ในทางเรขาคณิตเซตของจุดจะเรียกว่า เซต แบบนูนได้ก็ต่อเมื่อเซตนั้นประกอบด้วยส่วนของเส้นตรง ทุกเส้น ระหว่างจุดสองจุดในเซต^{[ 1 ] [ 2 ]} ตัวอย่างเช่น ลูกบาศก์ทึบเป็นเซตแบบนูน แต่สิ่งใดก็ตามที่เป็นโพรงหรือมีรอยบุ๋ม เช่น รูปทรง พระจันทร์เสี้ยวจะไม่เป็นเซตแบบนูน

ขอบของเซตแบบนูนในระนาบจะเป็นเส้นโค้งแบบนูน เสมอ จุดตัดของเซตแบบนูนทั้งหมดที่บรรจุเซตย่อยA ที่กำหนดให้ ในปริภูมิยุคลิด เรียกว่าส่วนนูนหุ้มของAซึ่งเป็นเซตแบบนูนที่เล็กที่สุดที่บรรจุAไว้

ฟังก์ชันนูน (Convex function)คือฟังก์ชันค่าจริงที่กำหนดบนช่วงหนึ่งโดยมีคุณสมบัติว่าเอพิกราฟ (เซตของจุดที่อยู่บนหรือเหนือกราฟของฟังก์ชัน) เป็นเซตนูน การหาค่าต่ำสุดของ ฟังก์ชันนูน (Convex minimization)เป็นสาขาย่อยของการหาค่าเหมาะสม ที่สุด (optimization ) ที่ศึกษาปัญหาการหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชันนูนบนเซตนูน สาขาของคณิตศาสตร์ที่อุทิศให้กับการศึกษาคุณสมบัติของเซตนูนและฟังก์ชันนูนเรียกว่าการวิเคราะห์ฟังก์ชันนูน (Convex analysis )

ปริภูมิที่กำหนดเซตแบบนูน ได้แก่ปริภูมิ ยุคลิดปริภูมิเชิงเส้นบนจำนวนจริงและเรขาคณิตที่ไม่ใช่ยุคลิด บางประเภท

ให้Sเป็นปริภูมิเวกเตอร์หรือปริภูมิเชิงเส้นบนจำนวนจริงหรือโดยทั่วไปแล้วบนฟิลด์เรียงลำดับ บางฟิลด์ (ซึ่งรวมถึงปริภูมิยุคลิดซึ่งเป็นปริภูมิเชิงเส้น) เซตย่อยCของSเป็นเซตเว้า ถ้าสำหรับทุกxและyในC ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างxและyนั้นรวมอยู่ในCด้วย

ซึ่งหมายความว่าการรวมเชิงเส้น(1 − t ) x + tyอยู่ในCสำหรับทุกx,yในCและtในช่วง[0, 1]ซึ่งหมายความว่าความนูนไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงเชิงเส้น [ ^{3 ] นอกจาก}นี้ยังหมายความว่าเซตแบบนูนในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีจริงหรือเชิงซ้อน เชื่อมต่อกันด้วยเส้นทาง (และดังนั้นจึงเชื่อมต่อกัน ด้วย )

เซตCคือนูนอย่างเคร่งครัด ก็ต่อ เมื่อสำหรับทุกxและyในCทุกจุดบนส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมxและyนอกเหนือจากจุดปลายจะอยู่ภายในส่วนภายในเชิงโทโพโลยีของCเซตย่อยนูนปิดเป็นเซตย่อยนูนอย่างเคร่งครัดก็ต่อเมื่อทุกจุดขอบเป็นจุดสุดขั้ว ^{[ 4 ]}

เซตCเป็นเซตแบบนูนสัมบูรณ์ ถ้า เซต นั้นเป็นเซตแบบนูนและสมดุล

เซตย่อยนูนของR (เซตของจำนวนจริง) คือช่วงและจุดของRตัวอย่างของเซตย่อยนูนในระนาบยุคลิดได้แก่รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า สามเหลี่ยมด้านเท่า และจุดตัดของสามเหลี่ยมด้านเท่า ตัวอย่างของเซตย่อยนูนใน ปริภูมิ ยุคลิด 3 มิติได้แก่ทรงหลายเหลี่ยมอาร์คิมีเดียนและทรงหลายเหลี่ยมเพลโต ทรงหลายเหลี่ยมเคปเลอร์-ปวงโซต์เป็นตัวอย่างของเซตที่ไม่นูน

