ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีกลุ่มกลุ่มย่อยHของกลุ่มGสามารถใช้ในการแบ่งเซต พื้นฐาน ของGออกเป็นเซตย่อยที่ไม่ซ้ำกันและมีขนาดเท่ากันเรียกว่าโคเซตมีโคเซตซ้ายและโคเซตขวาโคเซต (ทั้งซ้ายและขวา) มีจำนวนสมาชิก ( จำนวนสมาชิก ) เท่ากับHยิ่งไปกว่านั้นHเองก็เป็นทั้งโคเซตซ้ายและโคเซตขวา จำนวนโคเซตซ้ายของHในGเท่ากับจำนวนโคเซตขวาของHในGค่าร่วมนี้เรียกว่าดัชนีของHในGและ มักจะเขียนแทนด้วย[ G  : H ]

โคเซตเป็นเครื่องมือพื้นฐานในการศึกษาเรื่องกลุ่ม ตัวอย่างเช่น โคเซตมีบทบาทสำคัญในทฤษฎีบทของลากรองจ์ที่กล่าวว่า สำหรับกลุ่มจำกัด ใดๆ Gจำนวนสมาชิกของทุกกลุ่มย่อยHของGจะหารลงตัวกับจำนวนสมาชิกของGโคเซตของกลุ่มย่อยประเภทหนึ่ง ( กลุ่มย่อยปกติ ) สามารถใช้เป็นสมาชิกของกลุ่มอื่นที่เรียกว่ากลุ่มผลหารหรือกลุ่มตัวประกอบได้โคเซตยังปรากฏในสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ เช่นปริภูมิเวกเตอร์และรหัส แก้ไขข้อผิดพลาด

ให้Hเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มGซึ่งการดำเนินการของกลุ่มเขียนในรูปการคูณ (การวางเคียงข้างกันหมายถึงการดำเนินการของกลุ่ม) เมื่อกำหนดสมาชิกgของGแล้วโคเซตซ้ายของHในGคือเซตที่ได้จากการคูณสมาชิกแต่ละตัวของHด้วยสมาชิกg ที่กำหนดไว้ ของG (โดยที่gคือตัวประกอบซ้าย) ในเชิงสัญลักษณ์ โคเซตเหล่านี้คือ

โคเซตขวาถูกนิยามในทำนองเดียวกัน ยกเว้นว่าองค์ประกอบgในที่นี้เป็นตัวประกอบขวา นั่นคือ

เมื่อgเปลี่ยนแปลงไปตามกลุ่ม ดูเหมือนว่าจะมีการสร้างโคเซตจำนวนมาก (ขวาหรือซ้าย) อย่างไรก็ตาม ปรากฏว่าโคเซตซ้ายสองชุดใดๆ (หรือโคเซตขวาตามลำดับ) จะไม่ทับซ้อนกันหรือเหมือนกันในฐานะเซต^{[ 1 ]}

หากการดำเนินการของกลุ่มเขียนในรูปแบบการบวก ซึ่งมักเกิดขึ้นเมื่อกลุ่มเป็นกลุ่มอาเบเลียนสัญลักษณ์ที่ใช้จะเปลี่ยนเป็นg + HหรือH + gตามลำดับ

สัญลักษณ์G / Hบางครั้งใช้สำหรับเซตของโคเซต (ซ้าย) { gH  : gเป็นสมาชิกของG } (ดูด้านล่างสำหรับการขยายไปยังโคเซตขวาและโคเซตคู่) อย่างไรก็ตาม ผู้เขียนบางคน (รวมถึง Dummit & Foote และ Rotman) สงวนสัญลักษณ์นี้ไว้เฉพาะสำหรับการแสดงกลุ่มผลหารที่เกิดจากโคเซตในกรณีที่Hเป็น กลุ่มย่อย ปกติของG

ให้Gเป็นกลุ่มไดเฮดรัลอันดับหกสมาชิกของมันสามารถแทนได้ด้วย{ I , a , a ² , b , ab , a ² b }ในกลุ่มนี้a ³ = b ² = Iและba = a ² bข้อมูลนี้เพียงพอที่จะเติมตารางเคย์ลีย์ ทั้งหมดได้ :

ให้Tเป็นกลุ่มย่อย{ I , b }โคเซตซ้าย (ที่แตกต่างกัน) ของTคือ:

• IT = T = { I , b } ,
• aT = { a , ab }และ
• a ² T = { a ² , a ² b } .

