ในทางคณิตศาสตร์บันเดิลเส้นแสดงถึงแนวคิดของเส้นที่เปลี่ยนแปลงจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งในปริภูมิ ตัวอย่างเช่นเส้นโค้งในระนาบที่มีเส้นสัมผัสที่แต่ละจุดจะกำหนดเส้นที่เปลี่ยนแปลงได้บันเดิลเส้นสัมผัสเป็นวิธีการจัดระเบียบสิ่งเหล่านี้ ในทางที่เป็นทางการมากขึ้น ในโทโพโลยีเชิงพีชคณิตและโทโพโลยีเชิงอนุพันธ์บันเดิลเส้นถูกกำหนดให้เป็นบันเดิลเวกเตอร์อันดับ 1 ^{[ 1 ]}

กลุ่มเส้นตรงถูกกำหนดโดยการเลือกปริภูมิเวกเตอร์หนึ่งมิติสำหรับแต่ละจุดในปริภูมิอย่างต่อเนื่อง ในการประยุกต์ใช้ทางโทโพโลยี ปริภูมิเวกเตอร์นี้มักจะเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน ทั้งสองกรณีแสดงพฤติกรรมที่แตกต่างกันโดยพื้นฐานเนื่องจากคุณสมบัติทางโทโพโลยีที่แตกต่างกันของปริภูมิเวกเตอร์จำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน: หากนำจุดกำเนิดออกจากเส้นตรงจำนวนจริง ผลลัพธ์ที่ได้คือเซตของ เมทริกซ์จำนวนจริง ที่ผกผันได้ขนาด 1×1 ซึ่งสมมูลเชิงโฮโมโทปีกับปริภูมิสองจุดแบบไม่ต่อ เนื่อง โดยการหดตัวของจำนวนจริงบวกและลบแต่ละตัวไปยังจุดหนึ่ง ในขณะที่การนำจุดกำเนิดออกจากระนาบเชิงซ้อนจะให้เมทริกซ์จำนวนเชิงซ้อนที่ผกผันได้ขนาด 1×1 ซึ่งมีประเภทโฮโมโทปีเป็นวงกลม

จากมุมมองของทฤษฎีโฮโมโทปีบันเดิลเส้นตรงจริงจึงมีพฤติกรรมคล้ายคลึงกับบันเดิลไฟเบอร์ที่มีไฟเบอร์สองจุด กล่าวคือ เหมือนกับการคลุมสองชั้นกรณีพิเศษของการคลุมสองชั้นที่สามารถกำหนดทิศทางได้ของแมนิโฟลด์ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้โดยที่บันเดิลเส้นตรงที่สอดคล้องกันคือบันเดิลดีเทอร์มิแนนต์ของบันเดิลสัมผัส (ดูด้านล่าง) แถบ โมเบียสสอดคล้องกับการคลุมสองชั้นของวงกลม (การแมป θ → 2θ) และโดยการเปลี่ยนไฟเบอร์ ก็สามารถมองได้ว่ามีไฟเบอร์สองจุดช่วงหน่วยเป็นไฟเบอร์ หรือเส้นตรงจริง

กลุ่มเส้นเชิงซ้อนมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับกลุ่มวงกลมมีกลุ่มเส้นเชิงซ้อนที่มีชื่อเสียงอยู่บ้าง เช่นการจัดเรียงแบบฮอปฟ์ของทรงกลมไปยังทรงกลม

ในเรขาคณิตเชิง พีชคณิต ชีฟที่ผกผันได้ (เช่นชีฟอิสระเฉพาะที่ที่มีอันดับหนึ่ง) มักเรียกว่าบันเดิลเส้น (line bundle )

ทุกกลุ่มเส้นเกิดขึ้นจากตัวหารภายใต้เงื่อนไขต่อไปนี้:

(I) ถ้าเป็นโครงร่างที่ลดรูปได้และไม่สามารถแยกย่อยได้อีกต่อไปแล้ว มัดเส้นทุกมัดจะมาจากตัวหาร${\displaystyle X}$

(II) ถ้าเป็นโครงร่างเชิงฉายภาพ ข้อความเดียวกันนี้ก็เป็นจริงเช่นกัน${\displaystyle X}$

