overline {OC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=-1}$

และ จากAOD แนวขวาง ของสามเหลี่ยม△ BCF

${\displaystyle {\frac {\overline {BA}}{\overline {AF}}}\cdot {\frac {\overline {FO}}{\overline {OC}}}\cdot {\frac {\overline {CD}}{\overline {DB}}}=-1.}$

ทฤษฎีบทนี้ได้มาจากการหารสมการทั้งสองนี้

บทกลับเป็นผลลัพธ์ที่ตามมา^{[ 4 ]}ให้D, E, Fอยู่บนเส้นBC, AC, ABเพื่อให้สมการเป็นจริง ให้AD, BEตัดกันที่Oและให้F'เป็นจุดที่COตัดกับABจากนั้นตามทฤษฎีบท สมการนี้ก็เป็นจริงสำหรับD, E, F' ด้วย เมื่อเปรียบเทียบทั้งสอง

${\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}={\frac {\overline {AF'}}{\overline {F'B}}}}$

แต่จุดเพียงจุดเดียวเท่านั้นที่สามารถตัดส่วนได้ในอัตราส่วนที่กำหนด ดังนั้นF = F '

กำหนดให้จุด A, B, Cสามจุดที่ไม่เรียงตัวเป็นเส้นตรง เดียวกัน และจุดO ที่อยู่บน ระนาบเดียวกันพิกัดแบรีเซนทริกของจุด OเทียบกับจุดA, B, Cคือจำนวนสามจำนวนที่ไม่ซ้ำกันซึ่งทำให้ ${\displaystyle \lambda _{A},\lambda _{B},\lambda _{C}}$

${\displaystyle \lambda _{A}+\lambda _{B}+\lambda _{C}=1,}$

และ

${\displaystyle {\overrightarrow {XO}}=\lambda _{A}{\overrightarrow {XA}}+\lambda _{B}{\overrightarrow {XB}}+\lambda _{C}{\overrightarrow {XC}},}$

สำหรับทุกจุดX (สำหรับคำจำกัดความของสัญลักษณ์ลูกศรนี้และรายละเอียดเพิ่มเติม โปรดดูที่พื้นที่เชิงเส้นตรง )

ตามทฤษฎีบทของ Ceva จุดOจะต้องไม่อยู่บนเส้นตรงใดๆ ที่ลากผ่านจุดยอดสองจุดของสามเหลี่ยม ซึ่งหมายความว่า${\displaystyle \lambda _{A}\lambda _{B}\lambda _{C}\neq 0.}$

ถ้ากำหนดให้X เป็น จุดตัดFของเส้นตรงABและOC (ดูรูปประกอบ) สมการสุดท้ายสามารถจัดเรียงใหม่ได้เป็น

${\displaystyle {\overrightarrow {FO}}-\lambda _{C}{\overrightarrow {FC}}=\lambda _{A}{\overrightarrow {FA}}+\lambda _{B}{\overrightarrow {FB}}.}$

ด้านซ้ายของสมการนี้เป็นเวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกับเส้นตรงCFและด้านขวามีทิศทางเดียวกับเส้นตรงABเส้นตรงเหล่านี้มีทิศทางต่างกันเนื่องจากA, B, Cไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ดังนั้น ทั้งสองข้างของสมการจึงเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ และ

${\displaystyle \lambda _{A}{\overrightarrow {FA}}+\lambda _{B}{\overrightarrow {FB}}=0.}$

ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า

${\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}={\frac {\lambda _{B}}{\lambda _{A}}},}$

โดยที่เศษส่วนทางด้านซ้ายมือคืออัตราส่วนที่มีเครื่องหมายของความยาวของส่วนของเส้น ตรง AFและFB ที่ อยู่ บนเส้นเดียวกัน

เหตุผลเดียวกันนี้แสดงให้เห็นว่า

${\displaystyle {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}={\frac {\lambda _{C}}{\lambda _{B}}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}={\frac {\lambda _{A}}{\lambda _{C}}}.}$

ทฤษฎีบทของ Ceva ได้มาทันทีโดยการคูณสมการสามสมการสุดท้ายเข้าด้วยกัน

ทฤษฎีบทนี้สามารถขยายไปสู่ซิมเพล็ก ซ์มิติสูงกว่า โดยใช้พิกัดแบรีเซนทริกได้ กำหนดให้เซเวียนของซิ มเพล็กซ์ nมิติเป็นรังสีจากแต่ละจุดยอดไปยังจุดบนหน้า ( n − 1 ) ด้านตรงข้าม ( หน้า ) จากนั้นเซเวียนจะตัดกันที่จุดเดียวกันก็ต่อเมื่อ สามารถกำหนดการ กระจายมวลให้กับจุดยอดได้ โดยที่เซเวียนแต่ละเส้นตัดกับหน้าด้านตรงข้ามที่จุดศูนย์กลางมวลยิ่งไปกว่านั้น จุดตัดของเซเวียนคือจุดศูนย์กลางมวลของซิมเพล็กซ์^{[ 7 ] [ 8 ]}

