ในทฤษฎีกลุ่มซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์เซตย่อยของกลุ่ม G จะเป็นกลุ่มย่อยของ G ก็ต่อเมื่อสมาชิกของเซตย่อยนั้นประกอบกันเป็นกลุ่มโดยสัมพันธ์กับการดำเนินการของกลุ่มใน G

ตามหลักการแล้ว เมื่อกำหนดกลุ่มGภายใต้การดำเนินการทวิภาค  ∗ เซตย่อยHของGจะเรียกว่าเป็นกลุ่มย่อยของGถ้าHเป็นกลุ่มภายใต้การดำเนินการ ∗ ด้วยเช่นกัน กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นHเป็นกลุ่มย่อยของGถ้าการจำกัดของ ∗ บนH × Hเป็นการดำเนินการของกลุ่มบนHซึ่งมักจะเขียนแทน ด้วย H ≤ Gอ่านว่า " Hเป็นกลุ่มย่อยของG "

กลุ่มย่อยที่ไม่สำคัญของกลุ่มใดๆ คือกลุ่มย่อย { e } ซึ่งประกอบด้วยสมาชิกเอกลักษณ์เพียงอย่างเดียว^{[ 1 ]}

กลุ่มย่อยแท้ของกลุ่มGคือกลุ่มย่อยHซึ่งเป็นเซตย่อยแท้ของG (นั่นคือH ≠ G ) โดยทั่วไปมักแสดงด้วยสัญลักษณ์H < Gซึ่งอ่านว่า " Hเป็นกลุ่มย่อยแท้ของG " ผู้เขียนบางคนยังยกเว้นกลุ่มย่อยที่ไม่สำคัญออกจากการเป็นกลุ่มย่อยแท้ด้วย (นั่นคือH ≠ { e } ) ^{[ 2 ] [ 3 ]}

ถ้าHเป็นกลุ่มย่อยของGแล้วGก็ อาจถูกเรียกว่าเป็นกลุ่มเหนือกว่าของH ในบางครั้ง

นิยามเดียวกันนี้สามารถนำไปใช้ได้โดยทั่วไปเมื่อGเป็นเซมิกรุป ใดๆ แต่บทความนี้จะกล่าวถึงเฉพาะกลุ่มย่อยของกลุ่มเท่านั้น

สมมติว่าGเป็นกลุ่ม และHเป็นเซตย่อยของGในตอนนี้ ให้ถือว่าการดำเนินการของกลุ่มGเขียนในรูปการคูณ ซึ่งแทนด้วยการวางเคียงข้างกัน

• จากนั้นHเป็นกลุ่มย่อยของG ก็ต่อเมื่อHไม่ว่างและปิดภายใต้ผลคูณและตัวผกผันการปิดภายใต้ผลคูณหมายความว่าสำหรับทุกaและbในHผลคูณabอยู่ในH การปิดภายใต้ตัวผกผันหมายความว่าสำหรับทุกaในHตัวผกผันa ⁻¹อยู่ในH เงื่อนไขทั้งสองนี้สามารถรวมกันเป็นเงื่อนไขเดียว ได้ คือ สำหรับทุกaและbในHสมาชิกab ⁻¹อยู่ในHแต่การทดสอบเงื่อนไขการปิดทั้งสองแยกกันนั้นเป็นธรรมชาติมากกว่าและมักจะง่ายกว่า^{[ 4 ]}
• เมื่อHเป็นกลุ่มจำกัดการทดสอบสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้: Hเป็นกลุ่มย่อยก็ต่อเมื่อ H ไม่ว่างเปล่าและปิดภายใต้ผลคูณ เงื่อนไขเหล่านี้เพียงอย่างเดียวบ่งชี้ว่าสมาชิกทุกตัวaของHสร้างกลุ่มย่อยวัฏจักรจำกัดของHเช่น กลุ่มที่มีอันดับⁿและจากนั้นตัวผกผันของaคือa ^{n −1 [ 4} ]

