ในทางคณิตศาสตร์ พหุนาม q -Hermite ต่อเนื่อง เป็นกลุ่มของพหุนามไฮเปอร์จีโอเมตริกเชิงตั้งฉาก พื้นฐาน ในโครงร่าง Askey พื้นฐานRoelof Koekoek , Peter A. Lesky และRené F. Swarttouw ( 2010 , 14)ได้ให้รายการคุณสมบัติของพหุนามเหล่านี้โดยละเอียด 

พหุนามเหล่านี้แสดงอยู่ในรูปของฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกพื้นฐานโดย

${\displaystyle H_{n}(x|q)=e^{in\theta }{}_{2}\phi _{0}\left[{\begin{matrix}q^{-n},0\\-\end{matrix}};q,q^{n}e^{-2i\theta }\right],\quad x=\cos \,\theta .}$

${\displaystyle 2xH_{n}(x\mid q)=H_{n+1}(x\mid q)+(1-q^{n})H_{n-1}(x\mid q)}$

โดยมีเงื่อนไขเริ่มต้น

${\displaystyle H_{0}(x\mid q)=1,H_{-1}(x\mid q)=0}$

จากข้อมูลข้างต้น เราสามารถคำนวณได้ง่ายๆ ดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}(x\mid q)&=1\\H_{1}(x\mid q)&=2x\\H_{2}(x\mid q)&=4x^{2}-(1-q)\\H_{3}(x\mid q)&=8x^{3}-2x(2-q-q^{2})\\H_{4}(x\mid q)&=16x^{4}-4x^{2}(3-q-q^{2}-q^{3})+(1-q-q^{3}+q^{4})\end{aligned}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x\mid q){\frac {t^{n}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{\left(te^{i\theta },te^{-i\theta };q\right)_{\infty }}}}$

ที่ไหน${\displaystyle \textstyle x=\cos \theta }$.