การเพิ่มประสิทธิภาพแบบนูน

Q: ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ การเพิ่มประสิทธิภาพแบบนูน

การหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูนเป็นสาขาย่อยของการหาค่าเหมาะสมที่สุดทางคณิตศาสตร์ที่ศึกษาปัญหาการลดค่าฟังก์ชันนูนบนเซตแบบนูน (หรือเทียบเท่ากับการเพิ่มค่าฟังก์ชันเว้าบนเซตแบบนูน)

Q: แบบฟอร์มมาตรฐาน

ปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูนจะอยู่ใน รูปแบบมาตรฐาน หากเขียนในรูปแบบนี้

การหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูนเป็นสาขาย่อยของการหาค่าเหมาะสมที่สุดทางคณิตศาสตร์ที่ศึกษาปัญหาการลดค่าฟังก์ชันนูนบนเซตแบบนูน (หรือเทียบเท่ากับการเพิ่มค่าฟังก์ชันเว้าบนเซตแบบนูน) ปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูนหลายประเภทยอมรับอัลกอริทึมแบบเวลาพหุนาม^{[ 1 ]}ในขณะที่การหาค่าเหมาะสมที่สุดทางคณิตศาสตร์โดยทั่วไปเป็นปัญหา NP- hard ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

คำนิยาม

แบบฟอร์มบทคัดย่อ

ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพแบบนูนถูกกำหนดโดยส่วนประกอบสองอย่าง: ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

ฟังก์ชันเป้าหมาย ซึ่งเป็น ฟังก์ชันนูนค่าจริงของ ตัวแปร nตัว $f:{\mathcal {D}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ;
เซตที่เป็นไปได้ซึ่งเป็นเซตย่อยนูน $C\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ .

เป้าหมายของปัญหานี้คือการค้นหาบางสิ่ง $\mathbf {x^{\ast }} \in C$ การบรรลุผลสำเร็จ

\inf\{f(\mathbf {x} ):\mathbf {x} \in C\}

.

โดยทั่วไป มีตัวเลือกสามประการเกี่ยวกับการมีอยู่ของวิธีแก้ปัญหา: ^{[ 7 ]}^{:บทที่ 4}

ถ้ามีจุดx * ดังกล่าวอยู่จริง จุดนั้นจะถูกเรียกว่า จุด หรือคำตอบที่เหมาะสมที่สุดเซตของจุดที่เหมาะสมที่สุดทั้งหมดเรียกว่าเซตที่เหมาะสมที่สุดและปัญหาดังกล่าวเรียกว่าปัญหาที่สามารถแก้ไขได้
ถ้า $f$ ไม่มีขอบเขตด้านล่างเหนือ $C$ หรือหากไม่สามารถหาค่าต่ำสุดได้ ปัญหาการหาค่าที่เหมาะสมที่สุดก็จะเรียกว่าไม่มีขอบเขต
มิฉะนั้น หาก $C$ ถ้าเซตนั้นเป็นเซตว่าง ปัญหาดังกล่าวจะเรียกว่าไม่สามารถแก้ไขได้

แบบฟอร์มมาตรฐาน

ปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูนจะอยู่ในรูปแบบมาตรฐานหากเขียนในรูปแบบนี้

{\begin{aligned}&{\underset {\mathbf {x} }{\operatorname {minimize} }}&&f(\mathbf {x} )\\&\operatorname {subject\ to} &&g_{i}(\mathbf {x} )\leq 0,\quad i=1,\dots ,m\\&&&h_{i}(\mathbf {x} )=0,\quad i=1,\dots ,p,\end{aligned}}

โดยที่: ^{[ 7 ]}^{:บทที่ 4}

$\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ คือเวกเตอร์ของตัวแปรการปรับให้เหมาะสมที่สุด
ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ $f:{\mathcal {D}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ เป็นฟังก์ชันนูน ;
ฟังก์ชันข้อจำกัดความไม่เท่าเทียมกัน $g_{i}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ , $i=1,\ldots ,m$ เป็นฟังก์ชันนูน
ฟังก์ชันข้อจำกัดความเท่าเทียมกัน $h_{i}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ , $i=1,\ldots ,p$ เป็นการแปลงเชิงเส้นตรง (affine transformations)กล่าวคือ มีรูปแบบดังนี้: $h_{i}(\mathbf {x} )=\mathbf {a_{i}} \cdot \mathbf {x} -b_{i}$ , ที่ไหน $\mathbf {a_{i}}$ เป็นเวกเตอร์และ $b_{i}$ เป็นปริมาณสเกลาร์

ชุดที่เป็นไปได้ $C$ ปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดประกอบด้วยจุดทั้งหมด $\mathbf {x} \in {\mathcal {D}}$ โดยสอดคล้องกับข้อจำกัดของอสมการและสมการ เซตนี้เป็นเซตแบบนูนเพราะ ${\mathcal {D}}$ เซตย่อยของฟังก์ชันนูนเป็นเซตนูน เซตเชิงเส้นเป็นเซตนูน และจุดตัดของเซตนูนเป็นเซตนูน^{[ 7 ]}^{:บทที่ 2}

ปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดหลายอย่างสามารถกำหนดในรูปแบบมาตรฐานนี้ได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น ปัญหาการหาค่าสูงสุดของฟังก์ชันเว้า $f$ สามารถเขียนใหม่ให้เทียบเท่ากับปัญหาของการลดค่าฟังก์ชันนูนให้เหลือน้อยที่สุดได้ $-f$ ปัญหาของการเพิ่มค่าสูงสุดของฟังก์ชันเว้าเหนือเซตแบบนูนโดยทั่วไปเรียกว่าปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูน^{[ 8 ]}

รูปแบบจารึก (รูปแบบมาตรฐานที่มีวัตถุประสงค์เชิงเส้น)