หากการดำเนินการของกลุ่มถูกแทนด้วยการบวก เงื่อนไข " ปิดภายใต้ผลคูณ"ควรถูกแทนที่ด้วย"ปิดภายใต้การบวก"ซึ่งเป็นเงื่อนไขที่ว่าสำหรับทุกaและbในHผลรวมa + bจะอยู่ในHและเงื่อนไข "ปิดภายใต้ตัวผกผัน"ควร ได้รับการแก้ไขให้เป็นว่าสำหรับทุกaในHตัวผกผัน−a จะอยู่ในH

• เอกลักษณ์ ของกลุ่มย่อยคือ เอกลักษณ์ของกลุ่ม: ถ้าGเป็นกลุ่มที่มีเอกลักษณ์e G _และ H เป็นกลุ่มย่อยของGที่มีเอกลักษณ์e _Hแล้วe _H = e _G
• ตัวผกผันของสมาชิกในกลุ่มย่อยคือตัวผกผันของสมาชิกในกลุ่ม: ถ้าHเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มGและaและb เป็น สมาชิกของHโดยที่ab = ba = e _Hแล้วab = ba = e _G
• ถ้าHเป็นกลุ่มย่อยของGแล้ว แผนที่การรวมH → G ที่ส่งสมาชิก aแต่ละตัวของHไปยังตัวมันเอง จะเป็นโฮโมมอร์ฟิซึม
• จุดตัดของกลุ่มย่อยAและBของGเป็นกลุ่มย่อยของG อีกครั้ง ^{[ 5 ]}ตัวอย่างเช่น จุดตัดของแกนxและแกนy ภายใต้ การบวก${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$เป็นกลุ่มย่อยที่ไม่สำคัญ โดยทั่วไปแล้ว จุดตัดของกลุ่มย่อยของG ที่กำหนดขึ้นเอง เป็นกลุ่มย่อยของG
• การรวมกันของกลุ่มย่อยAและBเป็นกลุ่มย่อยก็ต่อเมื่อA ⊆ BหรือB ⊆ A เท่านั้น ตัวอย่างที่ไม่ใช่: ไม่ใช่กลุ่ม${\displaystyle 2\mathbb {Z} \cup 3\mathbb {Z} }$ย่อยของเพราะ 2 และ 3 เป็นสมาชิกของเซตย่อยนี้ ซึ่งผลรวมของ ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$5 ไม่อยู่ในเซตย่อย นั้นในทำนองเดียวกัน การรวมกันของ แกน xและแกนyในไม่ใช่กลุ่มย่อยของ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$
• ถ้าSเป็นเซตย่อยของGแล้วจะมีกลุ่มย่อยที่เล็กที่สุดที่ประกอบด้วยSซึ่งก็คือการตัดกันของกลุ่มย่อยทั้งหมดที่ประกอบด้วยSโดยใช้สัญลักษณ์ ⟨ S ⟩และเรียกว่ากลุ่มย่อยที่สร้างโดยSสมาชิกของGอยู่ใน ⟨ S ⟩ก็ต่อเมื่อเป็นผลคูณจำกัดของสมาชิกของSและตัวผกผันของสมาชิกเหล่านั้น ซึ่งอาจซ้ำกันได้^{[ 6 ]}
• สมาชิกทุกตัวaของกลุ่มGสร้างกลุ่มย่อยวัฏจักร⟨ a ⟩ถ้า⟨ a ⟩สมสัณฐานกับ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ( จำนวนเต็มmod n ) สำหรับจำนวนเต็มบวก nบางตัวแล้วnคือจำนวนเต็มบวกที่เล็กที่สุดที่ทำให้a ⁿ = eและnเรียกว่าอันดับของaถ้า⟨ a ⟩สมสัณฐานกับ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$แล้วaจะมีอันดับอนันต์
• กลุ่มย่อยของกลุ่มใดๆ ก็ตามจะประกอบกันเป็นแลตทิซที่สมบูรณ์ภายใต้การรวม เรียกว่าแลตทิซของกลุ่มย่อย (ในขณะที่อินฟิมัมในที่นี้คือการตัดกันทางทฤษฎีเซตตามปกติ ส่วนซูพรีมัมของเซตของกลุ่มย่อยคือกลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นโดยการรวมกันทางทฤษฎีเซตของกลุ่มย่อยเหล่านั้น ไม่ใช่การรวมกันทางทฤษฎีเซตเอง) ถ้าeคือเอกลักษณ์ของGแล้ว กลุ่มย่อยที่ไม่สำคัญ{ e }คือ กลุ่มย่อย ที่เล็กที่สุดของGในขณะที่ กลุ่มย่อย ที่ใหญ่ที่สุดคือกลุ่มGนั่นเอง