หนึ่งในบันเดิลเส้นที่สำคัญที่สุดในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตคือบันเดิลเส้นสัจนิรันดร์บนปริภูมิเชิงโปรเจกที ฟ การทำให้ปริภูมิ เวกเตอร์เหนือฟิลด์ เป็นปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ นั้น นิยามให้เป็นผลหารของโดยการกระทำของกลุ่มการคูณ ดังนั้น แต่ละจุดของจึงสอดคล้องกับสำเนาของและสำเนาเหล่านี้ของสามารถประกอบกันเป็นบันเดิล -เหนือได้ แต่แตกต่างจากเพียงจุดเดียว และโดยการเพิ่มจุดนั้นเข้ากับไฟเบอร์แต่ละอัน เราจะได้บันเดิลเส้นบนบันเดิลเส้นนี้เรียกว่าบันเดิลเส้นสัจนิรันดร์บางครั้งบันเดิลเส้นนี้ถูกเขียนแทนด้วยเนื่องจากมันสอดคล้องกับคู่ของชีฟบิดของเซอเร ${\displaystyle \mathbf {P} (V)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle V\setminus \{0\}}$${\displaystyle k^{\times }}$${\displaystyle \mathbf {P} (V)}$${\displaystyle k^{\times }}$${\displaystyle k^{\times }}$${\displaystyle k^{\times }}$${\displaystyle \mathbf {P} (V)}$${\displaystyle k^{\times }}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {P} (V)}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}}(-1)}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}}(1)}$

สมมติว่าเป็นปริภูมิ และเป็นบันเดิลเส้นบนส่วนตัดทั่วโลกของคือฟังก์ชันโดยที่ถ้าเป็นการฉายภาพตามธรรมชาติ แล้วในบริเวณเล็กๆในซึ่งเป็นค่าว่าง ปริภูมิทั้งหมดของบันเดิลเส้นคือผลคูณของและฟิลด์พื้นฐานและส่วนตัดจะจำกัดอยู่ที่ฟังก์ชันอย่างไรก็ตาม ค่าของขึ้นอยู่กับการเลือกค่าว่าง ดังนั้นจึงถูกกำหนดได้เพียงแค่การคูณด้วยฟังก์ชันที่ไม่มีค่าเป็นศูนย์ที่ใดเลย ${\displaystyle X}$${\displaystyle L}$${\displaystyle X}$${\displaystyle L}$${\displaystyle s:X\to L}$${\displaystyle p:L\to X}$${\displaystyle p\circ s=\operatorname {id} _{X}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle L}$${\displaystyle U}$${\displaystyle k}$${\displaystyle s}$${\displaystyle U\to k}$${\displaystyle s}$

ส่วนตัดทั่วโลกกำหนดแผนที่ไปยังปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟในลักษณะต่อไปนี้: การเลือกจุดที่ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมดในไฟเบอร์ของจะเลือกไฟเบอร์ของบันเดิลเส้นตรงเชิงสัจพจน์บนดังนั้นการเลือกส่วนตัดทั่วโลกที่ไม่หายไปพร้อมกันของจะกำหนดแผนที่จากไปยังปริภูมิเชิงโปรเจกที ฟ แผนที่นี้ส่งไฟเบอร์ของไปยังไฟเบอร์ของส่วนตัดคู่ของบันเดิลเชิงสัจพจน์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมมติว่าเป็นส่วนตัดทั่วโลกของในบริเวณใกล้เคียงเล็กๆในส่วนตัดเหล่านี้กำหนดฟังก์ชันที่มีค่าเป็น บน ซึ่งค่าของฟังก์ชันขึ้นอยู่กับการเลือกการทำให้เป็นศูนย์ อย่างไรก็ตาม ค่าของฟังก์ชันเหล่านี้ถูกกำหนดไว้จนถึง การคูณ พร้อมกันด้วยฟังก์ชันที่ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นอัตราส่วนของฟังก์ชันจึงถูกกำหนดไว้อย่างดี นั่นคือ เหนือจุดค่าของฟังก์ชันเหล่า นี้ ไม่ได้ถูกกำหนดไว้อย่างดี เพราะการเปลี่ยนแปลงในการทำให้เป็นศูนย์จะคูณค่าแต่ละค่าด้วยค่าคงที่ λ ที่ไม่เป็นศูนย์ แต่จะคูณด้วยค่าคงที่ λ เดียวกัน ดังนั้น พิกัดเอกพันธุ์จึงถูกกำหนดไว้อย่างดี ตราบใดที่ส่วนตัดไม่หายไปพร้อมกันที่ ดังนั้น หากส่วนต่างๆ ไม่หายไปพร้อมกัน พวกมันจะกำหนดรูปแบบที่ให้แผนที่จากไปยังและการดึงกลับของส่วนคู่ของกลุ่มสัจนิรันดร์ภายใต้แผนที่นี้คือ ด้วยวิธีนี้ พื้นที่เชิงโปรเจกทีฟ จึง ได้รับคุณสมบัติสากล${\displaystyle r+1}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{r}}$${\displaystyle r+1}$${\displaystyle L}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{r}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle s_{0},\dots ,s_{r}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle s_{0}(x),\dots ,s_{r}(x)}$${\displaystyle [s_{0}(x):\dots :s_{r}(x)]}$${\displaystyle s_{0},\dots ,s_{r}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [s_{0}:\dots :s_{r}]}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{r}}$${\displaystyle L}$