ในรูปแบบมาตรฐานนั้น เป็นไปได้ที่จะถือว่าฟังก์ชันเป้าหมายfเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป เนื่องจากโปรแกรมใดๆ ที่มีเป้าหมายทั่วไปสามารถแปลงเป็นโปรแกรมที่มีเป้าหมายเชิงเส้นได้โดยการเพิ่มตัวแปร t เพียงตัวเดียวและข้อจำกัด เพียงข้อเดียว ดังนี้: ^{[ 9 ]}^{: 1.4}

{\begin{aligned}&{\underset {\mathbf {x} ,t}{\operatorname {minimize} }}&&t\\&\operatorname {subject\ to} &&f(\mathbf {x} )-t\leq 0\\&&&g_{i}(\mathbf {x} )\leq 0,\quad i=1,\dots ,m\\&&&h_{i}(\mathbf {x} )=0,\quad i=1,\dots ,p,\end{aligned}}

รูปทรงกรวย

โปรแกรมนูนทุกโปรแกรมสามารถนำเสนอในรูปแบบกรวยได้ ซึ่งหมายถึงการลดวัตถุประสงค์เชิงเส้นให้เหลือน้อยที่สุดเหนือจุดตัดของระนาบเชิงเส้นและกรวยนูน: ^{[ 9 ]}^{: 5.1}

{\begin{aligned}&{\underset {\mathbf {x} }{\operatorname {minimize} }}&&c^{T}x\\&\operatorname {subject\ to} &&x\in (b+L)\cap K\end{aligned}}

โดยที่ K คือกรวยนูนปลายแหลม ปิด , L คือปริภูมิย่อยเชิงเส้นของ R ⁿและ b คือเวกเตอร์ใน R ⁿโปรแกรมเชิงเส้นในรูปแบบมาตรฐานเป็นกรณีพิเศษที่ K คือออร์แธนต์ที่ไม่เป็นลบของR ⁿ

การกำจัดข้อจำกัดความเท่าเทียมเชิงเส้น

เป็นไปได้ที่จะแปลงโปรแกรมแบบนูนในรูปแบบมาตรฐานให้เป็นโปรแกรมแบบนูนที่ไม่มีข้อจำกัดความเท่าเทียมกัน^{[ 7 ]}^{: 132}กำหนดให้ข้อจำกัดความเท่าเทียมกันh ( x )=0 เป็นAx = bโดยที่Aมีnคอลัมน์ ถ้าAx = bไม่สามารถหาคำตอบได้ แน่นอนว่าปัญหาเดิมก็ไม่สามารถหาคำตอบได้เช่นกัน มิฉะนั้น ปัญหาจะมีคำตอบx อยู่ และเซตของคำตอบทั้งหมดสามารถแสดงได้ดังนี้: Fz + x โดยที่zอยู่ในR ^k , k = n -rank( A ) และFเป็น เมทริกซ์ ขนาดn x kการแทนค่าx = Fz + x ในปัญหาเดิมจะได้:

${\begin{aligned}&{\underset {\mathbf {x} }{\operatorname {minimize} }}&&f(\mathbf {F\mathbf {z} +\mathbf {x} _{0}} )\\&\operatorname {subject\ to} &&g_{i}(\mathbf {F\mathbf {z} +\mathbf {x} _{0}} )\leq 0,\quad i=1,\dots ,m\\\end{aligned}}$

โดยที่ตัวแปรคือzโปรดสังเกตว่ามีตัวแปรน้อยลงตามอันดับ ( A ) ซึ่งหมายความว่าโดยหลักการแล้ว เราสามารถจำกัดความสนใจไปที่ปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูนโดยไม่มีข้อจำกัดความเท่าเทียมกันได้ อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ มักนิยมคงข้อจำกัดความเท่าเทียมกันไว้ เนื่องจากอาจทำให้อัลกอริทึมบางอย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้น และยังทำให้ปัญหาเข้าใจและวิเคราะห์ได้ง่ายขึ้นด้วย

กรณีพิเศษ

ปัญหาคลาสต่อไปนี้ล้วนเป็นปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูน หรือสามารถลดให้เป็นปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูนได้โดยการแปลงแบบง่ายๆ: ^{[ 7 ]}^{:บทที่ 4}^{[ 10 ]}

ปัญหา การเขียนโปรแกรมเชิงเส้น (Linear Programming Problems: LP) เป็นโปรแกรมแบบนูนที่ง่ายที่สุด ใน LP ฟังก์ชันเป้าหมายและฟังก์ชันข้อจำกัดล้วนเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น
การเขียนโปรแกรมเชิงกำลังสอง (Quadratic Programming)เป็นวิธีการเขียนโปรแกรมที่ง่ายรองลงมา ใน QP ข้อจำกัดทั้งหมดจะเป็นเชิงเส้น แต่ฟังก์ชันเป้าหมายอาจเป็นฟังก์ชันกำลังสองแบบนูน (convex quadratic function)
การเขียนโปรแกรมกรวยลำดับที่สองมีความทั่วไปมากกว่า
การเขียนโปรแกรมแบบเซมิเดฟินิตนั้นมีความยืดหยุ่นกว่า
การปรับให้เหมาะสมแบบทรงกรวยนั้นมีความทั่วไปมากกว่า - ดูรูปทางด้านขวา

กรณีพิเศษอื่นๆ ได้แก่;

กำลังสองน้อยที่สุด
การหาค่าต่ำสุดกำลังสองด้วยข้อจำกัดกำลังสองแบบนูน
การเขียนโปรแกรมเชิงเรขาคณิต
การเพิ่มค่าเอนโทรปีให้สูงสุดภายใต้ข้อจำกัดที่เหมาะสม

คุณสมบัติ

ต่อไปนี้เป็นคุณสมบัติที่มีประโยชน์ของปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูน: ^{[ 11 ]}^{[ 7 ]}^{:บทที่ 4}

