ในทางคณิตศาสตร์ในพีชคณิตเชิงเส้นและการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน ปริภูมิ ย่อยวัฏจักร ( cyclic subspace) คือ ปริภูมิย่อยพิเศษบางอย่างของปริภูมิเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์และการแปลงเชิงเส้นของปริภูมิเวกเตอร์นั้น ปริภูมิย่อยวัฏจักรที่เกี่ยวข้องกับเวกเตอร์vในปริภูมิเวกเตอร์Vและการแปลงเชิงเส้นTของVเรียกว่า ปริภูมิย่อยวัฏจักร Tที่สร้างขึ้นโดยvแนวคิดของปริภูมิย่อยวัฏจักรเป็นองค์ประกอบพื้นฐานในการกำหนดทฤษฎีบทการแยกส่วนวัฏจักรในพีชคณิตเชิงเส้น

อนุญาต${\displaystyle T:V\ลูกศรขวา V}$เป็นการแปลงเชิงเส้นของปริภูมิเวกเตอร์${\displaystyle V}$และปล่อยให้${\displaystyle v}$เป็นเวกเตอร์ใน${\displaystyle V}$. เดอะ${\displaystyle T}$-ปริภูมิย่อยแบบวัฏจักรของ${\displaystyle V}$สร้างโดย${\displaystyle v}$ซึ่งแสดงด้วย${\displaystyle Z(v;T)}$คือปริภูมิย่อยของ${\displaystyle V}$สร้างขึ้นโดยชุดเวกเตอร์${\displaystyle \{v,T(v),T^{2}(v),\ldots ,T^{r}(v),\ldots \}}$ในกรณีที่${\displaystyle V}$เป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี${\displaystyle v}$เรียกว่าเวกเตอร์แบบวงจรสำหรับ${\displaystyle T}$ถ้า${\displaystyle Z(v;T)}$มีความหนาแน่นใน${\displaystyle V}$สำหรับกรณีเฉพาะของ ปริภูมิ ที่มีมิติจำกัดนี่เทียบเท่ากับการกล่าวว่า${\displaystyle Z(v;T)}$คือพื้นที่ทั้งหมด${\displaystyle V}$[ ^{1 ]​}

มีนิยามอื่นที่เทียบเท่ากันของปริภูมิวัฏจักร ให้${\displaystyle T:V\ลูกศรขวา V}$เป็นการแปลงเชิงเส้นของปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีเหนือฟิลด์${\displaystyle F}$และ${\displaystyle v}$เป็นเวกเตอร์ใน${\displaystyle V}$เซตของเวกเตอร์ทั้งหมดที่มีรูปแบบ${\displaystyle g(T)v}$, ที่ไหน${\displaystyle g(x)}$เป็นพหุนามในวงแหวน${\displaystyle F[x]}$ของพหุนามทั้งหมดใน${\displaystyle x}$เกิน${\displaystyle F}$คือ${\displaystyle T}$-พื้นที่ย่อยแบบวงจรที่สร้างขึ้นโดย${\displaystyle v}$[ ^{1 ]​}

ปริภูมิย่อย${\displaystyle Z(v;T)}$เป็นปริภูมิย่อยที่ไม่เปลี่ยนแปลงสำหรับ${\displaystyle T}$ในแง่ที่ว่า${\displaystyle TZ(v;T)\เซตย่อย Z(v;T)}$.

อนุญาต${\displaystyle T:V\ลูกศรขวา V}$เป็นการแปลงเชิงเส้นของ${\displaystyle n}$ปริภูมิเวกเตอร์มิติ${\displaystyle V}$เหนือทุ่งนา${\displaystyle F}$และ${\displaystyle v}$เป็นเวกเตอร์แบบวงจรสำหรับ${\displaystyle T}$จากนั้นเวกเตอร์

${\displaystyle B=\{v_{1}=v,v_{2}=Tv,v_{3}=T^{2}v,\ldots v_{n}=T^{n-1}v\}}$

สร้างฐานที่เป็นระเบียบสำหรับ${\displaystyle V}$ให้พหุนามลักษณะเฉพาะสำหรับ${\displaystyle T}$เป็น

${\displaystyle p(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}+x^{n}}$.

แล้ว

${\displaystyle {\begin{aligned}Tv_{1}&=v_{2}\\Tv_{2}&=v_{3}\\Tv_{3}&=v_{4}\\\vdots &\\Tv_{n-1}&=v_{n}\\Tv_{n}&=-c_{0}v_{1}-c_{1}v_{2}-\cdots c_{n-1}v_{n}\end{aligned}}}$

ดังนั้น เมื่อเปรียบเทียบกับฐานที่เรียงลำดับแล้ว${\displaystyle B}$ผู้ดำเนินการ${\displaystyle T}$แสดงโดยเมทริกซ์

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&-c_{0}\\1&0&0&\ldots &0&-c_{1}\\0&1&0&\ldots &0&-c_{2}\\\vdots &&&&&\\0&0&0&\ldots &1&-c_{n-1}\end{bmatrix}}}$

เมทริกซ์นี้เรียกว่าเมทริกซ์คู่ของพหุนาม${\displaystyle p(x)}$[ ^{1 ]​}

• เมทริกซ์คู่
• ปริภูมิย่อยครีลอฟ

• PlanetMath: พื้นที่ย่อยแบบวัฏจักร