มุมไดเฮดรัลคือมุมระหว่างระนาบหรือครึ่งระนาบสองระนาบที่ตัดกันเป็นมุมระนาบที่เกิดขึ้นบนระนาบที่สาม ซึ่งตั้งฉากกับเส้นตัดระหว่างระนาบทั้งสอง หรือขอบ ร่วม ระหว่างครึ่งระนาบทั้งสอง ในมิติที่สูงกว่ามุมไดเฮดรัลแสดงถึงมุมระหว่างไฮเปอร์เพลน สองระนาบ ใน ทาง เคมี มุมไดเฮดรั ลคือมุมตามเข็มนาฬิการะหว่างครึ่งระนาบที่ผ่านกลุ่มอะตอมสามอะตอม สองกลุ่ม โดยมีอะตอมร่วมกันสองอะตอม

เมื่อระนาบตัดกันสองระนาบถูกอธิบายในแง่ของพิกัดคาร์ทีเซียนด้วยสมการสองสมการต่อไปนี้

${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0}$

${\displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0}$

มุมไดเฮดรัลระหว่างพวกมันคำนวณได้จากสูตร: ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\left\vert a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}\right\vert }{{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}}}}$

และเป็นไปตามเงื่อนไขสามารถสังเกตได้อย่างง่ายดายว่ามุมนั้นไม่ขึ้นอยู่กับ และ${\displaystyle 0\leq \varphi \leq \pi /2.}$${\displaystyle d_{1}}$${\displaystyle d_{2}}$

อีกทางเลือกหนึ่ง ถ้าn _Aและn _Bเป็นเวกเตอร์ตั้งฉากกับระนาบ จะได้ว่า

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\left\vert \mathbf {n} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {n} _{\mathrm {B} }\right\vert }{|\mathbf {n} _{\mathrm {A} }||\mathbf {n} _{\mathrm {B} }|}}}$

โดยที่n _A  ·  n _Bคือผลคูณดอทของเวกเตอร์ และ| n _A | | n _B |คือผลคูณของความยาวของเวกเตอร์ทั้งสอง^{[ 1 ]}

ค่าสัมบูรณ์มีความจำเป็นในสูตรข้างต้น เนื่องจากระนาบจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเปลี่ยนเครื่องหมายสัมประสิทธิ์ทั้งหมดในสมการเดียว หรือเมื่อแทนที่เวกเตอร์ปกติหนึ่งตัวด้วยเวกเตอร์ตรงข้าม

อย่างไรก็ตามควรหลีกเลี่ยงค่าสัมบูรณ์ เมื่อพิจารณามุมไดเฮดรัลของ ระนาบครึ่งสองระนาบที่มีขอบเขตเป็นเส้นเดียวกัน ในกรณีนี้ ระนาบครึ่งสามารถอธิบายได้ด้วยจุดP ที่เป็นจุดตัด และเวกเตอร์สามตัว b₀, b₁ และ b₂ โดยที่ P + b₀, P _{+ b₁}และP + _b₂เป็นของเส้นตัดระนาบครึ่ง_แรกและระนาบครึ่งที่สองตามลำดับมุม_ไดเฮด รั _ลของระนาบครึ่งทั้งสองนี้กำหนดโดย

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {(\mathbf {b} _{0}\times \mathbf {b} _{1})\cdot (\mathbf {b} _{0}\times \mathbf {b} _{2})}{|\mathbf {b} _{0}\times \mathbf {b} _{1}||\mathbf {b} _{0}\times \mathbf {b} _{2}|}}}$,

และตรงตามเงื่อนไขในกรณีนี้ การสลับระนาบครึ่งทั้งสองจะให้ผลลัพธ์เดียวกัน และการแทนที่ด้วย ก็ให้ผลลัพธ์เช่นเดียวกันในวิชาเคมี (ดูด้านล่าง) เรากำหนดมุมไดเฮดรัลโดยที่การแทนที่ด้วยจะเปลี่ยนเครื่องหมายของมุม ซึ่งอาจอยู่ระหว่าง −πและπ${\displaystyle 0\leq \varphi <\pi .}$${\displaystyle \mathbf {b} _{0}}$${\displaystyle -\mathbf {b} _{0}.}$${\displaystyle \mathbf {b} _{0}}$${\displaystyle -\mathbf {b} _{0}}$

