โมดูลัสความยืดหยุ่น

Q: ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ โมดูลัสความยืดหยุ่น

โม ดูลัสความยืดหยุ่น คือปริมาณที่ใช้อธิบายความต้านทานของวัตถุหรือสารต่อการเปลี่ยนแปลงรูปร่างแบบยืดหยุ่น (กล่าวคือ การเปลี่ยนแปลงที่ไม่ถาวร) เมื่อ มี แรง กระทำต่อวัตถุหรือสารนั้น

Q: คำนิยาม

โมดูลัสความยืดหยุ่นของวัตถุถูกกำหนดให้เป็น ความชัน ของ เส้นโค้งความเค้น-ความเครียด ในบริเวณการเสียรูปยืดหยุ่น [ 1 ] วัสดุที่แข็งกว่าจะมีโมดูลัสความยืดหยุ่นสูงกว่า โมดูลัสความยืดหยุ่นมีรูปแบบดังนี้:

โมดูลัสความยืดหยุ่นคือปริมาณที่ใช้อธิบายความต้านทานของวัตถุหรือสารต่อการเปลี่ยนแปลงรูปร่างแบบยืดหยุ่น (กล่าวคือ การเปลี่ยนแปลงที่ไม่ถาวร) เมื่อ มี แรงกระทำต่อวัตถุหรือสารนั้น

คำนิยาม

โมดูลัสความยืดหยุ่นของวัตถุถูกกำหนดให้เป็นความชันของเส้นโค้งความเค้น-ความเครียดในบริเวณการเสียรูปยืดหยุ่น^{[ 1 ]}วัสดุที่แข็งกว่าจะมีโมดูลัสความยืดหยุ่นสูงกว่า โมดูลัสความยืดหยุ่นมีรูปแบบดังนี้:

\delta \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\frac {\text{stress}}{\text{strain}}}

โดยที่ความเค้นคือแรงที่ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงรูปร่างหารด้วยพื้นที่ที่แรงนั้นกระทำ และความเครียดคืออัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงในพารามิเตอร์บางอย่างที่เกิดจากการเปลี่ยนแปลงรูปร่างต่อค่าเดิมของพารามิเตอร์นั้น

เนื่องจากความเครียดเป็นปริมาณที่ไม่มีมิติหน่วยของความเครียดจึงจะเหมือนกับหน่วยของความเค้น^[²^] $\delta$

ค่าคงที่ความยืดหยุ่นและโมดูลัส

ค่าคงที่ความยืดหยุ่นเป็นพารามิเตอร์เฉพาะที่วัดความแข็งของวัสดุในการตอบสนองต่อแรงเค้น ที่กระทำ และเป็นพื้นฐานในการกำหนดคุณสมบัติความยืดหยุ่นของวัสดุ ค่าคงที่เหล่านี้ประกอบเป็นองค์ประกอบของเมทริกซ์ความแข็งในสัญกรณ์เทนเซอร์ ซึ่งเชื่อมโยงความเค้นกับความเครียดผ่านสมการเชิงเส้นในวัสดุแอนไอโซโทรปิก โดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ C _ijklโดยที่i , j , kและlคือทิศทางพิกัด ค่าคงที่เหล่านี้มีความสำคัญต่อการทำความเข้าใจว่าวัสดุเสียรูปอย่างไรภายใต้ภาระต่างๆ^{[ 3 ]}

ประเภทของโมดูลัสความยืดหยุ่น

การระบุวิธีการวัดความเค้นและความเครียด รวมถึงทิศทาง ทำให้สามารถกำหนดค่าโมดูลัสความยืดหยุ่นได้หลายประเภท โดยประเภทหลักๆ มีสี่ประเภท ได้แก่:

โมดูลัสของยัง ( E ) อธิบายถึง ความยืดหยุ่นในการดึงและการบีบอัดหรือแนวโน้มของวัตถุที่จะเปลี่ยนรูปไปตามแกนเมื่อมีแรงต้านกระทำไปตามแกนนั้น โดยนิยามของมันคืออัตราส่วนของความเค้นดึงต่อความเครียดดึงมักเรียกกันง่ายๆ ว่าสความยืดหยุ่น
โมดูลัสเฉือนหรือโมดูลัสความแข็งแกร่ง ( Gหรือพารามิเตอร์ที่สองของลาเม) อธิบายถึงแนวโน้มของวัตถุที่จะเกิดการเฉือน (การเปลี่ยนรูปของรูปร่างที่ปริมาตรคงที่) เมื่อถูกกระทำโดยแรงที่ตรงข้ามกัน โดยนิยามของมันคือความเค้นเฉือนหารด้วยความเครียด เฉือน โมดูลั สเฉือนเป็นส่วนหนึ่งของการหาค่าความหนืด $\mu \,$
โมดูลัสปริมาตร ( K ) อธิบายถึงความยืดหยุ่นเชิงปริมาตร หรือแนวโน้มของวัตถุที่จะเสียรูปในทุกทิศทางเมื่อรับแรงกระทำอย่างสม่ำเสมอในทุกทิศทาง โดยนิยามของมันคือความเค้นเชิงปริมาตรหารด้วยความเครียดเชิงปริมาตร และเป็นส่วนกลับของความสามารถในการอัด ตัว โมดูลั สปริมาตรเป็นการขยายแนวคิดของโมดูลัสของยัง (Young's modulus) ไปสู่สามมิติ
โมดูลัสการดัดงอ ( E _flex ) อธิบายถึงแนวโน้มของวัตถุ ที่จะโค้งงอเมื่อถูกกระทำด้วยโมเมนต์

ค่าสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นอีกสองค่า ได้แก่พารามิเตอร์แรกของลาเม ( λ)และค่าสัมประสิทธิ์คลื่นพี ( M ) ดังที่ใช้ในตารางเปรียบเทียบค่าสัมประสิทธิ์ที่แสดงไว้ด้านล่างเอกสารอ้างอิง วัสดุที่เป็นเนื้อเดียวกันและไอโซโทรปิก (คล้ายกันในทุกทิศทาง) (ของแข็ง) มีคุณสมบัติความยืดหยุ่น (เชิงเส้น) ที่อธิบายได้อย่างสมบูรณ์โดยค่าสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นสองค่า และสามารถเลือกคู่ใดก็ได้ เมื่อกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นคู่หนึ่งแล้ว ค่าสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นอื่นๆ ทั้งหมดสามารถคำนวณได้ตามสูตรในตารางด้านล่างสุดของหน้านี้

ของเหลวที่อยู่นิ่งนั้นมีความพิเศษตรงที่ไม่สามารถรับแรงเฉือนได้ ซึ่งหมายความว่าโมดูลัสเฉือนจะมีค่าเป็นศูนย์เสมอ นอกจากนี้ยังหมายความว่าโมดูลัสของยัง (Young's modulus) สำหรับกลุ่มนี้ก็มีค่าเป็นศูนย์เช่นกัน เมื่อเคลื่อนที่สัมพันธ์กับพื้นผิวของแข็ง ของเหลวจะประสบกับแรงเฉือนที่อยู่ติดกับพื้นผิว ทำให้เกิดปรากฏการณ์ความหนืดขึ้น

ในตำราบางเล่ม ค่าโมดูลัสของความยืดหยุ่นจะถูกเรียกว่าค่าคงที่ความยืดหยุ่นในขณะที่ค่าผกผันของค่าคงที่ความยืดหยุ่นจะถูกเรียกว่า โมดูลั ส ความยืดหยุ่น

การคำนวณทฤษฎีฟังก์ชันความหนาแน่น

ทฤษฎีฟังก์ชันความหนาแน่น (DFT) เป็นวิธีการที่เชื่อถือได้สำหรับการกำหนดค่าโมดูลัสความยืดหยุ่นหลายรูปแบบ ซึ่งบ่งบอกถึงลักษณะเฉพาะของการตอบสนองของวัสดุต่อแรงเค้นทางกล ควรใช้ซอฟต์แวร์ DFT เช่นVASP , Quantum ESPRESSOหรือABINITโดยรวมแล้ว ควรทำการทดสอบเพื่อให้แน่ใจว่าผลลัพธ์ไม่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์การคำนวณ เช่น ความหนาแน่นของตาข่ายจุด k พลังงานตัดคลื่นระนาบ และขนาดของเซลล์จำลอง

