ในทฤษฎีการควบคุมระบบพารามิเตอร์แบบกระจาย (ตรงข้ามกับระบบพารามิเตอร์แบบรวมศูนย์ ) คือระบบที่มีปริภูมิสถานะเป็นมิติ อนันต์ ดังนั้นระบบดังกล่าวจึงเรียกอีกอย่างว่าระบบมิติอนันต์ ตัวอย่างทั่วไปคือระบบที่อธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยหรือสม การ เชิง อนุพันธ์แบบหน่วงเวลา

โดยที่U , XและY เป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตและ ∈  L ( X ),  ∈  L ( U ,  X ),  ∈  L ( X ,  Y ) และ ∈  L ( U ,  Y ) สมการผลต่างต่อไปนี้กำหนดระบบเชิงเส้นไม่แปรผันตามเวลาแบบไม่ต่อเนื่อง : ${\displaystyle A\,}$${\displaystyle B\,}$${\displaystyle C\,}$${\displaystyle D\,}$

${\displaystyle x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)\,}$

${\displaystyle y(k)=Cx(k)+Du(k)\,}$

โดยที่(สถานะ) เป็นลำดับที่มีค่าอยู่ในX , ( อินพุตหรือตัวควบคุม) เป็นลำดับที่มีค่าอยู่ในUและ(เอาต์พุต) เป็นลำดับที่มีค่าอยู่ในY${\displaystyle x\,}$${\displaystyle u\,}$${\displaystyle y\,}$

กรณีเวลาต่อเนื่องคล้ายกับกรณีเวลาไม่ต่อเนื่อง แต่ในที่นี้จะพิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์แทนที่จะเป็นสมการเชิงผลต่าง:

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)\,}$,

${\displaystyle y(t)=Cx(t)+Du(t)\,}$.

อย่างไรก็ตาม ความซับซ้อนที่เพิ่มขึ้นในขณะนี้คือ การรวมตัวอย่างทางกายภาพที่น่าสนใจ เช่น สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยและสมการเชิงอนุพันธ์หน่วงเวลา เข้าไว้ในกรอบนามธรรมนี้ จำเป็นต้องพิจารณาตัวดำเนินการที่ไม่จำกัด ขอบเขต โดยปกติแล้วAจะถูกสมมติว่าสร้างเซมิกรุปต่อเนื่องอย่างเข้มแข็งบนปริภูมิสถานะXการสมมติว่าB , CและDเป็นตัวดำเนินการที่มีขอบเขต จะช่วยให้สามารถรวมตัวอย่างทางกายภาพที่น่าสนใจได้มากมาย^{[ 1 ]}แต่การรวมตัวอย่างทางกายภาพที่น่าสนใจอื่นๆ อีกมากมาย บังคับให้BและC ไม่จำกัดขอบเขต เช่นกัน

สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่มีและกำหนดโดย ${\displaystyle t>0}$${\displaystyle \xi \in [0,1]}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}w(t,\xi )=-{\frac {\partial }{\partial \xi }}w(t,\xi )+u(t),}$

${\displaystyle w(0,\xi )=w_{0}(\xi ),}$

${\displaystyle w(t,0)=0,}$

${\displaystyle y(t)=\int _{0}^{1}w(t,\xi )\,d\xi ,}$

สอดคล้องกับกรอบสมการวิวัฒนาการเชิงนามธรรมที่อธิบายไว้ข้างต้นดังต่อไปนี้ พื้นที่อินพุตUและพื้นที่เอาต์พุตYถูกเลือกให้เป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อนทั้งคู่ พื้นที่สถานะXถูกเลือกให้เป็น L ² (0, 1) ตัวดำเนินการAถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle Ax=-x'}$,${\displaystyle D(A)=\left\{x\in X:x{\text{ ต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์ }},\,x'\in L^{2}(0,1),\,x(0)=0\right\}.}$

สามารถแสดงได้^{[ 2 ]}ว่าAสร้างเซมิกรุป ที่ต่อเนื่องอย่างเข้มแข็ง บนXตัวดำเนินการที่มีขอบเขตB , CและDถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle Bu=u,~~~Cx=\int _{0}^{1}x(\xi )\,d\xi ,~~~D=0.}$