ในบางสาขาวิทยาศาสตร์ เช่นฟิสิกส์พอลิเมอร์อาจพิจารณาโซ่ของจุดและการเชื่อมโยงระหว่างจุดที่ต่อเนื่องกัน หากจุดต่างๆ มีหมายเลขเรียงลำดับและตั้งอยู่ที่ตำแหน่งr ₁ , r ₂ , r ₃เป็นต้น เวกเตอร์พันธะจะถูกกำหนดโดยu ₁ = r ₂ − r ₁ , u ₂ = r ₃ − r ₂และu _i = r _i+1 − r _iโดยทั่วไป^{[ 2 ]}นี่คือกรณีของโซ่จลนศาสตร์หรือกรดอะมิโนในโครงสร้างโปรตีนในกรณีเหล่านี้ มักจะสนใจระนาบครึ่งที่กำหนดโดยจุดสามจุดที่ต่อเนื่องกัน และมุมไดเฮดรัลระหว่างระนาบครึ่งสองระนาบที่ต่อเนื่องกันดังกล่าว ถ้าu ₁ , u ₂และu ₃เป็นเวกเตอร์พันธะสามตัวที่ต่อเนื่องกัน จุดตัดของระนาบครึ่งจะมีทิศทาง ซึ่งช่วยให้สามารถกำหนดมุมไดเฮดรัลที่อยู่ในช่วง(− π , π ]ได้ มุมไดเฮดรัลนี้กำหนดโดย^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \varphi &={\frac {(\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})}{|\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2}|\,|\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}|}}\\\sin \varphi &={\frac {\mathbf {u} _{2}\cdot ((\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\times (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}))}{|\mathbf {u} _{2}|\,|\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2}|\,|\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}|}},\end{aligned}}}$

หรือใช้ฟังก์ชันatan2ก็ได้

${\displaystyle \varphi =\operatorname {atan2} (\mathbf {u} _{2}\cdot ((\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\times (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})),|\mathbf {u} _{2}|\,(\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})).}$

มุมไดเฮดรัลนี้ไม่ขึ้นอยู่กับทิศทางของโซ่ (ลำดับที่พิจารณาจุดต่างๆ) — การกลับลำดับนี้ทำได้โดยการแทนที่เวกเตอร์แต่ละตัวด้วยเวกเตอร์ตรงข้าม และสลับดัชนี 1 และ 3 การดำเนินการทั้งสองอย่างนี้ไม่เปลี่ยนแปลงค่าโคไซน์ แต่เปลี่ยนเครื่องหมายของค่าไซน์ ดังนั้น เมื่อรวมกันแล้วจึงไม่เปลี่ยนแปลงมุม

สูตรที่ง่ายกว่าสำหรับมุมไดเฮดรัลเดียวกันมีดังต่อไปนี้ (พิสูจน์ได้ด้านล่าง)

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \varphi &={\frac {(\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})}{|\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2}|\,|\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}|}}\\\sin \varphi &={\frac {|\mathbf {u} _{2}|\,\mathbf {u} _{1}\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})}{|\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2}|\,|\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}|}},\end{aligned}}}$

หรือเทียบเท่า

${\displaystyle \varphi =\operatorname {atan2} (|\mathbf {u} _{2}|\,\mathbf {u} _{1}\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3}),(\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\cdot (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})).}$

สามารถอนุมานได้จากสูตรก่อนหน้านี้โดยใช้ สูตร ผลคูณเวกเตอร์สี่ตัวและข้อเท็จจริงที่ว่าผลคูณสเกลาร์สามตัวจะเป็นศูนย์หากมีเวกเตอร์เดียวกันสองครั้ง:

${\displaystyle (\mathbf {u} _{1}\times \mathbf {u} _{2})\times (\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})=[(\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})\cdot \mathbf {u} _{1}]\mathbf {u} _{2}-[(\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})\cdot \mathbf {u} _{2}]\mathbf {u} _{1}=[(\mathbf {u} _{2}\times \mathbf {u} _{3})\cdot \mathbf {u} _{1}]\mathbf {u} _{2}}$

จากนิยามของผลคูณไขว้หมายความว่าคือมุมในทิศทางตามเข็มนาฬิกาของอะตอมที่สี่เมื่อเทียบกับอะตอมแรก โดยมองตามแกนจากอะตอมที่สองไปยังอะตอมที่สาม กรณีพิเศษ (อาจกล่าวได้ว่าเป็นกรณีปกติ) คือ, และซึ่งเรียกว่าโครงสร้าง แบบทรานส์ , โกช⁺และโกช^{− ตามลำดับ}${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi =\pi }$${\displaystyle \varphi =+\pi /3}$${\displaystyle \varphi =-\pi /3}$

ชื่อการกำหนดค่าตามมุมไดเฮดรัล	ซินเอ็น- บิวเทนใน โครงสร้าง แบบกอช− (−60°) การฉายภาพแบบนิวแมน	การฉายภาพขาตั้งเลื่อย ซิน เอ็น- บิวเทน

มุมบิด (torsion angle ) ที่พบในสเตอริโอเคมีเป็นตัวอย่างเฉพาะของมุมไดเฮดรัล (dihedral angle) ที่อธิบายความสัมพันธ์ทางเรขาคณิตของสองส่วนของโมเลกุลที่เชื่อมต่อกันด้วยพันธะเคมี^{[ 4 ] [ 5 ]} อะตอมสามอะตอมที่ไม่เรียงตัวกันในแนวเดียวกันของ โมเลกุลแต่ละชุดจะกำหนดระนาบครึ่งหนึ่ง ดังที่อธิบายไว้ข้างต้น เมื่อระนาบครึ่งหนึ่งสองระนาบตัดกัน (เช่น อะตอมสี่อะตอมที่เชื่อมต่อกันอย่างต่อเนื่อง) มุมระหว่างระนาบทั้งสองจะเป็นมุมไดเฮดรัล มุมไดเฮดรัลใช้เพื่อระบุโครงสร้างโมเลกุล [ ^{6 ] การ} จัด เรียงสเตอริโอเคมีที่สอดคล้องกับมุมระหว่าง 0° และ ±90° เรียกว่าsyn (s) ส่วนการจัดเรียงที่สอดคล้องกับมุมระหว่าง ±90° และ 180° เรียกว่าanti (a) ในทำนองเดียวกัน การจัดเรียงที่สอดคล้องกับมุมระหว่าง 30° ถึง 150° หรือระหว่าง −30° ถึง −150° เรียกว่าclinal (c) และการจัดเรียงที่สอดคล้องกับมุมระหว่าง 0° ถึง ±30° หรือ ±150° ถึง 180° เรียกว่าperiplanar (p)

สามารถนำคำศัพท์ทั้งสองประเภทมาผสมผสานกันเพื่อกำหนดช่วงมุมได้สี่ช่วง ได้แก่ 0° ถึง ±30° ซินเพอริแพลนาร์ (sp); 30° ถึง 90° และ −30° ถึง −90° ซินคลินัล (sc); 90° ถึง 150° และ −90° ถึง −150° แอนติคลินัล (ac); ±150° ถึง 180° แอนติเพอริแพลนาร์ (ap) โครงสร้างซินเพอริแพลนาร์เรียกอีกอย่างว่าsynหรือcis ; แอนติเพอริแพลนาร์เรียกว่าantiหรือtrans ; และซินคลินัลเรียกว่า gaucheหรือskew