โมดูลัสของยัง ( E ) - ใช้การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยทีละน้อยในพารามิเตอร์แลตติสตามแกนเฉพาะ และคำนวณการตอบสนองความเค้นที่สอดคล้องกันโดยใช้ DFT โมดูลัสของยังจะคำนวณได้เป็นE = σ / ϵโดยที่σคือความเค้น และϵคือความเครียด^{[ 4 ]}
1. โครงสร้างเริ่มต้น: เริ่มต้นด้วยโครงสร้างที่ผ่อนคลายของวัสดุ อะตอมทั้งหมดควรอยู่ในสถานะพลังงานต่ำสุด (กล่าวคือ สถานะพลังงานต่ำสุดที่มีแรงกระทำต่ออะตอมเป็นศูนย์) ก่อนที่จะมีการใช้การเปลี่ยนแปลงรูปร่างใดๆ^{[ 5 ]}
2. การเปลี่ยนแปลงรูปร่างแบบแกนเดียวทีละน้อย: ใช้แรงดึงหรือแรงอัดเล็กน้อยกับโครงผลึกตามแนวแกนใดแกนหนึ่ง โดยปกติแรงดึงหรือแรงอัดนี้จะเป็นแบบแกนเดียวหมายความว่ามันจะยืดหรือบีบอัดโครงผลึกในทิศทางเดียว ในขณะที่มิติอื่นๆ ยังคงที่หรือเป็นไปตามคาบ
3. คำนวณความเค้น: สำหรับแต่ละโครงสร้างที่มีแรงดึง ให้ทำการคำนวณ DFT เพื่อคำนวณเทนเซอร์ความเค้น ที่เกิดขึ้น ซึ่งเกี่ยวข้องกับการแก้สมการ Kohn-Sham เพื่อหาความหนาแน่นอิเล็กตรอน และพลังงาน สถานะพื้นฐาน ภายใต้สภาวะที่มีแรงดึง
4. กราฟความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นและความเครียด : นำค่าความเค้นที่คำนวณได้ไปพล็อตเทียบกับความเครียดที่เกิดขึ้น เพื่อสร้างกราฟความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นและความเครียด ค่าความชันของส่วนเส้นตรงแรกในกราฟนี้จะให้ค่าโมดูลัสของยัง (Young's modulus) ในทางคณิตศาสตร์โมดูลัสของยังEคำนวณได้จากสูตรE = σ / ϵโดยที่σคือความเค้น และϵคือความเครียด
โมดูลัสเฉือน ( G )
1. โครงสร้างเริ่มต้น: เริ่มต้นด้วยโครงสร้างของวัสดุที่ผ่อนคลาย อะตอมทั้งหมดควรอยู่ในสถานะพลังงานต่ำสุดโดยไม่มีแรงตกค้าง (กล่าวคือ สถานะพลังงานต่ำสุดที่มีแรงกระทำต่ออะตอมเป็นศูนย์) ก่อนที่จะมีการเปลี่ยนแปลงรูปร่างใดๆ เกิดขึ้น