เนื่องจากองค์ประกอบทั้งหมดของGได้ปรากฏอยู่ในโคเซตใดโคเซตหนึ่งแล้ว การสร้างโคเซตเพิ่มเติมจึงไม่สามารถสร้างโคเซตใหม่ได้ โคเซตใหม่ใดๆ จะต้องมีองค์ประกอบที่เหมือนกันกับโคเซตใดโคเซตหนึ่งเหล่านี้ และดังนั้นจึงจะเหมือนกับโคเซตใดโคเซตหนึ่งเหล่านี้ ตัวอย่างเช่นabT = { ab , a } = aT

เซตย่อยด้านขวาของTคือ:

• TI = T = { I , b } ,
• ตา = { a , ba } = { a , a ² b }และ
• ตา² = { a ² , ba ² } = { a ² , ab } .

ในตัวอย่างนี้ ยกเว้นT แล้ว ไม่มีโคเซตซ้ายใดที่เป็นโคเซตขวาด้วย

ให้Hเป็นกลุ่มย่อย{ I , a , a ² }โคเซตซ้ายของHคือIH = HและbH = { b , ba , ba ² }โคเซตขวาของHคือHI = HและHb = { b , ab , a ² b } = { b , ba ² , ba }ในกรณีนี้ โคเซตซ้ายทุกตัวของHก็เป็นโคเซตขวาของH ด้วย^{[ 2 ]}

ให้Hเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มGและสมมติว่าg ₁ , g ₂ ∈ Gข้อความต่อไปนี้เทียบเท่ากัน: ^{[ 3 ]}

• g ₁ H = g ₂ H
• Hg ₁ ⁻¹ = Hg ₂ ⁻¹
• g ₁ H ⊂ g ₂ H
• g ₂ ∈ g ₁ H
• g ₁ ⁻¹ g ₂ ∈ H

ความไม่ทับซ้อนกันของโคเซตที่ไม่เหมือนกันเป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า ถ้าxเป็นสมาชิกของgHแล้วgH = xHเพราะถ้าx ∈ gHแล้วจะต้องมีa ∈ Hที่ทำให้ga = xดังนั้นxH = ( ga ) H = g ( aH )ยิ่งไปกว่านั้น เนื่องจากHเป็นกลุ่ม การคูณทางซ้ายด้วยaจึงเป็นการ จับคู่ แบบ หนึ่งต่อหนึ่ง ทั่วถึงและaH = H

ดังนั้น สมาชิกทุกตัวของGจึงเป็นของโคเซตซ้ายเพียงหนึ่งเดียวของกลุ่มย่อยH [ ^{1 ]}และH เองก็เป็นโคเซตซ้าย (และเป็นโค ^เซตที่ประกอบด้วยเอกลักษณ์) ^{[ 2 ]}

การที่ องค์ประกอบสองตัวอยู่ในโคเซตซ้ายเดียวกันยังให้ความสัมพันธ์สมมูล ตามธรรมชาติอีกด้วย กำหนดให้องค์ประกอบสองตัวของGคือxและyสมมูลกันโดยสัมพันธ์กับกลุ่มย่อยHถ้าxH = yH (หรือเทียบเท่ากันถ้าx ⁻¹ yอยู่ในH ) ชั้นสมมูลของความสัมพันธ์นี้คือโคเซตซ้ายของH [ ^{4 ] เช่น}เดียวกับเซตของชั้นสมมูลใดๆ พวกมันก่อให้เกิดการแบ่งส่วนของเซตพื้นฐานตัวแทนโคเซตคือตัวแทนในความหมายของชั้นสมมูล เซตของตัวแทนของโคเซตทั้งหมดเรียกว่าทรานส์เวอร์ซัลมีความสัมพันธ์สมมูลประเภทอื่นๆ ในกลุ่ม เช่น การสมมูลกัน ซึ่งก่อให้เกิดชั้นที่แตกต่างกันซึ่งไม่มีคุณสมบัติที่กล่าวถึงในที่นี้

