ในทางคณิตศาสตร์เซตย่อยของเซต ที่ใหญ่กว่า จะปิด ภายใต้ การดำเนินการที่กำหนดบนเซตที่ใหญ่กว่านั้น หากการดำเนินการนั้นกับสมาชิกของเซตย่อยจะให้ผลลัพธ์เป็นสมาชิกของเซตย่อยนั้นเสมอ ตัวอย่างเช่นจำนวนธรรมชาติปิดภายใต้การบวก แต่ไม่ปิดภายใต้การลบ: 1 − 2ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ แม้ว่า 1 และ 2 จะเป็นจำนวนธรรมชาติก็ตาม

ในทำนองเดียวกัน เซตย่อยจะกล่าวได้ว่าปิดภายใต้ชุดของการดำเนินการ หากเซตย่อยนั้นปิดภายใต้การดำเนินการแต่ละอย่างแยกกัน

การปิดของเซตย่อยคือผลลัพธ์ของ การใช้ ตัวดำเนินการปิดกับเซตย่อยนั้นการปิดของเซตย่อยภายใต้การดำเนินการบางอย่างคือเซตใหญ่ที่เล็กที่สุดที่ปิดภายใต้การดำเนินการเหล่านั้น มักเรียกว่าช่วง (เช่นช่วงเชิงเส้น ) หรือเซตที่สร้างขึ้น

ให้Sเป็นเซต ที่มีวิธีการสร้างสมาชิกของ Sจากสมาชิกอื่น ๆ ของSอย่างน้อยหนึ่งวิธี[ ^{หมายเหตุ 1 ]} เซตย่อยXของSกล่าวได้ว่าปิดภายใต้วิธีการเหล่านี้ หากการป้อนสมาชิกของX เพียงอย่างเดียว ส่งผลให้ได้สมาชิกที่ยังคงอยู่ในX เสมอ บางครั้ง อาจกล่าวได้ว่าXมีทรัพย์สินที่ปิดตัวลง

คุณสมบัติหลักของเซตปิด ซึ่งได้มาโดยตรงจากนิยาม คือเซต ปิดทุก เซตที่ตัดกันจะเป็นเซตปิดดังนั้น สำหรับทุกเซตย่อยYของSจะมีเซตย่อยปิดที่เล็กที่สุดXของSเช่นนั้น (มันคือการตัดกันของ เซต ย่อยปิดทั้งหมดที่บรรจุY ) ขึ้นอยู่กับบริบทXอาจถูกเรียกว่าเซตปิดของYหรือ เซตที่สร้างขึ้นหรือแผ่ขยายโดยY${\displaystyle Y\subseteq X}$

แนวคิดของเซตปิดและการปิดมักถูกขยายไปยังคุณสมบัติใดๆ ของเซตย่อยที่เสถียรภายใต้การตัดกัน กล่าวคือ การตัดกันของเซตย่อยทุกเซตที่มีคุณสมบัติดังกล่าวจะมีคุณสมบัตินั้นด้วย ตัวอย่างเช่นเซตปิดแบบซาริสกิหรือที่เรียกว่าเซตพีชคณิตคือเซตของศูนย์ร่วมของตระกูลพหุนาม และการปิดแบบซาริสกิของเซต จุด Vคือเซตพีชคณิตที่เล็กที่สุดที่บรรจุVไว้ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$

โครงสร้างเชิงพีชคณิตคือ เซตที่มีการดำเนินการซึ่งสอดคล้อง กับ สัจพจน์ บางประการ สัจพจน์เหล่านี้อาจเป็นเอกลักษณ์บางสัจพจน์อาจมีตัวบ่งปริมาณเชิง มีอยู่ ในกรณีนี้ การเพิ่มการดำเนินการเสริมบางอย่างเพื่อให้สัจพจน์ทั้งหมดกลายเป็นเอกลักษณ์หรือ สูตรที่มีตัวบ่ง ปริมาณเชิงสากล อย่างแท้จริงนั้นเป็นสิ่งที่คุ้มค่า ดู รายละเอียดเพิ่มเติมได้ที่ โครงสร้างเชิงพีชคณิตเซตที่มีการดำเนินการทวิภาค เพียงอย่างเดียว ที่เป็นเซตปิดเรียกว่าแมกมา ${\displaystyle \exists ;}$