ทุกจุดที่เป็นจุดต่ำสุดเฉพาะที่ก็เป็นจุดต่ำสุดทั่วโลก ด้วยเช่น กัน
เซตที่เหมาะสมที่สุดเป็นเซตแบบนูน
ถ้าฟังก์ชันเป้าหมายเป็น ฟังก์ชันนูน อย่างเคร่งครัดปัญหาดังกล่าวจะมีจุดเหมาะสมที่สุดอย่างมากที่สุดเพียงจุดเดียว

ผลลัพธ์เหล่านี้ถูกนำไปใช้ในทฤษฎีการลดค่าต่ำสุดแบบนูน ร่วมกับแนวคิดทางเรขาคณิตจากการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน (ในปริภูมิฮิลเบิร์ต) เช่นทฤษฎีบทการฉายภาพของฮิลเบิร์ตทฤษฎีบทระนาบแยกและเลมมาของฟาร์คัส

อัลกอริทึม

ปัญหาที่ไม่ถูกจำกัดและปัญหาที่ถูกจำกัดด้วยความเท่าเทียมกัน

โปรแกรมเชิงนูนที่แก้ได้ง่ายที่สุดคือ โปรแกรม ที่ไม่มี ข้อจำกัด หรือโปรแกรมที่มีเพียงข้อจำกัดเชิงสมการเท่านั้น เนื่องจากข้อจำกัดเชิงสมการทั้งหมดเป็นเชิงเส้น จึงสามารถกำจัดได้ด้วยพีชคณิตเชิงเส้นและรวมเข้ากับฟังก์ชันเป้าหมายได้ ทำให้โปรแกรมที่มีข้อจำกัดเชิงสมการกลายเป็นโปรแกรมที่ไม่มีข้อจำกัด

ในกลุ่มปัญหาที่ไม่มีข้อจำกัด (หรือมีข้อจำกัดแบบเท่ากัน) ปัญหาที่ง่ายที่สุดคือปัญหาที่วัตถุประสงค์เป็นฟังก์ชันกำลังสองสำหรับปัญหาเหล่านี้เงื่อนไข KKT (ซึ่งจำเป็นสำหรับความเหมาะสมที่สุด) ล้วนเป็นเชิงเส้น ดังนั้นจึงสามารถแก้ไขได้โดยวิธีวิเคราะห์^{[ 7 ]}^{:บทที่ 11}

สำหรับปัญหาที่ไม่ถูกจำกัด (หรือถูกจำกัดด้วยความเท่าเทียมกัน) ที่มีฟังก์ชันเป้าหมายนูนทั่วไปที่สามารถหาอนุพันธ์ได้สองครั้ง สามารถใช้ วิธีของนิวตันได้ อาจมองได้ว่าเป็นการลดปัญหาแบบนูนที่ไม่ถูกจำกัดทั่วไป ให้เป็นลำดับของปัญหาแบบกำลังสอง^{[ 7 ]}^{:บทที่ 11}วิธีของนิวตันสามารถรวมเข้ากับการค้นหาเส้นตรงสำหรับขนาดขั้นตอนที่เหมาะสม และสามารถพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ได้ว่าลู่เข้าอย่างรวดเร็ว

อัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพอื่นๆ สำหรับการลดค่าต่ำสุดแบบไม่มีข้อจำกัด ได้แก่การไล่ระดับความชัน (ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของการไล่ระดับความชันที่ชันที่สุด )

ปัญหาทั่วไป

ปัญหาที่ท้าทายกว่าคือปัญหาที่มีข้อจำกัดความไม่เท่าเทียมกัน วิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือการลดปัญหาเหล่านั้นให้เป็นปัญหาที่ไม่มีข้อจำกัดโดยการเพิ่มฟังก์ชันกั้นซึ่งบังคับใช้ข้อจำกัดความไม่เท่าเทียมกันให้กับฟังก์ชันเป้าหมาย วิธีการดังกล่าวเรียกว่าวิธีการจุดภายใน^{[ 7 ]}^{:บทที่ 11}จะต้องเริ่มต้นด้วยการหาจุดภายในที่เป็นไปได้โดยใช้วิธีการที่เรียกว่าเฟส Iซึ่งจะหาจุดที่เป็นไปได้หรือแสดงว่าไม่มีจุดที่เป็นไปได้ วิธีการเฟส I โดยทั่วไปประกอบด้วยการลดการค้นหาที่เกี่ยวข้องให้เป็นปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูนที่ง่ายกว่า^{[ 7 ]}^{:บทที่ 11}

ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพแบบนูนสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีการร่วมสมัยดังต่อไปนี้: ^{[ 12 ]}

วิธีการรวมกลุ่ม (Wolfe, Lemaréchal, Kiwiel) และ
วิธี การฉายภาพแบบซับกราเดียนต์ (โพลีแอค)
วิธีการจุดภายใน^{[ 1 ]}ซึ่งใช้ฟังก์ชันกั้นที่สอดคล้องกันเอง^{[ 13 ]}และฟังก์ชันกั้นที่เป็นระเบียบเอง^{[ 14 ]}
วิธีการตัดระนาบ
วิธีทรงรี
วิธีการซับกราเดียนต์
การไล่ระดับย่อยคู่และการวิธีดริฟท์บวกโทษ

วิธีการซับเกรเดียนต์สามารถนำไปใช้ได้อย่างง่ายดายและจึงถูกนำมาใช้อย่างแพร่หลาย^{[ 15 ]}วิธีการซับเกรเดียนต์แบบคู่คือวิธีการซับเกรเดียนต์ที่ใช้กับปัญหาคู่ วิธีการ ดริฟต์พลัสเพนัลตีคล้ายกับวิธีการซับเกรเดียนต์แบบคู่ แต่ใช้ค่าเฉลี่ยเวลาของตัวแปรหลัก

ตัวคูณลากรางจ์

พิจารณาปัญหาการหาค่าต่ำสุดแบบนูนที่กำหนดในรูปแบบมาตรฐานโดยฟังก์ชันต้นทุน $f(x)$ และข้อจำกัดด้านความไม่เท่าเทียมกัน $g_{i}(x)\leq 0$ สำหรับ $1\leq i\leq m$ จากนั้นโดเมน ${\mathcal {X}}$ เป็น:

{\mathcal {X}}=\left\{x\in X\vert g_{1}(x),\ldots ,g_{m}(x)\leq 0\right\}.