เซตที่ไม่นูนเรียกว่าเซตที่ไม่นูนรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ใช่รูปหลายเหลี่ยมนูนบางครั้งเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมเว้า [ ^{5 ] และ}บางแหล่งข้อมูลโดยทั่วไปใช้คำว่าเซตเว้าเพื่อหมายถึงเซตที่ไม่นูน^{[ 6 ]}แต่ผู้เชี่ยวชาญส่วนใหญ่ห้ามใช้คำนี้^{[ 7 ] [ 8 ]}

ส่วนเติมเต็มของเซตแบบนูน เช่นเอพิกราฟของฟังก์ชันแบบเว้าบางครั้งเรียกว่าเซตแบบนูนกลับโดยเฉพาะในบริบทของ การเพิ่มประสิทธิภาพ ทางคณิตศาสตร์^{[ 9 ]}

กำหนดให้มีจุดr จุด u ₁ , ..., u _rในเซตเว้าSและจำนวนไม่เป็นลบr จำนวน λ ₁ , ..., λ _rโดยที่λ ₁ + ... + λ _r = 1การรวมเชิงเส้น (affine combination ) ของจุดเหล่า นี้อยู่ในเซต Sเนื่องจากนิยามของเซตเว้าคือกรณีที่r = 2คุณสมบัตินี้จึงบ่งบอกลักษณะของเซตเว้าได้ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{r}\lambda _{k}u_{k}}$$

การรวมกันเชิงเส้นแบบนี้เรียกว่าการรวมกันแบบนูนของu ₁ , ..., u _r ส่วน นูนหุ้มของเซตย่อยSในปริภูมิเวกเตอร์จริงนั้น นิยามว่าคือจุดตัดของเซตแบบนูนทั้งหมดที่บรรจุSกล่าวโดยละเอียดแล้ว ส่วนนูนหุ้มคือเซตของการรวมกันแบบนูนทั้งหมดของจุดในSโดยเฉพาะอย่างยิ่ง นี่คือเซตแบบนูน

โพลีโทปนูน (ที่มีขอบเขต)คือส่วนนูนของเซตย่อยจำกัดในปริภูมิยุคลิดR n ^{บาง ส่วน}

การรวบรวมเซตย่อยนูนของปริภูมิเวกเตอร์ ปริภูมิแอฟฟิน หรือปริภูมิยูคลิด มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ^{[ 10 ] [ 11 ]}

1. เซตว่างและปริภูมิทั้งหมดเป็นเซตแบบนูน
2. จุดตัดของกลุ่มเซตแบบนูนใดๆ ก็ตาม จะเป็นเซตแบบนูนเช่นกัน
3. การรวมกันของเซตแบบนูนหลายๆ เซตจะได้เซตแบบนูนก็ต่อเมื่อเซตเหล่านั้นก่อตัวเป็นสายโซ่ (เซตที่มีลำดับสมบูรณ์) ภายใต้การรวม สำหรับคุณสมบัตินี้ ข้อจำกัดที่ว่ามีเฉพาะสายโซ่นั้นมีความสำคัญ เนื่องจากผลรวมของเซตแบบนูนสองเซตไม่จำเป็นต้องเป็นเซตแบบนูนเสมอไป

เซตเว้า ปิดคือ เซตเว้าที่ประกอบด้วยจุดลิมิต ทั้งหมดของมัน สามารถอธิบายได้ว่าเป็นจุดตัดของครึ่งพื้นที่ปิด (เซตของจุดในอวกาศที่อยู่บนและด้านใดด้านหนึ่งของระนาบไฮเปอร์ )

จากสิ่งที่กล่าวมาข้างต้น เป็นที่ชัดเจนว่าจุดตัดดังกล่าวเป็นจุดนูน และจะเป็นเซตปิดด้วย ในการพิสูจน์บทกลับ กล่าวคือ เซตปิดนูนทุกเซตสามารถแสดงได้ในรูปจุดตัดดังกล่าว จำเป็นต้องใช้ทฤษฎีบทระนาบรองรับในรูปแบบที่ว่า สำหรับเซตปิดนูนC ที่กำหนดให้ และจุดPที่อยู่นอกเซตนั้น จะมีครึ่งพื้นที่ปิดHที่บรรจุCแต่ไม่บรรจุPทฤษฎีบทระนาบรองรับเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทฮาห์น-บานาคในการ วิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน

หน้าของเซตแบบนูนคือเซตย่อยแบบนูนของ เซต แบบนูน โดยที่เมื่อใดก็ตามที่จุดใน เซต แบบนูนอยู่ระหว่างจุดสองจุดและในเซต แบบ นูน จุด และทั้งสองจุดจะต้องอยู่ในเซตแบบนูน^{[ 12 ]}หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ สำหรับเซตแบบนูนใดๆและจำนวนจริงใดๆที่เซตแบบนูนอยู่ในเซตแบบ นูน จุด และ เซตว่าง จะต้องอยู่ในเซต แบบ นูน ตามคำนิยามนี้เซตแบบนูนเองและเซตว่างเป็นหน้าของเซตแบบนูน ซึ่งบางครั้งเรียกว่าหน้าของเซต แบบ นูนจุดสุดขั้วของเซตแบบนูนคือจุดที่เป็นหน้าของเซตแบบนูน ${\displaystyle C}$${\displaystyle F}$${\displaystyle C}$${\displaystyle p}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle C}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x,y\in C}$${\displaystyle 0<t<1}$${\displaystyle (1-t)x+ty}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle F}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

ให้เป็นเซตแบบนูนในที่เป็นเซตกระชับ (หรือเทียบเท่ากับเซตปิดและมีขอบเขต ) แล้วจะเป็นขอบนูนของจุดสุดขั้ว^{[ 13 ]}โดยทั่วไปแล้ว เซตแบบนูนกระชับแต่ละเซตในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบนูนเฉพาะที่ จะเป็นขอบนูนปิดของจุดสุดขั้ว ( ทฤษฎีบท Krein–Milman ) ${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle C}$

ตัวอย่างเช่น:

• รูปสามเหลี่ยมในระนาบ (รวมถึงบริเวณภายใน) เป็นเซตแบบนูนและกระชับ หน้าที่ไม่ใช่หน้าว่างของมันคือจุดยอดทั้งสามและขอบทั้งสาม (ดังนั้นจุดสุดขั้วจึงมีเพียงจุดยอดทั้งสามเท่านั้น)
• ด้านที่ไม่ใช่ด้านธรรมดาเพียงด้านเดียวของวงกลมหน่วยปิด คือจุดสุดขั้วของมัน ซึ่งก็คือจุดบนวงกลมหน่วย${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}\leq 1\}}$${\displaystyle S^{1}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\}}$

ให้Cเป็นทรงนูนในระนาบ (เซตนูนที่มีภายในไม่ว่างเปล่า) เราสามารถวาดสี่เหลี่ยมผืนผ้าrในCได้ โดยที่ สำเนา โฮโมเทติก R ของ r ล้อมรอบCอัตราส่วนโฮโมเทติกบวกมีค่าไม่เกิน 2 และ: ^{[ 14 ]}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot \operatorname {Area} (R)\leq \operatorname {Area} (C)\leq 2\cdot \operatorname {Area} (r)}$$

เซต ของวัตถุนูนระนาบทั้งหมดสามารถกำหนดพารามิเตอร์ได้โดยใช้เส้นผ่านศูนย์กลาง ของวัตถุนูน Dรัศมีวงในr (วงกลมที่ใหญ่ที่สุดที่บรรจุอยู่ในวัตถุนูน) และรัศมีวงนอกR (วงกลมที่เล็กที่สุดที่บรรจุวัตถุนูน) ในความเป็นจริง เซตนี้สามารถอธิบายได้ด้วยเซตของอสมการที่กำหนดโดย^{[ 15 ] [ 16 ]} และสามารถมองเห็นได้เป็นภาพของฟังก์ชันgที่แมปวัตถุนูนไปยัง จุด R ²ที่กำหนดโดย ( r / R , D /2 ​​R ) ภาพของฟังก์ชันนี้เรียกว่าแผนภาพ Blachke-Santaló ( r , D , R ) ^{[ 16 ]}${\displaystyle {\mathcal {K}}^{2}}$$${\displaystyle 2r\leq D\leq 2R}$$$${\displaystyle R\leq {\frac {\sqrt {3}}{3}}D}$$$${\displaystyle r+R\leq D}$$$${\displaystyle D^{2}{\sqrt {4R^{2}-D^{2}}}\leq 2R(2R+{\sqrt {4R^{2}-D^{2}}})}$$