2. การประยุกต์ใช้ความเครียดเฉือน: ใช้ความเครียดเฉือนทีละน้อยกับวัสดุ ความเครียดเฉือน โดยทั่วไปจะเป็นส่วนประกอบนอกแนวทแยงในเทนเซอร์ ความเครียดซึ่งส่งผลต่อรูปร่างแต่ไม่ส่งผลต่อปริมาตรของเซลล์ผลึก^{[ 6 ]}
3. การคำนวณความเค้น: สำหรับแต่ละการกำหนดค่าที่มีการใช้แรงเฉือนให้ทำการคำนวณ DFT เพื่อหาเทนเซอร์ความเค้นที่เกิดขึ้น
4. กราฟความเค้น เฉือนเทียบกับ ความเครียดเฉือน : พล็อตค่าความเค้นเฉือนที่คำนวณได้เทียบกับความเครียดเฉือนที่ใช้ในแต่ละช่วง ความชันของกราฟความเค้น-ความเครียดในส่วนที่เป็นเส้นตรงจะให้ค่าโมดูลัสเฉือนG = τ / γโดยที่τคือความเค้นเฉือน และγคือความเครียดเฉือนที่ใช้
โมดูลัสปริมาตร ( K )
1. โครงสร้างเริ่มต้น: เริ่มต้นด้วยโครงสร้างของวัสดุที่ผ่อนคลาย สิ่งสำคัญคือต้องปรับแต่งวัสดุให้เหมาะสมที่สุด เพื่อให้แน่ใจว่าการเปลี่ยนแปลงปริมาตรใดๆ เกิดจากแรงดันที่กระทำเท่านั้น
2. การเปลี่ยนแปลงปริมาตร: เปลี่ยนแปลงปริมาตรของเซลล์ผลึก ทีละน้อย โดยการบีบอัดหรือขยายเซลล์ผลึก โดยทั่วไปจะทำได้โดยการปรับขนาดพารามิเตอร์ของโครงสร้างผลึกอย่างสม่ำเสมอ
3. คำนวณแรงดัน: สำหรับปริมาตรที่เปลี่ยนแปลงแต่ละครั้ง ให้ทำการคำนวณ DFT เพื่อหาแรงดันที่จำเป็นในการรักษาปริมาตรนั้นไว้ DFT ช่วยให้สามารถคำนวณเทนเซอร์ความเค้น ซึ่งให้การวัดแรงดันภายในโดยตรง
4. เส้นโค้งความดัน-ปริมาตร : พล็อตความดันที่ใช้เทียบกับการเปลี่ยนแปลงปริมาตรที่เกิดขึ้น สามารถคำนวณโมดูลัสปริมาตรได้จากความชันของเส้นโค้งนี้ในบริเวณยืดหยุ่นเชิงเส้น โมดูลัสปริมาตรถูกกำหนดเป็นK =− VdV / dPโดยที่VคือปริมาตรเดิมdPคือการเปลี่ยนแปลงความดัน และdVคือการเปลี่ยนแปลงปริมาตร^{[ 7 ]}