ฟังก์ชัน Lagrangian สำหรับปัญหานี้คือ^{[ 16 ]}

L(x,\lambda _{0},\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{m})=\lambda _{0}f(x)+\lambda _{1}g_{1}(x)+\cdots +\lambda _{m}g_{m}(x).

สำหรับแต่ละจุด $x$ ใน $X$ ที่ลดให้น้อยที่สุด $f$ เกิน $X$ มีจำนวนจริงอยู่ $\lambda _{0},\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{m},$ เรียกว่าตัวคูณลากรางจ์ซึ่งเป็นตัวที่ตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้พร้อมกัน:

$x$ ลดให้น้อยที่สุด $L(y,\lambda _{0},\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{m})$ โดยรวม $y\in X,$
$\lambda _{0},\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{m}\geq 0,$ โดยมีอย่างน้อยหนึ่ง $\lambda _{k}>0,$
$\lambda _{1}g_{1}(x)=\cdots =\lambda _{m}g_{m}(x)=0$ (ความหย่อนยานที่เสริมกัน)

หากมี "จุดที่เป็นไปได้อย่างแท้จริง" อยู่จริง นั่นคือ จุดหนึ่ง $z$ น่าพอใจ

g_{1}(z),\ldots ,g_{m}(z)<0,

ดังนั้น ข้อความข้างต้นจึงสามารถเสริมให้มีความชัดเจนยิ่งขึ้น โดยกำหนดให้ต้อง $\lambda _{0}=1$ .

ในทางกลับกัน หากบางส่วน $x$ ใน $X$ เป็นไปตาม (1)–(3) สำหรับสเกลาร์ $\lambda _{0},\ldots ,\lambda _{m}$ กับ $\lambda _{0}=1$ แล้ว $x$ แน่นอนว่าจะช่วยลดให้น้อยที่สุด $f$ เกิน $X$ .

ซอฟต์แวร์

มีระบบนิเวศซอฟต์แวร์ขนาดใหญ่สำหรับการเพิ่มประสิทธิภาพแบบนูน ระบบนิเวศนี้แบ่งออกเป็นสองประเภทหลัก ได้แก่ตัวแก้ปัญหาและเครื่องมือสร้างแบบจำลอง (หรืออินเทอร์เฟซ )

โปรแกรมแก้ปัญหาจะทำการประมวลผลอัลกอริธึมด้วยตนเอง และโดยทั่วไปจะเขียนด้วยภาษาซี โปรแกรมเหล่านี้ต้องการให้ผู้ใช้ระบุปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดในรูปแบบที่เฉพาะเจาะจงมาก ซึ่งอาจไม่เป็นธรรมชาติจากมุมมองของการสร้างแบบจำลอง ส่วนเครื่องมือสร้างแบบจำลองนั้นเป็นซอฟต์แวร์แยกต่างหากที่ช่วยให้ผู้ใช้สามารถระบุการหาค่าเหมาะสมที่สุดในไวยากรณ์ระดับสูงกว่า เครื่องมือเหล่านี้จัดการการแปลงทั้งหมดระหว่างแบบจำลองระดับสูงของผู้ใช้และรูปแบบอินพุต/เอาต์พุตของโปรแกรมแก้ปัญหา

ด้านล่างนี้คือตารางสองตาราง ตารางแรกแสดงเครื่องมือสร้างแบบจำลอง (เช่น CVXPY และ JuMP.jl) และตารางที่สองแสดงเครื่องมือแก้ปัญหา (เช่น SCS และ MOSEK) ตารางเหล่านี้ไม่ได้ครอบคลุมเครื่องมือทั้งหมดแต่อย่างใด


โปรแกรม	ภาษา	คำอธิบาย	ซอฟต์แวร์โอเพนซอร์ส ?	อ้างอิง
ซีวีเอ็กซ์	MATLAB	อินเทอร์เฟซสำหรับโปรแกรมแก้ปัญหา SeDuMi และ SDPT3 ออกแบบมาเพื่อแสดงเฉพาะปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูนเท่านั้น	ใช่	^{[ 17 ]}
ซีวีเอ็กซ์พีวาย	ไพธอน		ใช่	^{[ 18 ]}
นูน.jl	จูเลีย	การเขียนโปรแกรมเชิงนูนอย่างมีระเบียบวินัย รองรับตัวแก้ปัญหาได้หลายตัว	ใช่	^{[ 19 ]}
ซีวีเอ็กซ์อาร์	อาร์		ใช่	^{[ 20 ]}
แกมส์		ระบบการสร้างแบบจำลองสำหรับปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น ไม่เชิงเส้น เชิงเส้น/ไม่เชิงเส้นแบบผสมจำนวนเต็ม และกรวยลำดับที่สอง	เลขที่	^{[ 17 ]}
กลอปติโพลี	MATLAB, อ็อกเทฟ	ระบบการสร้างแบบจำลองสำหรับการเพิ่มประสิทธิภาพพหุนาม	ใช่	^{[ 17 ]}
JuMP.jl	จูเลีย	รองรับตัวแก้ปัญหาหลายประเภท นอกจากนี้ยังรองรับการหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบจำนวนเต็มและแบบไม่เชิงเส้น รวมถึงการหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบไม่นูนบางประเภทด้วย	ใช่	^{[ 21 ]}
โรม		ระบบการสร้างแบบจำลองสำหรับการปรับให้เหมาะสมอย่างแข็งแกร่ง รองรับการปรับให้เหมาะสมอย่างแข็งแกร่งในเชิงการกระจายตัวและชุดความไม่แน่นอน	ใช่	^{[ 17 ]}
โซสตูลส์		ระบบสร้างแบบจำลองสำหรับการหาค่าเหมาะสมที่สุดของพหุนามใช้ SDPT3 และ SeDuMi ต้องใช้ Symbolic Computation Toolbox	ใช่	^{[ 17 ]}
สปาร์สป็อป		ระบบสร้างแบบจำลองสำหรับการหาค่าเหมาะสมที่สุดของพหุนาม ใช้ตัวแก้ปัญหา SDPA หรือ SeDuMi	ใช่	^{[ 17 ]}
ยาลมิป	MATLAB, Octave	สามารถเชื่อมต่อกับตัวแก้ปัญหา CPLEX, GUROBI, MOSEK, SDPT3, SEDUMI, CSDP, SDPA, PENNON ได้ นอกจากนี้ยังรองรับการหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบจำนวนเต็มและแบบไม่เชิงเส้น รวมถึงการหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบไม่นูนบางประเภท สามารถทำการหาค่าเหมาะสมที่สุดที่ทนทานต่อความไม่แน่นอนในข้อจำกัด LP/SOCP/SDP ได้	ใช่	^{[ 17 ]}