ในบริบทนี้ เมื่อกำหนดโครงสร้างพีชคณิตS แล้ว โครงสร้างย่อยของSคือเซตย่อยที่ปิดภายใต้การดำเนินการทั้งหมดของSรวมถึงการดำเนินการเสริมที่จำเป็นสำหรับการหลีกเลี่ยงตัวบ่งปริมาณเชิงมีอยู่ โครงสร้างย่อยเป็นโครงสร้างพีชคณิตประเภทเดียวกับSดังนั้น ในตัวอย่างเฉพาะ เมื่อพิสูจน์ความใกล้ชิดแล้ว จึงไม่จำเป็นต้องตรวจสอบสัจพจน์เพื่อพิสูจน์ว่าโครงสร้างย่อยเป็นโครงสร้างประเภทเดียวกัน

กำหนดให้ Xเป็นเซตย่อยของโครงสร้างพีชคณิตSส่วนปิดของXคือโครงสร้างย่อยที่เล็กที่สุดของSที่ปิดภายใต้การดำเนินการทั้งหมดของSในบริบทของโครงสร้างพีชคณิต ส่วนปิดนี้โดยทั่วไปเรียกว่าโครงสร้างย่อยที่สร้างขึ้นหรือแผ่ขยายโดยXและเรากล่าวว่าXเป็นเซตสร้างของโครงสร้างย่อยนั้น

ตัวอย่างเช่นกลุ่มคือเซตที่มีการดำเนินการแบบสมาคมซึ่งมักเรียกว่าการคูณโดยมีสมาชิกเอกลักษณ์เพียงตัวเดียว และสมาชิกทุกตัวมีสมาชิกผกผันในที่นี้ การดำเนินการเสริมคือ การดำเนินการ แบบศูนย์ซึ่งให้ผลลัพธ์เป็นสมาชิกเอกลักษณ์ และการดำเนินการแบบเอกภาคคือการผกผัน เซตย่อยของกลุ่มที่ปิดภายใต้การคูณและการผกผันจะปิดภายใต้การดำเนินการแบบศูนย์ด้วย (กล่าวคือ มีเอกลักษณ์อยู่ภายใน) ก็ต่อเมื่อเซตย่อยนั้นไม่ว่างเปล่า ดังนั้น เซตย่อยที่ไม่ว่างเปล่าของกลุ่มที่ปิดภายใต้การคูณและการผกผัน คือกลุ่มที่เรียกว่ากลุ่มย่อยกลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นโดยสมาชิกเพียงตัวเดียว กล่าวคือ การปิดของสมาชิกนั้น เรียกว่ากลุ่ม วัฏจักร

ในพีชคณิตเชิงเส้นการปิดของเซตย่อยที่ไม่ว่างเปล่าของปริภูมิเวกเตอร์ (ภายใต้การดำเนินการของปริภูมิเวกเตอร์ กล่าวคือ การบวกและการคูณด้วยสเกลาร์ ) คือปริภูมิเชิงเส้นที่เกิดจากเซตย่อยนั้น ปริภูมิเวกเตอร์นี้เป็นผลลัพธ์ทั่วไปที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ และสามารถพิสูจน์ได้ง่ายว่า คือเซตของการรวมเชิงเส้นของสมาชิกในเซตย่อยนั้น

สามารถยกตัวอย่างที่คล้ายกันได้สำหรับโครงสร้างพีชคณิตเกือบทุกแบบ โดยบางครั้งอาจใช้คำศัพท์เฉพาะ ตัวอย่างเช่น ในวงแหวนสลับที่การปิดของสมาชิกเดี่ยวภายใต้ การดำเนินการเชิง อุดมคติเรียกว่าอุดมคติ หลัก