ตัวอย่างเช่น ในกรณีของn- บิวเทนสามารถระบุระนาบได้สองระนาบโดยพิจารณาจากอะตอมคาร์บอนกลางสองอะตอมและอะตอมคาร์บอนของหมู่เมทิลอะตอมใดอะตอมหนึ่ง คอนฟอร์เมชันแบบซิน (syn -conformation) ที่แสดงไว้ข้างต้น ซึ่งมีมุมไดเฮดรัล 60° นั้นมีเสถียรภาพน้อยกว่าคอน ฟอร์เมชัน แบบแอนติ (anti- conformation) ซึ่งมีมุมไดเฮดรัล 180°

สำหรับการใช้งานในระดับโมเลกุลขนาดใหญ่ แนะนำให้ใช้ สัญลักษณ์ T, C, G ⁺ , G ⁻ , A ⁺และ A ^{− (ap, sp, +sc, −sc, +ac และ −ac ตามลำดับ)}

แผนภาพRamachandran (หรือที่รู้จักกันในชื่อแผนภาพ Ramachandran หรือแผนภาพ [ φ , ψ ]) ซึ่งพัฒนาขึ้นครั้งแรกในปี พ.ศ. 2506 โดยGN Ramachandran , C. Ramakrishnan และ V. Sasisekharan ^{[ 7 ]}เป็นวิธีในการแสดงภาพบริเวณที่อนุญาตทางพลังงานสำหรับมุมไดเฮดรัลของกระดูกสันหลังψเทียบกับφของ กรด อะมิโนในโครงสร้างโปรตีน

ใน สายโซ่ โปรตีนจะมีการกำหนดมุมไดเฮดรัลสามมุม:

• ω (โอเมก้า) คือมุมในโซ่ C ^α − C' − N − C ^α ,
• φ (phi) คือมุมในโซ่ C' − N − C ^α − C'
• ψ (psi) คือมุมในสายโซ่ N − C ^α − C' − N (ซึ่งRamachandran เรียกว่า φ′ )

รูปทางด้านขวาแสดงตำแหน่งของมุมแต่ละมุมเหล่านี้ (แต่ไม่ได้แสดงวิธีการกำหนดมุมเหล่านี้อย่างถูกต้อง) ^{[ 8 ]}

โดยทั่วไปแล้ว ระนาบของพันธะเปปไทด์จะจำกัดให้ωเป็น 180° ( กรณี ทรานส์ ทั่วไป ) หรือ 0° ( กรณี ซิส ที่หายาก ) ระยะห่างระหว่างอะตอม Cα ^ในไอโซเมอร์ทรานส์และซิส อยู่ที่ประมาณ 3.8 และ 2.9 Å ตามลำดับ พันธะเปปไทด์ส่วนใหญ่ในโปรตีนเป็นแบบทรานส์แม้ว่าพันธะเปปไทด์กับไนโตรเจนของโพรลีนจะมีความชุกของซิส มากกว่า เมื่อเทียบกับคู่กรดอะมิโนอื่นๆ^{[ 9 ]}

มุมไดเฮดรัลของโซ่ข้างถูกกำหนดด้วยχ _n (chi- n ) ^{[ 10 ]}พวกมันมักจะรวมกลุ่มกันใกล้ 180°, 60° และ −60° ซึ่งเรียกว่าคอนฟอร์ เมชันแบบทรานส์ , กอช⁻และกอช⁺ความเสถียรของมุมไดเฮดรัลของโซ่ข้างบางค่าได้รับผลกระทบจากค่าφและψ ^{[ 11} ] ตัวอย่างเช่น มีปฏิสัมพันธ์เชิงสเตอริกโดยตรงระหว่าง C γของโซ่ข้างใน โรตาเมอร์แบบ กอช⁺และไนโตรเจนของโครงสร้างหลักของเรซิเดิวถัดไปเมื่อ^ψอยู่ใกล้ −60° ^{[ 12 ]}สิ่งนี้เห็นได้ชัดจากการกระจายทางสถิติใน ไลบรารีโรตาเมอ ร์ ที่ขึ้นอยู่กับโครงสร้างหลัก