สมการเชิงอนุพันธ์หน่วงเวลา

${\displaystyle {\dot {w}}(t)=w(t)+w(t-\tau )+u(t),}$

${\displaystyle y(t)=w(t),}$

สอดคล้องกับกรอบสมการวิวัฒนาการเชิงนามธรรมที่อธิบายไว้ข้างต้นดังนี้ พื้นที่อินพุตUและพื้นที่เอาต์พุตYต่างก็ถูกเลือกให้เป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อน พื้นที่สถานะXถูกเลือกให้เป็นผลคูณของจำนวนเชิงซ้อนกับL ² (− τ , 0) ตัวดำเนินการAถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle A{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r+f(-\tau )\\f'\end{pmatrix}}}$,${\displaystyle D(A)=\left\{{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}\in X:f{\text{ ต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์ }},\,f'\in L^{2}([-\tau ,0]),\,r=f(0)\right\}.}$

สามารถแสดงได้^{[ 3 ]}ว่าAสร้างเซมิกรุปที่ต่อเนื่องอย่างเข้มแข็งบน X ตัวดำเนินการที่มีขอบเขตB , CและDถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle Bu={\begin{pmatrix}u\\0\end{pmatrix}},~~~C{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}=r,~~~D=0.}$

เช่นเดียวกับในกรณีมิติจำกัดฟังก์ชันถ่ายโอนจะถูกกำหนดผ่านการแปลงลาปลาส (เวลาต่อเนื่อง) หรือการแปลง Z (เวลาไม่ต่อเนื่อง) ในขณะที่ในกรณีมิติจำกัด ฟังก์ชันถ่ายโอนเป็นฟังก์ชันตรรกยะที่เหมาะสม แต่ความเป็นมิติอนันต์ของปริภูมิสถานะจะนำไปสู่ฟังก์ชันอตรรกยะ (ซึ่งยังคงเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก อยู่ )

ในระบบเวลาไม่ต่อเนื่อง ฟังก์ชันถ่ายโอนจะกำหนดในรูปของพารามิเตอร์ปริภูมิสถานะโดยและเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกในดิสก์ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด^{[ 4 ]}ในกรณีที่ 1/ zเป็นส่วนหนึ่ง ของ เซตตัวแก้ไขของA (ซึ่งเป็นกรณีบนดิสก์ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดซึ่งอาจมีขนาดเล็กกว่า) ฟังก์ชันถ่ายโอนจะเท่ากับข้อเท็จจริงที่น่าสนใจคือ ฟังก์ชันใดๆ ที่เป็นโฮโลมอร์ฟิกในศูนย์จะเป็นฟังก์ชันถ่ายโอนของระบบเวลาไม่ต่อเนื่องบางระบบ ${\displaystyle D+\sum _{k=0}^{\infty }CA^{k}Bz^{k}}$${\displaystyle D+Cz(I-zA)^{-1}B}$

ถ้าAสร้างเซมิกรุปที่ต่อเนื่องอย่างเข้มแข็ง และB , CและDเป็นตัวดำเนินการที่มีขอบเขต^{[ 5 ]}ฟังก์ชันถ่ายโอนจะกำหนดในรูปของพารามิเตอร์ปริภูมิสถานะโดยสำหรับsที่มีส่วนจริงมากกว่าขอบเขตการเติบโตแบบเอกซ์โพเนนเชียลของเซมิกรุปที่สร้างโดยAในสถานการณ์ทั่วไป สูตรนี้อาจไม่มีความหมาย แต่การวางนัยทั่วไปที่เหมาะสมของสูตรนี้ยังคงใช้ได้^{[ 6 ]} เพื่อให้ได้นิพจน์ที่ง่ายสำหรับฟังก์ชันถ่ายโอน มักจะดีกว่าที่จะใช้การแปลงลาปลาสในสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนดมากกว่าการใช้สูตรปริภูมิสถานะดังที่แสดงไว้ด้านล่างในตัวอย่างที่ให้ไว้ข้างต้น ${\displaystyle D+C(sI-A)^{-1}B}$

เมื่อกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้นเท่ากับศูนย์และใช้ตัวอักษรตัวใหญ่แทนการแปลงลาปลาสเทียบกับtเราจะได้จากสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่กำหนดไว้ข้างต้น ${\displaystyle w_{0}}$

${\displaystyle sW(s,\xi )=-{\frac {d}{d\xi }}W(s,\xi )+U(s),}$

${\displaystyle W(s,0)=0,}$

${\displaystyle Y(s)=\int _{0}^{1}W(s,\xi )\,d\xi .}$

นี่คือสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น ไม่เอกพันธุ์ โดยมีเป็นตัวแปรsเป็นพารามิเตอร์ และเงื่อนไขเริ่มต้นเป็นศูนย์ คำตอบคือแทนค่านี้ลงในสมการสำหรับYและทำการอินทิเกรตจะได้ดังนั้นฟังก์ชันถ่ายโอนคือ ${\displaystyle \xi }$${\displaystyle W(s,\xi )=U(s)(1-e^{-s\xi })/s}$${\displaystyle Y(s)=U(s)(e^{-s}+s-1)/s^{2}}$${\displaystyle (e^{-s}+s-1)/s^{2}}$

