ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต เมื่อกำหนดมอร์ฟิซึมของสกีมแล้ว มอร์ฟิซึมแนวทแยงจะเป็นดังนี้${\displaystyle p:X\to S}$

${\displaystyle \delta :X\to X\times _{S}X}$

เป็นมอร์ฟิซึมที่กำหนดโดยคุณสมบัติสากลของผลคูณไฟเบอร์ ของpและpที่นำไปใช้กับเอกลักษณ์และ เอกลักษณ์${\displaystyle X\times _{S}X}$${\displaystyle 1_{X}:X\to X}$${\displaystyle 1_{X}}$

นี่เป็นกรณีพิเศษของมอร์ฟิซึมกราฟ : เมื่อกำหนดมอร์ฟิซึมเหนือS แล้ว มอร์ฟิซึมกราฟของมอร์ฟิซึมนั้นจะถูกเหนี่ยวนำโดยและเอกลักษณ์การฝังแนวทแยงคือมอร์ฟิซึมกราฟของ ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X\to X\times _{S}Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle 1_{X}}$${\displaystyle 1_{X}}$

ตามนิยามแล้วXเป็นโครงร่างแยกเหนือS ( เป็นมอร์ฟิซึมแยก ) ถ้ามอร์ฟิซึมแนวทแยงเป็นการฝังแบบปิดนอกจากนี้ มอร์ฟิซึมที่มีการนำเสนอแบบจำกัดในระดับท้องถิ่นจะเป็นมอร์ฟิซึมที่ไม่แตกแขนงก็ต่อเมื่อการฝังแนวทแยงเป็นการฝังแบบเปิด ${\displaystyle p:X\to S}$${\displaystyle p:X\to S}$

ยกตัวอย่างเช่น พิจารณาวาไรตี้เชิงพีชคณิตเหนือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตkและแผนที่โครงสร้าง จากนั้น เมื่อระบุXกับเซตของจุดk- ตรรกยะของมัน จะได้เป็น ; จึงเป็นที่มาของชื่อมอร์ฟิซึมแนวทแยง ${\displaystyle p:X\to \operatorname {Spec} (k)}$${\displaystyle X\times _{k}X=\{(x,y)\in X\times X\}}$${\displaystyle \delta :X\to X\times _{k}X}$${\displaystyle x\mapsto (x,x)}$

มอร์ฟิซึมแบบแยกส่วนคือ มอร์ฟิซึมที่ผลคูณไฟเบอร์ของกับตัวมันเองตามแนวเส้นทแยงมุมจะเป็นสับสกีมแบบปิด กล่าวอีกนัยหนึ่ง มอร์ฟิซึมตามแนวเส้นทแยงมุมคือ การฝังตัว แบบ ปิด${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

ด้วยเหตุนี้ แผนผังจึงถือว่าแยกออกจากกันเมื่อเส้นทแยงมุมภายในผลคูณของแผนผังกับตัวมันเองเป็นการฝังตัวแบบปิด โดยเน้นมุมมองเชิงสัมพัทธ์ เราอาจนิยามแผนผังว่าแยกออกจากกันได้เช่นกัน หากมอร์ฟิซึมที่ไม่ซ้ำกันนั้นแยกออกจากกัน ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\rightarrow {\textrm {Spec}}(\mathbb {Z} )}$

โปรดสังเกตว่าปริภูมิเชิงทอพอโลยีYเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟก็ต่อเมื่อการฝังแนวทแยงมุมเป็นไปตามเงื่อนไขที่กำหนด

${\displaystyle Y{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}Y\คูณ Y,\,y\mapsto (y,y)}$

เป็นปริภูมิปิด ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต การกำหนดสูตรข้างต้นถูกนำมาใช้เนื่องจากโครงร่างซึ่งเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟนั้นจำเป็นต้องว่างเปล่าหรือมีมิติเป็นศูนย์ ความแตกต่างระหว่างบริบททางทอพอโลยีและเรขาคณิตเชิงพีชคณิตมาจากโครงสร้างทางทอพอโลยีของผลคูณไฟเบอร์ (ในหมวดหมู่ของโครงร่าง) ซึ่งแตกต่างจากผลคูณของปริภูมิทางทอพอโลยี ${\displaystyle X\times _{{\textrm {Spec}}(\mathbb {Z} )}X}$

แผนผังเชิงเส้นตรงSpec Aใดๆจะถูกแยกออก เนื่องจากเส้นทแยงมุมสอดคล้องกับแผนที่ทั่วถึงของวงแหวน (ดังนั้นจึงเป็นการฝังตัวแบบปิดของแผนผัง):

${\displaystyle A\otimes _{\mathbb {Z} }A\rightarrow A,a\otimes a'\mapsto a\cdot a'}$.

ให้เป็นแผนผังที่ได้จากการระบุเส้นตรงสองเส้นผ่านแผนที่เอกลักษณ์ยกเว้นที่จุดกำเนิด (ดูตัวอย่างแผนผังการเชื่อมต่อ ) มันไม่ได้แยกออกจากกัน^{[ 1 ]}อันที่จริง ภาพของภาพมอร์ฟิซึมแนวทแยงมีจุดกำเนิดสองจุด ในขณะที่การปิดของมันมีจุดกำเนิดสี่จุด ${\displaystyle S}$${\displaystyle S\to S\times S}$

วิธีคลาสสิกในการกำหนดผลคูณจุดตัดของวัฏจักรพีชคณิต บนวาไรตี้เรียบXคือการตัดกัน (จำกัด) ผลคูณคาร์ทีเซียนของวัฏจักรเหล่านั้นกับเส้นทแยงมุม กล่าวคือ ${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle A\cdot B=\delta ^{*}(A\times B)}$

การดึงกลับตามแนวทแยงมุมของการฝังตัวอยู่ ที่ไหน${\displaystyle \delta ^{*}}$${\displaystyle \delta :X\to X\times X}$

• มอร์ฟิซึมแบบกึ่งแยก
• การฝังแบบปกติ
• การแปลงแนวทแยง