มุมไดเฮดรัลได้รับการกำหนดโดยIUPACสำหรับโมเลกุลอื่นๆ ด้วย เช่นกรดนิวคลีอิก ( DNAและRNA ) และสำหรับพอลิแซ็กคาไรด์

รูปทรงหลายเหลี่ยมทุกรูปจะมีมุมไดเฮดรัลที่ขอบทุกด้าน ซึ่งอธิบายความสัมพันธ์ของหน้าสองด้านที่ใช้ขอบร่วมกัน มุมไดเฮดรัลนี้เรียกอีกอย่างว่ามุมหน้าซึ่งวัดจากมุมภายในเทียบกับรูปทรงหลายเหลี่ยม มุม 0° หมายความว่าเวกเตอร์ปกติของหน้าขนาน กัน ในทิศทางตรงกันข้ามและหน้าทั้งสองทับซ้อนกัน ซึ่งหมายความว่าเป็นส่วนหนึ่งของ รูปทรง หลายเหลี่ยมที่เสื่อมสภาพมุม 180° หมายความว่าหน้าทั้งสองขนานกัน เช่นเดียวกับการปูพื้นมุมที่มากกว่า 180° จะปรากฏบนส่วนเว้าของรูปทรงหลายเหลี่ยม

มุมไดเฮดรัลทุกมุมในทรงหลายเหลี่ยมที่เป็นไอโซทอกซอลและ/หรือไอโซเฮดรัลจะมีค่าเท่ากัน ซึ่งรวมถึงทรงหลายเหลี่ยมเพลโต 5 ทรง, ทรง หลายเหลี่ยมคาตาลัน 13 ทรง, ทรงหลายเหลี่ยมเคปเลอร์-ปวงโซต์ 4 ทรง, ทรงหลายเหลี่ยมกึ่งปกติแบบนูน 2 ทรงและตระกูลอนันต์ของไบพีระมิดและทรง สี่เหลี่ยมคางหมู 2 ตระกูล

กำหนดให้หน้า 3 หน้าของทรงหลายเหลี่ยมซึ่งมาบรรจบกันที่จุดยอดร่วม P และมีขอบ AP, BP และ CP ค่าโคไซน์ของมุมไดเฮดรัลระหว่างหน้าที่มี APC และ BPC คือ: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\cos(\angle \mathrm {APB} )-\cos(\angle \mathrm {APC} )\cos(\angle \mathrm {BPC} )}{\sin(\angle \mathrm {APC} )\sin(\angle \mathrm {BPC} )}}}$

สิ่งนี้สามารถอนุมานได้จากกฎโคไซน์ทรงกลมแต่ยังสามารถหาได้ด้วยวิธีอื่นอีกด้วย^{[ 14 ]}

ใน ปริภูมิยูคลิดมิติ mมุมไดเฮดรัลระหว่าง${\displaystyle \varphi }$ระนาบไฮเปอร์สอง ระนาบ ที่กำหนดโดยสมการ สำหรับเวกเตอร์n _A , n _B , x ∈ R ^mและค่าคงที่c _Aและc _Bจะกำหนดโดย $${\displaystyle \mathbf {n} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {x} =c_{A}}$$$${\displaystyle \mathbf {n} _{\mathrm {B} }\cdot \mathbf {x} =c_{B}}$$$${\displaystyle \cos \varphi ={\frac {\left\vert \mathbf {n} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {n} _{\mathrm {B} }\right\vert }{|\mathbf {n} _{\mathrm {A} }||\mathbf {n} _{\mathrm {B} }|}}\,.}$$

• อะโทรพิโซเมอร์

• มุมไดเฮดรัลในการทำงานไม้ จาก Tips.FM
• การวิเคราะห์รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติทั้ง 5 รูปทำให้ได้วิธีการหาค่าที่แน่นอนเหล่านี้ทีละขั้นตอน