โปรแกรม	ภาษา	คำอธิบาย	ซอฟต์แวร์โอเพนซอร์ส ?	อ้างอิง
เอเอ็มเอ็มเอส		สามารถทำการเพิ่มประสิทธิภาพที่แข็งแกร่งบนการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น (โดยใช้ MOSEK เพื่อแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมกรวยลำดับที่สอง) และการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นจำนวนเต็มแบบผสมแพ็คเกจการสร้างแบบจำลองสำหรับ LP + SDP และเวอร์ชันที่แข็งแกร่ง	เลขที่	^{[ 17 ]}
ซีพีเล็กซ์		รองรับวิธีการแบบไพรมอล-ดูอัลสำหรับ LP + SOCP สามารถแก้ปัญหา LP, QP, SOCP และปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นแบบจำนวนเต็มผสมได้	เลขที่	^{[ 17 ]}
ซีเอสดีพี	ซี	รองรับวิธีการแบบไพรมัล-ดูอัลสำหรับ LP + SDP มีอินเทอร์เฟซสำหรับ MATLAB, Rและ Python มีเวอร์ชันแบบขนานให้ใช้งาน ตัวแก้ปัญหา SDP	ใช่	^{[ 17 ]}
ซีวีเอ็กซ์ออปต์	ไพธอน	รองรับวิธีการแบบคู่-ดั้งเดิมสำหรับ LP + SOCP + SDP ใช้การปรับขนาดของ Nesterov-Todd เชื่อมต่อกับ MOSEK และ DSDP	ใช่	^{[ 17 ]}
โมเซก		รองรับวิธีการแบบคู่ดั้งเดิมสำหรับ LP + SOCP	เลขที่	^{[ 17 ]}
เซดูมิ	MATLAB, Octave, MEX	แก้ปัญหา LP + SOCP + SDP รองรับวิธีการแบบคู่-ดั้งเดิมสำหรับ LP + SOCP + SDP	ใช่	^{[ 17 ]}
เอสดีพีเอ	ซี++	แก้ปัญหา LP + SDP รองรับวิธีการแบบไพรมอล-ดูอัลสำหรับ LP + SDP มีเวอร์ชันแบบขนานและแบบความแม่นยำสูงให้เลือกใช้	ใช่	^{[ 17 ]}
เอสดีพีที3	MATLAB, Octave, MEX	แก้ปัญหา LP + SOCP + SDP รองรับวิธีการแบบคู่-ดั้งเดิมสำหรับ LP + SOCP + SDP	ใช่	^{[ 17 ]}
คอนนิคบันเดิล		รองรับโค้ดทั่วไปสำหรับ LP + SOCP + SDP ใช้เมธอดแบบบันเดิล รองรับข้อจำกัด SDP และ SOCP เป็นพิเศษ	ใช่	^{[ 17 ]}
ดีเอสดีพี		รองรับรหัสทั่วไปสำหรับ LP + SDP ใช้หลักการจุดภายในแบบคู่	ใช่	^{[ 17 ]}
โลโก		รองรับโค้ดทั่วไปสำหรับ SOCP ซึ่งถือว่าเป็นปัญหาการเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้น	เลขที่	^{[ 17 ]}
ชายธง		รองรับโค้ดทั่วไป ใช้ระเบียบวิธีลากรางจ์เสริม โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับปัญหาที่มีข้อจำกัด SDP	เลขที่	^{[ 17 ]}
เอสดีพีแอลอาร์		รองรับโค้ดทั่วไป ใช้การแยกตัวประกอบอันดับต่ำด้วยวิธี Lagrangian เสริม	ใช่	^{[ 17 ]}

แอปพลิเคชัน

การเพิ่มประสิทธิภาพแบบนูนสามารถใช้ในการสร้างแบบจำลองปัญหาในหลากหลายสาขา เช่นระบบควบคุม อัตโนมัติ การประมาณค่าและการประมวลผลสัญญาณการสื่อสารและเครือข่าย การออกแบบวงจรอิเล็กทรอนิกส์[ 7 ^{] : 17}^{การวิเคราะห์}ข้อมูลและการสร้างแบบจำลองการเงิน สถิติ (การออกแบบการทดลองที่เหมาะสมที่สุด ) ^[²²^]และการเพิ่มประสิทธิภาพเชิงโครงสร้างซึ่งแนวคิดการประมาณค่าได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามีประสิทธิภาพ^[⁷^]^[²³^]การเพิ่มประสิทธิภาพแบบนูนสามารถใช้ในการสร้างแบบจำลองปัญหาในสาขาต่อไปนี้:

การเพิ่มประสิทธิภาพพอร์ตโฟลิโอ^{[ 24 ]}
การวิเคราะห์ความเสี่ยงกรณีเลวร้ายที่สุด^{[ 24 ]}
การโฆษณาที่เหมาะสมที่สุด^{[ 24 ]}
รูปแบบต่างๆ ของการถดถอยทางสถิติ (รวมถึงการปรับค่าและการถดถอยควอนไทล์ ) ^{[ 24 ]}
การปรับโมเดล^{[ 24 ]} (โดยเฉพาะการจำแนกประเภทหลายคลาส^{[ 25 ]} )
การเพิ่มประสิทธิภาพการผลิตไฟฟ้า^{[ 25 ]}
การเพิ่มประสิทธิภาพเชิงการจัดเรียง^{[ 25 ]}
การสร้างแบบจำลอง ความไม่แน่นอนที่ไม่ใช่ความน่าจะเป็น^{[ 26 ]}
การระบุตำแหน่งโดยใช้สัญญาณไร้สาย^{[ 27 ]}

ส่วนขยาย

การขยายขอบเขตของการหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูน ได้แก่ การหาค่าเหมาะสมที่สุดของ ฟังก์ชัน แบบนูนสองด้านฟังก์ชันแบบนูนเทียมและ ฟังก์ชัน แบบกึ่ง นูน การ ขยายขอบเขตของทฤษฎีการวิเคราะห์แบบนูน และวิธีการวนซ้ำสำหรับการแก้ปัญหา การหาค่าต่ำสุดแบบไม่นูนโดยประมาณเกิดขึ้นในสาขาความนูนทั่วไปหรือที่รู้จักกันในชื่อการวิเคราะห์แบบนูนเชิงนามธรรม

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

1 2เนสเตรอฟและเนมิรอฟสกี้ 1994
↑ Murty, Katta; Kabadi, Santosh (1987). "ปัญหา NP-complete บางประการในการเขียนโปรแกรมเชิงกำลังสองและเชิงไม่เชิงเส้น" การเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์39 (2): 117– 129. Bibcode : 1987MatPr..39..117M . doi : 10.1007/BF02592948 . hdl : 2027.42/6740 . S2CID 30500771 .
↑ Sahni, S. "ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณ" ใน SIAM Journal on Computing, 3, 262--279, 1974
↑ Pardalos, Panos M.; Vavasis, Stephen A. (1991). "การเขียนโปรแกรมเชิงกำลังสองที่มีค่าลักษณะเฉพาะติดลบหนึ่งค่าเป็นปัญหา NP-hard"วารสารการเพิ่มประสิทธิภาพระดับโลก 1 : 15– 22. doi : 10.1007 /BF00120662 .
↑ฮิรีอาร์ต-อูรูตี, ฌอง-แบปติสต์; เลมาเรชาล, คลอดด์ (1996) อัลกอริธึมการวิเคราะห์และการลดขนาดนูน:พื้นฐาน สปริงเกอร์. พี291. ไอเอสบีเอ็น 9783540568506.
↑ Ben-Tal, Aharon; Nemirovskiĭ, Arkadiĭ Semenovich (2001). การบรรยายเกี่ยวกับการเพิ่มประสิทธิภาพแบบนูนสมัยใหม่: การวิเคราะห์ อัลกอริทึม และการประยุกต์ใช้ทางวิศวกรรมหน้า335–336 . ISBN 9780898714913.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (2004). การเพิ่มประสิทธิภาพแบบนูน (PDF) . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 978-0-521-83378-3สืบค้นข้อมูลเมื่อ 12 เมษายน 2564
↑ "ประเภทของปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุด - การหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูน" . 9 มกราคม 2554.
1 2 Arkadi Nemirovsky (2004). วิธีการเวลาพหุนามจุดภายในในการเขียนโปรแกรมแบบนูน
↑ Agrawal, Akshay; Verschueren, Robin; Diamond, Steven; Boyd, Stephen (2018). "ระบบการเขียนใหม่สำหรับปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูน" (PDF) . การควบคุมและการตัดสินใจ . 5 (1): 42– 60. arXiv : 1709.04494 . doi : 10.1080/23307706.2017.1397554 . S2CID 67856259 .
↑ Rockafellar, R. Tyrrell (1993). "ตัวคูณลากรางจ์และความเหมาะสมที่สุด" (PDF) . SIAM Review . 35 (2): 183– 238. Bibcode : 1993SIAMR..35..183R . CiteSeerX 10.1.1.161.7209 . doi : 10.1137/1035044 .
↑สำหรับวิธีการหาค่าต่ำสุดแบบนูน โปรดดูหนังสือของ Hiriart-Urruty และ Lemaréchal (bundle) และตำราของ Ruszczyński , Bertsekasและ Boyd กับ Vandenberghe (interior point)
↑ Nesterov, Yurii; Arkadii, Nemirovskii (1995). Interior-Point Polynomial Algorithms in Convex Programming . Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 978-0898715156.
↑ Peng, Jiming; Roos, Cornelis; Terlaky, Tamás (2002). "ฟังก์ชันปกติในตัวเองและทิศทางการค้นหาใหม่สำหรับการเพิ่มประสิทธิภาพเชิงเส้นและกึ่งกำหนด" การเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์93 (1): 129– 171. doi : 10.1007/s101070200296 . ISSN 0025-5610 . S2CID 28882966 .
↑ "การเพิ่มประสิทธิภาพเชิงตัวเลข" . ชุดหนังสือ Springer ด้านการวิจัยการดำเนินงานและวิศวกรรมการเงิน . 2006. doi : 10.1007/978-0-387-40065-5 . ISBN . 978-0-387-30303-1.
↑ Beavis, Brian; Dobbs, Ian M. (1990). "การเพิ่มประสิทธิภาพแบบคงที่"ทฤษฎีการเพิ่มประสิทธิภาพและความเสถียรสำหรับการวิเคราะห์ทางเศรษฐศาสตร์นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ หน้า40. ISBN 0-521-33605-8.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Borchers, Brian. "ภาพรวมของซอฟต์แวร์สำหรับการเพิ่มประสิทธิภาพแบบนูน" ( PDF) . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 2017-09-18 . เรียกดู เมื่อ 12 เมษายน 2021 .
↑ "ยินดีต้อนรับสู่ CVXPY 1.1 — เอกสารประกอบ CVXPY 1.1.11" . www.cvxpy.org . สืบค้นเมื่อ2021-04-12 .
↑ Udell, Madeleine; Mohan, Karanveer; Zeng, David; Hong, Jenny; Diamond, Steven; Boyd, Stephen (17 ตุลาคม 2014). "การหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูนใน Julia". arXiv : 1410.4821 [ math.OC ].
↑ "การปรับให้เหมาะสมแบบนูนอย่างมีระเบียบวินัย - CVXR" . www.cvxgrp.org . สืบค้นเมื่อ2021-06-17 .
↑ Lubin, Miles; Dowson, Oscar; Dias Garcia, Joaquim; Huchette, Joey; Legat, Benoît; Vielma, Juan Pablo (2023). "JuMP 1.0: การปรับปรุงล่าสุดของภาษาสร้างแบบจำลองสำหรับการเพิ่มประสิทธิภาพทางคณิตศาสตร์" การคำนวณการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์15 (3): 581– 589. arXiv : 2206.03866 . doi : 10.1007/s12532-023-00239-3 .
↑คริสเตนเซน/แคลร์บริง, บทที่. 4.
↑ Schmit, LA; Fleury, C. 1980:การสังเคราะห์โครงสร้างโดยการรวมแนวคิดการประมาณค่าและวิธีการคู่ขนานวารสารสถาบันการบินและอวกาศแห่งอเมริกา 18, 1252-1260
1 2 3 4 5 Boyd, Stephen; Diamond, Stephen; Zhang, Junzi; Agrawal, Akshay. "การประยุกต์ใช้การเพิ่มประสิทธิภาพแบบนูน" (PDF) . เก็บถาวร(PDF)จากต้นฉบับเมื่อ 2015-10-01 . เรียกดูเมื่อ12 เมษายน 2021 .
1 2 3 Malick, Jérôme (2011-09-28). "การหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูน: การประยุกต์ใช้ การกำหนดสูตร การผ่อนคลาย" (PDF) . เก็บถาวร(PDF)จากต้นฉบับเมื่อ 2021-04-12 . เรียกดูเมื่อ12 เมษายน 2021 .
↑ Ben Haim Y. และ Elishakoff I., แบบจำลองนูนของความไม่แน่นอนในกลศาสตร์ประยุกต์, สำนักพิมพ์ Elsevier Science Publishers, อัมสเตอร์ดัม, 1990
↑ Ahmad Bazzi , Dirk TM Slock และ Lisa Meilhac. "การประมาณมุมตกกระทบแบบออนไลน์ในกรณีที่มีการเชื่อมโยงร่วมกัน" 2016 IEEE Statistical Signal Processing Workshop (SSP). IEEE, 2016.