กำหนดให้กลุ่มย่อยHและสมาชิกa บางตัว ในGเรากำหนดโคเซตซ้ายaH = { ah  : hในH }เนื่องจากaสามารถผกผันได้ แผนที่φ : H → aH ที่กำหนดโดยφ( h ) = ahจึงเป็นการจับ คู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง ทั่วถึง ยิ่งไปกว่านั้น สมาชิกทุกตัวในGจะอยู่ในโคเซตซ้ายของH เพียงหนึ่งเดียว เท่านั้น โคเซตซ้ายคือชั้นสมมูลที่สอดคล้องกับความสัมพันธ์สมมูลa ₁ ~ a ₂ก็ต่อเมื่อ⁠ ⁠${\displaystyle a_{1}^{-1}a_{2}}$อยู่ในHจำนวนโคเซตซ้ายของHเรียกว่าดัชนีของHในGและ เขียนแทนด้วย[ G  : H ]

ทฤษฎีบท ของลากรองจ์กล่าวว่า สำหรับกลุ่มจำกัดGและกลุ่มย่อยH

${\displaystyle [G:H]={|G| \over |H|}}$

โดยที่| G |และ | H |แทนอันดับของGและHตามลำดับ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง อันดับของทุกกลุ่มย่อยของ^G (และอันดับของทุกองค์ประกอบของG ) จะต้องเป็นตัวหารของ| G | ^{[ 7 ]} [ ^{8 ]}

โคเซตขวาถูกนิยามในทำนองเดียวกัน: Ha = { ha  : hในH } นอกจากนี้ยังเป็นชั้นสมมูลสำหรับความสัมพันธ์สมมูลที่เหมาะสม และจำนวนของโค เซต ขวาเท่ากับ[ G  : H ]

ถ้าaH = HaสำหรับทุกaในGแล้วHเรียกว่ากลุ่มย่อยปกติกลุ่มย่อยทุกกลุ่มที่มีดัชนี 2 เป็นกลุ่มย่อยปกติ: โคเซตซ้ายและโคเซตขวาเป็นเพียงกลุ่มย่อยและส่วนเติมเต็มของกลุ่มย่อยนั้น โดยทั่วไปแล้ว ถ้าpเป็นจำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุดที่หารอันดับของกลุ่มจำกัดG ลงตัว แล้วกลุ่มย่อยใดๆ ที่มีดัชนี p (ถ้ามีอยู่) ก็เป็น กลุ่มย่อยปกติ

ให้Gเป็นกลุ่มวัฏจักร จำกัด

${\displaystyle \mathrm {Z} _{8}=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}}$

ภายใต้การ บวก แบบมอดูล 8 เซตย่อยที่ประกอบด้วยพหุคูณของ 2 เป็นกลุ่มย่อยของโดยทั่วไปแล้ว สำหรับตัวหารd แต่ละตัว ของ 8 พหุคูณของdจะก่อให้เกิดกลุ่มย่อย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับกลุ่มย่อยเหล่านี้คือ${\displaystyle \{0,2,4,6\}}$${\displaystyle \คณิตศาสตร์ {Z} _{8}}$${\displaystyle d=1,2,4,8}$${\displaystyle \{0,1,2,3,4,5,6,7\},\{0,2,4,6\},\{0,4\},\{0\}}$