การสรุปทั่วไปอีกประการหนึ่งสำหรับ ซิมเพล็กซ์มิติสูงขยายข้อสรุปของทฤษฎีบทของ Ceva ที่ว่าผลคูณของอัตราส่วนบางอย่างคือ 1 โดยเริ่มจากจุดหนึ่งในซิมเพล็กซ์ จุดหนึ่งจะถูกกำหนดแบบอุปนัยบนแต่ละ หน้า kจุดนี้คือฐานของเซเวียนที่ลากจากจุดยอดตรงข้ามกับ หน้า kในหน้า ( k + 1 ) ที่มีจุดยอดนั้นอยู่ ผ่านจุดที่กำหนดไว้แล้วบนหน้า ( k + 1 ) นี้ แต่ละจุดเหล่านี้จะแบ่งหน้าซึ่งมันอยู่เป็นกลีบ เมื่อกำหนดวงจรของคู่กลีบ ผลคูณของอัตราส่วนของปริมาตรของกลีบในแต่ละคู่คือ 1 ^{[ 9 ]}

ทฤษฎีบทของรูธให้พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่เกิดจากเซเวียนสามเส้นในกรณีที่เส้นเหล่านั้นไม่ตัดกันที่จุดเดียวกัน ทฤษฎีบทของเซวาได้มาจากทฤษฎีบทนี้โดยการกำหนดให้พื้นที่เท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ

ทฤษฎีบทที่คล้ายกันสำหรับรูปหลายเหลี่ยม ทั่วไป ในระนาบเป็นที่รู้จักกันมาตั้งแต่ต้นศตวรรษที่สิบเก้า^{[ 10 ]} ทฤษฎีบทนี้ยังได้รับการขยายความไปยังรูปสามเหลี่ยมบนพื้นผิวอื่นที่มีความโค้งคงที่อีกด้วย^{[ 11 ]}

ทฤษฎีบทนี้ยังมีรูปแบบทั่วไปที่รู้จักกันดีในเรขาคณิตทรงกลมและเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกโดยแทนที่ความยาวในอัตราส่วนด้วยค่าไซน์และค่าไซน์ไฮเปอร์โบลิกตามลำดับ

• เรขาคณิตเชิงฉาย
• ค่ามัธยฐาน (เรขาคณิต) – การประยุกต์ใช้
• สามเหลี่ยมเซอร์คัมเซเวียน
• ทฤษฎีบทของเมเนเลาส์
• สามเหลี่ยม
• ทฤษฎีบทของสจ๊วต
• เซเวียน

• Hogendijk, JB (1995). "อัล-มุตัมมาน อิบนุ ฮูด กษัตริย์แห่งซาราโกซาในศตวรรษที่ 11 และนักคณิตศาสตร์อัจฉริยะ" . Historia Mathematica . 22 : 1– 18. doi : 10.1006/hmat.1995.1001 .

• Menelaus และ Cevaที่ MathPages
• การพิสูจน์และการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของ Cevaที่cut-the-knot
• รูปแบบตรีโกณมิติของทฤษฎีบทของ Cevaที่cut-the-knot
• อภิธานศัพท์ของสารานุกรมศูนย์กลางสามเหลี่ยมประกอบด้วยคำจำกัดความของสามเหลี่ยมเซเวียน รังเซเวียน สามเหลี่ยมแอนติเซเวียน เซเวียนคอนจูเกต และเซเวียนพอยต์
• รูปทรงกรวยที่เกี่ยวข้องกับรังเซเวียน โดย คลาร์ก คิมเบอร์ลิง
• ทฤษฎีบทของ Cevaโดย Jay Warendorff จาก Wolfram Demonstrations Project
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ทฤษฎีบทของเซวา" . แมธเวิลด์ .
• การหาจุดศูนย์กลางมวลของสามเหลี่ยมที่มีน้ำหนักต่างกันที่จุดยอดโดยวิธีการทดลอง: การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของ Ceva ในทางปฏิบัติที่Dynamic Geometry Sketchesซึ่งเป็นโปรแกรมวาดภาพเรขาคณิตแบบไดนามิกเชิงโต้ตอบโดยใช้โปรแกรมจำลองแรงโน้มถ่วงของ Cinderella
• "ทฤษฎีบทเซวา" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]