ข้อความที่คล้ายกันนี้สามารถนำไปใช้กับโคเซตขวาได้เช่นกัน

ถ้าGเป็นกลุ่มอาเบเลียนแล้วg + H = H + gสำหรับทุกกลุ่มย่อยHของGและทุกสมาชิกgของGสำหรับกลุ่มทั่วไป เมื่อกำหนดสมาชิกgและกลุ่มย่อยHของกลุ่มGแล้ว โคเซตขวาของHเทียบกับgก็คือโคเซตซ้ายของกลุ่มย่อยสังยุคg ⁻¹ Hgเทียบกับg ด้วย นั่น คือHg = g ( g ⁻¹ Hg )

กลุ่มย่อยNของกลุ่มGเป็นกลุ่มย่อยปกติของGก็ต่อเมื่อสำหรับสมาชิกg ทุกตัว ของGเซตย่อยซ้ายและขวาที่สอดคล้องกันมีค่าเท่ากัน นั่นคือgN = Ngซึ่งเป็นกรณีของกลุ่มย่อยHในตัวอย่างแรกข้างต้น นอกจากนี้ เซตย่อยของNในGยัง รวมกันเป็นกลุ่มที่เรียกว่ากลุ่มผลหารหรือกลุ่มตัวประกอบG / N

ถ้าHไม่ใช่กลุ่มปกติในGแล้ว โคเซตซ้ายของ H จะแตกต่างจากโคเซตขวา นั่นคือ มีสมาชิกaในGที่ไม่มีสมาชิกb ใดที่ สอดคล้องกับaH = Hbซึ่งหมายความว่า การแบ่งGออกเป็นโคเซตซ้ายของHนั้นเป็นการแบ่งที่แตกต่างจากการแบ่งGออกเป็นโคเซตขวาของHดังตัวอย่างในกลุ่มย่อยTในตัวอย่างแรกข้างต้น ( โคเซต บางส่วนอาจตรงกัน ตัวอย่างเช่น ถ้าaอยู่ที่ศูนย์กลางของGแล้วaH = Ha )

ในทางกลับกัน ถ้ากลุ่มย่อยNเป็นกลุ่มย่อยปกติ เซตของโคเซตทั้งหมดจะก่อตัวเป็นกลุ่มที่เรียกว่ากลุ่มผลหารG / Nโดยมีการดำเนินการ∗ที่กำหนดโดย( aN ) ∗ ( bN ) = abNเนื่องจากโคเซตขวาทุกตัวเป็นโคเซตซ้าย จึงไม่จำเป็นต้องแยกแยะ "โคเซตซ้าย" ออกจาก "โคเซตขวา"

โคเซตซ้ายหรือขวาทุกเซตของHมีจำนวนสมาชิก (หรือจำนวนสมาชิกในกรณีที่H เป็น อนันต์ ) เท่ากับHเอง ยิ่งไปกว่านั้น จำนวนโคเซตซ้ายจะเท่ากับจำนวนโคเซตขวา และเรียกว่าดัชนีของHในGซึ่งเขียนว่า[ G  : H ] ทฤษฎีบทของลากรองจ์ช่วยให้เราคำนวณดัชนีได้ในกรณีที่GและHเป็นกลุ่มจำกัด: สมการนี้สามารถขยายไปสู่กรณีที่กลุ่มเป็นอนันต์ ได้$${\displaystyle |G|=[G:H]|H|.}$$