โดยทั่วไป สำหรับจำนวนเต็มบวกn ใดๆ เราสามารถอธิบายกลุ่มย่อยทั้งหมดของกลุ่มวัฏจักรจำกัดได้ในลักษณะเดียวกัน กล่าวคือ สำหรับตัวหารd แต่ละตัว ของnพหุคูณของdจะก่อให้เกิดกลุ่มย่อยที่มีอันดับและทุกกลุ่มย่อยเกิดขึ้นในลักษณะนี้ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{n}}$${\displaystyle \mathrm {Z} _{n}}$${\displaystyle n/d}$

กลุ่มย่อยของกลุ่มวัฏจักรเป็นวัฏจักร^{[ 9 ]}

กลุ่มสมมาตรS₄คือกลุ่มที่มีสมาชิกเป็นการเรียงสับเปลี่ยนของ ด้านล่างนี้คือกลุ่มย่อยทั้งหมดของกลุ่มนี้ เรียงลำดับตามจำนวน_{สมาชิก}${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$

กลุ่มย่อยทั้ง 30 กลุ่ม แบบง่าย แผนภาพ Hasseของแลตทิซของกลุ่มย่อยของS 4

เช่นเดียวกับกลุ่มอื่นๆS ₄ก็เป็นกลุ่มย่อยของตัวมันเองเช่นกัน

กลุ่มสลับA ₄ประกอบด้วยการเรียงสับเปลี่ยน คู่ทั้งหมด ในS ₄เนื่องจากมีดัชนี 2 จึงเป็น กลุ่ม ย่อย ปกติ

มีกลุ่มย่อยสามกลุ่มที่มีอันดับ 8 โดยแต่ละกลุ่มมีลักษณะสมมาตรกับกลุ่มไดเฮดรัลD ₄ซึ่งเป็นกลุ่มสมมาตรของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

การติดป้ายกำกับจุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสตามเข็มนาฬิกาทำให้สามารถมองD ₄เป็นกลุ่มย่อยของS ₄ได้ กลุ่มย่อยนี้เกิดจากการหมุนตามเข็มนาฬิกา 90 องศา และจากการสะท้อนในแกนทแยงมุมที่เชื่อมจุดยอด 1 และ 3 ซึ่งก็คือการเรียงสับเปลี่ยนและ ${\displaystyle 1,2,3,4}$${\displaystyle (1234)}$${\displaystyle (24)}$

ภายใต้สมมาตรของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส มีวิธีการกำหนดหมายเลขให้กับจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้สามวิธีที่แตกต่างกัน โดยพิจารณาจากคู่ตัวเลขที่ปรากฏบนมุมตรงข้าม ในการกำหนดหมายเลขข้างต้น 1 และ 3 อยู่ตรงข้ามกัน และ 2 และ 4 อยู่ตรงข้ามกัน อีกทางเลือกหนึ่งคือ 1 และ 4 อยู่ตรงข้ามกัน และ 2 และ 3 อยู่ตรงข้ามกัน ทางเลือกที่สามคือ 1 และ 2 อยู่ตรงข้ามกัน และ 3 และ 4 อยู่ตรงข้ามกัน การกำหนดหมายเลขทั้งสามแบบนี้ทำให้เกิดกลุ่มย่อยสามกลุ่มที่แตกต่างกัน ซึ่งมีอันดับ 8 ในS₄ โดยแต่ละกลุ่มย่อย _{เหล่านี้}เป็นคู่สมกัน และแต่ละกลุ่มย่อยเป็นไอโซมอร์ฟิกกับ D₄

มีกลุ่มย่อยสี่กลุ่มที่มีอันดับ 6 แต่ละกลุ่มสมมาตรกับ_S₃แต่ละกลุ่มเป็นตัวรักษาเสถียรภาพของสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งในกลุ่มย่อยนั้นตัวอย่างเช่น ตัวรักษาเสถียรภาพของ 4 คือกลุ่มของการเรียงสับเปลี่ยนในS₄ที่แปลง 4 เป็น 4 โดยที่การเรียงสับเปลี่ยนนั้น_เป็นไปในลักษณะใดก็ได้ กลุ่มนี้ถูกสร้างขึ้นโดยการเรียงสับเปลี่ยนและเป็นต้น กลุ่มย่อยทั้งสี่กลุ่มที่มีอันดับ 6 เป็นกลุ่มสังยุคซึ่งกันและกัน ${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$${\displaystyle \{1,2,3\}}$${\displaystyle (12)}$${\displaystyle (123)}$

