ในทางเรขาคณิตเซตของ Danzerคือเซตของจุดที่สัมผัสกับวัตถุ นูนทุกอัน ที่มีปริมาตรหนึ่งหน่วยLudwig Danzerตั้งคำถามว่าเซตดังกล่าวสามารถมีความหนาแน่นจำกัดได้หรือไม่^{[ 1 ] [ 2 ]}ปัญหาหลายรูปแบบยังคงไม่ได้รับการแก้ไข^{[ 3 ]}

เซต ของDanzerในปริภูมิยุคลิดมิติnคือเซตของจุดในปริภูมิที่มีจุดตัดที่ไม่ว่างเปล่ากับทุกทรงนูนที่มีปริมาตรมิติnเท่ากับหนึ่ง ปริภูมิทั้งหมดเองก็เป็นเซตของ Danzer แต่เป็นไปได้ที่เซตของ Danzer จะเป็นเซตแบบไม่ต่อเนื่องที่มีจุดเพียงจำนวนจำกัดในพื้นที่ที่มีขอบเขต^{[ 4 ]}คำถามของ Danzer ถามว่า จำนวนจุดเฉลี่ยต่อหน่วยพื้นที่สามารถมีขอบเขตได้หรือไม่^{[ 1 ]}

วิธีหนึ่งในการกำหนดปัญหาให้เป็นทางการมากขึ้นคือการพิจารณาอัตราการเติบโตของเซต${\displaystyle S}$ใน${\displaystyle d}$ปริภูมิยูคลิด มิติ -ซึ่งนิยามว่าเป็นฟังก์ชันที่แมปจำนวนจริง${\displaystyle r}$ถึงจำนวนจุดของ${\displaystyle S}$ที่อยู่ในระยะทางที่กำหนด${\displaystyle r}$จากจุดกำเนิดคำถามของแดนเซอร์คือ เป็นไปได้หรือไม่ที่เซตของแดนเซอร์จะมีอัตรา การเติบโต${\displaystyle O(r^{d})}$แสดงในสัญกรณ์บิ๊กโอหากเป็นเช่นนั้น จะเท่ากับอัตราการเติบโตของเซตจุดที่มีระยะห่างที่ดี เช่นแลตทิซจำนวนเต็ม (ซึ่งไม่ใช่เซตแดนเซอร์) ^{[ 1 ]}

สูตรที่เทียบเท่ากันนั้นเกี่ยวข้องกับความหนาแน่นของเซต${\displaystyle S}$ซึ่งกำหนดไว้ดังนี้$${\displaystyle \limsup _{r\to \infty }{\frac {|S\cap B_{d}(r)|}{V_{d}(r)}},}$$ ที่ไหน${\displaystyle B_{d}(r)}$หมายถึงทรงกลมยุคลิดที่มีรัศมี${\displaystyle r}$ใน${\displaystyle d}$ปริภูมิยูคลิด มิติ n โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด และ${\displaystyle V_{d}(r)}$แสดงถึงปริมาตรของมันคำถามของ Danzer ถามว่ามีเซต Danzer ที่มีความหนาแน่นจำกัดหรือไม่ หรืออีกทางหนึ่ง เซตที่มีความหนาแน่นจำกัดทุกเซตมีเซตเว้าที่มีปริมาตรสูงตามอำเภอใจซึ่งแยกจากกันหรือไม่^{[ 3 ]}

แทนที่จะขอเซตความหนาแน่นที่มีขอบเขตซึ่งตัดกับเซตแบบนูนใดๆ ที่มีปริมาตรหนึ่งหน่วย การขอเซตความหนาแน่นที่มีขอบเขตซึ่งตัดกับทรงรีทั้งหมดที่มีปริมาตรหนึ่งหน่วย หรือรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหลายมิติ ทั้งหมด ที่มีปริมาตรหนึ่งหน่วยนั้นเทียบเท่ากัน ตัวอย่างเช่น ในระนาบ รูปร่างของเซตที่ตัดกันเหล่านี้สามารถจำกัดให้เป็นวงรีหรือสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้ อย่างไรก็ตาม รูปร่างเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องมีด้านหรือแกนขนานกับแกนพิกัดเสมอไป^{[ 3 ]}

สามารถสร้างเซตของอัตราการเติบโตแบบ Danzer ที่อยู่ภายในปัจจัยพหุโลการิทึมได้${\displaystyle O(r^{d})}$ตัวอย่างเช่น การซ้อนทับตารางสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีเซลล์ปริมาตรคงที่แต่มีอัตราส่วนด้าน ที่แตกต่างกัน สามารถทำให้ได้อัตราการเติบโตที่สูงขึ้น${\displaystyle O(n^{d}\log ^{d-1}n)}$[ ^{5 ]} โครงสร้างสำหรับเซต Danzer เป็นที่รู้จักโดยมีอัตราการเติบโตที่ค่อนข้าง^ช้า${\displaystyle O(r^{d}\log r)}$[ ^{3 ] [ 4 ]}โครงสร้างนี้อิงตามผลลัพธ์เชิงลึกของMarina Ratnerในทฤษฎีเออร์โกดิก ( ทฤษฎีบทของ Ratner ) ^{[ 4 ]}เนื่องจากทั้งกริดที่ซ้อนทับและโครงสร้างที่ได้รับการปรับปรุงมีอัตราการเติบโตที่เร็ว^กว่า${\displaystyle O(r^{d})}$เซตเหล่านี้ไม่มีความหนาแน่นที่จำกัด และคำตอบสำหรับคำถามของ Danzer ยังคงไม่เป็นที่ทราบ^{[ 3 ] [ 4 ]}

แม้ว่าการมีอยู่ของเซต Danzer ที่มีความหนาแน่นจำกัดยังคงเป็นเรื่องที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข แต่ก็เป็นไปได้ที่จะจำกัดคลาสของเซตจุดที่อาจเป็นเซต Danzer ด้วยวิธีอื่นนอกเหนือจากความหนาแน่น ซึ่งเป็นการตัดทิ้งคำตอบบางประเภทสำหรับคำถามของ Danzer โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เซต Danzer ไม่สามารถเป็นผลรวมของแลตทิซ จำนวนจำกัด ได้^{[ 5 ]}ไม่สามารถสร้างขึ้นโดยการเลือกจุดในแต่ละไทล์ของการปูแบบแทนที่ (ในตำแหน่งเดียวกันสำหรับแต่ละไทล์ประเภทเดียวกัน) และไม่สามารถสร้างขึ้นโดยวิธีการตัดและฉายภาพเพื่อสร้างการปูแบบไม่เป็นคาบได้ดังนั้น จุดยอดของการปูแบบกังหันลมและการปูแบบ Penrose จึง ไม่ใช่เซต Danzer ^{[ 4 ]}

• ปัญหาสามเหลี่ยมไฮล์บรอนน์เกี่ยวกับเซตของจุดที่ไม่ก่อให้เกิดสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่ขนาดเล็ก
• ทฤษฎีบทของมินคอฟสกีกล่าวว่า ทรงนูนปิดทุกทรงที่มีปริมาตรหนึ่งหน่วยและสมมาตรแบบศูนย์กลางรอบจุดกำเนิด จะมีจุดที่ไม่เป็นศูนย์บนโครงข่ายครึ่งจำนวนเต็มอย่างน้อยหนึ่งจุด