ลิงก์ภายนอก

EE364a: การหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูน 1และEE364b: การหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูน 2หน้าเว็บหลักของรายวิชาจากมหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด
6.253: การวิเคราะห์เชิงนูนและการหาค่าเหมาะสมที่สุด (Convex Analysis and Optimization) หน้าเว็บหลักของหลักสูตร MIT OCW
ไบรอัน บอร์เชอร์ส ภาพรวมของซอฟต์แวร์สำหรับการปรับให้เหมาะสมแบบนูน
หนังสือ Convex Optimization โดย Lieven Vandenberghe และ Stephen P. Boyd

[Nesterov_1994-1] 1 2เนสเตรอฟและเนมิรอฟสกี้ 1994

[2] Murty, Katta; Kabadi, Santosh (1987). "ปัญหา NP-complete บางประการในการเขียนโปรแกรมเชิงกำลังสองและเชิงไม่เชิงเส้น" การเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์39 (2): 117– 129. Bibcode : 1987MatPr..39..117M . doi : 10.1007/BF02592948 . hdl : 2027.42/6740 . S2CID 30500771 .

[3] Sahni, S. "ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณ" ใน SIAM Journal on Computing, 3, 262--279, 1974

[4] Pardalos, Panos M.; Vavasis, Stephen A. (1991). "การเขียนโปรแกรมเชิงกำลังสองที่มีค่าลักษณะเฉพาะติดลบหนึ่งค่าเป็นปัญหา NP-hard"วารสารการเพิ่มประสิทธิภาพระดับโลก 1 : 15– 22. doi : 10.1007 /BF00120662 .

[5] ฮิรีอาร์ต-อูรูตี, ฌอง-แบปติสต์; เลมาเรชาล, คลอดด์ (1996) อัลกอริธึมการวิเคราะห์และการลดขนาดนูน:พื้นฐาน สปริงเกอร์. พี291. ไอเอสบีเอ็น 9783540568506.

[6] Ben-Tal, Aharon; Nemirovskiĭ, Arkadiĭ Semenovich (2001). การบรรยายเกี่ยวกับการเพิ่มประสิทธิภาพแบบนูนสมัยใหม่: การวิเคราะห์ อัลกอริทึม และการประยุกต์ใช้ทางวิศวกรรมหน้า335–336 . ISBN 9780898714913.