ดูเพิ่มเติม

อ่านเพิ่มเติม

ฮาร์ทซุยเกอร์ ค.; เวลเลแมน เจดับบลิว (2001) วิศวกรรมเครื่องกล . เล่มที่ 2 สปริงเกอร์ไอเอสบีเอ็น 978-1-4020-4123-5.

De Jong, M.; Chen, Wei (2015). "การสร้างแผนภูมิคุณสมบัติความยืดหยุ่นที่สมบูรณ์ของสารประกอบผลึกอนินทรีย์" Scientific Data . 2 : 150009. Bibcode : 2013NatSD...2E0009D . doi : 10.1038/sdata.2015.9 . PMC 4432655 . PMID 25984348 .

[ 1 ]

[

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

สูตร 3 มิติ
สิ่งที่ทราบ	โมดูลัสปริมาตร $(K)$	โมดูลัสของยัง $(E)$	พารามิเตอร์แรกของ Lamé $(λ)$	โมดูลัสเฉือน $(G)$	อัตราส่วนปัวซอง $(ν)$	ค่าสัมบูรณ์ของคลื่น P $(M)$	หมายเหตุ
$(เค, อี)$			$3 K$ $($ $1 + ⁠ 6 กก. / อี - 9 เค)$ $$	$⁠ อี / 3 - ⁠ อี / 3K ⁠ ⁠$	$⁠ 1 / 2 ⁠ - ⁠ อี / 6 กก. ⁠$	$⁠ 3 K + E / 3 - ⁠ อี / 3K ⁠ ⁠$
$(K, λ)$		$⁠ 9 K (K - λ) / 3 K - λ ⁠$		$⁠ 3(K - λ) / 2 ⁠$	$⁠ λ / 3 K - λ ⁠$	$3 K - 2λ$
$(เค, จี)$		$⁠ 9 กก. / 3 K + G ⁠$	$เค - ⁠ 2 จี / 3 ⁠$		$⁠ 3 K - 2 G / 6 K + 2 G ⁠$	$เค + ⁠ 4 จี / 3 ⁠$
$(K, ν)$		$3 K (1 - 2 ν)$	$⁠ 3 Kν / 1 + ν ⁠$	$⁠ 3 K (1 - 2 ν) / 2(1 + ν) ⁠$		$⁠ 3 K (1 - ν) / 1 + ν ⁠$
$(เค, เอ็ม)$		$⁠ 9 K (M - K) / 3 K + M ⁠$	$⁠ 3 K - M / 2 ⁠$	$⁠ 3(M - K) / 4 ⁠$	$⁠ 3 K - M / 3 K + M ⁠$
$(E, λ)$	$⁠ E + 3λ + R / 6 ⁠$			$⁠ E - 3λ + R / 4 ⁠$	$- ⁠ อี + อาร์ / 4λ ⁠ - ⁠ 1 / 4 ⁠$	$⁠ อี - λ + อาร์ / 2 ⁠$	$R = \pm$ $($ $จ 2 + 9 แล 2 + 2 จ แล$ $)$ $⁠$ $1 / 2 ⁠$
$(อี, จี)$	$⁠ อีจี / 3(3 G - E) ⁠$		$⁠ G (E - 2 G) / 3 จี - อี ⁠$		$⁠ อี / 2 จี ⁠ - 1$	$⁠ G (4 G - E) / 3 จี - อี ⁠$
$(E, ν)$	$⁠ อี / 3 - 6 ν ⁠$		$⁠ อีν / (1 + ν)(1 - 2 ν) ⁠$	$⁠ อี / 2(1 + ν) ⁠$		$⁠ E (1 - ν) / (1 + ν)(1 - 2 ν) ⁠$
$(อี, เอ็ม)$	$⁠ 3 M - E + S / 6 ⁠$		$⁠ เอ็ม - อี + เอ ส / 4 ⁠$	$⁠ 3 M + E - S / 8 ⁠$	$⁠ อี + เอส / 4 เมตร ⁠ - ⁠ 1 / 4 ⁠$		$S = \pm$ $($ $E 2 + 9M 2 - 10 E M$ $)$ $⁠$ $1 / 2 ⁠$
$(λ, G)$	$λ + ⁠ 2 จี / 3 ⁠$	$⁠ G (3λ + 2 G) / λ + G ⁠$			$⁠ λ / 2(λ + G) ⁠$	$λ + 2 G$