ดำเนินการในลักษณะเดียวกันกับตัวอย่างสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย ฟังก์ชันถ่ายโอนสำหรับตัวอย่างสมการหน่วงเวลาคือ ^{[ 7 ]}${\displaystyle 1/(s-1-e^{-s})}$

ในกรณีมิติอนันต์ มีนิยามของการควบคุมได้ หลายแบบที่ไม่เท่ากัน ซึ่งในกรณีมิติจำกัดจะลดรูปเหลือเพียงแนวคิดการควบคุมได้แบบเดียวกันที่ใช้กันทั่วไป แนวคิดการควบคุมได้ที่สำคัญที่สุดสามประการ ได้แก่:

• ความสามารถในการควบคุมที่แม่นยำ
• ความสามารถในการควบคุมโดยประมาณ
• การควบคุมเป็นศูนย์

แผนที่ซึ่งแปลงเซตของ ลำดับค่า U ทั้งหมด ไปเป็น X และกำหนดโดย มี บทบาทสำคัญ การตีความคือเป็นสถานะที่ได้จากการใช้ลำดับอินพุตuเมื่อเงื่อนไขเริ่มต้นเป็นศูนย์ ระบบนี้เรียกว่า ${\displaystyle \Phi _{n}}$${\displaystyle \Phi _{n}u=\sum _{k=0}^{n}A^{k}Bu_{k}}$${\displaystyle \Phi _{n}u}$

• สามารถควบคุมได้อย่างแม่นยำในเวลาnถ้าช่วงของเท่ากับX${\displaystyle \Phi _{n}}$
• สามารถ ควบคุมได้โดยประมาณในช่วงเวลาnหากช่วงของมีความหนาแน่นในX${\displaystyle \Phi _{n}}$
• สามารถควบคุมค่าว่างได้ในเวลาnหากช่วงของค่าดังกล่าวครอบคลุมช่วงของค่าA ⁿ${\displaystyle \Phi _{n}}$

ในการควบคุมระบบเวลาต่อเนื่อง แผนที่ที่กำหนดโดยมีบทบาทเช่นเดียวกับในระบบเวลาไม่ต่อเนื่อง อย่างไรก็ตาม พื้นที่ของฟังก์ชันควบคุมที่ตัวดำเนินการนี้กระทำนั้นมีอิทธิพลต่อคำจำกัดความ ตัวเลือกปกติคือL ² (0, ∞; U ) ซึ่งเป็นพื้นที่ของ (ชั้นสมมูลของ) ฟังก์ชันที่หาปริพันธ์กำลังสองได้ที่มีค่าเป็น Uบนช่วง (0, ∞) แต่ตัวเลือกอื่นๆ เช่นL ¹ (0, ∞; U ) ก็เป็นไปได้ แนวคิดการควบคุมที่แตกต่างกันสามารถกำหนดได้เมื่อ เลือกโดเมนของ ระบบเรียกว่า ^{[ 8 ]}${\displaystyle \Phi _{t}}$${\displaystyle \int _{0}^{t}{\rm {e}}^{As}Bu(s)\,ds}$${\displaystyle \Phi _{n}}$${\displaystyle \Phi _{t}}$

• สามารถควบคุมได้อย่างแม่นยำในช่วงเวลาtหากช่วงของเท่ากับX${\displaystyle \Phi _{t}}$
• สามารถ ควบคุมได้โดยประมาณในช่วงเวลาtหากช่วงของมีความหนาแน่นในX${\displaystyle \Phi _{t}}$
• สามารถควบคุมค่าว่างได้ในเวลาtหากช่วงของค่าดังกล่าวครอบคลุมช่วงของค่าอื่น${\displaystyle \Phi _{t}}$${\displaystyle {\rm {e}}^{At}}$

เช่นเดียวกับในกรณีมิติจำกัดความสามารถในการสังเกตได้เป็นแนวคิดคู่ขนานของความสามารถในการควบคุมได้ ในกรณีมิติอนันต์ มีแนวคิดเกี่ยวกับความสามารถในการสังเกตได้หลายแบบ ซึ่งในกรณีมิติจำกัดจะตรงกัน แนวคิดที่สำคัญที่สุดสามประการ ได้แก่:

• การสังเกตการณ์ที่แม่นยำ (หรือที่เรียกว่าการสังเกตการณ์อย่างต่อเนื่อง)
• ความสามารถในการสังเกตโดยประมาณ
• ความสามารถในการสังเกตสถานะสุดท้าย

แผนที่ซึ่งแปลงค่าXไปยังปริภูมิของลำดับค่าY ทั้งหมด มีบทบาทสำคัญ โดยกำหนดโดย ถ้าk  ≤  nและเป็นศูนย์ถ้าk  >  nการตีความคือเป็นเอาต์พุตที่ถูกตัดทอนโดยมีเงื่อนไขเริ่มต้นxและการควบคุมเป็นศูนย์ ระบบนี้เรียกว่า ${\displaystyle \Psi _{n}}$${\displaystyle (\Psi _{n}x)_{k}=CA^{k}x}$${\displaystyle \Psi _{n}x}$

• สามารถสังเกตได้อย่างแม่นยำในเวลาnถ้ามีอยู่k _n  > 0 เช่นนั้นสำหรับทุกx  ∈  X ,${\displaystyle \|\Psi _{n}x\|\geq k_{n}\|x\|}$
• สามารถสังเกตได้โดยประมาณในช่วงเวลาnถ้าเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง${\displaystyle \Psi _{n}}$
• สถานะสุดท้ายสามารถสังเกตได้ในเวลาnหากมีk _n  > 0 อยู่จริง โดยที่สำหรับทุกx  ∈  X${\displaystyle \|\Psi _{n}x\|\geq k_{n}\|A^{n}x\|}$

ในการสังเกตระบบเวลาต่อเนื่อง แผนที่ที่กำหนดโดยสำหรับs∈[0,t]และศูนย์สำหรับs>tมีบทบาทเช่นเดียวกับในระบบเวลาไม่ต่อเนื่อง อย่างไรก็ตาม พื้นที่ของฟังก์ชันที่ตัวดำเนินการนี้แมปไปนั้นมีอิทธิพลต่อคำจำกัดความ ตัวเลือกปกติคือL ² (0, ∞,  Y ) ซึ่งเป็นพื้นที่ของ (ชั้นสมมูลของ) ฟังก์ชันที่หาปริพันธ์กำลังสองได้ที่มีค่าเป็น Yบนช่วง(0,∞)แต่ตัวเลือกอื่นๆ เช่นL ¹ (0, ∞,  Y ) ก็เป็นไปได้ แนวคิดการสังเกตที่แตกต่างกันสามารถกำหนดได้เมื่อเลือกโคโดเมนของ ระบบนี้เรียกว่า^{[ 9 ]}${\displaystyle \Psi _{t}}$${\displaystyle (\Psi _{t})(s)=C{\rm {e}}^{As}x}$${\displaystyle \Psi _{n}}$${\displaystyle \Psi _{t}}$

• สามารถสังเกตได้อย่างแม่นยำในเวลาtหากมีk _t > 0 อยู่จริง โดยที่สำหรับทุกx  ∈  X${\displaystyle \|\Psi _{t}x\|\geq k_{t}\|x\|}$
• สามารถสังเกตได้โดยประมาณในช่วงเวลาtถ้า ฟังก์ชัน นั้นเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง${\displaystyle \Psi _{t}}$
• สถานะสุดท้ายสามารถสังเกตได้ในเวลาtหากมีk _t  > 0 อยู่จริง โดยที่สำหรับทุกx  ∈  X${\displaystyle \|\Psi _{t}x\|\geq k_{t}\|{\rm {e}}^{At}x\|}$

เช่นเดียวกับในกรณีมิติจำกัด ความสามารถในการควบคุมและความสามารถในการสังเกตเป็นแนวคิดคู่กัน (อย่างน้อยที่สุดเมื่อ เลือก L ²ตามปกติ สำหรับโดเมนของ และโคโดเมนของ) ความสอดคล้องกันภายใต้ความเป็นคู่ของแนวคิดที่แตกต่างกันคือ: ^{[ 10 ]}${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Psi }$

• ความสามารถในการควบคุมที่แม่นยำ ↔ ความสามารถในการสังเกตที่แม่นยำ
• ความสามารถในการควบคุมโดยประมาณ ↔ ความสามารถในการสังเกตโดยประมาณ
• การควบคุมเป็นศูนย์ ↔ การสังเกตสถานะสุดท้าย

• ทฤษฎีการควบคุม
• พื้นที่สถานะ (การควบคุม)