วิธีสากลในการกำหนดแผนที่ไปยังปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟคือการแมปไปยังปริภูมิเวกเตอร์ของส่วนตัดทั้งหมดของในกรณีทางทอพอโลยี จะมีส่วนตัดที่ไม่เป็นศูนย์ที่ทุกจุด ซึ่งสามารถสร้างได้โดยใช้ฟังก์ชันบัมพ์ซึ่งมีค่าเป็นศูนย์นอกบริเวณใกล้เคียงเล็กๆ ของจุดนั้น ด้วยเหตุนี้ แผนที่ที่ได้จึงถูกกำหนดไว้ทุกที่ อย่างไรก็ตาม โคโดเมนมักจะใหญ่เกินไปจนใช้ประโยชน์ไม่ได้ ในทางตรงกันข้าม ในการตั้งค่าทางพีชคณิตและโฮโลมอร์ฟิก ปริภูมิของส่วนตัดทั่วโลกมักจะมีมิติจำกัด แต่ก็อาจไม่มีส่วนตัดทั่วโลกที่ไม่เป็นศูนย์ที่จุดใดจุดหนึ่ง (เช่นเดียวกับกรณีที่กระบวนการนี้สร้างดินสอเลฟเชตซ์ ) ในความเป็นจริง เป็นไปได้ที่บันเดิลจะไม่มีส่วนตัดทั่วโลกที่ไม่เป็นศูนย์เลย ซึ่งเป็นกรณีของบันเดิลเส้นตรงที่เป็นจริง เมื่อบันเดิลเส้นตรงมีขนาดเพียงพอ การสร้างนี้จะตรวจสอบทฤษฎีบทการฝังตัวของโคไดระ ${\displaystyle L}$

โดยทั่วไป ถ้าเป็นเวกเตอร์บันเดิลบนปริภูมิที่มีมิติไฟเบอร์คงที่กำลังภายนอกลำดับที่ของที่พิจารณาแบบไฟเบอร์ต่อไฟเบอร์ จะเป็นไลน์บันเดิล เรียกว่าดีเทอร์มิแนนต์ไลน์บันเดิลของการสร้างนี้โดยเฉพาะอย่างยิ่งใช้กับโคแทนเจนต์บันเดิลของแมนิโฟลด์เรียบ ดีเทอร์มิแนนต์บันเดิลที่ได้ (หรือกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น คือ บันเดิลของกำลังที่ไม่เป็นลบคงที่ของค่าสัมบูรณ์ของส่วนต่างๆ) เป็นสาเหตุของปรากฏการณ์ความหนาแน่นเทนเซอร์ในแง่ที่ว่าสำหรับแมนิโฟลด์ที่สามารถกำหนดทิศทางได้มันจะมีส่วนทั่วโลกที่ไม่เป็นศูนย์ และกำลังเทนเซอร์ของมันที่มีเลขชี้กำลังจริงใดๆ ก็สามารถกำหนดและใช้เพื่อ 'บิด' เวกเตอร์บันเดิลใดๆ โดยใช้ผลคูณเทนเซอร์ได้ ${\displaystyle V}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

โครงสร้างเดียวกัน (โดยพิจารณากำลังภายนอกสูงสุด) สามารถนำไปใช้กับโมดูล เชิงโปรเจกทีฟที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด เหนือโดเมนโนเธอร์เรียน และโมดูลผกผันที่ได้นั้นเรียกว่าโมดูลดีเทอร์มิแนนต์ของ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