ให้Gเป็นกลุ่มการบวกของจำนวนเต็มZ = ({..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}, +)และHเป็นกลุ่มย่อย(3 Z , +) = ({..., −6, −3, 0, 3, 6, ...}, +)แล้วเซตย่อยร่วมของHในGคือเซต3 Z , 3 Z + 1และ3 Z + 2โดยที่3 Z + a = {..., −6 + a , −3 + a , a , 3 + a , 6 + a , ...}เซตทั้งสามนี้แบ่งเซตZ ออกเป็นส่วนๆ ดังนั้นจึงไม่มีเซตย่อยร่วมทางขวาอื่นๆ ของHเนื่องจากสมบัติการสลับที่ของการบวกH + 1 = 1 + HและH + 2 = 2 + Hนั่นคือ เซตย่อยร่วมทางซ้ายทุกเซตของHก็เป็นเซตย่อยร่วมทางขวาด้วย ดังนั้นHจึงเป็นกลุ่มย่อยปกติ^{[ 5 ]} (ข้อโต้แย้งเดียวกันนี้แสดงให้เห็นว่ากลุ่มย่อยทุกกลุ่มของกลุ่มอาเบเลียนเป็นกลุ่มปกติ^{[ 6 ]} )

ตัวอย่างนี้สามารถขยายความได้ ให้Gเป็นกลุ่มการบวกของจำนวนเต็มZ = ({..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}, +)และให้Hเป็นกลุ่มย่อย( m Z , +) = ({..., −2 m , − m , 0, m , 2 m , ...}, +)โดยที่mเป็นจำนวนเต็มบวก แล้วโคเซตของHในGคือmเซตm Z , m Z + 1 , ..., m Z + ( m − 1)โดยที่m Z + a = {..., −2 m + a , − m + a , a , m + a , 2 m + a , ...}มีโคเซตไม่เกินmเซต เพราะm Z + m = m ( Z + 1) = m Zโคเซต( m Z + a , +)คือชั้นสมมูลของaมอดูลm ^{[ 7 ]}กลุ่มย่อยm Zเป็นกลุ่มปกติในZดังนั้น สามารถใช้เพื่อสร้างกลุ่มผลหารZ / m Zซึ่งเป็นกลุ่มของจำนวนเต็ม mod mได้

อีกตัวอย่างหนึ่งของโคเซตมาจากทฤษฎีของปริภูมิเวกเตอร์องค์ประกอบ (เวกเตอร์) ของปริภูมิเวกเตอร์ก่อตัวเป็นกลุ่มอาเบเลียนภายใต้การบวกเวกเตอร์ปริภูมิย่อยของปริภูมิเวกเตอร์เป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มนี้ สำหรับปริภูมิเวกเตอร์Vปริภูมิย่อยWและเวกเตอร์คงที่aในVเซตเหล่านี้ เรียกว่าปริภูมิย่อยแอฟฟิน และเป็นโคเซต (ทั้งซ้ายและขวา เนื่องจากกลุ่มเป็นกลุ่มอาเบเลียน) ในแง่ของเวกเตอร์ เรขาคณิต 3 มิติปริภูมิย่อยแอฟฟินเหล่านี้คือ "เส้น" หรือ "ระนาบ" ทั้งหมดที่ขนานกับปริภูมิย่อย ซึ่งเป็นเส้นหรือระนาบที่ผ่านจุดกำเนิด ตัวอย่างเช่น พิจารณาระนาบR ²ถ้าmเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดOแล้วmเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มอาเบเลียนR ²ถ้าPอยู่ในR ²แล้วโคเซตP + mคือเส้นตรงm ′ ^ที่ขนานกับmและผ่านP [ ^{8 ]}$${\displaystyle \{\mathbf {x} \in V\mid \mathbf {x} =\mathbf {a} +\mathbf {w} ,\mathbf {w} \in W\}}$$

ให้Gเป็นกลุ่มเมทริกซ์แบบคูณ^{[ 9 ]} และ กลุ่มย่อยHของG สำหรับองค์ประกอบคงที่ของGให้พิจารณาโคเซตซ้าย นั่นคือ โคเซตซ้ายประกอบด้วยเมทริกซ์ทั้งหมดในGที่มีรายการบนซ้ายเหมือนกัน กลุ่มย่อยH นี้ เป็นกลุ่มปกติในGแต่กลุ่มย่อยนี้ ไม่ใช่กลุ่มปกติใน G$${\displaystyle G=\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}\colon a,b\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\},}$$$${\displaystyle H=\left\{{\begin{bmatrix}1&0\\c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}H=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}\\=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b+c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}\\=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\d&1\end{bmatrix}}\colon d\in \mathbb {R} \right\}.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle T=\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\0&1\end{bmatrix}}\colon a\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}}$$

