ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทของดิกสันกล่าวว่า ทุกเซตของ${\displaystyle n}$-tuple ของจำนวนธรรมชาติมีองค์ประกอบขั้นต่ำ จำนวนจำกัด ข้อเท็จจริงง่ายๆ นี้จากคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงได้รับการยกให้เป็นผลงานของนักพีชคณิตชาวอเมริกันLE Dicksonซึ่งใช้มันเพื่อพิสูจน์ผลลัพธ์ในทฤษฎีจำนวนเกี่ยวกับจำนวนสมบูรณ์^{[ 1 ]}อย่างไรก็ตามบทพิสูจน์ย่อยนี้เป็นที่รู้จักมาก่อนหน้านั้นแล้ว เช่น โดยPaul Gordanในการวิจัยของเขาเกี่ยวกับทฤษฎีอินแวเรียนต์^{[ 2 ]}

อนุญาต${\displaystyle K}$ให้เป็นจำนวนธรรมชาติคงที่ และให้${\displaystyle S=\{(x,y)\mid xy\geq K\}}$เป็นเซตของคู่จำนวนที่ผลคูณมีค่าอย่างน้อยที่สุด${\displaystyle K}$เมื่อกำหนดนิยามบนจำนวนจริงบวก${\displaystyle S}$มีองค์ประกอบขั้นต่ำของรูปแบบอยู่มากมายนับไม่ถ้วน${\displaystyle (x,K/x)}$หนึ่งค่าสำหรับแต่ละจำนวนบวก${\displaystyle x}$ชุดของจุดเหล่านี้ประกอบกันเป็นหนึ่งในแขนงของไฮเปอร์โบลาคู่จุดบนไฮเปอร์โบลานี้เป็นคู่จุดขั้นต่ำ เนื่องจากเป็นไปไม่ได้ที่คู่จุดอื่นที่อยู่ในชุดเดียวกันจะแตกต่างกันออกไป${\displaystyle S}$น้อยกว่าหรือเท่ากับ${\displaystyle (x,K/x)}$ในพิกัดทั้งสอง อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีบทของดิกสันเกี่ยวข้องเฉพาะกับคู่ของจำนวนธรรมชาติเท่านั้น และเหนือจำนวนธรรมชาติจะมีคู่ขั้นต่ำเพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น คู่ขั้นต่ำทุกคู่${\displaystyle (x,y)}$ของจำนวนธรรมชาติมี${\displaystyle x\leq K}$และ${\displaystyle y\leq K}$เพราะถ้าxมากกว่าKแล้ว ( x  − 1, y ) ก็จะอยู่ในS ด้วย ซึ่งขัดแย้งกับคุณสมบัติขั้นต่ำของ ( x , y ) และในทำนองเดียวกัน ถ้าyมากกว่าKแล้ว ( x , y  − 1) ก็จะอยู่ในS ด้วย ดังนั้น เหนือจำนวนธรรมชาติ ${\displaystyle S}$มีมากที่สุด${\displaystyle K^{2}}$องค์ประกอบขั้นต่ำ จำนวนจำกัด^{[หมายเหตุ 1 ]}

อนุญาต${\displaystyle \mathbb {N} }$ให้ เป็นเซตของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ( จำนวนธรรมชาติ ) ให้nเป็นค่าคงที่ใดๆ และให้${\displaystyle \mathbb {N} ^{n}}$เป็นชุดของ${\displaystyle n}$-ทูเปิลของจำนวนธรรมชาติ ทูเปิลเหล่านี้อาจได้รับลำดับบางส่วนแบบจุดต่อจุด ซึ่งก็คือ ลำดับผลคูณโดยที่${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\leq (b_{1},b_{2},\dots b_{n})}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle a_{i}\leq b_{i}}$สำหรับทุกๆ${\displaystyle i}$เซตของทูเปิลที่มากกว่าหรือเท่ากับทูเปิลเฉพาะบางตัว${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$สร้างออร์แธนต์ บวก ที่มีจุดยอดอยู่ที่ทูเปิลที่กำหนด

ด้วยสัญลักษณ์นี้ ทฤษฎีบทของดิกสันสามารถกล่าวได้ในหลายรูปแบบที่เทียบเท่ากัน:

• ในทุกเซตย่อยที่ไม่ว่างเปล่า${\displaystyle S}$ของ${\displaystyle \mathbb {N} ^{n}}$มีองค์ประกอบอย่างน้อยหนึ่งอย่าง แต่ไม่เกินจำนวนจำกัดที่เป็นองค์ประกอบขั้นต่ำของ${\displaystyle S}$สำหรับลำดับบางส่วนแบบจุดต่อจุด^{[ 3 ]}
• สำหรับลำดับอนันต์ทุกลำดับ${\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ของ${\displaystyle n}$สำหรับทูเปิลของจำนวนธรรมชาติ จะมีดัชนีอยู่สองตัว${\displaystyle i<j}$โดยที่${\displaystyle x_{i}\leq x_{j}}$ถือว่าสอดคล้องกับลำดับจุด^{[ 4 ]}
• ชุดที่สั่งซื้อบางส่วน${\displaystyle (\mathbb {N} ^{n},\leq )}$ไม่ประกอบด้วยแอนติเชน อนันต์ หรือลำดับการลดลงอนันต์ (อย่างเคร่งครัด)ของ${\displaystyle n}$-ทูเปิล^{[ 4 ]}
• ชุดที่สั่งซื้อบางส่วน${\displaystyle (\mathbb {N} ^{n},\leq )}$เป็น ลำดับ บางส่วนที่ดี^{[ 5 ]}
• ทุกชุดย่อย${\displaystyle S}$ของ${\displaystyle \mathbb {N} ^{n}}$อาจถูกครอบคลุมโดยเซตจำกัดของออร์แธนต์บวก ซึ่งจุดยอดทั้งหมดเป็นของ${\displaystyle S}$.

ดิ๊กสันใช้ทฤษฎีบทเสริมของเขาเพื่อพิสูจน์ว่า สำหรับจำนวนใดๆ ก็ตาม${\displaystyle n}$จะมีจำนวนสมบูรณ์คี่เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้นที่มีค่าไม่ เกิน 0${\displaystyle n}$ตัวประกอบเฉพาะ^{[ 1 ]}อย่างไรก็ตาม ยังคงเป็นที่ถกเถียงกันอยู่ว่ามีจำนวนสมบูรณ์คี่อยู่จริงหรือไม่

ความสัมพันธ์การหารลงตัว ระหว่าง จำนวน P-เรียบซึ่งเป็นจำนวนธรรมชาติที่มีตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดอยู่ในเซตจำกัดPทำให้จำนวนเหล่านี้มีโครงสร้างเป็นเซตที่มีลำดับบางส่วน ซึ่ง สมมาตรกับ${\displaystyle (\mathbb {N} ^{|P|},\leq )}$ดังนั้น สำหรับเซตS ใดๆ ของ จำนวน P-เรียบ จะมีเซตย่อยจำกัดของSซึ่งสมาชิกทุกตัวของSหารลงตัวด้วยจำนวนใดจำนวนหนึ่งในเซตย่อยนี้ ข้อเท็จจริงนี้ถูกนำมาใช้ ตัวอย่างเช่น เพื่อแสดงให้เห็นว่ามีอัลกอริทึมสำหรับการจำแนกการเคลื่อนไหวที่ชนะและแพ้จากตำแหน่งเริ่มต้นในเกมเหรียญเงินแม้ว่าตัวอัลกอริทึมเองจะยังไม่เป็นที่รู้จักก็ตาม^{[ 6 ]}

ทูเพิล${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$ใน${\displaystyle \mathbb {N} ^{n}}$สอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับเอกนาม${\displaystyle x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}\dots x_{n}^{a_{n}}}$เหนือชุดของ${\displaystyle n}$ตัวแปร${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots x_{n}}$ภายใต้การติดต่อนี้ บทพิสูจน์ของดิกสันอาจถูกมองว่าเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทฐานของฮิลเบิร์ตที่ระบุว่าอุดมคติพหุนาม ทุกตัว มีฐานจำกัด สำหรับอุดมคติที่สร้างขึ้นโดยเอกนาม อันที่จริง พอล กอร์ดอนใช้การกล่าวซ้ำของบทพิสูจน์ของดิกสันในปี พ.ศ. 2342 ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของการพิสูจน์ทฤษฎีบทฐานของฮิลเบิร์ต^{[ 2 ]}

• เลมมาของกอร์ดอน