ความสัมพันธ์ทวิภาค บนเซตคือเซตย่อยของซึ่งเป็นเซตของคู่ลำดับ ทั้งหมด บนโดยทั่วไปจะใช้สัญกรณ์อินฟิกซ์สำหรับเราสามารถกำหนดประเภทการปิดที่แตกต่างกันของบนได้โดยใช้คุณสมบัติและการดำเนินการของมัน ตัวอย่างเช่น: ^{[หมายเหตุ 2 ]}${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A\times A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle xRy}$${\displaystyle (x,y)\in R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$

การสะท้อนกลับ

เนื่องจากจุดตัดทุกจุดของความสัมพันธ์แบบสะท้อนกลับล้วนเป็นความสัมพันธ์แบบสะท้อนกลับ เราจึงกำหนดนิยามของการปิดแบบสะท้อนกลับของบนว่าเป็นความสัมพันธ์แบบสะท้อนกลับที่เล็กที่สุดบนที่บรรจุไว้${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$

สมมาตร

เนื่องจากเราสามารถกำหนดการดำเนินการเอกภาคบน ที่แมปไปยัง ได้เราจึงกำหนดความปิดสมมาตรของบนว่าเป็นความสัมพันธ์ที่เล็กที่สุดบนที่บรรจุและปิดภายใต้การดำเนินการเอกภาคนี้${\displaystyle A\times A}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (y,x)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$

การถ่ายทอด

เนื่องจากเราสามารถกำหนดการดำเนินการทวิภาคบางส่วนบนที่แมปและไปยังได้เราจึงกำหนดการปิดแบบทรานซิทีฟของบนเป็นความสัมพันธ์ที่เล็กที่สุดบนที่ประกอบด้วยและปิดภายใต้การดำเนินการทวิภาคบางส่วนนี้${\displaystyle A\times A}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (y,z)}$${\displaystyle (x,z)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$

พรีออร์เดอร์ (Preorder)คือความสัมพันธ์ที่มีคุณสมบัติสะท้อนและถ่ายทอดได้ ดังนั้นการปิดแบบสะท้อนและ ถ่ายทอดได้ ของความสัมพันธ์ใดๆ ก็คือพรีออร์เดอร์ที่เล็กที่สุดที่บรรจุความสัมพันธ์นั้นไว้ ในทำนองเดียวกัน การปิดแบบสมมาตร หรือการปิดแบบสมมูลแบบสะท้อนและถ่ายทอด ได้ของความสัมพันธ์ใดๆ ก็คือ ความสัมพันธ์สมมูลที่เล็กที่สุดที่บรรจุความสัมพันธ์นั้นไว้

• ในทฤษฎีเมทริกซ์ปิดXคือเซตย่อยที่ใหญ่ที่สุดของXที่มีอันดับเท่ากับX
• การปิดแบบส่ง^ผ่านของเซต [ ^{1 ]}
• การปิดเชิงพีชคณิตของฟิลด์^{[ 2 ]}
• การปิดแบบอินทิกรัลของโดเมนอินทิกรัลในฟิลด์ที่บรรจุโดเมนนั้นไว้
• รากของไอเดียลในวงแหวนสลับที่
• ในทางเรขาคณิตขอบเขตนูนของเซตSของจุดคือเซตนูนที่ เล็กที่สุด ซึ่งSเป็นเซตย่อย^{[ 3 ]}
• ในภาษาทางการการปิดแบบคลีน (Kleene closure)ของภาษาหนึ่งๆ สามารถอธิบายได้ว่าเป็นเซตของสตริงที่สามารถสร้างขึ้นได้โดยการต่อสตริงตั้งแต่ศูนย์สตริงขึ้นไปจากภาษานั้นเข้าด้วยกัน
• ในทฤษฎีกลุ่มการปิดแบบสังยุคหรือการปิดแบบปกติของเซตของ สมาชิก กลุ่มคือกลุ่มย่อยปกติ ที่เล็กที่สุด ที่บรรจุเซตนั้นไว้
• ในคณิตศาสตร์วิเคราะห์และทฤษฎีความน่าจะเป็น การปิดของกลุ่มเซตย่อยของXภายใต้การดำเนินการเซตจำนวนนับได้ เรียกว่าσ-algebraที่สร้างขึ้นโดยกลุ่มเซตย่อยนั้น