กลุ่มย่อยHของกลุ่มGสามารถใช้เพื่อกำหนดการกระทำของHบนG ได้สองวิธีตามธรรมชาติ การ กระทำทางขวาG × H → Gที่กำหนดโดย( g , h ) → ghหรือการกระทำทางซ้าย H × G → Gที่กำหนดโดย( h , g ) → hgวงโคจรของgภายใต้การกระทำทางขวาคือโคเซตซ้ายgH ในขณะที่วงโคจรภายใต้การ ^{กระทำ}ทางซ้ายคือโคเซตขวาHg ^{[ 10} ]

แนวคิดเรื่องโคเซตมีที่มาจาก งานของ กาโลอิสในปี 1830–31 เขาได้แนะนำสัญลักษณ์ แต่ไม่ได้ตั้งชื่อให้กับแนวคิดนี้ คำว่า "โคเซต" ปรากฏขึ้นครั้งแรกในปี 1910 ในบทความของ GA Miller ในวารสารQuarterly Journal of Pure and Applied Mathematics (เล่มที่ 41 หน้า 382) มีการใช้คำอื่นๆ อีกหลายคำ รวมถึงNebengruppen ของเยอรมัน ( Weber ) และกลุ่มคู่ควบ ( Burnside ) ^{[ 11 ]} (โปรดทราบว่า Miller ย่อการอ้างอิงตนเองเป็นQuarterly Journal of Mathematicsซึ่งไม่ได้หมายถึงวารสารชื่อเดียวกันซึ่งเริ่มตีพิมพ์ในปี 1930 เท่านั้น)

กาโลอิสกังวลเกี่ยวกับการตัดสินใจว่าสมการพหุนาม ที่กำหนด สามารถแก้ได้ด้วยรากที่สอง เมื่อใด เครื่องมือที่เขาพัฒนาขึ้นคือการสังเกตว่ากลุ่มย่อยHของกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนGทำให้เกิดการแยกส่วนสองส่วนของG (ซึ่งปัจจุบันเราเรียกว่าโคเซตซ้ายและขวา) หากการแยกส่วนเหล่านี้ตรงกัน นั่นคือ หากโคเซตซ้ายเหมือนกับโคเซตขวา ก็จะมีวิธีลดปัญหาให้เหลือเพียงการทำงานกับHแทนที่จะเป็นG คามิลล์ จอร์แดนในคำอธิบายเกี่ยวกับงานของกาโลอิสในปี พ.ศ. 2408 และ พ.ศ. 2402 ได้ขยายความแนวคิดเหล่านี้และกำหนดกลุ่มย่อยปกติดังที่เราได้กล่าวไว้ข้างต้น แม้ว่าเขาจะไม่ได้ใช้คำนี้ก็ตาม^{[ 6 ]}

การเรียกโคเซตgH ว่า เป็นโคเซตซ้ายของg เมื่อเทียบกับHแม้ว่าจะเป็นที่นิยมในปัจจุบัน^{[ 10 ]}แต่ก็ไม่ได้เป็นความจริงเสมอไปในอดีต ตัวอย่างเช่นHall (1959)จะเรียกgHว่าเป็นโคเซตขวาโดยเน้นว่ากลุ่มย่อยอยู่ทางด้านขวา