อีกทางเลือกหนึ่ง เซต ยังสามารถกำหนดพารามิเตอร์ได้ด้วยความกว้าง (ระยะทางที่เล็กที่สุดระหว่างไฮเปอร์เพลนสนับสนุนขนานที่แตกต่างกันสองอัน) เส้นรอบวง และพื้นที่^{[ 15 ] [ 16 ]}${\displaystyle {\mathcal {K}}^{2}}$

ให้Xเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี และเป็นปริภูมิเว้า ${\displaystyle C\subseteq X}$

• ${\displaystyle \operatorname {Cl} C}$และทั้งคู่เป็นเซตแบบนูน (กล่าวคือ ส่วนปิดและส่วนภายในของเซตแบบนูนเป็นเซตแบบนูน)${\displaystyle \operatorname {Int} C}$
• ถ้าเช่นนั้น(ที่ไหน)${\displaystyle a\in \operatorname {Int} C}$${\displaystyle b\in \operatorname {Cl} C}$${\displaystyle [a,b[\,\subseteq \operatorname {Int} C}$${\displaystyle [a,b[\,:=\left\{(1-r)a+rb:0\leq r<1\right\}}$
• ถ้าเช่นนั้น: ${\displaystyle \operatorname {Int} C\neq \emptyset }$
  • ${\displaystyle \operatorname {cl} \left(\operatorname {Int} C\right)=\operatorname {Cl} C}$, และ
  • ${\displaystyle \operatorname {Int} C=\operatorname {Int} \left(\operatorname {Cl} C\right)=C^{i}}$โดยที่คือ ส่วน ภายในเชิงพีชคณิตของC${\displaystyle C^{i}}$

เซตย่อย Aทุกเซตในปริภูมิเวกเตอร์นั้นบรรจุอยู่ในเซตเว้าที่เล็กที่สุด (เรียกว่าเปลือกเว้าของA ) ซึ่งก็คือจุดตัดของเซตเว้าทั้งหมดที่บรรจุAตัวดำเนินการเปลือกเว้า Conv() มีคุณสมบัติเฉพาะของตัวดำเนินการปิด :

• ขยายได้ : S  ⊆ Conv( S ) ,
• ไม่ลดลง : S  ⊆  Tหมายความว่า Conv( S ) ⊆ Conv( T )และ
• idempotent : Conv(Conv( S )) = Conv( S ) .

การดำเนินการ convex-hull จำเป็นสำหรับเซตของเซตแบบนูนเพื่อสร้างแลตทิซโดยที่ การดำเนินการ " รวม "คือ convex hull ของการรวมกันของเซตแบบนูนสองเซต การตัดกันของกลุ่มเซตแบบนูนใดๆ ก็ตามก็เป็นเซตแบบนูนเช่นกัน ดังนั้นเซตย่อยแบบนูนของปริภูมิเวกเตอร์ (จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน) จึงก่อให้เกิด แลตทิซที่ สมบูรณ์$${\displaystyle \operatorname {Conv} (S)\vee \operatorname {Conv} (T)=\operatorname {Conv} (S\cup T)=\operatorname {Conv} {\bigl (}\operatorname {Conv} (S)\cup \operatorname {Conv} (T){\bigr )}.}$$

ในปริภูมิเวกเตอร์จริงผลรวมมินคอฟสกีของเซตสองเซต (ที่ไม่ว่างเปล่า) S ₁และS ₂ถูกกำหนดให้เป็นเซตS ₁  +  S ₂ที่เกิดจากการบวกเวกเตอร์แบบทีละสมาชิกจากเซตของตัวบวก โดยทั่วไปแล้วผลรวมมินคอฟสกีของกลุ่มเซตจำกัด (ที่ไม่ว่างเปล่า) S _nคือเซตที่เกิดจากการบวกเวกเตอร์แบบทีละสมาชิก $${\displaystyle S_{1}+S_{2}=\{x_{1}+x_{2}:x_{1}\in S_{1},x_{2}\in S_{2}\}.}$$$${\displaystyle \sum _{n}S_{n}=\left\{\sum _{n}x_{n}:x_{n}\in S_{n}\right\}.}$$