$(λ, ν)$	$⁠ λ / 3$ $($ $1$ $+$ $⁠$ $1 / ν)$ $$	$λ$ $($ $⁠$ $1 / ν ⁠ - 2 ν - 1$ $)$		$λ$ $($ $⁠$ $1 / 2 ν ⁠ - 1$ $)$		$λ$ $($ $⁠$ $1 / ν ⁠ - 1$ $)$
$(λ, M)$	$⁠ M + 2λ / 3 ⁠$	$⁠ (M - λ)(M +2λ) / เอ็ม + λ ⁠$		$⁠ เอ็ม - แกมมา / 2 ⁠$	$⁠ λ / เอ็ม + λ ⁠$
$(G, ν)$	$⁠ 2 G (1 + ν) / 3 - 6 ν ⁠$	$2 G (1 + ν)$	$⁠ 2 G ν / 1 - 2 ν ⁠$			$⁠ 2 G (1 - ν) / 1 - 2 ν ⁠$
$(จี, เอ็ม)$	$เอ็ม - ⁠ 4 จี / 3 ⁠$	$⁠ G (3 M - 4 G) / ม - ก ⁠$	$เอ็ม - 2 จี$		$⁠ เอ็ม - 2 จี / 2 ม - 2 ก ⁠$
$(ν, M)$	$⁠ M (1 + ν) / 3(1 - ν) ⁠$	$⁠ M (1 + ν)(1 - 2 ν) / 1 - ν ⁠$	$⁠ เอ็ม ν / 1 - ν ⁠$	$⁠ M (1 - 2 ν) / 2(1 - ν) ⁠$
สูตร 2 มิติ
สิ่งที่ทราบ	$(เค)$	$(E)$	$(λ)$	$(G)$	$(ν)$	$(ม)$	หมายเหตุ
$(K 2D, E 2D)$			$⁠ 2 K 2D (2 K 2D - E 2D) / 4 K 2D - E 2D ⁠$	$⁠ เค 2D อี 2D / 4 K 2D - E 2D ⁠$	$⁠ 2 K 2D - E 2D / 2K 2D ⁠$	$⁠ 4 K 2D^2 / 4 K 2D - E 2D ⁠$
$(K 2D, λ 2D)$		$⁠ 4 K 2D (K 2D - λ 2D) / 2 K 2D - λ 2D ⁠$		$K 2D - λ 2D$	$⁠ λ 2D / 2 K 2D - λ 2D ⁠$	$2 K 2D - λ 2D$
$(K 2D, G 2D)$		$⁠ 4K 2D G 2D / เค 2D + จี 2D ⁠$	$K 2D - G 2D$		$⁠ K 2D - G 2D / เค 2D + จี 2D ⁠$	$เค 2D + จี 2D$
$(K 2D, ν 2D)$		$2 K 2D (1 - ν 2D)$	$⁠ 2 K 2D ν 2D / 1 + ν 2D ⁠$	$⁠ K 2D (1 - ν 2D) / 1 + ν 2D ⁠$		$⁠ 2K 2D / 1 + ν 2D ⁠$
$(E 2D, G 2D)$	$⁠ อี 2D จี 2D / 4 G 2D - E 2D ⁠$		$⁠ 2 G 2D (E 2D - 2 G 2D) / 4 G 2D - E 2D ⁠$		$⁠ อี 2D / 2 G 2D ⁠ - 1$	$⁠ 4 G 2D^2 / 4 G 2D - E 2D ⁠$
$(E 2D, ν 2D)$	$⁠ อี 2D / 2(1 - ν 2D) ⁠$		$⁠ อี 2D ν 2D / (1 + ν 2D)(1 - ν 2D) ⁠$	$⁠ อี 2D / 2(1 + ν 2D) ⁠$		$⁠ อี 2D / (1 + ν 2D)(1 - ν 2D) ⁠$
$(λ 2D, G 2D)$	$λ 2D + G 2D$	$⁠ 4 G 2D (λ 2D + G 2D) / λ 2D + 2 G 2D ⁠$			$⁠ λ 2D / λ 2D + 2 G 2D ⁠$	$λ 2D + 2 G 2D$
$(λ 2D, ν 2D)$	$⁠ λ 2D (1 + ν 2D) / 2 ν 2D ⁠$	$⁠ แล 2D (1 + ν 2D)(1 - ν 2D) / ν 2D ⁠$		$⁠ λ 2D (1 - ν 2D) / 2 ν 2D ⁠$		$⁠ λ 2D / ν 2D ⁠$
$(G 2D, ν 2D)$	$⁠ G 2D (1 + ν 2D) / 1 - ν 2D ⁠$	$2 G 2D (1 + ν 2D)$	$⁠ 2 G 2D ν 2D / 1 - ν 2D ⁠$			$⁠ 2 G 2D / 1 - ν 2D ⁠$
$(G 2D, M 2D)$	$M 2D - G 2D$	$⁠ 4 G 2D (M 2D - G 2D) / เอ็ม 2ดี ⁠$	$M 2D - 2 G 2D$		$⁠ M 2D - 2 G 2D / เอ็ม 2ดี ⁠$