รหัสเชิงเส้นไบนารีคือปริภูมิย่อยC ที่มีมิติ nของปริภูมิเวกเตอร์V ที่มีมิติ mบนฟิลด์ไบนารีGF(2)เนื่องจากVเป็นกลุ่มอาเบเลียนแบบบวกCจึงเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มนี้ รหัสสามารถใช้เพื่อแก้ไขข้อผิดพลาดที่อาจเกิดขึ้นในการส่ง เมื่อคำรหัส (องค์ประกอบของC ) ถูกส่ง บิตบางส่วนอาจถูกเปลี่ยนแปลงในกระบวนการ และหน้าที่ของผู้รับคือการพิจารณาคำรหัสที่น่าจะเป็นไปได้มากที่สุดที่คำที่ได้รับ ซึ่งเสียหาย อาจเริ่มต้นเป็น กระบวนการนี้เรียกว่าการถอดรหัสและหากมีข้อผิดพลาดเพียงเล็กน้อยในการส่ง ก็สามารถทำได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยมีข้อผิดพลาดเพียงเล็กน้อย วิธีหนึ่งที่ใช้ในการถอดรหัสใช้การจัดเรียงองค์ประกอบของV (คำที่ได้รับอาจเป็นองค์ประกอบใดก็ได้ของV ) ลงในอาร์เรย์มาตรฐานอาร์เรย์มาตรฐานคือการแยกส่วนโคเซตของVที่ใส่ในรูปแบบตารางในลักษณะที่แน่นอน กล่าวคือ แถวบนสุดของอาร์เรย์ประกอบด้วยองค์ประกอบของCที่เขียนในลำดับใดก็ได้ ยกเว้นเวกเตอร์ศูนย์ควรเขียนไว้ก่อน จากนั้น เลือกเวกเตอร์Vที่มีจำนวนเลข 1 น้อยที่สุดและยังไม่ปรากฏในแถวบนสุด และเขียน โคเซตของ C ที่มีเวกเตอร์นี้ลงในแถวที่สอง (กล่าวคือ แถวนั้นเกิดจากการนำผลรวมของเวกเตอร์นี้กับเวกเตอร์ Cที่อยู่เหนือกว่ามาบวกกัน) เวกเตอร์นี้เรียกว่าหัวหน้าโคเซตและอาจมีการเลือกได้ จากนั้นทำซ้ำกระบวนการ เลือกเวกเตอร์ใหม่ที่มีจำนวนเลข 1 น้อยที่สุดและยังไม่ปรากฏเป็นหัวหน้าโคเซตใหม่ และเขียนโคเซตของC ที่มีเวกเตอร์นี้ลงในแถวถัดไป กระบวนการจะสิ้นสุดลงเมื่อเวกเตอร์ Vทั้งหมดถูกจัดเรียงลงในโคเซตแล้ว

ตัวอย่างของอาร์เรย์มาตรฐานสำหรับรหัส 2 มิติC = {00000, 01101, 10110, 11011}ในปริภูมิ 5 มิติV (ที่มีเวกเตอร์ 32 ตัว) มีดังนี้:

ขั้นตอนการถอดรหัสคือการค้นหาคำที่ได้รับในตาราง แล้วบวกด้วยหัวหน้าโคเซ็ตของแถวที่คำนั้นอยู่ เนื่องจากในเลขคณิตไบนารี การบวกเป็นการดำเนินการเดียวกับการลบ ดังนั้นผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นองค์ประกอบของC เสมอ ในกรณีที่ข้อผิดพลาดในการส่งเกิดขึ้นในตำแหน่งที่ไม่ใช่ศูนย์ของหัวหน้าโคเซ็ต ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นรหัสคำที่ถูกต้อง ในตัวอย่างนี้ หากเกิดข้อผิดพลาดเพียงจุดเดียว วิธีการนี้จะแก้ไขได้เสมอ เนื่องจากหัวหน้าโคเซ็ตที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่มีค่าเดียวปรากฏอยู่ในอาร์เรย์

การถอดรหัสซินโดรมสามารถใช้เพื่อปรับปรุงประสิทธิภาพของวิธีนี้ได้ เป็นวิธีการคำนวณโคเซ็ต (แถว) ที่ถูกต้องซึ่งคำที่ได้รับจะอยู่ในนั้น สำหรับ รหัส nมิติCในปริภูมิเวกเตอร์ไบนารีm มิติ เมทริกซ์ตรวจสอบความเท่าเทียมกันคือเมทริกซ์H ^ขนาด ( m − n ) × mที่มีคุณสมบัติว่าx H ^T = 0ก็ต่อเมื่อxอยู่ในC ^{[ 12} ] เวกเตอร์x H ^Tเรียกว่าซินโดรมของxและโดยความเป็นเชิงเส้นเวกเตอร์ทุกตัวในโคเซ็ตเดียวกันจะมีซินโดรมเดียวกัน ในการถอดรหัส การค้นหาจะลดลงเหลือเพียงการหาผู้นำโคเซ็ตที่มีซินโดรมเดียวกันกับคำที่ได้รับ^{[ 13 ]}