สำหรับการบวกแบบมินคอฟสกีเซตศูนย์ {0} ที่ประกอบด้วย เวกเตอร์ศูนย์ 0เท่านั้นมีความสำคัญเป็นพิเศษ : สำหรับเซตย่อยที่ไม่ว่าง S ทุกเซตของปริภูมิเวกเตอร์ ในศัพท์พีชคณิต{0}คือองค์ประกอบเอกลักษณ์ของการบวกแบบมินคอฟสกี (บนชุดของเซตที่ไม่ว่าง) ^{[ 17 ]}$${\displaystyle S+\{0\}=S;}$$

การบวกแบบมินคอฟสกีนั้นมีประสิทธิภาพดีเมื่อพิจารณาถึงการดำเนินการหาขอบนูน ดังแสดงในข้อเสนอต่อไปนี้:

ให้S ₁และS ₂เป็นเซตย่อยของปริภูมิเวกเตอร์จริง ส่วนนูน ของ ผลรวมมินคอฟสกีของเซตทั้งสองนี้ คือ ผลรวมมินคอฟสกีของส่วนนูนของเซตทั้งสองนั้น $${\displaystyle \operatorname {Conv} (S_{1}+S_{2})=\operatorname {Conv} (S_{1})+\operatorname {Conv} (S_{2}).}$$

ผลลัพธ์นี้ใช้ได้โดยทั่วไปกับกลุ่มเซตที่ไม่ว่างเปล่าจำนวนจำกัดทุกกลุ่ม: $${\displaystyle {\text{Conv}}\left(\sum _{n}S_{n}\right)=\sum _{n}{\text{Conv}}\left(S_{n}\right).}$$

ในศัพท์ทางคณิตศาสตร์การดำเนินการของการรวม Minkowski และการสร้างส่วนนูนเป็นการดำเนินการสลับกันได้^{[ 18 ] [ 19 ]}

ผลรวมมินคอฟสกี้ของเซตแบบนูนกระชับสองเซตนั้นเป็นเซตแบบนูนกระชับ ผลรวมของเซตแบบนูนกระชับและเซตแบบนูนปิดนั้นเป็นเซตแบบปิด^{[ 20 ]}

ทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงต่อไปนี้ ซึ่งพิสูจน์โดย Dieudonné ในปี 1966 ให้เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับผลต่างของเซตย่อยนูนปิดสองเซตที่จะเป็นเซตปิด^{[ 21 ]}มันใช้แนวคิดของกรวยถดถอยของเซตย่อยนูนที่ไม่ว่างเปล่าSซึ่งกำหนดเป็น: โดยที่เซตนี้เป็นกรวยนูนที่บรรจุและสอดคล้องกับ โปรดทราบว่าถ้าSเป็นเซตปิดและนูนแล้วจะเป็นเซตปิดและสำหรับทุก $${\displaystyle \operatorname {rec} S=\left\{x\in X\,:\,x+S\subseteq S\right\},}$$${\displaystyle 0\in X}$${\displaystyle S+\operatorname {rec} S=S}$${\displaystyle \operatorname {rec} S}$${\displaystyle s_{0}\in S}$$${\displaystyle \operatorname {rec} S=\bigcap _{t>0}t(S-s_{0}).}$$

ทฤษฎีบท (ดีเออโดเน่) ให้AและBเป็นเซตย่อยที่ไม่ว่าง ปิด และนูนของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบนูนเฉพาะที่ โดยที่เป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้น ถ้าAหรือBเป็นเซตกระชับเฉพาะที่แล้วA  −  Bเป็นเซตปิด ${\displaystyle \operatorname {rec} A\cap \operatorname {rec} B}$

แนวคิดเรื่องความนูนในปริภูมิยูคลิดสามารถขยายความได้โดยการปรับเปลี่ยนนิยามในบางแง่มุม ชื่อเรียกทั่วไปว่า "ความนูนแบบทั่วไป" นั้นใช้กันเพราะวัตถุที่ได้ยังคงคุณสมบัติบางอย่างของเซตแบบนูนไว้

ให้Cเป็นเซตในปริภูมิเวกเตอร์จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนCเป็น เซต แบบดาวนูน (รูปดาว)ถ้ามีx₀ในCที่ทำให้ส่วนของเส้นตรงจาก_x₀ไปยังจุดy ใดๆ ในCบรรจุอยู่ในC ด้วย ดังนั้น เซตแบบนูนที่ไม่ว่าง เปล่า จะเป็นเซตแบบดาวนูนเสมอ แต่เซตแบบดาวนูนไม่จำเป็นต้อง _เป็นเซตแบบนูนเสมอไป