ในส่วนก่อนหน้านี้ เราได้พิจารณาถึงการปิดสำหรับเซตย่อยของเซตที่กำหนดให้ เซตย่อยของเซตนั้นประกอบกันเป็นเซตที่มีลำดับบางส่วน (poset) สำหรับการรวมเข้าด้วยกันตัวดำเนินการปิดช่วยให้สามารถขยายแนวคิดของการปิดไปยังเซตที่มีลำดับบางส่วนใดๆ ก็ได้

กำหนดให้เซตลำดับบางส่วนSซึ่งมีลำดับบางส่วนที่แสดงด้วย≤ตัวดำเนินการปิดบนSคือฟังก์ชัน ที่ ${\displaystyle C:S\to S}$

• เพิ่มขึ้น ( สำหรับทุกคน)${\displaystyle x\leq C(x)}$${\displaystyle x\in S}$
• ไอเดมโพเทนต์ ( ), และ${\displaystyle C(C(x))=C(x)}$
• โมโนโทนิก ( ). ^{[ 4 ]}${\displaystyle x\leq y\implies C(x)\leq C(y)}$

ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันจากSไปยังSเป็นตัวดำเนินการปิด ถ้าสำหรับทุก ๆ${\displaystyle x\leq C(y)\iff C(x)\leq C(y)}$${\displaystyle x,y\in S.}$

สมาชิกของSเป็นกลุ่มปิดก็ต่อเมื่อเป็นกลุ่มปิดของตัวเอง กล่าวคือ ถ้าโดยคุณสมบัติเอกลักษณ์ สมาชิกจะเป็นกลุ่มปิดก็ ต่อเมื่อเป็นกลุ่มปิดของสมาชิกบางตัวในS${\displaystyle x=C(x).}$

ตัวอย่างหนึ่งคือ ตัวดำเนินการ ปิดเชิงทอพอโลยีในการกำหนดลักษณะของ Kuratowskiนั้น สัจพจน์ K2, K3, K4' สอดคล้องกับคุณสมบัติที่กำหนดข้างต้น ตัวอย่างที่ไม่ทำงานกับเซตย่อยคือฟังก์ชันเพดานซึ่งแมปจำนวนจริง x ทุกจำนวนไป ยังจำนวนเต็มที่เล็กที่สุดที่ไม่น้อยกว่าx

การปิดบนเซตย่อยของเซตที่กำหนด อาจนิยามได้โดยใช้ตัวดำเนินการปิด หรือโดยใช้เซตของเซตปิดที่เสถียรภายใต้การตัดกันและรวมถึงเซตที่กำหนด การนิยามทั้งสองนี้เทียบเท่ากัน

อันที่จริง คุณสมบัติที่กำหนดของตัวดำเนินการปิดCบ่งชี้ว่า การตัดกันของเซตปิดจะเป็นเซตปิด: ถ้าเป็นการตัดกันของเซตปิดแล้วจะต้องมีX อยู่ภายใน และจะต้องมีอยู่ในทุก เซตปิด ซึ่งหมายความตามนิยามของการตัดกัน ${\textstyle X=\bigcap X_{i}}$${\displaystyle C(X)}$${\displaystyle X_{i}.}$${\displaystyle C(X)=X}$

ในทางกลับกัน หากกำหนดเซตปิดมาให้ และทุกจุดตัดของเซตปิดเหล่า นั้น เป็นเซตปิดแล้ว เราสามารถกำหนดตัวดำเนินการปิดC ได้ โดยที่คือจุดตัดของเซตปิดที่ประกอบด้วยX${\displaystyle C(X)}$

ความเท่าเทียมกันนี้ยังคงเป็นจริงสำหรับเซตที่มีลำดับบางส่วนซึ่งมีคุณสมบัติขอบล่างที่มากที่สุดหากเราแทนที่ "เซตปิด" ด้วย "สมาชิกปิด" และ "จุดตัด" ด้วย "ขอบล่างที่มากที่สุด"