เมื่อกำหนดกลุ่มย่อยสองกลุ่มHและK (ซึ่งไม่จำเป็นต้องแตกต่างกัน) ของกลุ่มGโคเซตคู่ของHและKในGคือเซตในรูปแบบHgK = { hgk  : hเป็นสมาชิกของH , kเป็นสมาชิกของK } โคเซต เหล่านี้เป็นโคเซตซ้ายของKและโคเซตขวาของHเมื่อH = 1และK = 1ตามลำดับ^{[ 14 ]}

โค เซต คู่HxKและHyK สองชุด จะไม่ทับซ้อนกันหรือเหมือนกัน^{[ 15 ]}เซตของโคเซตคู่ทั้งหมดสำหรับHและK ที่กำหนดไว้ จะก่อให้เกิดการแบ่งส่วนของG

โคเซตคู่HxKประกอบด้วยโคเซตขวาสมบูรณ์ของH (ในG ) ในรูปแบบ^Hxkโดยที่kเป็นสมาชิกของKและโคเซตซ้ายสมบูรณ์ของK (ในG ) ในรูปแบบhxKโดยที่hอยู่ในH ^{[ 15} ]

ให้Gเป็นกลุ่มที่มีกลุ่มย่อยHและKผู้เขียนหลายคนที่ทำงานกับเซตเหล่านี้ได้พัฒนาสัญลักษณ์เฉพาะสำหรับงานของพวกเขา โดยที่^{[ 16 ] [ 17 ]}

• G / Hหมายถึงเซตของโคเซตซ้าย { gH  : gในG }ของ Hใน G
• H \ Gหมายถึงเซตของโคเซตขวา { Hg  : gในG }ของ Hใน G
• K \ G / Hหมายถึงเซตของโคเซตคู่ { KgH  : gในG }ของ Hและ Kใน Gซึ่งบางครั้งเรียกว่าปริภูมิโคเซตคู่
• G // Hหมายถึงปริภูมิโคเซตคู่H \ G / Hของกลุ่มย่อย Hใน G

• โคเซตของQในRถูกนำมาใช้ในการสร้างเซตวิทาลีซึ่งเป็นเซตประเภทหนึ่งที่ไม่สามารถวัดได้
• ชุดชั้นใน สตรีเป็นสิ่งสำคัญในการกำหนดความหมายของการโอนเงิน
• โคเซตมีความสำคัญในทฤษฎีกลุ่มเชิงคำนวณ ตัวอย่างเช่นอัลกอริทึมของทิสเซิลเวทสำหรับการแก้ลูกบาศก์รูบิกนั้นอาศัยโคเซตเป็นอย่างมาก
• ในทางเรขาคณิตรูปแบบคลิฟฟอร์ด-ไคลน์คือปริภูมิโคเซตคู่Γ \ G / Hโดยที่Gคือ กลุ่มลี แบบลดรูปHคือกลุ่มย่อยปิด และΓคือกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่อง (ของG ) ที่กระทำแบบไม่ต่อเนื่องอย่างเหมาะสมบนปริภูมิเอกพันธุ์G / H

• กอง
• การแจงนับโคเซ็ต

• Zassenhaus, Hans J. (1999), "§1.4 กลุ่มย่อย", ทฤษฎีกลุ่ม , สำนักพิมพ์ Courier Dover, หน้า 10 เป็นต้นไป, ISBN 0-486-40922-8

• นิโคลัส เบรย์. "Coset" . MathWorld .
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "Left Coset" . MathWorld .
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "Right Coset" . MathWorld .
• Ivanova, OA (2001) [1994], "Coset ในกลุ่ม" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press
• Cosetที่PlanetMath​
• ตัวอย่างประกอบภาพ
• "Coset" . groupprops . วิกิคุณสมบัติกลุ่ม