ตัวอย่างหนึ่งของความนูนทั่วไปคือความนูนเชิงตั้งฉาก^{[ 22 ]}

เซตSในปริภูมิยุคลิดเรียกว่าเซตแบบนูนเชิงตั้งฉากหรือเซตแบบนูนเชิงตั้งฉากถ้าส่วนของเส้นตรงใดๆ ที่ขนานกับแกนพิกัดใดๆ ที่เชื่อมต่อจุดสองจุดในเซตSนั้นอยู่ภายในเซต S ทั้งหมด การพิสูจน์ว่าจุดตัดของกลุ่มเซตแบบนูนเชิงตั้งฉากใดๆ ก็ตาม ก็จะได้เซตแบบนูนเชิงตั้งฉากเช่นกันนั้นทำได้ง่าย นอกจากนี้ คุณสมบัติอื่นๆ ของเซตแบบนูนก็ยังคงใช้ได้อยู่ด้วย

นิยามของเซตแบบนูนและเปลือกนูนสามารถขยายไปสู่เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดได้อย่างเป็นธรรมชาติ โดยการกำหนดให้เซตแบบนูนตามเส้นทางจี โอเดสิก คือเซตที่ประกอบด้วยเส้นทางจีโอเดสิกที่เชื่อมจุดสองจุดใดๆ ในเซตนั้น

ความนูนสามารถขยายได้สำหรับ เซต X ที่เรียงลำดับอย่างสมบูรณ์ ซึ่งมีโทโพโลยีลำดับ^{[ 23 ]}

ให้Y ⊆ Xเซตย่อยYเป็นเซตแบบนูนก็ต่อเมื่อสำหรับจุดคู่ใด ๆa , bในYที่a ≤ bช่วง[ a , b ] = { x ∈ X | a ≤ x ≤ b }บรรจุอยู่ในYกล่าวคือYเป็นเซตแบบนูนก็ต่อเมื่อสำหรับทุกa , bในY a ≤ bหมายความว่า [ a , b ] ⊆ Y

โดยทั่วไปแล้ว เซตแบบนูนจะไม่เชื่อมต่อกัน ตัวอย่างค้านคือปริภูมิย่อย {1,2,3} ในZซึ่งเป็นทั้งเซตแบบนูนและไม่เชื่อมต่อกัน

แนวคิดเรื่องความนูนสามารถขยายไปใช้กับวัตถุอื่นๆ ได้ หากเลือกคุณสมบัติบางประการของความนูนมาเป็น สัจพจน์

เมื่อกำหนดเซตX แล้ว ความนูนเหนือXคือชุด𝒞ของเซตย่อยของXที่สอดคล้องกับสัจพจน์ต่อไปนี้: ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 24 ]}

1. เซตว่างและXอยู่ใน𝒞
2. จุดตัดของกลุ่มใดๆ จาก𝒞 จะอยู่ใน𝒞
3. การรวมกันของสายโซ่ (โดยสัมพันธ์กับการรวม ) ขององค์ประกอบของ𝒞 อยู่ใน𝒞

สมาชิกของ𝒞เรียกว่าเซตแบบนูน และคู่( X , 𝒞 )เรียกว่าปริภูมิความนูนสำหรับความนูนแบบธรรมดา สัจพจน์สองข้อแรกเป็นจริง และสัจพจน์ข้อที่สามเป็นเรื่องที่ไม่สำคัญ

สำหรับคำจำกัดความอื่นของความนูนเชิงนามธรรม ซึ่งเหมาะสมกับเรขาคณิตแบบไม่ต่อเนื่อง มากกว่า โปรดดูเรขาคณิตนูนที่เกี่ยวข้องกับแอนติแมทรอยด์

ความนูนสามารถสรุปได้เป็นโครงสร้างพีชคณิตเชิงนามธรรม: ปริภูมิจะนูนก็ต่อเมื่อสามารถนำจุดต่างๆ มาประกอบกันเป็นแบบนูนได้

ลองค้นหาคำว่า "convex set"ในวิกิพีเดีย ซึ่งเป็นพจนานุกรมออนไลน์ฟรี

• "เซตย่อยนูน" . สารานุกรมคณิตศาสตร์ . EMS Press . 2001 [1994].
• บันทึกการบรรยายเรื่องเซตแบบนูนโดย นีลส์ ลอริตเซน ณมหาวิทยาลัยอาร์ฮุส มีนาคม 2010