ชั้น Stiefel–Whitney ชั้นแรกจัดประเภทบันเดิลเส้นตรงจริงเรียบ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กลุ่มของบันเดิลเส้นตรงจริง (หรือชั้นสมมูลของบันเดิลเส้นตรงจริง) สอดคล้องกับองค์ประกอบของโคฮอโมโลยีชั้นแรกที่มีสัมประสิทธิ์ ความสอดคล้องนี้เป็นไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มอาเบเลียน (การดำเนินการของกลุ่มคือผลคูณเทนเซอร์ของบันเดิลเส้นตรงและการบวกตามปกติบนโคฮอโมโลยี) ในทำนองเดียวกันชั้น Chern ชั้น แรก จัดประเภทบันเดิลเส้นตรงเชิงซ้อนเรียบบนปริภูมิ และกลุ่มของบันเดิลเส้นตรงเป็นไอโซมอร์ฟิกกับชั้นโคฮอโมโลยีชั้นที่สองที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม อย่างไรก็ตาม บันเดิลอาจมีโครงสร้างเรียบ ที่เทียบเท่ากัน (และดังนั้นจึงมีชั้น Chern ชั้นแรกเดียวกัน) แต่มีโครงสร้างโฮโลมอร์ฟิกที่แตกต่างกัน ข้อความเกี่ยวกับชั้น Chern สามารถพิสูจน์ได้ง่ายโดยใช้ลำดับเลขชี้กำลังของชีฟบนแมนิโฟลด์ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถมองปัญหาการจำแนกประเภทจากมุมมองทางทฤษฎีโฮโมโทปีได้ มีบันเดิลสากลสำหรับบันเดิลเส้นตรงจำนวนจริง และบันเดิลสากลสำหรับบันเดิลเส้นตรงจำนวนเชิงซ้อน ตามทฤษฎีทั่วไปเกี่ยวกับการจำแนกประเภทของปริภูมิวิธีการเชิงอนุมานคือการมองหา ปริภูมิ ที่หดตัวได้ซึ่งมีการกระทำของกลุ่มที่เกี่ยวข้องและที่เป็นการกระทำอิสระ ปริภูมิเหล่านั้นสามารถใช้เป็นบันเดิลหลัก สากล และผลหารของการกระทำเหล่านั้นสามารถใช้เป็นปริภูมิจำแนกประเภท ได้ ในกรณีเหล่านี้ เราสามารถค้นหาสิ่งเหล่านั้นได้อย่างชัดเจนในอนาล็อกมิติอนันต์ของ ปริภูมิเชิงโปรเจกที ฟจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle BG}$

ดังนั้น พื้นที่จำแนกประเภทจึงเป็นประเภทโฮโมโทปีของ ซึ่งเป็นพื้นที่เชิงโปรเจกทีฟจริงที่กำหนดโดยลำดับอนันต์ของพิกัดเอกพันธุ์มันบรรจุบันเดิลเส้นตรงจริงสากล ในแง่ของทฤษฎีโฮโมโทปี นั่นหมายความว่าบันเดิลเส้นตรงจริงใดๆบนคอมเพล็กซ์ CWจะกำหนดแผนที่จำแนกประเภทจากไปยังทำให้บันเดิลนั้นสมมาตรกับพูลแบ็กของบันเดิลสากล แผนที่จำแนกประเภทนี้สามารถใช้เพื่อกำหนดชั้น Stiefel-Whitneyของในโคฮอโมโลยีแรกของที่มีสัมประสิทธิ์ จากชั้นมาตรฐานบน ${\displaystyle BC_{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} \mathbf {P} ^{\infty }}$${\displaystyle L}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} \mathbf {P} ^{\infty }}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} \mathbf {P} ^{\infty }}$

ในทำนองเดียวกัน ปริภูมิเชิงซ้อนเชิงโปรเจกทีฟก็มีบันเดิลเส้นเชิงซ้อนสากล ในกรณีนี้ แผนที่จำแนกประเภทก่อให้เกิดชั้นเชิร์น แรก ของใน(โคฮอโมโลยีเชิงปริพันธ์) ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H^{2}(X)}$

นอกจากนี้ยังมีทฤษฎีที่คล้ายคลึงกันอีกทฤษฎีหนึ่งเกี่ยวกับ กลุ่มเส้น ควอเทอร์เนียน (มิติจริงสี่) ซึ่งก่อให้เกิดหนึ่งในคลาสปอนทรียาจินในโคฮอโมโลยีสี่มิติจริง

ด้วยวิธีนี้ กรณีพื้นฐานสำหรับทฤษฎีของชั้นลักษณะเฉพาะจึงขึ้นอยู่กับกลุ่มเส้นเท่านั้น ตามหลักการแบ่งแยก ทั่วไป สิ่งนี้สามารถกำหนดส่วนที่เหลือของทฤษฎีได้ (หากไม่ระบุไว้อย่างชัดเจน)

มีทฤษฎีเกี่ยวกับ บันเดิล เส้นโฮโลมอร์ฟิกบนแมนิโฟลด์เชิงซ้อนและชีฟผกผันได้ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตซึ่งพัฒนาทฤษฎีบันเดิลเส้นในสาขาเหล่านั้น

• แพ็คเกจไอ
• ชุดสายไฟขนาดใหญ่
• สนามเส้น