[:2-7] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (2004). การเพิ่มประสิทธิภาพแบบนูน (PDF) . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 978-0-521-83378-3สืบค้นข้อมูลเมื่อ 12 เมษายน 2564

[8] "ประเภทของปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุด - การหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูน" . 9 มกราคม 2554.

[:02-9] 1 2 Arkadi Nemirovsky (2004). วิธีการเวลาพหุนามจุดภายในในการเขียนโปรแกรมแบบนูน

[rewriting-10] Agrawal, Akshay; Verschueren, Robin; Diamond, Steven; Boyd, Stephen (2018). "ระบบการเขียนใหม่สำหรับปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูน" (PDF) . การควบคุมและการตัดสินใจ . 5 (1): 42– 60. arXiv : 1709.04494 . doi : 10.1080/23307706.2017.1397554 . S2CID 67856259 .

[rockafellar93-11] Rockafellar, R. Tyrrell (1993). "ตัวคูณลากรางจ์และความเหมาะสมที่สุด" (PDF) . SIAM Review . 35 (2): 183– 238. Bibcode : 1993SIAMR..35..183R . CiteSeerX 10.1.1.161.7209 . doi : 10.1137/1035044 .

[12] สำหรับวิธีการหาค่าต่ำสุดแบบนูน โปรดดูหนังสือของ Hiriart-Urruty และ Lemaréchal (bundle) และตำราของ Ruszczyński , Bertsekasและ Boyd กับ Vandenberghe (interior point)

[13] Nesterov, Yurii; Arkadii, Nemirovskii (1995). Interior-Point Polynomial Algorithms in Convex Programming . Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 978-0898715156.

[PengRoos2002-14] Peng, Jiming; Roos, Cornelis; Terlaky, Tamás (2002). "ฟังก์ชันปกติในตัวเองและทิศทางการค้นหาใหม่สำหรับการเพิ่มประสิทธิภาพเชิงเส้นและกึ่งกำหนด" การเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์93 (1): 129– 171. doi : 10.1007/s101070200296 . ISSN 0025-5610 . S2CID 28882966 .

[15] "การเพิ่มประสิทธิภาพเชิงตัวเลข" . ชุดหนังสือ Springer ด้านการวิจัยการดำเนินงานและวิศวกรรมการเงิน . 2006. doi : 10.1007/978-0-387-40065-5 . ISBN . 978-0-387-30303-1.

[16] Beavis, Brian; Dobbs, Ian M. (1990). "การเพิ่มประสิทธิภาพแบบคงที่"ทฤษฎีการเพิ่มประสิทธิภาพและความเสถียรสำหรับการวิเคราะห์ทางเศรษฐศาสตร์นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ หน้า40. ISBN 0-521-33605-8.

[:3-17] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Borchers, Brian. "ภาพรวมของซอฟต์แวร์สำหรับการเพิ่มประสิทธิภาพแบบนูน" ( PDF) . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 2017-09-18 . เรียกดู เมื่อ 12 เมษายน 2021 .

[18] "ยินดีต้อนรับสู่ CVXPY 1.1 — เอกสารประกอบ CVXPY 1.1.11" . www.cvxpy.org . สืบค้นเมื่อ2021-04-12 .

[19] Udell, Madeleine; Mohan, Karanveer; Zeng, David; Hong, Jenny; Diamond, Steven; Boyd, Stephen (17 ตุลาคม 2014). "การหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูนใน Julia". arXiv : 1410.4821 [ math.OC ].

[20] "การปรับให้เหมาะสมแบบนูนอย่างมีระเบียบวินัย - CVXR" . www.cvxgrp.org . สืบค้นเมื่อ2021-06-17 .

[21] Lubin, Miles; Dowson, Oscar; Dias Garcia, Joaquim; Huchette, Joey; Legat, Benoît; Vielma, Juan Pablo (2023). "JuMP 1.0: การปรับปรุงล่าสุดของภาษาสร้างแบบจำลองสำหรับการเพิ่มประสิทธิภาพทางคณิตศาสตร์" การคำนวณการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์15 (3): 581– 589. arXiv : 2206.03866 . doi : 10.1007/s12532-023-00239-3 .

[22] คริสเตนเซน/แคลร์บริง, บทที่. 4.

[23] Schmit, LA; Fleury, C. 1980:การสังเคราะห์โครงสร้างโดยการรวมแนวคิดการประมาณค่าและวิธีการคู่ขนานวารสารสถาบันการบินและอวกาศแห่งอเมริกา 18, 1252-1260

[:0-24] 1 2 3 4 5 Boyd, Stephen; Diamond, Stephen; Zhang, Junzi; Agrawal, Akshay. "การประยุกต์ใช้การเพิ่มประสิทธิภาพแบบนูน" (PDF) . เก็บถาวร(PDF)จากต้นฉบับเมื่อ 2015-10-01 . เรียกดูเมื่อ12 เมษายน 2021 .

[:1-25] 1 2 3 Malick, Jérôme (2011-09-28). "การหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูน: การประยุกต์ใช้ การกำหนดสูตร การผ่อนคลาย" (PDF) . เก็บถาวร(PDF)จากต้นฉบับเมื่อ 2021-04-12 . เรียกดูเมื่อ12 เมษายน 2021 .

[26] Ben Haim Y. และ Elishakoff I., แบบจำลองนูนของความไม่แน่นอนในกลศาสตร์ประยุกต์, สำนักพิมพ์ Elsevier Science Publishers, อัมสเตอร์ดัม, 1990

[27] Ahmad Bazzi , Dirk TM Slock และ Lisa Meilhac. "การประมาณมุมตกกระทบแบบออนไลน์ในกรณีที่มีการเชื่อมโยงร่วมกัน" 2016 IEEE Statistical Signal Processing Workshop (SSP). IEEE, 2016.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 8 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[

[

[ 26 ]

[ 27 ]