มีกลุ่มย่อยอันดับ 4 อยู่เจ็ดกลุ่ม ซึ่งแบ่งออกเป็นสามชั้นการสมมูลของกลุ่มย่อย:

• เซตย่อยนี้เป็นกลุ่มย่อยปกติที่สมมาตรกับกลุ่มสี่มิติของไคลน์V ₄${\displaystyle \{1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}}$

• กลุ่มที่สร้างขึ้นโดยและเป็นกลุ่มย่อยอีกกลุ่มหนึ่งที่สมมาตรกับV ₄แต่ไม่ใช่กลุ่มย่อยปกติ แต่มีกลุ่มคู่ควบ คือ กลุ่มที่สร้างขึ้นโดยและและกลุ่มที่สร้างขึ้นโดยและ${\displaystyle (12)}$${\displaystyle (34)}$${\displaystyle (13)}$${\displaystyle (24)}$${\displaystyle (14)}$${\displaystyle (23)}$

• แต่ละวัฏจักร 4 จำนวน 6 วัฏจักรในS₄ สร้างกลุ่มย่อยวัฏจักรที่มีอันดับ 4 แต่ละวัฏจักร 4 _{จำนวน}จะสร้างกลุ่มย่อยเดียวกันกับวัฏจักรผกผันของมัน ดังนั้นจึงมีเพียงสามกลุ่มย่อยที่แตกต่างกันของประเภทนี้ กลุ่มย่อยทั้งสามนี้เป็นคู่สมกัน เนื่องจากวัฏจักร 4 จำนวนทั้งหมดใน_S₄เป็นคู่สมกัน

มีกลุ่มย่อยอันดับ 3 อยู่สี่กลุ่ม แต่ละกลุ่มสร้างขึ้นจากวัฏจักร 3 มีวัฏจักร 3 อยู่แปดวัฏจักรในS₄ แต่ละวัฏจักรสร้างกลุ่มย่อยเดียวกันกับวัฏจักรผกผันของมัน กลุ่มย่อยทั้งสี่ที่ได้ _จึงเป็นกลุ่มย่อยคู่สมซึ่งกันและกัน

มีกลุ่มย่อยอันดับ 2 อยู่เก้ากลุ่ม ซึ่งแบ่งออกเป็นสองกลุ่มย่อยตามการสมมูลกัน:

• การสลับตำแหน่งแต่ละครั้ง(วัฏจักร 2) จะสร้างกลุ่มย่อยที่มีอันดับ 2 ขึ้นมา กลุ่มย่อยทั้งหกกลุ่มนี้เป็นกลุ่มย่อยคู่ควบ${\displaystyle {\binom {4}{2}}=6}$

• การสลับตำแหน่งสองครั้งแต่ละครั้ง, , จะสร้างกลุ่มย่อยที่มีอันดับ 2 กลุ่มย่อยทั้งสามนี้เป็นกลุ่มย่อยคู่ควบ${\displaystyle (12)(34)}$${\displaystyle (13)(24)}$${\displaystyle (14)(23)}$

กลุ่มย่อยที่ไม่สำคัญคือกลุ่มย่อยที่ไม่ซ้ำกันที่มีอันดับ 1

• จำนวนคู่เป็นกลุ่มย่อยของวงแหวนจำนวนเต็มผล${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$รวม ของจำนวนคู่สองจำนวน เป็นจำนวนคู่ และจำนวนลบของจำนวนคู่เป็นจำนวนคู่${\displaystyle \mathbb {Z} :}$
• ไอเดียลทุก ตัว ในริงRเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มบวกของR
• ปริภูมิย่อยเชิงเส้นทุก ปริภูมิ ของปริภูมิเวกเตอร์เป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มบวกของเวกเตอร์
• ในกลุ่มอาเบเลียนสมาชิกที่มีอันดับ จำกัด จะรวมตัวกันเป็นกลุ่มย่อยที่เรียกว่ากลุ่มย่อยทอร์ชั่น